函数的导数与单调性

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函数的导数与单调性

例题
函数的单调性与导数
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y
x （3）f ( x) sin x 2
利用导数讨论函数单调性的步骤:
(1) 求导数 f ( x ).
(2) 解不等式 f ( x ) >0得f (x)的单调递增区间;
解不等式 f ( x )< 0得f (x)的单调递减区间.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的
子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的 x的范围时,要与定义域求两者的交集.
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
例题
例2: 确定下列函数的单调性，并求单调区间:
(1)
f ( x) x 3 x
3
(2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1
o a b o x 若 f(x) 在G上是增函数或减函数，则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
a
b
x
G 称为单调区间
定义
(1) 函数的单调性也叫函数的增减性；
(2) 函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念.这个区间是定义域的子集.
(3) 单调区间：针对自变量x而言的. 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.

函数单调性与导数的关系

函数单调性与导数的关系
函数的单调性与函数的导数有着密不可分的关系。

单调性指函数f(x)在一个区
间上，对傍端改变都呈现某一种状态（升序或者降序），而函数的导数则指在一个特定点上，其自变量发生变化后，函数值变化率快慢的大小。

首先，单调递增函数f(x)其一阶导数只可能是正值。

反之，单调递减函数f(x)
其一阶导数只可能是负值。

换句话说，在变化的密度上，对于单调递增函数，其变化率是正向的，而对于单调递减函数，其变化率是负向的。

此外，当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为正值时，那么函数
f(x)在定义区间内就是单调递增函数；而当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内
的值恒为负值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递减函数。

因此，函数的单调性与函数的导数有着紧密的联系。

函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正值或负值，反映在函数的单调性上。

准确地说，函数的单调性与函数的导数形成了一个严密的套路，使函数的变化更加的精密明晰，有几何的结构性表述。

导数与函数的单调性解析与归纳

导数与函数的单调性解析与归纳导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。

本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。

一、导数的定义与计算方法函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。

这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。

二、导数与单调性的关系函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。

导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。

通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。

三、导数与函数单调性的解析和证明为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。

具体解析单调性的方法有以下几个步骤：1. 求得函数的导数；2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。

举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；3. 绘制导数的符号变化表：\[\begin{array}{ccccc}x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 \\f'(x) & \text{负} & 0 & \text{正} & \text{负} \\\end{array}\]根据符号变化表可以得出函数在 $(-\infty, x_1)$ 单调递减，在 $(x_1, x_2)$ 单调递增，在 $(x_2, +\infty)$ 单调递减。

3.3.1 函数的单调性与导数

活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1�� = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
�� 2
,(-t,+∞),递减区间为
�� 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
�� 2
,
+
∞
,递减区间为
-��,
�� 2
.
迁移与应用已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,

函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降。
若$f(x)$在区间$I$上单调递减，且$a, b in I$，且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函数在相应的区间上单调递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边际变化，例如边际成本、边际收益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例如最大利润、最小成本等，为企业提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如价格敏感度、需求变化等，帮助企业制定更加精准的市场策略。

函数的单调性与导数课件

探究 2 判断函数在某个区间(a，b)内的单调性可从以下几个方面入手：
(1)利用函数单调性的定义：在定义域内任取 x1，x2(x1<x2)，通过判断 f(x1)－f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性．
(2)图像法：利用函数图像的变化趋势直观判断，图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本步骤：
①确定函数 f(x)的定义域； ②求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ③令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间； ④令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递减区间．
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0，1)上是增函数，∴f
′(x)≥0 在(0，1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
f′（0）≥0， ∴f′（1）≥0，解得a≥32.
a>0，
∴a 的取值范围是[23，＋∞)．
(2)f′(x)＝a－1x＝ax－ x 1，
①当 a≤0 时，f′(x)<0，即 f(x)在(0，2)上单调递减，不合
题型一求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－lnx； (3)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π；
(4)f(x)＝ ax (a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x2
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令 f′(x)＞0，得 x＜－1 或 x＞1. 令 f′(x)＜0，得－1＜x＜1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)； f(x)的减区间是(－1，1)． (2)由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2－1x.令 2－1x>0 解得 x>12；令 2－1x<0，得 0<x<12.所以 f(x)的增区间是(12，＋∞)；减区间为(0，12)．

