函数的凸性与拐点(-)
§5.函数的凹凸性与拐点解读
§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。
教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性。
教学难点：利用凸性证明相关命题。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。
为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。
一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。
以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。
二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
目录
CONTENT
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
§6.5函数的凸性与拐点数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套.ppt
h0
f ( x0 h) h
f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ), (2)
则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
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§5 函数的凸性与拐点
定义1
设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意两点
x1, x2 和任意实数 (0, 1), 总有 f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ), (1)
则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有
（充分性）对于任意 x1 x3 , (0, 1). 设
x2 x1 (1 )x3 ,
则
f ( x2 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x2 ) .
x2 x1
x3 x2
由于必要性的证明是可逆的，从而得到
f ( x1 (1 )x3 ) f ( x1) (1 ) f ( x3 ),
§5 函数的凸性与拐点Fra bibliotek§5 函数的凸性与拐点
从两个熟悉的函数 y x2 与 y x 的图象来看
凸性的不同：
y
A
O
y x2
B x
y y x
B A
O
x
y x2( y x )上任取两点 A, B, 弦 AB 恒在曲线
段 AB 的上方(下方) .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
数学分析(上) 6-5函数的凸性与拐点
故图形上任意弧段A1A2位于 所张弦A1A2位于下方
x2 x
x2 x1
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由此可得 y x2 在 (， ) 上为严格的凸函数，
y x为 0， 上的严格凹函数 .
很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x) 就为(严格) 凹函数，反之亦然. 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x1 x2 .
因为 f ( x) 递增, 所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1)( x2 x1).
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(iii) (i) 仍设x1 x2，x0 x1 (1 )x2 (0 1), 则
x2 x1
x3 x2
由于必要性的证明是可逆的，从而得到：
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f ( x1 (1 )x3 ) f ( x1) (1 ) f ( x3 ),
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 x2 x3 ,有
f ( x2 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x2 ) . (4)
f ( x) 0 ( f ( x) 0). 证 由定理 6.14 立即可得.
对于严格凸(凹)函数，也有类似的性质。 定理6.14，6.15 只需稍作改变即可.
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例 1 讨论函数 f ( x) arctan x 的凹凸性区间.
解 因为
f
( x)
1
1 x2
,
x (, ),
f ( x)
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函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
微分学中函数的凹凸性与拐点
微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
目录
CONTENTS
1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中，函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质，以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上，一个函数如果是上凸的(或称为"凹")，那么 它的图形看起来像一个倒置的U型，或者像一个山丘。相反，
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如，在经济学中，函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快)，那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反，如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢)，那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外，函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如，在计算机视觉中，图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性，我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中，函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如，在神 经网络训练中，损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的，那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的，那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略，如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函数在某一点的导数由正变为负， 或者由负变为正，那么这个点就是该函数的拐点。在数学上，我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在
