高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题三 数列的解答题
高三数列专题练习30道带答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式； 若对任意*n N ∈，不等式恒成立，求λ的取值范围． n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =． 的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；的前n 项和为n T ，求n T ．5的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1（2满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n 满（1）求数列{}n a 的通项公式；（2求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1（2，求数列}{n c 的前n 项和n T . 8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 前n 项和为n S ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}na +为等比数列；（Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n项和nT . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na nb =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n b a ++=求{}n b 的前n 项和n T ． 13．是等比数列，满足数列{}n b 满足144,22b b ==，且（I （II 1412n n a -++=（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n S . 15满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列．（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的的前n 项和n T . 满足21=a ，11=b ，n n a a 21=+（*∈N n ），（*∈N n ）. ）求n a 与n b ；（2）记数列}{n n b a 的前n 项和为，求n T .18．已知数列}{n a 中，21=a ，数列}{n b 中，其中*∈N n . （1（2）设n S 是数列的前n 项和，求19．已知各项均为正数的数n S ,满足2123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列（1）求数列 {}n a ,{}n b 的通项公式；（2的前n 项和为n T . 20公比1q < （1（2T n ，若对于任数m 21．已知等差数列{}n a 满足：25a =,前4项和428S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n n b a =-,求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．22．已知公差不为零的等差数列}{n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
数列(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料 学生版
专题4数列（文科）解答题30题1．（江西省南昌市金太阳大联考2023届高三上学期10月联考数学（文）试题）在等比数列{n a }中，122554a a a +==．(1)求{n a }的通项公式；(2)求数列{3214n a n +-}的前n 项和Sn ．2．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知()()2221121216n n n n ++⋅⋅⋅+=++，数列{}n a 满足2121n n a a n n +-=++，11a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设21n n a b n =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .3．（河南省许昌济源平顶山2022届高三第三次质量检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为16,3,12n S a S =-=，数列{}n b 满足()*112,2n n b b b n +==∈N ．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．4．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（文）试题）已知正项数列{}n a 满足2123232n a a a na n n ++++=+ ，且()()211n n n n a b n n+-=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知数列{}n a 是公差为12的等差数列，数列{}n b 是首项为1的等差数列，已知2344a b a b -=-.(1)求n b ；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .6．（陕西省汉中市2022届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足39a =，___________.在①36S a =，②430S =，③25845a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2na n nb a =+，求{}n b 的前n 项和n T .7．（山西省太原市2022届高三二模数学（文）试题）已知数列{}n a 为公差大于0的等差数列，2512a a +=，且1a ，3a ，13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2041m S =，求m 的值.8．（江西省宜春市八校2022届高三下学期联合考试数学（文）试题）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，23a =且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}3n n a 的前n 项和为n T .9．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（文）试题）在数列{}n a 中，()11N ,R,029n a n a a n *=+∈∈≠-，它的最大项和最小项的值分别是等比数列{}n b 中的21b -和39b -的值.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知数列{}()3,log n n n n c c b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M .10．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文科）试题）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a 、4a 、7a 成等比数列．(1)求{}n a 的前n 项和n S ；(2)记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n S n =，数列{}n b 的前n 项和是n T ，且323n n b T =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n na cb =，证明：1231nc c c c ++++< ．12．（2022·陕西渭南·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，不等式21280a x S x --<的解集为()1,4-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2111n n nb a S =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .13．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为21,n n n S T =-为等差数列{}n b 的前n 项和，且满足23b a =，527T T =．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n H ．14．（河南省多校联盟2022届高考终极押题（A 卷）数学（文）试题）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 与1的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.15．（河南省郑州市2022届高三第三次质量预测文科数学试题）已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．16．（第四章数列（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（苏教版2019选择性必修第一册））已知各项都为正数的数列{an }满足an ＋2＝2an ＋1＋3an .(1)证明：数列{an ＋an ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{an }的通项公式.17．（辽宁省铁岭市六校2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n a S =+（n *∈N ）．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)令()31log n n na c n a *+=∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1113,1n n n a S S n a ++=+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（陕西省西安中学2022届高三下学期八模文科数学试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，已知24a =，314S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1n n b a n λ=+-，若{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．20．（山西省吕梁市2022届高三三模文科数学试题）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记()()2211log 1log 1n n n b S S +=+⋅+，求{}n b 的前n 项和n T ．21．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）文科数学试题）已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且31,n n S a n n *+=-∈N ．(1)证明{}3n a -是等比数列；(2)求{}n na 的前n 项和n T ．22．（内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．23．（内蒙古呼伦贝尔市满洲里市2022届高三三模数学（文）试题）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22,n n a b S a ==-()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列(){}1n n b -的前2n 项和.24．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（文）试题）已知在等差数列{}n a 中，25a =，1033a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．（宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．26．（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第二次质量监测数学（文）试题（问卷））设数列{}n a 是由正数组成的等比数列.其中24a =，416a =.(1)求数列{}n a 的通顶公式；(2)若数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，其中12b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（文）试题）{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，已知12a =，14n n n S a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b S a =+，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1118n T <.28．（江西省九江市2022届第三次高考模拟统一考试数学（文）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1222n n S S n -=+≥．(1)求n a ；(2)求数列()21n n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和．29．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n b 前12项的和.30．（贵州省2023届高三333高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）已知数列{}n a 是递增的等比数列．设其公比为q ，前n 项和为n S ，并且满足1534a a +=，8是2a 与4a 的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b n a =⋅，n T 是n b 的前n 项和，求使12100n n T n +-⋅>-成立的最大正整数n 的值．。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
2023年高考数学模拟题汇编：数列(附答案解析)
2023年高考数学模拟题汇编：数列一．选择题（共12小题）1．（2021秋•洛阳期中）数列{a n}满足a1＝a2＝1，且a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3），则a5＝（）A．1B．2C．5D．82．（2021秋•资阳月考）等差数列{a n}中，a4＝3，则S7＝（）A．B．C．19D．213．（2021秋•三门峡月考）等比数列{a n}中，a2＝3，a42＝a6+a7，则a5＝（）A．B．C．12D．244．（2021秋•湖北月考）设{a n）是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．2n﹣1B．﹣2n+1C．2n﹣1D．﹣2n﹣1 5．（2021秋•玉林月考）已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．20486．（2021秋•镇海区校级期中）已知数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+2n，n∈N*，则S10＝（）A．32B．50C．72D．907．（2021秋•安徽月考）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞0”是数列{lga n}为等差数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2021秋•全州县校级月考）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（）A．6B．7C．64D．659．（2021秋•聊城期中）设数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．10．（2021秋•渝中区校级月考）已知数列{a n}满足，，若对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．11．（2021秋•浙江月考）已知正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，则下列说法错误的是（）A．a2022＞a2021B．C．D．12．（2021秋•开福区校级期中）数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），则数列前2021项和为（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）13．（2021秋•安顺月考）等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝21，S9＝45，则数列{a n}的公差d＝．14．（2021秋•船营区校级月考）在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），则a10＝．15．（2021秋•凌河区校级月考）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，则{a n}的通项公式为a n＝．16．（2021秋•呼和浩特月考）已知{a n}是等比数列，公比大于1，且a2+a4＝20，a3＝8．记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，则数列{b m}的前60项的和S60的值为．17．（2021秋•嘉定区校级月考）已知数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，则t的取值范围是．三．解答题（共5小题）18．（2021秋•宜宾月考）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝2a1，且数列{S n+a1}是等比数列，求证：{a n}是等比数列．19．（2021秋•南通期中）已知数列{a n}是公比为正数的等比数列，且a1＝2，a3＝a2+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20．（2021秋•五华区校级月考）已知数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝3a n+2•3n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（2021秋•顺庆区校级期中）数列{a n}的前n项和为S n，且4，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．22．（2021秋•船营区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝2，且S n＝a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①T3＝12，且b4＝2b2；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{b n}的前n项和为T n，且_______，求数列{}的前n项和A n．2023年高考数学模拟题汇编：数列参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•洛阳期中）数列{a n}满足a1＝a2＝1，且a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3），则a5＝（）A．1B．2C．5D．8【考点】数列递推式．【专题】计算题；整体思想；演绎法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】利用递推关系式求解数列的第五项即可．【解答】解：由递推关系式可得：a3＝a2+a1＝1+1＝2，a4＝a3+a2＝2+1＝3，a5＝a4+a3＝3+2＝5，故选：C．【点评】本题主要考查数列的递推关系式，属于基础题．2．（2021秋•资阳月考）等差数列{a n}中，a4＝3，则S7＝（）A．B．C．19D．21【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知直接利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝3，得S7＝．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质与前n项和，是基础题．3．（2021秋•三门峡月考）等比数列{a n}中，a2＝3，a42＝a6+a7，则a5＝（）A．B．C．12D．24【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先求出公比，再根据通项公式即可求出a5的值．【解答】解：∵a2＝3，a42＝a6+a7，∴（3q2）2＝3q4+3q5，解得q＝2，∴a5＝a2q3＝3×8＝24．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．