函数的单调性与导数课件

函数的单调性是指在某个区间内函数值随自变量增减而增减的性质。判断函数单调性的方法包括定义法、图象法等，但导数法更为简便。通过观察函数图象，可以发现函数在某个区间内的单调性与其导数的正负密切相关。具体来说，若在某个区间内函数的导数大于零，则函数在该区间内单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。若导数恒为零，则函数为常数函数。利用这一规则，我们可以方便地判断函数的单调性，并通过求解导数的不等式来确定函数的单调区间。此外，文档还通过例题和训练题帮助读者巩固了利用导数判断函数单调性的方法和步骤，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ括确定函数定义域、求解导数、解不等式等。

利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

那么在这个区间内/y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。

）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

导数与函数的单调性

答案：B
2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的递增区间是( )
A．(－∞，e)
B．(1，e)
C．(e，＋∞)
D．(e－1，＋∞)
解析：由 f(x)＝x·ex－ex＋1，得 f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令 f′(x)>0，解得 x>e－1，所以函数 f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
题型三函数单调性的应用命题点 1 比较大小或解不等式例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x)
＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
③若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈－∞，ln－a2时，f′(x)<0；当 x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)>0. 故 f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增；当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
题组三易错排查 6．函数 f(x)＝x3＋ax2－ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0 在 R 上恒成立，即 4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数 a 的取值范围是[－3,0]．答案：[－3,0]
7．若函数

导数与函数的单调性

第2节导数在研究函数中的应用知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.第1课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间【例1】 (经典母题)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0，解之得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).【迁移探究1】若本例中函数f (x )变为“f (x )＝ln x －12x 2＋x ”，试求f (x )的单调区间.解因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，且x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x. 令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去).由f ′(x )>0，得0<x <1＋52；由f ′(x )<0，得x >1＋52.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.【迁移探究2】若本例的函数变为“f(x)＝x22－a ln x，a∈R”，求f(x)的单调区间.解因为f(x)＝x22－a ln x，所以x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax＝x2－ax.(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a>0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a）x，则有①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a).②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.【训练】已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1 2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝5 4.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32(x>0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).考点二证明(判断)函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练】 (2015·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 考点三导数在函数单调性中的应用【例3】 (1)(2018·武汉模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f （e ）e ，b ＝f （ln 2）ln 2，c ＝f （－3）－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <a <b解析设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2， ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0.∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数.由f (x )为奇函数，知g (x )为偶函数，则g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－3)＝g (3)，∴g (3)<g (e)<g (ln 2)，故c <a <b .答案 D【训练】.已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )A.f (2)>f (3)>f (π)B.f (3)>f (2)>f (π)C.f (2)>f (π)>f (3)D.f (π)>f (3)>f (2)(2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围.解 ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0. ∴h ′(x )＝1x －ax －2.若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*)又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).②由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝（7x －4）（x －4）16x， ∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0，当且仅当x ＝4时等号成立.(***)∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞. 规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.3.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.【训练】 (2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________.(2018·兰州模拟)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x. 当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.∴f (x )的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2).(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数，∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立.即x 2－2x －2a x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立，∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立.又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12. ∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立.又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增.解析因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π]上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2).答案 D9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.。

【高中数学】导数与函数的单调性

＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，
高中数学学科
f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x>
3或 x<－
3，∴函数
f(x) ＝ x3 － x
在
－∞，－
3 3
和
3
3
3，＋∞ 3
上单调递增；对于
D，f′(x)＝－1＋1＝－x－1，令
－∞，－4
即 f(x)的单调递增区间是
3 ，(0，＋∞)．
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
kπ－π，kπ＋π
解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 4
4 (k∈Z)；对于 B，f′(x)
x
x
f′(x)>0，得
0<x<1，
∴
函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 f′(x)的图象大致是( )
解析：选 A 设 g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数 f′(x)在 R
ax2
a
由 f′(x)＝ax－1<0，得 0<x<1，
ax2
a
1，＋∞
0，1
∴函数 f(x)在 a
上单调递增，在 a 上单调递减．
高中数学学科
综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

