柯西收敛准则

西
南
科
技
大 学 品
x1 x2x3 x4x5 xn
牌 课
AM
程
例1
设
an
1 1 22


1 n2
, 证明：
收敛．
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
例3 设
西
南 科
证明
技
大
学
品
牌
课
程
收敛，并求其极限．
在例2 中，要注意两个技巧． (1) 在用归纳法证明有界性时，归纳基础、归纳假
列。递增和递减数列统称为单调数列．
即： an n, an an1;
西 南 科
an n, an an1.
技
大 学 品 牌
例如：

1 n
为递减数列；n2

为递增数列；
课 程

(1) n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n

不是单调数列。
定义 若数列 an 的各项满足不等式 an an1(an an1 )，则称 an为严格递增（严格
xn

2
.
例3 设
证明 收敛，并求其极限．
解：
假设
则
由归纳法知该数列有下界．又
西 南
所以该数列递减，故收敛．
科
技
大 学
设
，则
品
牌 课
解之得
a = -2 (舍去)，a = 5．
程
所以
为所求．
例4 设 S 为有界数集，若
证明：
且
证： 因为
所以，
取
则
取
西
取
南
科
技大继之得一数列
学
品
牌
课程 且
则 则 xn S, “a n xn a”, 其满足
lim
n
xn

a
例5
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
a 0,
x1 0.
xn1

1 2

xn

a xn
. 求
lim
n
xn
.
例6 证明 lim1 1 n 存在。 n n
例7 例8
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
lim 1

1
nk
西
南
科
技
大
学
品 牌
x1 x5 x2 x4
x3
课
程
定理2.10 数列 收敛 证： 设数列 收敛，即
从而
西
南
科 技
充分性的证明在第七章给出．
大
学
品
牌
课
程
，于是
例10 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列
收敛. 其中
西
南
科 技
例11
设
大
学
品
牌
课
程
是
中的数.
证明： 收敛．
柯西收敛准则的否定叙述 数列 发散
递减）数列。
即： an n, an an1
西 南 科
an↘ n, an an1
技
大
学
品
牌
课
程
二 单调有界定理 定理2.9（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限。
此定理可分为两个部分：
1、数列
西
南 科
2、数列
技
大
学
品
牌
课
程
递增且有上界，则 递减且有下界，则
设、归纳推理中的界必须是同一个，否则就会出错．
例如：自然数集有界，实因：
(归纳基础)
假设
则
西
南 科
所以结论成立．
技
大 学
(2) 先在极限存在的假设下，得到
品
牌
课程然后在以 5 为界的基础上给出单调有界的证明．
例4 设S为有界数集，证明若 supS a S，则
存在严格递增数列
xn
S，使得
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
西 南 科
xn1
3

xn ,
x2 n1

3

xn ,
lim
n
xn21
lim(3 n
xn ),
技
大 学 品 牌
A2 3 A, 解得 A 1 13 ,
2
A 1 13 2
(舍去)
课
程
1 13
lim n
,
lim 1

1
kn
.
n n
n n
lim1
1
3n
.
n 2n
虽然单调有界并非数列收敛的必要条件，但我们有．
推论：如果
递增，则
如
果lim n
an

a且an递减，
以上用反证法即知结论成立．
西 南
例9
证明不等式
科
技
大
学
品
牌
课 程
即
三 柯西收敛准则
0, N 0,当n N时, 对p N有 an p an
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
•定理2.10 的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼
此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对
值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛
数列的各项越到后面越是挤在一起.
在数列极限的定义中，必须考核其与某一定数 a 的接近程度，当然不能把每一个实数都列出来一 一依定义检查，因此得从数列本身的特征来判断． 这就是本节的任务．
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
一 单调数列
定义 若数列 an 的各项满足不等式 an an1(an an1 )，则称 an为递增（递减）数
故结论成立．
1
a
例5
a

0,
x1

0.
xn1

2

必有极限． 必有极限．
证(1) 设 递增有上界， 则确界存在定理知， 有上确界，
设
于是
又
∴ n ＞N 时，a aN an a a
即
西
南 科
所以
技
大 学
同理可证(2)
品
牌 课
注意：单调有界是极限存在的充分条件，
程
非必要条件．
•定理2.9的几何解释
以递增数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或 者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列 只可能后者情况发生
定理2.10 (Cauchy收敛准则)
数列 an 收敛的充要条件是：
西 南 科
0,N 0,当n, m N时,有an am
技
大
学
品
牌
课
程
称 an为Cauchy列或基本列，如果
0,N 0,当n, m N时,有an am
Cauchy收敛准则等价形式：
又
an

1
1 22

1 n2
收敛．
西
南
科
技
大 学
所以
有上界，
品
牌
课 程
于是由单调有界定理知
收敛．
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
例12 设
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
, 证明： 发散．
小结 (1) 单调有界定理;
(2) 单调有界定理的几何意义;
(3) 柯西收敛准则;
西
南
科技(4) 柯西收敛准则的几何解释.
大
学
品
牌
课
程
作业
P39: 1, 3, 5, 7, 8.
例1
设
an

1
1 22

1 n2
证明：
证：显然