（2021秋•湖北月考）设{a n）是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．2n﹣1B．﹣2n+1C．2n﹣1D．﹣2n﹣1【考点】等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据条件4a1，2a2，a3成等差数列，列出关于q方程求解q，代入等比数列前n 项和计算．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1+a3＝4a2，即4a1+a1q2'＝4a1q，将a1＝1代入得q2﹣4q+4＝0，解得q＝2，于是S n＝＝2n﹣1，故选：A．【点评】考查等差数列、等比数列的前n项和，考查数学运算等数学核心素养．5．（2021秋•玉林月考）已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．2048【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝2a1可得a1q•a1q2＝2a1，即a4＝a1•q3＝2，由题意有a4+2a7＝2×，从而可求得a7＝，进一步利用a7＝a4q3求出q值，再利用a1＝求出a1，最后利用a1•a2•a3•a4＝（a1•a4）2＝（16×2）2进行求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝2a1，得a1q•a1q2＝2a1，即a4＝a1•q3＝2，又a4与2a7的等差中项为，得a4+2a7＝2×，即2+2a7＝，解得a7＝，所以a7＝a4q3，即＝2q3，解得q＝，则a1＝＝＝16，所以a1•a2•a3•a4＝（a1•a4）2＝（16×2）2＝1024．故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等差中项，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6．（2021秋•镇海区校级期中）已知数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+2n，n∈N*，则S10＝（）A．32B．50C．72D．90【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】本题根据题干已知条件考虑当n为奇数时，n+1为偶数时可得公式a n+a n+1＝2n，然后运用分组求和法即可计算出S10的值，从而可得正确选项．【解答】解：由题意，可知当n为奇数时，n+1为偶数，此时由a n+1＝﹣a n+2n，即a n+a n+1＝2n，故S10＝a1+a2+•+a10＝（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+（a7+a8）+（a9+a10）＝2×1+2×3+2×5+2×7+2×9＝2×（1+3+5+7+9）＝50．故选：B．【点评】本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．7．（2021秋•安徽月考）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞0”是数列{lga n}为等差数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当q＞0时，若a1＜0，则a n＜0，于是lga n无意义，充分性不成立；反之若数列{lga n}为等差数列，则a n必须大于0，所以公比q＞0，必要性成立；故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的判定，等比数列与等差数列的综合，属于中档题．8．（2021秋•全州县校级月考）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（）A．6B．7C．64D．65【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】通过已知数列，利用等差数列求和，求解数列数字个数的和，判断22所在的位置即可．【解答】解：按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个；2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，因为1+2+3+4+5+6＝21，1+2+3+4+5+6+7＝28，所以该数列的第22项为：7．故选：B．【点评】本题考查归纳推理的应用，等差数列求和，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9．（2021秋•聊城期中）设数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由题得两式相减求出，即得解．【解答】解：由题得②﹣①得，∴，适合，所以，所以数列{a n}是以为首项，以的等比数列，所以，故选：C．【点评】本题考查错位相减法求数列的和，属于中档题．10．（2021秋•渝中区校级月考）已知数列{a n}满足，，若对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先求出数列的通项公式，由对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，可得（n﹣3）（）n＜λ恒成立，令b n＝（n﹣3）（）n，再利用作差法，判断数列{b n}的变化趋势，即可求出．【解答】解：∵，，∴a n+1+1＝（a n+1），∵a1+1＝，∴数列{a n+1}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n，∵对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，∴（n﹣3）（）n＜λ恒成立，令b n＝（n﹣3）（）n，则b n+1﹣b n＝（n﹣2）（）n+1﹣（n﹣3）（）n＝（）n+1（n﹣2﹣2n+6）＝（）n+1（4﹣n），当n＜4时，b n+1＜b n，当n＞4时，b n+1＞b n，当n＝4或n＝5时，b n最大，最大值为b4＝b5＝，∴λ＞，故选：A．【点评】本题考查了数列的通项公式，数列的函数性质，不等式恒成立，考查了运算求解能力，属于中档题．11．（2021秋•浙江月考）已知正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，则下列说法错误的是（）A．a2022＞a2021B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由求根公式可得a n，由分子有理化可得{a n}的单调性，可判断A；推得a n＞，可判断B、C；由a n＞，化简计算可判断D．【解答】解：正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，可得a n＝（负的已舍去），又a n＝＝＝，可得{a n}是递增数列，则a2022＞a2021，故A正确；由a n＞，可得a2021＞，而﹣＝1﹣﹣（1﹣）＝﹣＞0，即有a2021＞，又a2022＞，故B错误，C正确；由a n＞＞，可得a2•a3•a4...•a2022＞×××...×＝＞，故D正确．故选：B．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的单调性和放缩法的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12．（2021秋•开福区校级期中）数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），则数列前2021项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由数列的递推式可得﹣﹣2a n+2a n﹣1＝n，利用累加法可得＝n（n+1），取倒数后再由裂项相消法求出数列的前2021项和．【解答】解：数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝n+2（a n﹣a n﹣1），即﹣﹣2a n+2a n﹣1＝n，所以﹣＝n（n≥2），则﹣＝n﹣1，...，﹣＝2，将以上各式累加，可得﹣＝n+（n﹣1）+ (2)将a1＝2代入，可得＝1+2+...+n＝n（n+1），所以＝＝2（﹣），所以数列{}的前2021项和为2（1﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，训练了利用累加法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．二．填空题（共5小题）13．（2021秋•安顺月考）等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝21，S9＝45，则数列{a n}的公差d＝2．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】利用S7＝（a1+a7）＝7a4＝21求出a4，再根据S9＝（a1+a9）＝9a5＝45求出a5，进一步利用d＝a5﹣a4即可求出{a n}的公差．【解答】解：由{a n}是等差数列，得S7＝（a1+a7）＝7a4＝21，解得a4＝3，又S9＝（a1+a9）＝9a5＝45，得a5＝5，所以d＝a5﹣a4＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14．（2021秋•船营区校级月考）在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），则a10＝17．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知递推式可得a2，再由等差数列的定义和通项公式，计算可得所求值．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），可得a3＝2a2﹣a1，即3＝2a2﹣1，解得a2＝1，又a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝...＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝1﹣（﹣1）＝2，所以{a n}是首项为﹣1，公差为2的等差数列，则a10＝﹣1+9×2＝17．故答案为：17．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．（2021秋•凌河区校级月考）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，则{a n}的通项公式为a n＝1﹣2n（n∈N*）．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据数列{a n}的前n项和S n＝2a n+n，利用递推公式即可求出数列{a n﹣1}是公比为q＝2的等比数列，由此求出{a n}的通项公式．【解答】解：因为S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，所以S n﹣1＝2a n﹣1+（n﹣1），n≥2，所以a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，n≥2，所以a n＝2a n﹣1﹣1，n≥2，即a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），n≥2，所以数列{a n﹣1}是公比为q＝2的等比数列，又a1＝2a1+1，所以a1＝﹣1，所以a1﹣1＝﹣2，所以a n﹣1＝﹣2×2n﹣1＝﹣2n，所以{a n}的通项公式为a n＝1﹣2n，n∈N*．故答案为：1﹣2n（n∈N*）．【点评】本题考查了数列的前n项和与通项公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．16．（2021秋•呼和浩特月考）已知{a n}是等比数列，公比大于1，且a2+a4＝20，a3＝8．记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，则数列{b m}的前60项的和S60的值为243．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】首先利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式，最后利用对数的运算关系求出数列的和．数列的求和【解答】解：设数列{a n}的公比为q的等比数列，且a2+a4＝20，a3＝8．所以，整理得：2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或（q＞1），所以q＝2．则＝8×2n﹣3＝2n；记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，所以2n≤m，故n≤log2m，故b1＝0，b2＝b3＝1，b4＝b5＝b6＝b7＝2，b7＝b8＝...＝b15＝3，b16＝b17＝...＝b32＝4，b33＝b34＝...＝b65＝5；所以＝243．故答案为：243．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17．（2021秋•嘉定区校级月考）已知数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，则t的取值范围是（，）．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由题意利用数列的单调性，结合二次函数的性质，解出不等式组，即可求出t 的取值范围．【解答】解：∵数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，∴，解得，即t的取值范围是（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查了数列的函数特征，考查了二次函数的性质，是基础题．三．解答题（共5小题）18．（2021秋•宜宾月考）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝2a1，且数列{S n+a1}是等比数列，求证：{a n}是等比数列．【考点】等比数列的性质．【专题】整体思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理．【分析】结合已知递推关系先求出等比数列的公比q，然后结合等比数列的求和公式及性质可求a n，进而可证．【解答】证明：：设等比数列{S n+a1}的公比为q，则，∴，∴，，对n＝1也适合，∴，∴，∴{a n}是等比数列．【点评】本题主要考查了由数列的递推关系求解通项公式，还考查了等比数列的判断，定义法的应用是求解问题的关键，属于中档题．19．（2021秋•南通期中）已知数列{a n}是公比为正数的等比数列，且a1＝2，a3＝a2+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题；整体思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出b n，结合组合法求和，即可求解．【解答】解：（1）根据题意，设{a n}公比为q，且q＞0，∵a1＝2，a3＝a2+4，∴2q2＝2q+4⇒q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去），∴．（2）根据题意，得b n＝log22n＝n，故，因此＝．所以S n＝＝．【点评】本题考查数列的通项公式及数列求和，属于中档题．20．（2021秋•五华区校级月考）已知数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝3a n+2•3n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由已知可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a n+1＝3a n+2•3n+1，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．（2）由（1）得：，∴，①，②①﹣②得：＝，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．21．（2021秋•顺庆区校级期中）数列{a n}的前n项和为S n，且4，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算；数据分析．【分析】（1）根据等差数列的性质，结合递推公式和等比数列的定义进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可．【解答】解：（1）由题2a n＝S n+4，当n＝1时，2a1＝a1+4，得a1＝4，当n≥2时，S n＝2a n﹣4，S n﹣1＝2a n﹣1﹣4，两式相减得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，得，∴数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为a n＝4×2n﹣1＝2n+1；（2）由，即（2n+1）2＝，得b n＝2（n+1），故＝＝，所以T n＝＝．【点评】根据S n求a n，利用a n＝S n﹣S n﹣1；常用的数列求和有裂项相消和错位相减，本题考查了裂项相消，属于基础题．22．（2021秋•船营区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝2，且S n＝a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①T3＝12，且b4＝2b2；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{b n}的前n项和为T n，且_______，求数列{}的前n项和A n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）分别选①②，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，可得首项和公差，可得b n，T n，，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【解答】解：（1）a1＝2，且S n＝a n+1﹣2，可得a1＝S1＝a2﹣2＝2，即有a2＝4，当n≥2时，S n﹣1＝a n﹣2，又S n＝a n+1﹣2，两式相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即为a n+1＝2a n，而a2＝2a1，所以{a n}是首项和公比均为2的等比数列，则a n＝2n，n∈N*；（2）选①T3＝12，且b4＝2b2；设公差为d（d≠0），由b1+b2+b3＝3b2＝12，即b2＝4，又4+2d＝8，解得d＝2，则b n＝4+2（n﹣2）＝2n，n∈N*，T n＝n（2+2n）＝n（n+1）；选②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．可得b22＝b1b4，即（b1+d）2＝b1（b1+3d），化简可得b1＝d，又8b1+×8×7d＝72，解得b1＝d＝2，所以b n＝2+2（n﹣1）＝2n，T n＝n（n+1），则＝＝（n+1）•（）n，所以A n＝2•+3•（）2+4•（）3+...+（n+1）•（）n，A n＝2•（）2+3•（）3+4•（）4+...+（n+1）•（）n+1，上面两式相减可得A n＝1+（）2+（）3+...+（）n﹣（n+1）•（）n+1＝1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得A n＝3﹣（n+3）•（）n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
数列(B卷 滚动提升检测)3——新高考数学复习专题测试附答案解析
第六单元 数列B 卷 滚动提升检测一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·全国高三其他（文））在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且D 为BC 边上靠近C 的三等分点，则AB AD ⋅=（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2020·四川青羊石室中学高三其他（文））点D 是ABC 所在平面上一点，满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．1233AB AC + B ．2133AB AC + C ．1433AB AC -+ D ．4133AB AC - 3．（2020·湖南怀化高三一模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S n =+，则51a =（ ） A ．56B ．65C ．130D ．304．（2020·安徽高三月考（文））若向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ） A ．4π-B ．6π C ．4π D ．34π 5．（2020·广东东莞高三月考（文））在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9006．（2020·全国高三其他（文））已知向量()1,2,4,a b a a b =-=，则b 可能是（ ）A ．()48，B ．()8,4C ．()4,8--D ．()4,8-7．（2020·宁夏原州固原一中高三其他（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ）A ．6B ．16C ．9D ．198．（2020·河南高三其他（文））已知S n 为数列{a n }的前n 项和，﹣2，a n ，6S n 成等差数列，若t ＝a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1，则（ ）A ．11824t -<≤- B ．11812t -<≤- C ．1168t -<≤-D ．11612t -<≤-9．（2020·河南南阳高三二模（文））在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ） A ．1B ．7C ．3D ．910．（2020·深圳市高级中学高三月考（文））假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则（ ） A ．101010A B C << B ．101010A C B << C ．101010B A C <<D ．101010C A B <<11．（2020·四川省泸县第二中学高三二模（文））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，3S ，2S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于（ ） A ．1B ．12C ．12-D ．212．（2020·浙江台州高三期末）已知数列{}n a 满足：0n a >，且22112n n n a a a ++=-（n *∈N ），下列说法正确的是（ ） A ．若112a =，则1n n a a +> B ．若1n n a a +<，则11a >C ．1532a a a +≤D ．211n n n n a a a +++-≤- 二、填空题：本大题共4小题，共20分。