函数的单调性与导数讲义

导数的应用讲义一、知识梳理1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意:1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )题组二：教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值3．[设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点4．]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间]2,0[ 上的最大值是__________．题组三：易错自纠6．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点7．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为____________．8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．三、典型例题（一）导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为 2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在)1,0(e 上单调递增D ．在)1,0(e 上单调递减3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________．思维升华：确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二：含参数的函数的单调性典例已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a >0)，讨论函数y ＝f (x )的单调区间．思维升华：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性．题型三：函数单调性的应用问题命题点1：比较大小或解不等式典例 (1)已知定义在)2,0(π上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈)2,0(π，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( ) A.3f )4(π>2f )3(πB ．f )3(π>f (1) C.2f )6(π<f )4(π D.3f )3(π<f )3(π (2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．命题点2：根据函数单调性求参数典例：已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．引申探究：本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．思维升华：根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练：已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．四、反馈练习1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )3．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.)0,34(-B.)34,0(C.)34,(--∞，(0，＋∞)D.)34,(--∞∪(0，＋∞) 4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f )21(，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________.8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________________． 9．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________． 10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝b ex －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．13．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在)32[∞+，上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 15．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．。

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在定义域内逐渐增大或逐渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增；当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的极值点，从而解决实际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求出函数的最大值和最小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系

函数的单调性与导数

x f′(x)＝ a ln a
(a>0)
f′(x)＝ ex
1 f′(x)＝ xln a (a>0 且 a≠1) 1 f′(x)＝ x
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 的图象，及 h′(t)＝－9.8t＋6.5 的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.
3.3.1
小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减.
问题 3
若恒有 f′(x) ＝0,则函数 f(x)有什么特性？
答函数 f(x)是常函数，不具有单调性
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2 x3 3x2 24 x 1.
3.3.1 例 2 求函数 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间： 3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( ，＋∞)，单调递减区间为(0， ). 3 3
3.3.1
(2，＋∞) ，减区间为 4.(1) 函数 y ＝ x2 － 4x ＋ a 的增区间为 _________ (－∞，2) __________.
解析 y′＝2x－4，令 y′>0，得 x>2；令 y′<0，得 x<2，
所以 y＝x2－4x＋a 的增区间为(2，＋∞)，
减区间为(－∞，2).
3.3.1
随堂检测
1.函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是 A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 C.在0，上是减函数，在，6 上是增函数 e e 1 1 D.在0，上是增函数，在，6 上是减函数 e e 1 解析 ∵f′(x)＝1＋ >0， x ∴函数在(0,6)上单调递增. ( A )

(完整版)导数与函数单调性

a 0
a 0
4
4a 2
0
a
1或a
1
a
1
当a 1时f ( x)在R上单调递增
(2)解：f ( x) ax2 2x a
由题设知f ( x)在(2,)上单调递增
f ( x) 0对x (2,)恒成立，
即ax2 2x a 0在x (2,)上恒成立
a
2 x2
x
1
在x
(2,
)上
恒
5 a 4 时f ( x)在(2, )上单调递增
5
方法总结
（1）已知函数f(x)在某个区间上的单调性，求参数的取值范围时，将问题转化为导数 f'(x)在区间上大于等于0（或小于等于0）恒成立。
（2）不等式恒成立问题，可转化为求最值问题
巩固练习
1. f ( x) x3 ax2 x 6 在(0,1)上单调递减，求a的取值范围
x
x
x
令f ( x) 2( x 1)(x 1) 0得 1 x 0或x 1 x
令f ( x) 2( x 1)(x 1) 0得0 x 1或x 1 x
函数f ( x)的单调递增区间是(1,0)和(1,)
函数f ( x)的单调递减区间是(,1)和(0,1)
方法总结
求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下： ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f'(x)； ⑶令f'(x)>0，所得x的范围（区间）为函数f(x) 的单调增区间；令f'(x)<0，得单调减区间.
令f '( x) 0得x
函数的单调递增区间是(,)
综上，当m 0时，单增区间是（1 m,1 m) 单减区间是（- ,1 m）和（1 m， )

最经典总结-导数与函数的单调性

最经典总结-导数与函数的单调性第11讲：导数与函数的单调性在高考中，了解函数的单调性与导数的关系以及利用导数研究函数的单调性是非常重要的。

多项式函数不超过三次的单调区间的求解也是常见的考点，通常占5~12分。

函数的单调性可以通过导数来判断。

如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0，则在这个区间上，函数y=f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0，则在这个区间上，函数y=f(x)是减少的。

