蒙特卡洛模拟方法

1707-1788

1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来 好些客人玩投针游戏（针长是线距之半）， 他事先没有给客人讲与π 有关的事。客人 们虽然不知道主人的用意，但是都参加了 游戏。他们共投针2212次，其中704次相交。 蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π 值。 这着实让人们惊喜不已。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0

通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用 概率语言来说，从分布密度函数 f(r) 中抽取 Ｎ 个子样 r1 ， r2 ， … ， rN ，），将相应的 Ｎ 个随机变量的值 g(r1) ， g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
离散型分布的直接抽样方法

对于任意离散型分布：
F ( x) Pi
xi x
其中 x1 ， x2 ， … 为离散型分布函数的跳跃点， P1 ， P2，… 为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型 分布的直接抽样方法如下：
X F xI , 当 Pi Pi
i＝1 i＝1 I－1 I
0, x 0 F ( x ) x, 0 x 1 特征：独立性、均匀性 1, x 1
分布函数为：
随机数的产生方法
随机数表 物理方法 计算机方法
随机数表
随机数表是由0,1,2,…,9十个数字组成，每 个数字以0.1的概率出现，数字之间相互独 立。 方法：如果要得到n位有效数字的随机数， 只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一 起，且在最高位的前边加上小数点即可。
抽样次数与结果精度
1 2 E ( X ) , Var ( X ) x 解的均值与方差的计算公式： n
x2
是随机变量X的方差，而称 Var ( X ) 为估计量方差。通常蒙特卡罗模拟 X 中的样本量n很大，由统计学的中心极限定理知 渐进正态分布， 即： n
x
1 x 1 t2 X lim p( x) e 2 dt 2 x x n
我们就把
x / n 记做是误差
得到人们习惯的结果误差表示：
X
2
对于指定的误差ε,模拟所需抽样次数n可由 x / n 导出：
x n
随机数
随机数的定义
用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变 量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分布 的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每一 个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问 题。随机数是随机抽样的基本工具。 ［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为： 1, 0 x 1 f ( x) 0, 其他
i＝0 i＝0 n－1 n
例2. 掷骰子点数的抽样


掷骰子点数X=n的概率为：
P ( X n) 1 6
为了便于在计算机上使用，通常取 ： Ｍ=2s 其中s为计算机中二进制数的最大可能有效位数 x1= 奇数 a = 52k+1 其中 k 为使 52k+1 在计算机上所能容纳的最 大整数，即a为计算机上所能容纳的5的最大奇次 幂。一般地，s=32时，a=513；s=48，a=515等。 伪随机数序列的最大容量λ(M)=2s-2 。 乘同余方法是使用的最多、最广的方法，在 计算机上被广泛地使用。
蒙特卡罗模拟方法
报 告 人 ：杨林 吴颖 科 目 ：项目风险管理 任课教师 ：尹志军
蒙特卡罗模拟方法
一、蒙特卡罗方法概述 二、蒙特卡罗方法模型 三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围 四、相关案例分析及软件操作 五、问题及相关答案
Monte Carlo方法的发展历史
早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法 特征的角度来说可以一直追溯到18世纪后 半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即 著名的蒲丰问题。
①建立概率统计模型
N
②收集模型中风险变量的数据 ， 确定风 险因数的分布函数
⑤根据随机数在各风 险变量的概率分布中 随机抽样，代入第一 步中建立的数学模型
N
N
③根据风险分析的精度要求，确 定模拟次数 N
④建立对随机变量的抽样 方法，产生随机数。
⑥
N 个样本值
⑦统计分析，估计均 值，标准差
例子
某投资项目每年所得盈 利额A由投资额P、劳动 生产率L、和原料及能 源价格Q三个因素。
蒙特卡罗方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。 它是以概率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
1 N g N g (ri ) N i 1
作为积分的估计值（近似值）。
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过 程（如投针问题）化为数学问题，在计算 机上实现。
模拟程序
l=1; d=2; m=0; n=10000 for k=1:n; x=unifrnd(0,d/2); y=unifrnd(0,pi); if x<0.5*1*sin(y) m=m+1 else end end p=m/n pi_m=1/p
产生伪随机数的乘同余方法
乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的，它的一般形式是：对于 任一初始值x1，伪随机数序列由下面递推公式确定：
xi 1 a.xi (mod M )
2
xi 1 , i 1, 2, M
被M 整除后的余数，叫做
a 为乘子， X i为种子（初值）；M成为模数。上式表示
从而
p(
X ) 1 x n
是标准正态分布中与 α对应的临界值，
式中α位小概率，1- α称为置信度： 可有统计分布表查得。
由
p(
X ) 1 x n
得统计学上称为与置信水平α对应的置信区间：
X x / n X x / n
用MATLAB产生随机数
语言：连续均匀分布的函数表达式为 R=unifrnd(A,B) 演示：for n=1:100; k=unifrnd(0,1) end
随机抽样及其特点

由巳知分布的随机抽样指的是由己知分 布的总体中抽取简单子样。随机数序列是 由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样， 属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问 题。下表所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样，是在假设随机数为已知量的前 提下，使用严格的数学方法产生的。
N
A aP bL2 cQ d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f ( P), f ( L), f (Q) 模拟次数N；根据分 布函数，产生随机数
N
1 2
N
A aP bL2 cQ d
1 2
根据历史数据，预测未来。 产生
N 个 A值
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
1, 当x l sin s( x, ) 0, 其他
1 sN N
s ( x , )
i 1 i i
N
P s ( x, ) f1 ( x) f 2 ( )dxd

d
0


l sin
0
dx 2l a a
2l 2l aP as N
x1
与
a.xi 对模 M的同余。
xi 1 是
a.xi
•利用乘同余法产生伪随机数的步骤如下： （1）取种子 1 、乘子 a 、和模数M； （2）由式（1）获得一系列 ， ...； 1 2 （3）由式（2）得到一系列 ， … 。这就是所要产生的伪随机数 2 1 的序列
x

x x
乘同余方法在计算机上的使用
例如：某随机数表第一行数字为7634258910…，要想得 到三位有效数字的随机数依次为：0.763，0.425，0.891
物理方法
基本原理：利用某些物理现象，在计算机 上增加些特殊设备，可以在计算机上直接 产生随机数。 缺点：无法重复实现 费用昂贵
计算机方法
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方 法是数学方法，即用如下递推公式： n1 T (n ) 产生随机数序列，对于给定的初始值 n ，确 定 n 1 ，n=1,2… 存在的问题：1，不满足相互独立的要求 2，不可避免的出现重复问题 所以成为伪随机数 问题的解决：1.选取好的递推公式 2.不是本质问题

该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽 样，直接抽样方法是非常理想的。
例1. 二项，其概率函数
n P( x n) Pn CN P n (1 P) N n

其中，P为概率。对该分布的直接抽 样方法如下：
X F n, 当 Pi Pi
统计分析，估计 均值，标准差
X
模型建立的两点说明
Monte Carlo方法在求解一个问题是，总 是需要根据问题的要求构造一个用于求 解的概率统计模型，常见的模型把问题 的解化为一个随机变量 X 的某个参数 的估计问题。 要估计的参数 通常设定为 X 的数学 期望（亦平均值，即 E( X ) ）。按 统计学惯例， 可用 的样本 ( X1, X 2, ...X n ) 1 X X 的平均值来估计，即 n