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36C ．-6D ．6【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，故选B 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（ ） A ．11 B ．10C ．7D ．3【答案】B【解析】依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=。
高考模拟数学试卷数列大题
1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则该数列的前5项依次为______、______、______、______、______。
2. 在数列{an}中，an = n^2 - 1，则数列{an}的递增项个数为______。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + 2n，则数列{an}的通项公式为______。
4. 若数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，则数列{an}的相邻两项之差的最大值为______。
5. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，则数列{an}的偶数项之和为______。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + 2n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = n^2 + 2nB. an = n^2 + nC. an = n^2D. an = n^2 - 2n2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则该数列的第10项与第15项之差为（）A. 40B. 42C. 44D. 463. 在数列{an}中，an = n^2 - 1，则数列{an}的递增项个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，则数列{an}的相邻两项之差的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，则数列{an}的偶数项之和为（）A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题（共75分）1. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求该数列的前n项和Sn。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 2n，求该数列的前n项和Sn。
3. 已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^n (n + 1)，求该数列的前n项和Sn。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节 等比数列及其前n项和003
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节 等比数列及其前n 项和A 基础巩固训练1．【金丽衢十二校高三第二次联考】等比数列{}n a 中143,24a a ==，则345a a a ++= A.33 B.72 C.84 D.189 【答案】C【解析】由题意可得38,2q q =∴=.所以345a a a ++=221(1)84a q q q ++=.2．【龙岩市高三上学期期末考试】设等比数列{}n a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，314S =,且1238,3,6a a a ++依次成等差数列， 则13a a ⋅等于( )A. 4B. 9C. 16D. 25 【答案】C3．数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n nab a +=，若11010112015b b =，则21a =．【答案】. 【解析】 试题分析：由nn n a a b 1+=，且11a ，得 2121a b a a ．322a b a ，32212a a b b b ．433a b a ，433123a a b b b b ．121...nn a b b b ．∴211220...a b b b ．∵数列{}n b 为等比数列，∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ====.4．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅=．【答案】63 【解析】试题分析：令2=n ，得2433=⋅a a ；由等比数列的性质，得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .5．【高考全国2第17题】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.B 能力提升训练1． 【高考全国2卷第5题】等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 【答案】A2．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） A.14 B.12 C.12- D.12或12- 【答案】B3． 【高考原创预测卷（广东版）】已知等比数列()1nn c =-和等差21n b n =-,数列{}n a 的项由{}n b 和{}n c 中的项构成且11a b =,在数列{}n b 的第k 和第1k +项之间依次插入2k 个{}n c 中的项,即1122345634567894,c ,,,,,,,,,,,c ,,,b c b c c c c b c c c c c b ,记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S =；2014S =．【答案】16,1936则()16220416114162S H T -+-=+=+=,不妨设数列{}n a 的前项有1m +个{}n b 中的项,则有()22224622m m m m m +++++==+,则与()222120142201412014m m m m m m +++=⇒+=⇒+=的根最接近的正整数为43,m 44m ==,故数列{}n a 的前项有44个{}n b ,则44个{}n b 之间有243431892+=个{}n c ,共有1892441936+=,则还需要2014193678-=个{}n c ,故()19602201444189278114419362S H T +-+-=+=+=,所以填16,1936.4．下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为(i j i j i a ≥,、j ∈N )*,则83a 等于．…… 【答案】21 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(3)a a a =≠，nn n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，n *∈N ．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，n *∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,, 2.n n n e b n =⎧=⎨≥⎩设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成pt （,t p *∈N 且1,1>>p t ）的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1(3)2n n b a -=-⨯；（Ⅱ）a 的最小值为9-；（Ⅲ）没有“指数型和”．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意将原条件化简，得到12n n b b +=，进而利用等比数列的定义，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用1,2,n n n a S S n n *-=-≥∈N ，得到数列{}n a 的通项公式，进而得到关于a 的不等式，求得a 的最小值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到12n n b -=，再对p 按奇偶性进行分类讨论，进而得到结论．（Ⅲ）由（Ⅰ）当4a =时，12n n b -=当2n ≥时，13242n n C -=++++21n =+，13C =，所以对正整数n 都有21nn C =+．由21p n t =+，12p n t -=，（,t p *∈N 且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，221(1)(1)2p pp nt t t -=+-=，因为21p t +和21p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得212p gt +=，212p ht -=，222g h -=,2(21)2h g h --=，所以22h =且211g h --=1,2h g ⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，211(1)(1)p p t t t t t --=-++++，由于211p t t t -++++是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以21(1)(1)2p n t t t t --++++= 不成立，此时没有“指数型和”． C 思维拓展训练1．【新课程高三上学期第二次适应性测试】对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( )A ．4nB ．4n -C ．()21n n +D ．()21n n -+ 【答案】D2．已知数列{}n a 是正项等差数列，若12323123nn a a a na c n++++=+++，则数列{}n c 也为等差数列．已知数列{}n b 是正项等比数列，类比上述结论可得A ．若{}n d 满足12323123nn b b b nb d n ++++=+++，则{}n d 也是等比数列B ．若{}n d 满足12323123nn b b b nb d n⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列C ．若{}n d 满足112123[(2)(3)()]nn n d b b b nb +++=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列D ．若{}n d 满足12312123[]n nn n d b b b b +++=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列【答案】D 【解析】试题分析：根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方，nn b b b b 33221⋅⋅，原来的除法为开方，()nn nb b bb ++++⋅⋅ 321133221，故答案为D ．3.【赣州市六校度第一学期期末联考】已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x b x g x f =，且'()()()'()f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若{}n a 是正项等比数列，且()()4421248675g f a a a a a a =++，则86a a +等于. 【答案】41 4．在正项等比数列中，已知，若集合，则A 中元素个数为．【答案】4029 【解析】试题分析：设等比数列公比为的公比为q ，因为12014120151==<q a a a，所以12014120151==<q a a a ,201411,1,10-=∴><<q a q a ,11)11(11)1()111()()1()1()1(1121212211≤-----=+++-+++=-++-+-qq a q q a a a a a a a a a a a a a t t t t t t 即0)1)(1(4029≤----t tqq ，所以014029≤--t q ，解得4029≤t .5．．设m 个正数m a a a ,...,,21()*4,m m ≥∈N 依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k <∈N 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比{}n a 12121110,t t A ta a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭120115a a <={}n a数列．（1）若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； （2）若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）84m S =；（2）1033；（3）当且仅当6m =时，存在4k =满足等式．试题解析：解（1）依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， 高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
浙江省高三数学专题复习专题三数列模拟演练理
专题三 数 列经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．1202．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足a 4a 6＝14，a 7＝18，则S 4的值为( ) A ．15 B ．14 C ．12 D ．83．(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．(2015·效实中学二模)已知数列{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n .若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 的值为( )A ．26B ．27C ．28D ．295．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44B ．45C.13·(46－1) D.13·(45－1) 6．(2015·西安质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2 B.3n （n ＋1）2 C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2二、填空题7．(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________．8．(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S2 015的值为________．9．(2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{a n}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题10．(2015·长沙调研)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．11．(2015·桐乡高级中学模拟)已知数列{a n}与{b n}满足：a1＋a2＋a3＋…＋a n＝log2b n(n∈N*)，且数列{a n}为等差数列，a1＝2，b3＝64b2.(1)求a n与b n；(2)设c n＝(a n＋n＋1)·2a n－2，求数列{c n}的前n项和T n.12．(2015·杭州七校大联考)若{a n}是各项均不为零的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{b n}满足b n＝1a n·a n＋1，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a n和T n；(2)是否存在正整数m、n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．经典模拟·演练卷1．C [设数列{a n }的公差为d ，依题设知d >0，则a 3>a 1， ∵a 1＋a 2＋a 3＝15，则3a 2＝15，a 2＝5，从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.解之得a 1＝2，a 3＝8.所以公差d ＝a 3－a 12＝3.故a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋90＝105.] 2．A [设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，a n >0. 由于a 4a 6＝14，a 7＝18，则a 3＝a 4a 6a 7＝2，q 4＝a 7a 3＝116，所以q ＝12. 于是a 1＝a 3q2＝8.故S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.]3．B [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3＝a 1q 2＝2. ∴a 4a 6＝a 21q 8＝(a 1q 2)2·q 4＝4q 4＝16.则q 4＝4，故a 10－a 12a 6－a 8＝q 4（a 6－a 8）a 6－a 8＝q 4＝4.] 4．D [由等差数列的性质，a 9＝a 3＋6d .∴17＝5＋6d ，得d ＝2， 因此a m ＝a 3＋2(m －3)＝2m －1. 又数列{b n }的前n 项和S n ＝3n， ∴b 1＝S 1＝3，b 4＝S 4－S 3＝34－33＝54. 由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，则m ＝29.] 5．B [由a 1＝1，a 2＝3a 1，得a 2＝3， 又a n ＋1＝3S n ，知a n ＝3S n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)．因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3·4n －2（n ≥2）， 故S 6＝1＋3（1－45）1－4＝45.]6．B [当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3， 当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑nk ＝1a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2，选B.]7.634 [∵a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6， q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，从而q ＝2，可求a 1＝14.故S 6＝14（1－26）1－2＝634.]8．－2 015 [设数列{a n }的公差为d ，则S nn＝a 1＋n －12d .由S 1212－S 1010＝2，得⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋11d 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋9d 2＝2. 所以d ＝2，因此S 2 015＝2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝－2 015.]9．