导数与函数单调性的关系是：f'(x)>0（或f'(x)<0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的充分不必要条件；f'(x)≥0（或f'(x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的必要不充分条件（f'(x)=不恒成立）。

自测题：1.函数f(x)=x^3-6x^2的单调递减区间为( )A。

(0,4)B。

(0,2)C。

(4,+∞)D。

(-∞,0)解析：f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)，由f'(x)<0，得0<x<4，因此单调递减区间为(0,4)。

答案：A。

2.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )A。

先增后减B。

先减后增C。

增函数D。

减函数解析：f'(x)=-sinx-1<0，在(0,π)上是减函数，因此选D。

答案：D。

3.已知f(x)=x^3-ax在[1,+∞)上是增函数，则a的最大值是( )A。

1B。

2C。

3D。

4解析：f'(x)=3x^2-a≥0，即a≤3x^2，又因为x∈[1,+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：C。

题型一：判断或证明函数的单调性（基础拿分题，自主练透）例题：已知函数f(x)=ax^3+x^2(a∈R)在x=-处取得极值。

1.确定a的值；2.若g(x)=f(x)ex，讨论g(x)的单调性。

导数与单调性

已知单调性求参数
13
已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.
已知单调性求参数【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围. 【审题指导】f(x)是减函数，则必有f′(x)≤0，可从f′(x)≤0入手，再检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.
14
已知单调性求参数【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围【规范解答】函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1. 由f′(x)=3ax2+6x-1≤0(x∈R)得 ≨a≤-3；
19
(2)若Δ=12－8a2>0,
f 0 0 即 6 a 6 , 只需 , 2a 2 2 ＞0 23 即 1 a＜ 6 时在区间(-≦,0)上恒有f′(x)＞0, 2
即在(-≦,0)上是增函数, 综上所述 a (－,
6 ］［1, ). 2
a＞0 ， 0
17
由例3得a∈(-≦,-3］，
≨函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是单调函数，则实数a的取值
范围是(-≦,-3］.
已知单调性求参数【变式训练】设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0) 上是增函数，求a的取值范围. 【解析】≧f′(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式Δ=4a2－12a2 +12=12－8a2.
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负. 函数的正负与导数的正负没有关系.
导数与单调性的关系
【例1】设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能为( D )

第三节函数的单调性与导数(知识梳理)

