函数的导数与单调性

如果 f (x)<0,那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递减.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常数.
例题
例2: 确定下列函数的单调性，并求单调区间:
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1
的单调增区间为(-2,3),求 a,b 的值。
例4: 已知函数 f (x) x3 ax2 x 6 在(0,1)内单调递减，求 a 的取值范围。
小结
1. 在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要 确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能 在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来 判断函数的单调区间.
（3）f (x) x sin x 2
利用导数讨论函数单调性的步骤: (1) 求导数 f ( x).
(2) 解不等式 f ( x)>0得f (x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x)< 0得f (x)的单调递减区间.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的
子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定 函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的 x的范围时,要与定义域求两者的交集.
2. 注意在某一区间内 f ( x) >(<)0只是函数f (x) 在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
例题
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以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2 的前提下,比较 f(x1)< f(x2)与的大小,在函数y= f(x)比较 复杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果 利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内， 如果 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递增;
例1 求下列函数的单调区间.
(1). y ln x 2x2
(2). y x 2 x
(3). f (x) x sin x 2
(4). y xn ex (n 0, x 0)
例2 讨论下列函数的单调性.
(1). y x3 ax
(2). y x a (a 0) x
例题
例3: 已知函数 f (x) ax3 bx2 6x 1
函数的单调性与导数
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
G 称为单调区间
定义
(1) 函数的单调性也叫函数的增减性；
(2) 函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部 概念.这个区间是定义域的子集. (3) 单调区间：针对自变量x而言的.
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.