2n －1[根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1， 所以q >1且a 1＝1q －1， ∴a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝（q －1）2＋2（q －1）＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2（q －1）·1q －1＋2＝4， 当且仅当q ＝2时取得等号，因此a n ＝a 1q n －1＝q n －1q －1＝2n －1.]10．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .由于n ＝1时，a 1＝1适合上式， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2＋22＋23＋ (22)＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2.B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，故数列{b n }的前2n 项和T n ＝22n ＋1＋n －2.11．解 (1)由题设，得a 1＋a 2＋a 3＝log 2b 3，①a 1＋a 2＝log 2b 2，②①－②得，a 3＝log 2b 3b 2＝log 264＝6.又a 1＝2，所以公差d ＝2，因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n . 又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 2b n . 所以n （2＋2n ）2＝log 2b n ，故b n ＝2n (n ＋1)．(2)由题意，得c n ＝(3n ＋1)4n －1，则T n ＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n ＋1)·4n －1，③4T n ＝4·4＋7·42＋…＋(3n －2)·4n －1＋(3n ＋1)·4n，④由③－④，得－3T n ＝4＋3(4＋42＋…＋4n －1)－(3n ＋1)4n＝4＋3·4（1－4n －1）1－4－(3n ＋1)4n ＝－3n ·4n，所以T n ＝n ·4n (n ∈N *)．12．解 (1)∵a 2n ＝S 2n －1(n ∈N *)，a n ≠0. 令n ＝1，得a 1＝1；令n ＝2，得a 2＝3， ∴等差数列{a n }的公差d ＝2.从而a n ＝2n －1，b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，于是T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. (2)假设存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13·n 2n ＋1，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2>0，∴－2m2＋4m＋1>0，解得1－62<m<1＋62，由于m∈N*，m>1，得m＝2，此时n＝12.故存在正整数m，n，当且仅当m＝2，n＝12时，满足T1，T m，T n成等比数列．。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明 ＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。
2020年全国各地高考模拟试题《数列》解答题汇编(含答案解析)
全国各地高考模拟试题《数列》解答题汇编（含答案解析）1．（2019•河北模拟）已知数列{a n}满足a1＝2且a n+1＝3a n+2n﹣1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）求数列{a n}的前n项和Sn．2．（2019•怀化三模）设公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，，数列{b n}的前n项和为T n，且，．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝（S n+1）（1﹣λ﹣T n﹣1），定义T0＝0，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．3．（2019•天津三模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且a1a3＝36，a3+a4＝9（a1+a2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}及数列{a n b n}的前n项和T n．（3）设，求{c n}的前n项和P n．4．（2019•上城区校级模拟）已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n＝log2a n，且a4＝b5＝1．设S n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式及S n；（2）若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．5．（2019•6月份模拟）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．6．（2019•江西模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2＝15，S5＝65．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝S n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和R n．7．（2019•滨海新区模拟）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝3，b4＝a3﹣a1，S9＝b8+17．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n b2n}的前n项和T n．8．（2019•滨海新区模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，，设b n＝a n﹣2．（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）设，求{c n}的前n项和T n，若对于任意n∈N*，λ≥T n恒成立，求λ的取值范围．9．（2019•山东模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足关于x的不等式的解集为（1，2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．10．（2019•河南模拟）已知数列{a n}满足2（n+1）a n﹣na n+1＝0，a1＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和．11．（2019•栖霞市模拟）已知等差数列{a n}满足a3＝2a2﹣1，a4＝7，等比数列{b n}满足b3+b5＝2（b2+b4），且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和为S n，若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和为T n．12．（2019•葫芦岛二模）已知数列{a n}是公比为{b n}的正项等比数列，{b n}是公差d为负数的等差数列，满足，b1+b2+b3＝21，b1b2b3＝315．（1）求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式；（2）求数列{|b n|}的前10项和S1013．（2019•合肥三模）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．14．（2019•柯城区校级一模）数列{a n}中，a1＝1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且（k∈N*），求使S2n取最小值时n的值．15．（2019•四川模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n﹣1}的前n项和T n．16．（2019•黄州区校级模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5＝a8，S5＝25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．17．（2019•河南模拟）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d＝﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{（﹣1）n a n}的前n项和，求T n18．（2019•博望区校级模拟）已知数列{a n}满足：a1＝1，，数列{a n}的前n项和为S n．（1）求S2n；（2）若数列，求数列{b n}前n项和T n．19．（2019•聊城三模）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（2019•东莞市模拟）设{a n}是单调递增的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝13，且a1+3，3a2，a3+5构成等差数列．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ．使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（2019•朝阳四模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3＝12，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．22．（2019•临川区校级模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知对于n∈N*，不等式恒成立，求实数M的最小值；23．（2019•黄浦区校级三模）设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．24．（2019•双流区校级一模）已知S n为等比数列{a n}的前n项和，其公比为q，且S n，S n+1，S n+2成等差数列．（1）求q的值；（2）若数列{b n}为递增数列，b1＝q，且，又，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．25．（2019•丹东二模）数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．26．（2019•鼓楼区校级模拟）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝λn+1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求λ的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n．27．（2019•临川区校级模拟）已知数列{a n}中，a1＝m，且a n+1＝3a n+2n﹣1，b n＝a n+n（n∈N）．（1）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（2）当m＝2时，求数列{（﹣1）n a n}的前2020项和S2020．28．（2019•淄博三模）在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．29．（2019•袁州区校级模拟）数列{a n}为正项数列，S n是其前n项和，a1＝2，且对∀n∈N*，都有（S n+1﹣S n）（a n+1﹣a n）＝2a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．30．（2019•徐州模拟）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．（1）若d1＝2，求a2，a3的值；（2）若d k＝2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）；（3）若对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．设q1≠1，证明数列是等差数列．31．（2019•临沂三模）已知数列{a n}满足．（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．32．（2019•淄博模拟）已知等比数列{a n}的前n项和为成等差数列，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝﹣（n+2）log2|a n|，求数列的前n项和T n．33．（2019•上虞区校级模拟）已知数列{a n}中，a1＝4，其前n项和S n满足：S n＝a n+1+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，数列{b n2}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜．34．（2019•湖南模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为，公差d＞0，S1、S4、S16成等比数列，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）已知，求数列{c n+b n}的前n项和T n⋅35．（2019•新余二模）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，证明：．36．（2019•合肥三模）已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4＝6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．37．（2019•东湖区校级三模）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝a n a n+2（n∈N*），T n＝b1+b2+…+b n，求证：．38．（2019•镜湖区校级模拟）已知数列{a n}为递增等差数列，且a2＝2，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n．39．（2019•盐城模拟）已知数列{a n}满足a n＝（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明：对任意的正整数n（n≥3），0.6＜a n＜0.7．40．（2019•上海模拟）数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：{a n}中存在具有性质P的项；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．参考答案与试题解析1．（2019•河北模拟）已知数列{a n}满足a1＝2且a n+1＝3a n+2n﹣1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）求数列{a n}的前n项和Sn．【分析】（1）将等式同时加n+1，结合等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得所求；（3）求得a n＝3n﹣n，由数列的分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝2且a n+1＝3a n+2n﹣1，可得a n+1+n+1＝3a n+3n＝3（a n+n），可得数列{a n+n}为首项为3，公比为3的等比数列；（2）a n+n＝3n，即a n＝3n﹣n；（3）S n＝（3+9+…+3n）﹣（1+2+…+n）＝﹣n（n+1）＝（3n﹣1）﹣﹣n（n+1）．2．（2019•怀化三模）设公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，，数列{b n}的前n项和为T n，且，．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝（S n+1）（1﹣λ﹣T n﹣1），定义T0＝0，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）由，求出q，然后求解．利用累积法求解{b n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，求出，若数列{c n}是单调递减数列，则对n∈N*都成立，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即2q2﹣5q+2＝0，∴q＝2或（舍），所以．又＝，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，从而，若数列{c n}是单调递减数列，则对n∈N*都成立，即，，可得当n＝1或n＝2时，，所以．3．（2019•天津三模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且a1a3＝36，a3+a4＝9（a1+a2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}及数列{a n b n}的前n项和T n．（3）设，求{c n}的前n项和P n．【分析】（1）由及a n＞0可得q的值，由a1a3＝36可得a1的值，可得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得S n，由可得b n＝n，可得a n b n＝2n×3n﹣1，由列项相消法可得T n的值；（3）可得，可得P n的值．【解答】解：（1）由题意得：a3+a4＝9（a1+a2），可得，q2＝9，由a n＞0，可得q＝3，由a1a3＝36，可得，可得a1＝2，可得；（2）由，可得，由，可得，可得b n＝n，可得{a n b n}的通项公式：a n b n＝2n×3n﹣1，可得：①﹣②得：＝2+3n﹣3﹣2n×3n＝（1﹣2n）×3n﹣1，可得；（3）由可得，可得：P n＝＝＝．4．（2019•上城区校级模拟）已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n＝log2a n，且a4＝b5＝1．设S n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式及S n；（2）若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．【分析】（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得所求；（2）讨论n≤7，n≥8，结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．【解答】解：（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，数列{b n}满足b n＝log2a n，且a4＝b5＝1．可得a5＝2，q＝＝2，a n＝a4q n﹣4＝2n﹣4；b n＝log2a n＝log22n﹣4＝n﹣4；（2）S n＝n（﹣3+n﹣4）＝n（n﹣7），＝|n﹣7|•2n﹣5，n≤7时，T n＝++…+（7﹣n）•2n﹣5，2T n＝++…+（7﹣n）•2n﹣4，相减可得﹣T n＝﹣﹣…﹣2n﹣5﹣（7﹣n）•2n﹣4＝﹣﹣（7﹣n）•2n﹣4，化简可得T n＝（8﹣n）•2n﹣4﹣；n≥8，前n项和T n＝+++++2+0+1•23+2•24+…+（n﹣7）•2n﹣5＝+1•23+2•24+…+（n﹣7）•2n﹣5，2T n＝15+1•24+2•25+…+（n﹣7）•2n﹣4，相减可得﹣T n＝+24+…+2n﹣5﹣（n﹣7）•2n﹣4＝+﹣（n﹣7）•2n﹣4，化简可得T n＝+（n﹣8）•2n﹣4，则T n＝．5．（2019•6月份模拟）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）因为数列{a n}，{b n}是等差数列，且A2＝3，A5＝B3，所以2a1+d＝3，5a1+10d＝9+6d．解得a1＝d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）•d＝n，即a n＝n，b n＝b1+（n﹣1）•2d＝2n+1，即b n＝2n+1．综上a n＝n，b n＝2n+1．（2）证明：由（1）得，所以，即．6．（2019•江西模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2＝15，S5＝65．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝S n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和R n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；（Ⅱ）运用等差数列的求和公式，求得b n，讨论数列的符号，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由a2＝15，S5＝65．得a1+d＝15，5a1+10d＝65，解得a1＝17，d＝﹣2，故a n＝17﹣2（n﹣1）＝﹣2n+19；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，易知，当1≤n≤9时，b n＞0；当n≥10时，b n＜0，∴1°当1≤n≤9时，2°当n≥10时，R n＝|b1|+|b2|+…+|b n|＝b1+b2+…+b9﹣（b10+b11+…+b n）＝．故．7．