第三节函数的单调性与导数复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 1.正确对函数求导是研究函数单调性的基础.2.利用函数的单调性与导数符号的关系是解决函数单调性问题的突破口.函数的单调性与导数1.函数y=f(x)在某个区间内可导(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.2.单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号.1.概念理解(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;(2)判断函数的单调性时,个别导数等于零的点不影响所在区间内的单调性;(3)对函数划分单调区间时,需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点.2.与函数单调性相关的结论(1)f ′(x)>0(f ′(x)<0)⇒f(x)为增(减)函数;f(x)为增(减)函数⇒f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)(f ′(x)=0不恒成立). (2)可导函数f(x)在某区间(a,b)内,①若f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=f(x)g(x)在(a,b)内递增;②若f ′(x)g(x)-f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=()()f xg x 在(a,b)内递增;③若f ′(x)-f(x)>0,则函数F(x)=()e xf x 在(a,b)内递增;④若f ′(x)+f(x)>0,则函数F(x)=e x f(x)在(a,b)内递增.1.函数y=4x 2+1x 的单调增区间为( B ) (A)(0,+∞) (B)(12,+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,-12) 2.函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,1] (B)[1,+∞) (C)(-∞,0] (D)(0,+∞) 解析:因为f(x)=e x -x, 所以f ′(x)=e x -1,由f ′(x)>0,得e x -1>0,即x>0.所以函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是(0,+∞), 故选D.3.已知f(x)为R 上的可导函数,且∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x),则以下判断正确的是( B ) (A)f(2 020)>e 2 020f(0) (B)f(2 020)<e 2 020f(0) (C)f(2 020)=e 2 020f(0)(D)f(2020)与e 2 020f(0)大小无法确定解析:设函数h(x)=()e xf x ,因为∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x), 则h ′(x)=()()2e e (e )'-x xx f x f x <0,所以h(x)在R 上单调递减, 所以h(2 020)<h(0),即()20202020e f <()00e f ,即f(2 020)<e 2020f(0),故选B.4.已知函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减,则a 的最大值是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为f(x)=ax-x 3, 所以f ′(x)=a-3x 2.因为函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f ′(x)=a-3x 2≤0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2在区间[1,+∞)上恒成立, 所以a ≤3.故选D.5.若函数f(x)=x 2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( D )(A)[-1,0] (B)[-1,+∞) (C)[0,3] (D)[3,+∞) 解析:由f(x)=x2+ax+1x,得f ′(x)=2x+a-21x =32221x ax x +-,令g(x)=2x 3+ax 2-1,要使函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数,则g(x)=2x 3+ax 2-1在x ∈(12,+∞)大于等于0恒成立,g ′(x)=6x 2+2ax=2x(3x+a),当a=0时,g ′(x)≥0,g(x)在R 上为增函数,则有g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3(舍); 当a>0时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,则g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3;当a<0时,同理分析可知,满足函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数的a 的取值范围是a ≥3(舍). 故选D.考点一利用导数研究函数的单调性[例1] 设函数f(x)=aln x+11x x -+,其中a 为常数,讨论函数f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f ′(x)=ax+()221x +=()()22221ax a x ax x ++++,当a ≥0时,f ′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax 2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a 2=4(2a+1). ①当a=-12时,Δ=0,f ′(x)=()()221121x x x --+≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f ′(x)<0, 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当-12<a<0时,Δ>0, 设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数g(x)的两个零点, 则x 1=()121a a -+++,x 2=()121a a -+-+. 由x 1=()121a a +-+=22121a a a ++-+>0.所以x ∈(0,x 1)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; x ∈(x 1,x 2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; x ∈(x 2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上可得,当a ≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-12<a<0时,f(x)在(0,()121a a a -+++),(()121a a a-+-+,+∞)上单调递减. 在(()121a a -+++,()121a a -+-+)上单调递增.(1)利用导数求函数单调区间的基本步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.(2)一般需要通过列表,写出函数的单调区间,研究含参函数的单调性时,需注意依据参数取值对导数符号的影响进行分类讨论.考点二由函数的单调性确定参数的取值范围[例2] 已知函数f(x)=(ax3+4b)·e-x,则( )(A)当a>b>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(B)当b>a>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(C)当a<b<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增(D)当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增解析:f′(x)=(-ax3+3ax2-4b)·e-x=-a·e-x·(x3-3x2+4ba),当b<a<0时,ba >1,x3-3x2+4ba>x3-3x2+4,令h(x)=x3-3x2+4(x>0),则h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)递减,(2,+∞)递增,h(x)的最小值是h(2)=0,所以h(x)≥0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,故选D.