系统辨识经典辨识方法

经典辨识方法报告

1. 面积法

1.1 辨识原理

1.1.1 分子多项式为1的系统 1

1

)(11

1++++=

--s a s

a s a s G n n n

n ……………………………………………（1.1）

由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似

1)()

()()(a 111=++++--t y dt

t dy a dt t y d a dt t y d n n n n ……………………………（1.2） 面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。以n=3为例，注意到

1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dt

t y dt t y dt t y …………………………（1.3） 将式（2.1.2）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得

⎰-=++t dt t y t y a dt

t dy a dt t y d a 01223)](1[)()

()(…………………………………（1.4）

定义

⎰-=t

dt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………

（1.5）

则由式（2.1.3）给出的条件可知，在t →∞

⎰∞

-=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（1.6）

将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)()

(a 201123

t F dt t y a t F t y a dt

t dy t =-=+⎰…………………………………

（1.7）

利用初始条件（2.1.3）当t →∞时

)(a 22∞=F ……………………………………………………………………

（1.8）

同理有a 3=F 3(∞)

以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞)

1.1.2 分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统

当传递函数的形式如下所示时

11

1111)

()(11

)(u h K m n s a s a s a s b s b s b K s G n n n n m m m m ∞=≥++++++++=---- …………………………………

(1.9)

定义

∑∞

=----+=++++++++==1

111111111)()

(1)(i i

i

m m m m n n n n s c s b s b s b s a s a s a s P s P K

s G ………………………………

(1.10)

由

于

⎰∞

--=-0**)](1[)](1[dt

e t h t h L st …………………………………………

(1.11)

则

)](1[*

t h -的Laplace 变换为： ∑∑∞

=∞

=-+=-=-1

11

*

1)(11)](1[i i

i

i i i s C s

C s sP s t h L ……………………………………

(1.12)

定义一阶面积1A 为：

1

1

1

1

0011lim )](*1[lim )](*1[c s C s

C t h L dt t h A i i

i i i i s s =+=-=-=∑∑⎰∞=∞

=-→∞

→………

(1.13)

令 )

1(1

)]([1*

1s c s t h L +=

……………………………………………………………

(1.14)

定义二阶面积为：

2

1

2

2

*

*

0012)

1)(1()]()([lim

c s c s c s

c dt

d h h A i i

i i i i i

s t

=++=-=∑∑⎰⎰∞

=∞

=-→∞

τττ…

(1.15)

同理，令 )

...1(1

)]([11221*

1---++++=

i i i s c s c s c s t h L ……………………………………

(1.16)

定义i 阶面积为i i

c A =。由此可得：

∑∞

=----+++++=++++1

11

111

1)

1)(1...(1...i i i m m m

m n n n

n s A s b s

b s b s a s

a s a …

(1.17)

上式可写成如下形式：

⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-+-+-++--m n n n n m n m n m n n n m n n n n A A A A A A A A A A A A b b b 211

2

1

21112

1………………………(1.18)