（2019•滨海新区模拟）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝3，b4＝a3﹣a1，S9＝b8+17．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n b2n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设公比为q，公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公设求和公式，解方程可得所求；（Ⅱ）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）{b n}是首项为的等比数列，且公比q大于0，，即（q+q2）＝3，解得q＝2或﹣3（舍），{a n}为公差为d的等差数列，由b4＝a3﹣a1，可得2d＝4，即d＝2，又S9＝17+b8，可得9a5＝17+64＝81，即a1+8＝9，即a1＝1，即有a n＝2n﹣1，b n＝2n﹣2；（Ⅱ），，，＝，化简可得．8．（2019•滨海新区模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，，设b n＝a n﹣2．（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）设，求{c n}的前n项和T n，若对于任意n∈N*，λ≥T n恒成立，求λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式，以及数列的并项求和，对n讨论奇数或偶数，以及恒成立思想，可得所求范围．【解答】（Ⅰ）证明：，当n＝1时，a1＝S1＝a2﹣6，a2＝14，当n≥2，n∈N*时，S n＝a n+1+2n﹣8，S n﹣1＝a n+2n﹣10，相减可得a n+1＝2a n﹣2，即a n+1﹣2＝2（a n﹣2），即，又，可得{b n}是首项b1＝6，公比为2的等比数列；（Ⅱ）解：由（1）知，即，所以＝，，∴，当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值，则．当n为奇数时，是递增的，此时，则．综上，λ的取值范围是．9．（2019•山东模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足关于x的不等式的解集为（1，2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用不等式的解集．转化求解数列的首项与公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）依题意可得：设等差数列{a n}的首项a1，公差为d，关于x的不等式的解集为（1，2）．则得a1＝d；又，∴a1＝1，d＝1，∴a n＝n．（2）由题意可得a2n＝2n，，所以，∴．10．（2019•河南模拟）已知数列{a n}满足2（n+1）a n﹣na n+1＝0，a1＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和．【分析】（1）说明数列是以为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）设数列{a n}的前n项和为T n，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由2（n+1）a n﹣na n+1＝0得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以．（2）设数列{a n}的前n项和为T n，则①，②，②﹣①得，＝＝4+（n﹣1）•2n+2．11．（2019•栖霞市模拟）已知等差数列{a n}满足a3＝2a2﹣1，a4＝7，等比数列{b n}满足b3+b5＝2（b2+b4），且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和为S n，若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和为T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，解得a1＝1，d＝2，即可求出通项公式，再根据等比数列{b n}满足b3+b5＝2（b2+b4），可得b2q+b2q3＝2（b2+b2q2），求出公比，再根据．可得b2＝2b12＝b1q，即可求出首项，可得通项公式，（2）根据数列的递推公式可得c n＝a n b n＝（2n﹣1）2n﹣1，再根据错位相减法即可求出前n项和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足a3＝2a2﹣1，a4＝7，可得，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∵等比数列{b n}满足b3+b5＝2（b2+b4），∴b2q+b2q3＝2（b2+b2q2），即q+q3＝2（1+q2），∴q＝2，∵．∴b2＝2b12＝b1q，∴b1＝1∴b n＝2n﹣1，（2）由（1）可得S n＝＝n2，∴++…+＝S n，∴++…+＝S n﹣1，两式相减可得＝S n﹣S n﹣1＝a n，∴c n＝a n b n＝（2n﹣1）2n﹣1，∴T n＝1×20+3×21+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣1，∴2T n＝1×21+3×22+3×23+…+（2n﹣1）2n，两式相减可得﹣T n＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n＝1+2×﹣（2n ﹣1）2n＝1﹣4+2n+1﹣（2n﹣1）2n＝﹣3+（3﹣2n）2n，∴T n＝3+（2n﹣3）2n．12．（2019•葫芦岛二模）已知数列{a n}是公比为{b n}的正项等比数列，{b n}是公差d为负数的等差数列，满足，b1+b2+b3＝21，b1b2b3＝315．（1）求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式；（2）求数列{|b n|}的前10项和S10【分析】（1）由已知结合等差数列{b n}的性质列式求得b2与公差，则数列{b n}的通项公式可求，再由等比数列的性质及求得数列{a n}的公比q；（2）设{b n}的前n项和为T n；令b n≥0，即11﹣2n≥0，得n≤5，求得S5，再求出|b6|+|b7|+……+|b10|的值，则答案可求．【解答】解：（1）∵{b n}是公差d为负数的等差数列，且b1+b2+b3＝21，得3b2＝21，则b2＝7．又b1b2b3＝315，∴（b2﹣d）b2（b2+d）＝7（7﹣d）（7+d）＝343﹣7d2＝315，解得：d＝﹣2或2（舍），于是，又{a n}是公比为q的等比数列，故，∴2q2+q﹣1＝0，q＝﹣1（舍）或，∴q＝，b n＝b2+（n﹣2）d＝7﹣2（n﹣2）＝11﹣2n；（2）设{b n}的前n项和为T n；令b n≥0，即11﹣2n≥0，得n≤5，于是，，当n≥6时，b n＜0，|b6|+|b7|+……+|b10|＝﹣b6﹣b7﹣……﹣b10＝﹣（b6+b7+……+b10）＝﹣（T10﹣T5）＝﹣（0﹣25）＝25．∴S10＝50．13．（2019•合肥三模）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义结合a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），b n＝a n+2n+3．得出数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）数列{a n}是“等比﹣等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n＝1时，a1＝1，故b1＝6．当n≥2时，a n＝2a n﹣1+2n﹣1，则b n＝a n+2n+3＝2（a n﹣1+2n﹣1+2n+3＝2[a n﹣1+2（n﹣1）+3]，∴b n＝2b n﹣1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝3×2n，∴a n＝b n﹣2n﹣3＝3×2n﹣2n﹣3，∴S n＝3×（2+22+……+2n）﹣[5+7+……+（2n+3）]＝3×﹣＝3×2n+1﹣n2﹣4n﹣6．14．（2019•柯城区校级一模）数列{a n}中，a1＝1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且（k∈N*），求使S2n取最小值时n的值．【分析】（I）数列{a n}中，a1＝1，．可得a2•a1＝2，解得a2＝2，a n+2•a n+1＝2n+1，可得：＝2．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．即可得出a n．（II）由（k∈N*），n＝2k﹣1时，b n＝b2k﹣1＝＝，n＝2k﹣1时，b n＝b2k＝﹣，可得S2n．通过S2n+2﹣S2n，可得其单调性．【解答】解：（I）数列{a n}中，a1＝1，．∴a2•a1＝2，解得a2＝2，a n+2•a n+1＝2n+1，可得：＝2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．∴a2k﹣1＝2k﹣1，a2k＝2k．∴a n＝，k∈N*．（II）由（k∈N*），n＝2k﹣1时，b n＝b2k﹣1＝＝，n＝2k﹣1时，b n＝b2k＝﹣，S2n＝（+﹣+﹣+……+﹣+﹣）﹣（+……+）＝（﹣﹣）﹣＝（﹣﹣）﹣1+．＝﹣（+）﹣．∴S2n+2﹣S2n＝﹣（+）﹣+（+）＝（+﹣﹣）﹣．n＝1时，S4﹣S2＝﹣＜0，n＝2时，S6﹣S4＝（﹣﹣）﹣＜0．n＝3时，S8﹣S6＝（+﹣﹣）﹣＜0．n＝4时，S8﹣S6＝（+﹣﹣）﹣＜0．n＝5时，S10﹣S8＝（+﹣﹣）﹣＜0．n＝6时，S12﹣S10＝（+﹣﹣）﹣＞0．n≥6时，S2n+2＞S2n．可得：n＝5时，S2n取得最小值．15．（2019•四川模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n﹣1}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式，转化证明数列为等比数列；（Ⅱ）判断数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比数列的求和公式求解数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）2S n＝﹣a n+n，当n≥2时，2S n﹣1＝﹣a n﹣1+n﹣1，两式相减，得2a n＝﹣a n+a n﹣1+1，即．∴，所以数列为等比数列．（Ⅱ）由2S1＝﹣a1+1，得．由（Ⅰ）知，数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，∴，∴，∴＝．16．（2019•黄州区校级模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5＝a8，S5＝25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列的通项公式以及数列的和，列出方程求出数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：（1）设公差为d，则由2a2+a5＝a8，S5＝25得，，解得，所以a n＝2n﹣1．（2），，易知T n随着n的增大而增大，所以．17．（2019•河南模拟）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d＝﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{（﹣1）n a n}的前n项和，求T n【分析】（Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式列式可得；（Ⅱ）分n为奇数和偶数两种情况讨论．【解答】解：（Ⅰ）由题意得a32＝a1a4，即（a1+2d）2＝a1（a1+3d），代入d＝﹣2，解得a1＝8，所以a n＝10﹣2n．（Ⅱ）T n＝﹣a1+a2﹣a3+a4+…+（﹣1）n a n，当n为偶数时，设n＝2k，记c k＝（﹣1）2k a2k+（﹣1）2k﹣1a2k﹣1＝a2k﹣a2k﹣1＝﹣2，T n＝T2k＝c1+c2+…+c k＝﹣2k＝﹣n，当n为奇数时，设n＝2k﹣1，T n＝T2k﹣a2k＝﹣2k﹣（10﹣4k）＝2k﹣10＝n﹣9，综上，T n．18．（2019•博望区校级模拟）已知数列{a n}满足：a1＝1，，数列{a n}的前n项和为S n．（1）求S2n；（2）若数列，求数列{b n}前n项和T n．【分析】（1）推出a2n﹣1+a2n＝4n﹣3，通过S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n），利用等差数列求和公式求解即可．（2）由，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由已知的a2＝0⇒a1+a2＝1，a2n﹣1+a2n＝2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，故S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝．（2）由，可得，，由错位相减法得：．19．（2019•聊城三模）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．20．（2019•东莞市模拟）设{a n}是单调递增的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝13，且a1+3，3a2，a3+5构成等差数列．（1）求a n及S n；（2）是否存在常数λ．使得数列{S n+λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意列式求解a2及公比，则等比数列的通项公式与前n项和可求；（2）假设存在常数λ．使得数列{S n+λ}是等比数列，由前三项成等比数列列式求得λ，代入后证明为常数即可．【解答】解：（1）由题意得，∴a2＝3，a1+a3＝10，得，解得q＝3或（舍）．∴，；（2）假设存在常数λ．使得数列{S n+λ}是等比数列，∵S1+λ＝1+λ，S2+λ＝4+λ，S3+λ＝13+λ，∴（4+λ）2＝（1+λ）•（13+λ），解得，此时，∴（n≥2），∴存在常数．使得数列是首项为，公比为3等比数列．21．（2019•朝阳四模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3＝12，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式和求和公式；（2）求得数列{b n}的通项公式，由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，满足S3＝12，且a1，a2，a4成等比数列．可得3a1+3d＝12，a22＝a1a4，即为（a1+d）2＝a1（a1+3d），解得a1＝4，d＝0；a1＝d＝2，则a n＝4，S n＝4n；a n＝2n，S n＝n2+n；（2）＝64；或＝（n+1）•4n，T n＝64n；或T n＝2•41+3•42+…+（n+1）•4n，4T n＝2•42+3•43+…+（n+1）•4n+1，相减可得﹣3T n＝8+42+…+4n﹣（n+1）•4n+1＝8+﹣（n+1）•4n+1，化简可得T n＝．可得T n＝64n或T n＝．22．（2019•临川区校级模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知对于n∈N*，不等式恒成立，求实数M的最小值；【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得S n＝n（1+）＝，＝（﹣），由数列的裂项相消求和和不等式恒成立思想，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足．可得2S1+1＝2a12+a1＝2a1+1，解得a1＝1；n≥2时，2S n﹣1+1＝2a n﹣12+a n﹣1，又2S n+1＝2a n2+a n，相减可得2a n＝2a n2+a n﹣2a n﹣12﹣a n﹣1，化为a n+a n﹣1＝2（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1），由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝，可得数列{a n}为等差数列，且a n＝1+（n﹣1）＝；（Ⅱ）S n＝n（1+）＝，＝（﹣），可得+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）＝（1++﹣﹣﹣）＝﹣（++）＜，对于n∈N*，不等式恒成立，可得M≥．可得M的最小值为．23．（2019•黄浦区校级三模）设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．【分析】（1）由题意可得{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，求得公比q，由等比数列的求和公式，可得所求极限；（2）由题意可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，分别求得通项公式，由求和公式可得所求和；（3）由题意可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．运用等比数列的性质和定义，结合新定义即可得证．【解答】解：（1）若{a n}是“D1型”数列，可得a m、a m+1、a m+2成等比数列，即有{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，且，可得q2＝，即q＝，则＝＝＝2；（2）若{a n}是“D2型”数列，可得a m、a m+2、a m+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，a n＝1；当n为偶数时，a n＝2，当n为偶数时，前n项和S n＝+＝2﹣1+；当n为奇数时，前n项和S n＝+2﹣1；（3）证明：{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．从而当m≥4时，a m2＝a m﹣3a m+3＝a m﹣1a m+1．所以当n≥4时，a m2＝a m﹣1a m+1，即＝，即＝．当n≥4时，设q＝．当1≤m≤3时，m+3≥4，从而由（*）式知a m+32＝a m a m+6，故a m+42＝a m+1a m+7，从而＝•＝q2，因此＝q对任意n≥1都成立．故数列{a n}为等比数列．24．（2019•双流区校级一模）已知S n为等比数列{a n}的前n项和，其公比为q，且S n，S n+1，S n+2成等差数列．（1）求q的值；（2）若数列{b n}为递增数列，b1＝q，且，又，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义，可得公比q；（2）由题意可得，由等差数列的定义和通项公式，可得b n，又，运用裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：（1）S n，S n+1，S n+2成等差数列，可得2S n+1＝S n+S n+2⇒S n+1﹣S n＝S n+2﹣S n+1⇒a n+1＝a n+2，可得q＝1；（2）由，数列{b n}为递增数列，可得，∴，∴，又，∴．25．（2019•丹东二模）数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）可以采用累和法进行求解，利用等差数列的前n项和公式，可以求出数列{a n}的通项公式；（2）由b n＝＝（﹣），可以采用裂项相消法求出数列{b n}的前n 项和．【解答】解：（1）因为a n+1＝a n+2n+1，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝1+3+5+…+2n﹣1＝n（1+2n﹣1）＝n2，所以{a n}的通项公式为a n＝n2；（2）因为b n＝＝（﹣），所以数列{b n}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．26．（2019•鼓楼区校级模拟）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝λn+1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求λ的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）根据数列递推关系，结合等比数列的性质建立方程进行求解即可．（2）根据数列递推关系，结合n的奇偶性进行分类求解即可．【解答】解：（1）易得a2＝λ，a3＝λ+1，a4＝2λ…（2分）∵a1，a2，a4成等比数列，∴，∴λ2＝1•2λ，∴λ＝2或λ＝0（舍去）∴λ＝2…（4分）（2）方法一：∵λ＝2，∴a n+a n+1＝2n+1…（5分），n为偶数时，S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝3+7+11+…+（2n﹣1）＝…（8分）n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+5+9+13+…+（2n﹣1）＝…（11分）综上，{a n}的前n项和．…（12分）方法二：∵λ＝2，∴a n+a n+1＝2n+1由，得，a n+2﹣a n＝2…（6分）n为奇数时，…（8分）n为偶数时，…（10分）∴a n＝n…（11分）∴…（12分）方法三：∵λ＝2，∴a n+a n+1＝2n+1，∴a n+1﹣（n+1）+a n﹣n＝0…（7分）设b n＝a n﹣n∴b n+1+b n＝0∴b n+1＝﹣b n，∵b1＝a1﹣1＝0，∴b n＝0，∴a n＝n…（10分）∴…（12分）27．（2019•临川区校级模拟）已知数列{a n}中，a1＝m，且a n+1＝3a n+2n﹣1，b n＝a n+n（n∈N）．