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围.(2)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.1.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,3] (B)(1,3)(C)(-∞,3) (D)[3,+∞)解析:因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,由f(x)=x3-ax可得f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f′(1)=3-a≥0,所以a≤3.故选A.2.已知函数 f(x)=(x-1)e x-aln x在[12,3]上单调递减,则a的取值范围是( A )(A)[9e3,+∞) (B)(-∞,9e3](C)[4e2,+∞) (D)(-∞,4e2]解析:f′(x)=xe x-ax ≤0在[12,3]上恒成立,则a≥x2e x在[12,3]上恒成立,令g(x)=x2e x,g′(x)=(x2+2x)e x>0,所以g(x)在[12,3]上单调递增,故g(x)的最大值为g(3)=9e3.故a ≥9e 3. 故选A.考点三单调性的应用[例3] (1)已知函数f(x)与其导函数f ′(x)满足f(x)+xf ′(x)>0,则有( )(A)f(1)>2f(2) (B)f(1)<2f(2) (C)2f(1)>f(2) (D)2f(1)<f(2) (2)已知函数f(x)=ln x x ,则( ) (A)f(x)在x=e 处取得最小值1e (B)f(x)有两个零点(C)y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 (D)f(4)<f(π)<f(3)解析:(1)设F(x)=xf(x),则F ′(x)=f(x)+xf ′(x)>0,所以函数F(x)=xf(x)为增函数,所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1).故选B. (2)因为函数f(x)=ln x x ,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=21ln x x .令f ′(x)>0,得0<x<e,即函数f(x)在(0,e)上为增函数; 令f ′(x)<0,得x>e,即函数f(x)在(e,+∞)上为减函数. 所以当x=e 时,函数f(x)max =1e,故排除A; 当x →0+时,f(x)→-∞,当x →+∞时,f(x)→0+,故排除B;因为f(12)+f(32)=1ln212+3ln232=2ln 12+23ln 32=ln[14×2332⎛⎫ ⎪⎝⎭]≠0; 所以y=f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故排除C; 因为e<3<π<4;所以f(4)<f(π)<f(3).故选D.利用单调性比较两数大小或证明不等式要恰当的构造函数,然后求导,利用单调性求解.1.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( A ) (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 解析:令g(x)=()f x x ,则g ′(x)=()()2xf x f x x '-,由题意知,当x>0时,g ′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数. 因为f(x)是奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0,所以g(1)=()11f =0,所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又因为g(-x)=()f x x --=()f x x --=()f x x =g(x), 所以g(x)是偶函数,所以当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 故选A.2.(2019·宁波市高考模拟)若关于x 的不等式(1x )λx≤127有正整数解,则实数λ的最小值为( A ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:本题考查导数在研究函数中的应用.由(1x)λx≤127,则两边取对数, 得λxln x ≥3ln 3存在正整数解, 则λ>0,故ln x x ≥3ln 3λ. 记函数f(x)=ln x x , 则由f ′(x)= 21ln -x x 知,函数f(x)在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系, 因为f(2)=ln 22=f(4)<f(3),故f(3)=ln 33≥3ln 3λ,即λ≥9,故选A.函数单调性的讨论与证明[例题] (2015·四川卷节选)已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x 2-2ax-2a 2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性. 解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),① g(x)=f ′(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+a x),②所以g ′(x)=2-2x +22a x =22112224x a x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③ 当0<a<14时, g(x)在区间(0,114a -- ),(114a +-,+∞)上单调递增,在区间(114a--,114a +-)上单调递减;当a ≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.④规范要求:步骤①②③④要准确齐全.温馨提示:(1)研究函数单调性只能在定义域内研究,故步骤①不可缺少;(2)第③步判断导数的符号时,对a 的分类标准要准确,并且单调区间不能出错.[规范训练1] (2015·天津卷节选)已知函数f(x)=nx-x n ,x ∈R,其中n ∈N *,且n ≥2.讨论f(x)的单调性.解:由f(x)=nx-x n ,可得f ′(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n ∈N *,且n ≥2. 下面分两种情况讨论:①当n 为奇数时,令f ′(x)=0,解得x=1或x=-1. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减, 在(-1,1)上单调递增. ②当n 为偶数时,当f ′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增; 当f ′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减. 所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减.[规范训练2] 已知函数f(x)=ax 2-ln x,a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当n ∈N *时,证明:2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).解:(1)因为f ′(x)=2ax-1x (x>0), ①当a ≤0时,总有f ′(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间;②当a>0时,令2ax-1x >0,解得.故时,f ′(x)>0,所以f(x)在,+∞)上单调递增.