（1）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（2）当m＝2时，求数列{（﹣1）n a n}的前2020项和S2020．【分析】（1）由a n+1＝3a n+2n﹣1，得b n+1＝3（a n+n）＝3b n，当m＝﹣1时，b1＝0，故数列{b n}不是等比数列；当m≠﹣1时，数列{b n}是等比数列，其首项为b1＝m+1≠0，公比为3．（2）由（1）且当m＝2时，有，求得，然后利用数列的分组求和求数列{（﹣1）n a n}的前2020项和S2020．【解答】解：（1）∵a n+1＝3a n+2n﹣1，∴b n+1＝a n+1+（n+1）＝（3a n+2n﹣1）+（n+1）＝3（a n+n）＝3b n，①当m＝﹣1时，b1＝0，故数列{b n}不是等比数列；②当m≠﹣1时，数列{b n}是等比数列，其首项为b1＝m+1≠0，公比为3．（2）由（1）且当m＝2时，有：，即，∴，∴﹣[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣2019+2020）] ＝﹣1010＝．28．（2019•淄博三模）在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．【分析】（1）公差d不为0的等差数列{a n}，由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）运用数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，可得a32＝a1a9，a3＝a1a3，可得（a1+2d）2＝a1（a1+8d），a1＝1，化简可得a1＝d＝1，即有a n＝n，n∈N*；（2）由（1）可得b n＝，k∈N*；前2n项和T2n＝（2+8+16+…+22n﹣1）+（4+8+12+…+4n）＝+n（4+4n）＝+2n（n+1）．29．（2019•袁州区校级模拟）数列{a n}为正项数列，S n是其前n项和，a1＝2，且对∀n∈N*，都有（S n+1﹣S n）（a n+1﹣a n）＝2a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）化简可得b n＝＝n+﹣，由分组求和和等比数列的求和公式、裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：（1）由（S n+1﹣S n）（a n+1﹣a n）＝2a．知a n+1（a n+1﹣a n）＝2a．即为a n+12﹣a n+﹣a n﹣2a＝0，即为（a n+1﹣2a n）（a n+1+a n）＝0数列{a n}为正项数列，可得a n+1＝2a n，可得{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n＝2n；（2）b n＝＝＝n+﹣，前n项和T n＝（1+2+…+n）+（1﹣+﹣+…+﹣）＝n（n+1）+1﹣．30．（2019•徐州模拟）在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．（1）若d1＝2，求a2，a3的值；（2）若d k＝2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）；（3）若对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．设q1≠1，证明数列是等差数列．【分析】（1）由等差数列的定义，可得所求值；（2）由等差数列的定义可得a2k+1﹣a2k﹣1＝4k，由数列的恒等式可得a2k+1＝2k（k+1），a2k＝a2k+1﹣2k＝2k2，a2k+2＝2（k+1）2，运用等比数列的性质即可得证；（3）由等差数列和等比数列的定义和性质，即可得证．【解答】解：（1）a1＝0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．d1＝2，可得a1，a2，a3成等差数列，a2＝a1+2＝2；a3＝a1+4＝4；（2）证明：a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．可得a2k+1﹣a2k﹣1＝4k，即有a3﹣a1＝4，a5﹣a3＝8，…，a2k+1﹣a2k﹣1＝4k，累加可得a2k+1﹣a1＝4+8+…+4k＝k（4+4k）＝2k（k+1），可得a2k+1＝2k（k+1），a2k＝a2k+1﹣2k＝2k2，a2k+2＝2（k+1）2，则＝＝，可得d k＝2k时，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）；（3）证明：对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，可得2a2k＝a2k﹣1+a2k+1，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．即有2＝+＝+q k．q1≠1可得q k≠1，＝＝1+，即﹣＝1，k≥2，可得数列是公差为1的等差数列．31．（2019•临沂三模）已知数列{a n}满足．（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．【分析】（1）在等式的两端同时加2n+1，运用等差数列的定义，即可得到结论；（2）求得a n＝2n+1﹣2n，再由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足．可得a n+1+2n+1＝a n+2n+2，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列；（2）a n+2n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，可得a n＝2n+1﹣2n，S n＝（3+5+…+2n+1）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（2n+4）﹣＝n2+2n﹣2n+1+2．32．（2019•淄博模拟）已知等比数列{a n}的前n项和为成等差数列，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝﹣（n+2）log2|a n|，求数列的前n项和T n．【分析】（1）等比数列{a n}的公比为q，q≠1，由等差数列中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝﹣（n+2）log2|a n|＝﹣（n+2）log2＝n（n+2），得＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比为q，q≠1，前n项和为成等差数列，可得2S3＝4S4﹣2S2，即为2•＝4•﹣2•，化为2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣，，即为﹣a1+2•a1﹣a1＝，解得a1＝﹣，则a n＝（﹣）n，n∈N*；（2）b n＝﹣（n+2）log2|a n|＝﹣（n+2）log2＝n（n+2），可得＝＝（﹣），即有前n项和T n＝（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）．33．（2019•上虞区校级模拟）已知数列{a n}中，a1＝4，其前n项和S n满足：S n＝a n+1+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，数列{b n2}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜．【分析】（Ⅰ）由S n＝a n+1+n，得a n+1﹣1＝2（a n﹣1）（n≥2），由等比数列的通项公式求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由于b n＝，得，（n≥2），可得当k≥2时，＜，然后利用裂项相消法证明对于任意的n∈N*，都有T n＜．【解答】（Ⅰ）解：由S n＝a n+1+n，于是，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1+n﹣a n﹣（n﹣1），∴a n+1＝2a n﹣1，则a n+1﹣1＝2（a n﹣1）（n≥2），又a1＝S1＝a2+1，a1＝4，∴a2＝3，∴，∴（n≥2）．综上，数列{a n}的通项；（Ⅱ）证明：由于b n＝，得，（n≥2），则当k≥2时，有＜，∴当n≥2时，有＜＝＜．又n＝1时，．∴对于任意的n∈N*，都有T n＜．34．（2019•湖南模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为，公差d＞0，S1、S4、S16成等比数列，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）已知，求数列{c n+b n}的前n项和T n⋅【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，（2）利用分类讨论思想和裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为，公差d＞0，所以：S1＝a1，S4＝4a1+6d，S16＝16a1+120d，由于S1、S4、S16成等比数列，所以：，解得：d＝2a1由于，解得：．所以：d＝2．则：a n＝2n﹣1．又，整理得：（x＞0）．（2）由于：，所以：，所以：当x＝1时，，＝，当x≠1时，，＝．35．（2019•新余二模）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，证明：．【分析】（1）由题意，根据等差数列的求和公式和等比中项公式，列出方程组，求得a1，d的值，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）利用等差数列的求和公式，求得，进而得到，利用裂项法，即可求解．【解答】解：（1）由a1，a3，a11成等比数列，得，即，又d≠0，解得a1＝2，d＝3，所以a1＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．（2）证明：，，．36．（2019•合肥三模）已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4＝6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列{a n}的通项公式．（2）用错位相减法求和．【解答】解：（1）由a3+a4＝6a5，得6q2﹣q﹣1＝0，解得或．∵数列{a n}为递减数列，且首项为1，∴．∴．（2）∵，∴．两式相减得＝＝，∴．37．（2019•东湖区校级三模）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝a n a n+2（n∈N*），T n＝b1+b2+…+b n，求证：．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝n①，当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝n﹣1②，①﹣②得：，当n＝1时，a1＝1（首项符合通项），故：．（2）由于：，所以：b n＝a n a n+2＝，所以：，＝．38．（2019•镜湖区校级模拟）已知数列{a n}为递增等差数列，且a2＝2，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用放缩法和裂项相消法求出数列的和．【解答】解（Ⅰ）数列{a n}为递增等差数列，设数列的公差为d，则：，解得：d＝1，故：a n＝n．数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝2n﹣1，①则：当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝2（n﹣1）﹣1②，①﹣②得：a n b n＝2，所以：（首相不符合通项）．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节 等比数列及其前n项和
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节 等比数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题】已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82.【宿州高三第一次教学质量检测数学】已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，*n N ∈则10S 的值为 （ ） A.110 B.90 C.90 D.1103. 【海淀区高三年纪第二学期其中练习】在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．485. 【改编题】函数21(3)y x =--图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（ ） A ．21B ．2C ．1D ．336. 【高考天津卷卷第5题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（）A.2B.2C.21 D .12- 7. 【衡水中学高三上学期第五次调研考试】已知(1)log (2)n n a n +=+*()n N ∈．我们把使乘积123n a a a a •••为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,)内的所有优数的和为( )A ．1024B ．C ．2026D ．20488. 【嘉兴市高三3月教学测试（一）】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列一定成立的是( ) A.若30a >,则20130a < B.若40a >,则20140a < C.若30a >,则20130S > D.若40a >.则20140S >9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ） A.3 B.4C.5 D.610.【九江市都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中高三七校联考】数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且,24=a 已知函数x x f 21log )(=，则()()=+++373231)(a f a f a f （ ） A 、﹣6 B 、﹣21 C 、﹣12D 、2111．若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为“等比和数列”，k 称为公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11a =，22a =，则2015a = （ ）A. 1B. 2C. 10062D. 10072 已知等差数列的公差，且成等比数列，若是数列的前项的和，则的最小值为 （ ）A ．4B ．3C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 【改编题】设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若,13221=+a a 433a a =，则=+n n a S 2．14. 【改编题】已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为.15. 【高考安徽卷第12题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设92232-*216()3n n S n N a +∈+n {}n a 11,na S =1313,,a a a 0d ≠{}n a1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.16．已知{}n a 满足()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 【高考福建卷第17题】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T19．各项为正的数列{}n a 满足112a =,21,()n n n a a a n λ*+=+∈N ， （1）取1n a λ+=，求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求其公比； （2）取2λ=时令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2021年高考数学三轮专项模拟试卷 理（数列推理与证明）（含解析）新人教A版(1)
数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分，考试时刻120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，那么M∩N等于( ) A．[0，＋∞)B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]【解析】由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，因此M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，因此N＝{x|x＞1}，因此M∩N＝{x|x＞1}，应选C.【答案】C2．若是命题“綈(p∧q)”是真命题，那么( )A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中最多有一个是真命题【解析】命题“綈(p∧q)”是真命题，那么命题“p∧q”是假命题，那么命题p、q中最多有一个是真命题，应选D.【答案】D3．(2021·宁波模拟)等差数列{a n}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得a n＞0的最小正整数n为( )A．7 B．8C．9 D．10【解析】 由S 13＝13a 1＋a 132＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，因此a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 B4．(2021·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )B ．－13D ．－19【解析】 设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，应选C.【答案】 C5．以下函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，应选C. 【答案】 C6．(2021·大纲全国卷)已知数列{a n }知足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，那么{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) (1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.因此S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( )A ．48B ．32C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D8．已知f (x )＝12 013＋log 2x1－x ，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014的值为( ) A ．1B ．2C ．2 013D ．2 014【解析】 对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014 则S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 1022 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014 于是2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014] ＝22 013×2 013＝2，因此S ＝1. 【答案】 A 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255，55，那么sin 2α的值为________．【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－255， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＝－45.【答案】 －4510．(2021·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，那么S 15等于________．【解析】 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起组成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2021·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，那么a 2 013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，因此a 3＝4,4×7＝28，因此a 4＝8,4×8＝32，因此a 5＝2,2×8＝16，因此a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，因此从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，因此a 2 013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x ≤2π)的图象围成的封锁图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，那么所求面积为S ＝∫2π0[]2－cos x ＋1d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π. 【答案】 2π13．(2021·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，假设a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，那么角B ＝________.【解析】 由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝32，因此A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ， 即sin(A ＋B )＝sin 2C ， 因此sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°， 因此sin C ＝1， 即C ＝90°， 因此B ＝60°. 【答案】 60°14．(2021·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －2×2n2＝n 2－2n ＋3.【答案】 n 2－2n ＋315．(2021·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次组成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，那么n ＝________.【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，因此a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)(2021·安徽高考)设数列{a n }知足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 知足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1， 因此a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12n1－12＝n 2＋3n ＋1－12n.17．(本小题总分值12分)(2021·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)假设OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)假设B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)，OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35， ∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴|OA |＝－12＋32＝10，|OB |＝1，得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010，则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32. 18．(本小题总分值12分)(2021·青岛模拟)已知数列{a n }知足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，假设S 2n S n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，①因此a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，因为a 1＝1，因此a 2＝2，a 2a 1＝2， 因此，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，因此d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，因此{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，因此S 2n S n ＝2n 1＋2log a 2＋2n 2n －12×2log a 2n 1＋2log a 2＋n n －12×2log a 2 ＝2＋4n ＋2log a 21＋n ＋1log a 2＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0，因为S 2nS n 恒为一个与n 无关的常数λ，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－4log a 2＝0，λ－21＋log a 2＝0， 解得λ＝4，a ＝12. 19．(本小题总分值13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购买了一条高性能的生产线，该生产线在利用进程中的保护费用会逐年增加，第1年的保护费用是4万元，从第2年到第7年，每一年的保护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每一年的保护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的保护费用为a n ，求a n 的表达式．(2)设该生产线前n 年的保护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始组成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，那么现在a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7， 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n n －12×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10， 因此该生产线前n 年的保护费用为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，n ≥8.20．(本小题总分值13分)(2021·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }知足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n .(3)设c n ＝a n ·sin 2n π2－b n ·cos 2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 因此a n ＝2a n －1(n ≥2)，因此{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，因此a n ＝2n ， 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，因此b n ＋1＝b n ＋2， 因此{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，因此b n ＝2n －1.(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，因此D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，① 2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.② ①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ， n 为奇数，－2n －1， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .21．(本小题总分值13分)(2021·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }知足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1. (3)设数列{c n }知足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是不是存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12， 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2， 因此a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 因此2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. 因为b n ＝2n a n ，因此b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，因此数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，因此a n ＝n2n (n ∈N *)． (2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 因此T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1， 因此T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n 2n ＋1＝n ＋32n －2n －12n 2n ＋1， 于是确信T n 与5n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小， 由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 方式一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，那么n ＝k ＋1(k ≥2)时， 2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 因此当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方式二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n＝2n ＋2＞2n ＋1， 综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n2n ＋1. (3)因为c n ＝3n ＋－1n －1λ·n a n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，因此c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ] ＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0，因此(－1)n －1·λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －2，② 依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，因此λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，因此λ＞－32，因此－32＜λ＜1，又λ≠0， 因此存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。
浙江省数学高考模拟精彩题选_数列解答题_含答案
2016浙江精彩题选——数列解答题【一、选择填空】【二、解答题】1.（2016名校联盟第一次）20．（本题满分15分）设数列{}n a 满足 a 1=a ，a n +1a n -a n2=1(n ÎN *).（Ⅰ）若a 3=52，求实数 a 的值； （Ⅱ）设*,()n n b n N n =∈，若 a =1，求证：2£b n <32(n ³2,n ÎN *).2.（2016嵊州期末20）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项为11a =,且141n n n a a a ++=+，()*n ∈N ．（Ⅰ）求2a ，3a 的值，并证明：21212n n a a -+<<； （Ⅱ）令212n n b a -=-，12n n S b b b =+++．证明:9171896nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解：(Ⅰ)252a =，7183=a ． …………………2分 一方面，1422211n n n n n a a a a a ++--=-=-++，所以12121n n n a a a +-=--+． …………………3分 由题可知0n a >，所以1202n n a a +-<-，即12n a +-与2n a -异号，故22n a +-与2n a -同号，于是212n a +-与212n a --同号．又 1210a -=-< 所以212n a +<． ……………5分 另一方面，()2122122121212121212121221212144244158.41252511n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ----+--------++--+++-=-=-=-=++++++……………7分由212n a -<知 21210n n a a +-->，即2121n n a a +->． 综上所述：21212n n a a -+<<． ……………8分 （Ⅱ）2122121212122121422122412511n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---+---+--+--=-=-=+++++， 由212n n b a -=-知121125n n n b b a +-=+． ……………10分 又212112n n a a -+≤<<，所以11197n n b b +<≤．而11b =，所以当2n ≥时1211117n n n n b bb b b b --⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，同理：119n n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭． ……………12分故12n n S b b b =+++21111117711777617nn -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤++++=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 1211919118919nnn n S b b b ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++>=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-综上：9171896nn S ⎡⎤⎛⎫-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ……………14分注：本题是可以用不动点算出通项的。
上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题(含答案解析)
上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合U =R ,集合{}21P x x =-≥,则U P =ð______2．在91x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为__________.3．写出系数矩阵为1221⎛⎫ ⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是______.4．已知函数()sin sin()(0)3f x x x πωωω=-+>的最小正周期是2π，则ω=______.5．若三阶行列式1302124121n m m n -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则i n m +（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是_______________．6．函数12()log (423)x x f x +=-+的值域为___________7．某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为______.8．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角、、A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+=，则角A 的大小是______.9．关于x 的不等式()2log 231a x x -+≤-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 在椭圆22143x y+=上，点M 是OP 的中点，过点M 作直线l （和直线OP 不重合）与椭圆相交于Q ，R 两点，若直线OP ，OQ 的斜率分别为1k 、2k ，且35MR QM =，则12k k 的值是______.11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有______项.12．已知函数21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为__________.二、单选题13．已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB =AD =，则AC BD ⋅=（）A ．1B ．2C ．tD ．2t16．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数λ，μ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+=C ．2{(,)|44}λμλμ-=D ．22{(,)|4}λμλμ-=三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的射影为A ，且2PA AB ==，E 为PD 中点.(1)证明：//PB 平面AEC (2)证明：平面PCD ⊥平面PAD .18．如图，摩天轮上一点P 在时刻t （单位:分钟)距离地面的高度y (单位:米)满足()[]()sin ,0,0,,y A t b A ωϕωϕππ=++>>∈-，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.（1）根据条件写出y 关于t 的函数解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米?19．已知函数()()22x af x x x +=∈+R ．（1）写出函数()y f x =的奇偶性；（2）当0x >时，是否存在实数a ，使()y f x =的图象在函数()2g x x=图象的下方，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，A ，B 分别是椭圆的右顶点和下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知P 是椭圆C 内一点，直线AP 与BP 的斜率之积为12-，直线.AP BP ，分别交椭圆于,M N 两点，记PAB ，PMN 的面积分别为PAB S ∆，PMN S ∆.①若,M N 两点关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；②证明：PAB PMN S S ∆∆=.21．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>.参考答案：1．{}3|1x x <<【分析】解绝对值不等式求得集合P ，再求得U P ð.【详解】由21x -≥，得21x -≤-或21x -≥，即1x ≤或3x ≥.所以{|1P x x =≤或}3x ≥，所以{}U |13P x x =<<ð.故答案为：{}3|1x x <<【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查补集的概念和运算，属于基础题.2．1【详解】令，即得各项系数的和.考点：赋值法.3．2323x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】根据系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭求解.【详解】由题意得：线性方程组是2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故所求的一个线性方程组是2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：2323x y x y +=⎧⎨+=⎩4．4【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值【详解】()π1πsin sin sin sin cos sin 3223f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期是2ππ2T ω==，所以4ω=.故答案为：45．2【详解】试题分析：由已知条件得，即，从而有，故i n m +，故答案为2．考点：1．行列式；2．复数的模．6．