同理f(x)在上单调递减.(2)由(1)知当a>0时,f(x)min 2)=12-12ln(12a ), 若f(x)min =0,则12-12ln(12a )=0,此时,a=12e , 因为f(x)≥f(x)min =0,所以f(x)=12e x 2-ln x ≥0,当n ∈N *时,取x=1+n n ,有()221+n n>2eln(1+n n ),所以2221+2232+2243+…+()221+n n>2e[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+(ln(n+1)-ln n)]故2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).类型一求单调区间1.函数y=12x 2-ln x 的单调递减区间为( B ) (A)(-1,1] (B)(0,1] (C)[1,+∞) (D)(0,+∞)解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞), 又由y ′=x-1x≤0,解得0<x ≤1.故选B. 2.已知函数f(x)=-x 3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则( D )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(b)<f(c)<f(a) (C)f(c)<f(b)<f(a) (D)f(a)<f(b)<f(c) 解析:因为f(x)=-x 3-3x+2sin x,所以f ′(x)=-3x 2-3+2cos x ≤-3x 2-3+2=-3x 2-1<0, 所以,函数y=f(x)在R 上单调递减, 因为a=20.3>20=1,0<0.32<0.30,即0<b<1,c=log 20.3<log 21=0,则a>b>c, 因为函数y=f(x)在R 上单调递减, 因此,f(a)<f(b)<f(c),故选D.3.设函数f(x)=13x 3-2a x 2+bx+c(a>0),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1,则函数f(x)的单调减区间为 . 解析:f ′(x)=x 2-ax+b,由题意得()()01,00,f f ⎧=⎪⎨'=⎪⎩即1,0.c b =⎧⎨=⎩ 则f ′(x)=x 2-ax=x(x-a)(a>0), 由f ′(x)<0得,0<x<a,所以函数f(x)的单调减区间为(0,a). 答案:(0,a)类型二由导数求单调区间的应用4.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x),f(0)=0.若对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,则使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为( D )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-1,+∞) (D)(0,+∞)解析:构造函数:g(x)=()1e xf x -,g(0)=()001ef -=-1. 因为对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,所以g ′(x)=()()1e xf x f x '+-<0,所以函数g(x)在R 上单调递减,由f(x)+e x <1化为g(x)=()1e xf x -<-1=g(0),所以x>0.所以使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为(0,+∞). 故选D.5.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=92,则不等式f(lg x)<1lg x+4的解集为( D )(A)(10,100) (B)(0,100)(C)(100,+∞) (D)(1,100)解析:令g(x)=f(x)-1x ,则g′(x)=f′(x)+21x>0,g(x)在(0,+∞)上递增,而g(2)=f(2)-12=4,故由f(lg x)<1lg x+4,得g(lg x)<g(2),故0<lg x<2,解得1<x<100,故选D.6.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( B )(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),因为m′(x)=f′(x)-2>0,所以m(x)在R上是增函数.因为m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,所以m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).故选B.7.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象,下列四个结论:①f(x)在区间(-3,1)上是增函数;②f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数;③x=1是f(x)的极大值点;④x=-1是f(x)的极小值点.其中正确的结论是( D )(A)①③(B)②③(C)②③④(D)②④解析:由题意,-3<x<-1和2<x<4 时,f′(x)<0;-1<x<2和x>4时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在(-3,-1)和(2,4)上单调递减,在(-1,2)和(4,+∞)上单调递增,x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点,故②④正确,故选D.8.设函数f(x)=1x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的2取值范围是( A )(A)(1,2] (B)[4,+∞)(C)(-∞,2] (D)(0,3](x>0),解析:f′(x)=x-9x当x-9≤0时,有0<x≤3,x即f(x)在(0,3]上是减函数.由题意知10,13,a a ->⎧⎨+≤⎩解得1<a ≤2.故选A. 9.若函数f(x)=13x 3-32x 2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a 的值为 .解析:因为f(x)=13x 3-32x 2+ax+4,所以f ′(x)=x 2-3x+a,又函数f(x)恰在[-1,4]上单调递减, 所以-1,4是f ′(x)=0的两根, 所以a=(-1)×4=-4. 答案:-410.若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 .解析:因为f(x)=12ax 2+xln x-x,其中x>0, 则f ′(x)=ax+ln x.由于函数y=f(x)存在单调递增区间,则∃x>0, 使得f ′(x)>0,即∃x>0,a>-ln x x ,构造函数g(x)=- ln x x , 则a>g(x)min .g ′(x)=2ln 1-x x ,令g ′(x)=0,得x=e.当0<x<e 时,g ′(x)<0;当x>e 时,g ′(x)>0.所以,函数y=g(x)在x=e 处取得极小值,亦即最小值,则g(x)min =g(e)=-1e , 所以,a>-1e.答案:(-1e,+∞) 11.已知函数f(x)=x 3+3x 对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x ∈ .解析:由题意得,函数的定义域是R,且f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数,又f ′(x)=3x 2+3>0,所以f(x)在R 上单调递增, 所以f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 由f(x)递增知:mx-2<-x,即mx+x-2<0,则对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立, 等价于对任意的m ∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,所以220,220,x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩解得-2<x<23, 即x 的取值范围是(-2,23). 答案:(-2,23)。

函数的导数与单调性