[1,)+∞【分析】先利用配方可得到12423(21)22,x x x +-+=-+≥然后利用对数函数的性质即可求解【详解】因为12423(21)22,x x x +-+=-+≥所以根据对数函数的性质可得122()log (423)log 21x x f x +=-+≥=，可知函数的值域为[1,)+∞．故答案为：[1,)+∞7．710##0.7【分析】得出这次竞赛中该班没有同学参加市级比赛的概率，即只从除甲、乙两名同学外的三名同学中选两个的概率，在根据互斥事件的概率计算即可得出答案.【详解】在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为2325C 71C 10-=.故答案为：0.78．π3##60︒【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.【详解】由πA B C ++=，即πB C A +=-，故()22π2B C A +=-则()()2221cos 4cos cos 2()4cos 2π222cos cos 222cos 2cos 12cos 2co 22A ABC A A A A A A +-+=⨯--=+-=+--=-+，可得24cos 4cos 10A A -+=，解得1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.故答案为：π3.9．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分类讨论，根据对数函数单调性，结合恒成立思想解决即可.【详解】由题意得，()21log 231log a a x x a ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭，所以21123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩恒成立，或201123a x x a <<⎧⎪⎨-+≥⎪⎩恒成立，即()2max 1123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，或()2min 01123a x x a <<⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，因为223x x -+无最大值，所以()2max 1123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩无解；因为223x x -+最小值为2，所以()2min 010111232a a x x a a <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⎨⎨-+≥≥⎪⎪⎩⎩，解得112a ≤<，综上，1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．34-##0.75-【分析】分别设11(,)Q x y ，22(,)R x y ，M 00(,)x y ，则00(2,2)P x y .将,,P Q R 点的坐标分别代入椭圆方程，结合已知35MR QM = ，即可推得22220011010164(34)9(34)48(34)300x y x y x x y y +++-+=，整理可得010143x x y y =-，即可求出答案.【详解】设点11(,)Q x y ，22(,)R x y ，M 的坐标为00(,)x y ，则点00(2,2)P x y .则121y k x =，010y k x =.因为点P 在椭圆上，所以220044143x y +=，即2200343x y +=.因为35MR QM = ，所以202001013,)(),(5x x y y x x y y --=--，所以20013()5x x x x -=-，20013()5y y y y -=-，所以2018355x x x =-，2018355y y y =-.又,Q R 在椭圆上，所以有22113412x y +=，22223412x y +=，代入有220101838334125555x x y y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开得22220011010164(34)9(34)48(34)300x y x y x x y y +++-+=，即010*********(34)300x x y y ⨯+⨯-+=，所以0101340x x y y +=，所以010143x x y y =-.所以0011120101y y y y k k x x x x =⋅=01013443y y y y ==--.故答案为：34-.11．89【分析】根据题意分析可得数列要想项数最少，需要各项最大，可设这个“好数列”为：()()1,2,3,,1,,1,,3,2,1n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，求这个“好数列”各项之和为2n ，令22021n ≤得44n ≤，此时220214485-=，将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，由此即可求解.【详解】由题意得数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，所以需要数列前面递增，后面对称递减，又各项之和是2021，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为()()1,2,3,,1,,1,,3,2,1n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，令各项和123(1)(1)21n n n ++++-++-+++ (1)[1(1)]2[123(1)]22n n n n n-+-=++++-+=⨯+ 2(1)2021n n n n =-+=≤，得44n ≤，当n 为44时，项数为432187⨯+=项，220214485-=，将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，故这个数列至少有87289+=项，故答案为：89【点睛】本题考查数列新定义和等差数列求和，关键在于理解数列新定义中各项数的特点，严格按照运用定义进行求和和数列的项的探索，属于中档题.12．{2[1,1]--⋃-【分析】对参数a 进行分类讨论，结合二次函数的最值，由已知条件，求得不同情况下对应的参数范围，再求并集即可.【详解】分情况进行讨论：当0a ≥时，21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩，0x >时()f x 在[,1]a -取得最小值1a +，0x ≤时在0x =时取得最小值2，故12a +≤，解得1a ≤，又因为此时0a ≥，所以01a ≤≤。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题三 数列的解答题以等差数列和等比数列综合题【背一背重点知识】1.等差数列及等比数列的广义通项公式：(),n m n m n m a a n m d a a g -=+-=2.一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列3. 等差数列及等比数列前n 项和特征设法：2,(1)n n n S An Bn S A g =+=- 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：涉及特殊数列（等差数列或等比数列）一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比； 由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算两次”的思想解决问题2. 典型例题：例1 等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值．例2在数列{}n a 中，122,511-+==-n n n a a a （*,2N n n ∈≥）． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在常数λ，使得数列}2{nn a λ+是一个等差数列？若存在，求λ的值及}{n a 的通项公式；若不存在，请说明理由． 【练一练提升能力】 1.在数列{}n a 中，()121110101,,02,*33n n n a a a a a n n N +-==-+=≥∈且 （1）若数列{}1n n a a λ++是等比数列， 求实数λ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .2.已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n 项和为Sn(n ∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn ＝Sn －1Sn(n ∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．以求递推数列的通项公式和求和的综合题【背一背重点知识】 1.11()11n n n n q q a pa q a p a p p ++=+⇒+=+-- 2.1111()()n n d d n n d=-++3. 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩4.求和方法：累加、累乘、裂项相消、错位相减【讲一讲提高技能】1.必备技能：会由n S 与n a 的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列），进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n 项的和.2.典型例题：例1已知数列{}n a 的前n 项和(1)(1,2,3,)2n n n a S n +==. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求证：1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.例2 数列}{n a 的首项120a =-,*1,543N n n a a n n ∈-=++求数列}{n a 的通项公式；设}{n a 的前n 项和为n S ,求n S 的最小值. 【练一练提升能力】1在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数.(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设 22n na a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.2设数列{}n a 为等差数列，且145=a ，720a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，123b =且132(2,)n n S S n n N -=+≥∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （2）若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=,n T 为数列{}n c 的前n 项和，n T m <对*n N ∈恒成立，求m 的最小值．解答题（共10题）1.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和．2. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意n *∈N ，都有()21n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()42n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：112n ≤T <． 3. 设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项和为n S ，点()n n S a ,在函数2121812++=x x y 的图像上；数列{}n b 满足()n n n n b a a b a b =-=++1111,，其中*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求证：数列{}n c 的前n 项和()*∈>N n T n 95．4. 已知数列{}n a 中，11=a ，在21,a a 之间插入1个数，在32,a a 之间插入2个数，在43,a a 之间插入3个数，…，在1,+n n a a 之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{}n b .（1）若194=a ，求{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足μλμλ,(2+=+n n b S 为常数），求{}n a 的通项公式. 5. 设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n T ． 6.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1118,35,.n n n a a S n N +*+==++∈（Ⅰ）设23,nn n b a =-⋅证明：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）证明：2312322221nna a a a ++++<. 7.已知数列{}n a 中，113,21(1)n n a a a n +==-≥，（1）设1(1,2,3)n n b a n L =-=，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设12nn n n c a a +=⋅，求证：数列{}n c 的前n 项和13n S <．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()244,n S n n n N *=-+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩， n T =231232222nn b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T .9.已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ,*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d .②记k S 为数列{}k d 的前k 项和,问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值;若不存在,请说明理由.10. 已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =，1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.2106.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||29.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁UA={2}，故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故选：D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象.故选：C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查.5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可.【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.故选：C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围.【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题.7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案.【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断.【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确.故选：D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法.9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可.【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=.故选：A.【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1【分析】根据记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B.【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题.二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 6 .【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i 的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.故答案为：6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以.故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[].【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围.【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）.联立，解得B（2，1）.在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）.要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1.∴实数a的取值范围是.解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：.【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答）.【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张.【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，].【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围.【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2.当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，].【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P （m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率.【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论.【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设BP′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=.若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出.（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明.【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有.∵b3=6+b2，∴a3=8.∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则=4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2.∴（n∈N*）.又由a1a2a3…an=（n∈N*）得：，，∴bn=n（n+1）（n∈N*）.（Ⅱ）（i）∵cn===.∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法.本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案.【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=.在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围.【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0.综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0.【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b..【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）.（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立.所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.。