《函数的凸性与拐》课件
凸函数在二维平面上的图像是一个向内凸出的弧线。
凸函数的性质
01
02
03
凸函数的导数性质
如果函数$f(x)$在区间$I$ 上可导，且$f'(x) geq 0$ ，则$f(x)$是凸函数。
凸函数的单调性
凸函数在其定义域内是单 调增加的。
凸函数的极值
凸函数在其定义域内只可 能有一个极小值点。
凸函数的判定方法
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导数判定法
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且 $f''(x) geq 0$，则$f(x)$是凸函数。
二阶导数判定法
切线判定法
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且 对于任意$x in I$，都有 $frac{f'(x)}{f''(x)} geq 0$，则$f(x)$ 是凸函数。
如果函数$f(x)$在区间$I$上二阶可导 ，且$f''(x) geq 0$，则$f(x)$是凸函 数。
详细描述
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数为零的点。常见的拐点实例 包括二次函数的顶点、三角函数的极值点等。了解拐点的概念和判定方法对于研 究函数的极值和最值问题具有重要意义。
凸性与拐点关系的实例
总结词
凸函数的拐点是导数由正变负或由负变正的点，这些点通常也是函数的极值点。
详细描述
凸函数的拐点是导数由正变负或由负变正的点，这些点通常也是函数的极值点。例如，对于向下凸的二次函数， 其拐点就是其顶点，也是函数的极小值点。了解凸性与拐点之间的关系有助于更好地理解函数的性质和优化方法 。
而在拐点右侧，函数是凸的。
拐点的应用
优化问题
函数的凸性与拐点(-)
记
x0
x1
2
x2
利用拉格朗日中值定理有
f
(x1)
f
( x0 )
f
'(1) (x1
x0 )
f '(1) (
x1
2
x2
),
x1 1 x0
f
(x2)
f
( x0 )
f
'(2 ) (x2
x0 )
f '(
2)(
x2
2
x1 ) ,
x0 2 x2
相加得
凹函数的切线斜率 f (x)单调减少
定理 (一阶充分条件)
若 f (x)在 [a, b] 上连续, (a , b)内可导, 且 f (x)在
(a , b)内单调增加(或减少), 则 f (x) 在[a , b]是凸函数
(凹函数 )
证明: 任取 x1 , x2 [a , b] , x1< x2 ,
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知
道单调性对了解函数的性态是不够的
y (1)单调增
y f (x)
y y f (x)
(2)单调增
o
a
x 1
x x x
1
2
2
2b
x
y (3)单调减
y f (x)
o
ax 1
x x
1
2
x2 b
x
y
2
(4)单调减
y f (x)
f (1x1 2 x2 ) 1 f ( x1) 2 f ( x2 )
二次函数的拐点与凹凸性质
二次函数的拐点与凹凸性质二次函数是一种形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
对于二次函数来说，它的拐点和凹凸性质是非常重要的特征。
本文将针对二次函数的拐点和凹凸性质展开论述。
一、二次函数的拐点拐点是指曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，可以通过求导数来确定拐点的位置。
求导数的过程如下：首先，对二次函数y = ax^2 + bx + c求导，得到y' = 2ax + b；然后，将y' = 2ax + b置为0，解方程得到x = -b / (2a)；最后，将x = -b / (2a)代入二次函数中，得到对应的y值。
根据这个求拐点的方法，可以得到以下几种情况：1. 当a > 0时，二次函数开口向上，拐点位于抛物线的顶点，坐标为（-b / (2a)，y）；2. 当a < 0时，二次函数开口向下，拐点位于抛物线的谷底，坐标为（-b / (2a)，y）；3. 当a = 0时，则不存在拐点。
二、二次函数的凹凸性质凹凸性质是指曲线的上凸还是下凸。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac来确定其凹凸性质。
判别式Δ的值有以下几种情况：1. 当Δ > 0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，曲线在这两个交点之间上凸；2. 当Δ = 0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，曲线既不上凸也不下凸；3. 当Δ < 0时，二次函数的图像与x轴无交点，曲线在整个定义域上凸或下凸，取决于a的正负性。
在了解了二次函数的凹凸性质之后，我们可以得出以下结论：1. 当a > 0且Δ > 0时，二次函数图像开口向上且在拐点处为上凸；2. 当a > 0且Δ < 0时，二次函数图像开口向上且在整个定义域上为上凸；3. 当a < 0且Δ > 0时，二次函数图像开口向下且在拐点处为下凸；4. 当a < 0且Δ < 0时，二次函数图像开口向下且在整个定义域上为下凸；5. 当a = 0时，不存在凹凸性质。
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证明 不妨设 x1 < x2 , 令 x0= 1 x1+2 x2 , 则 x0(x1 , x2) , 利用性质 1 , 有
f ( x1) f ( x0 ) f '( x0 )(x1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f '( x0 )( x2 x0 )
定理 (二阶充分条件)
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 则
(1) 如果在 (a , b) 内 f (x) > 0 , 则 f (x)是 [a , b] 上的
凸函数
(2) 如果在 (a , b) 内 f (x) < 0 , 则 f (x) 是 [a, b]上的
凹函数 说明:
(1) 可放宽成 f (x) 0 及 f (x)=0 的点不形成区间
(2) 当 f (x) 二阶可导时, f (x) 0 也是 f (x) 在[a , b]
上是凸函数的必要条件
定理 (凸或凹函数的必要条件）
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 且 f (x) 是 [a , b] 上的凸(或凹)函数 , 则在 (a , b) 内恒有
f '' (x) 0 ( 或0 )
证明 见教材
例(划分凹凸区间)
讨论 f ( x) x4 2x3 1 的凹凸区间 解 f '(x) 4x3 6x2, x R
f ''( x) 12x2 12x 12x( x 1) x R
f (x) 有两个零点 x1= 0, x2 = 1, 并将定义域 分成三个子区间 当 x ( , 0)时, f (x) > 0 f (x) 是凸的 当 x ( 0, 1 )时, f (x) < 0 f (x) 是凹的 当 x ( 1, +∞ )时, f (x) > 0 f (x) 是凸的
x0
x1
2
x2
利用拉格朗日中值定理有
f
(x1)
f
(x0)
f
'(1) (x1
x0 )
f '(1) (
x1
2
x2
),
x1 1 x0
f
(x2)
f
(x0)
f
'(2 ) (x2
x0 )
f '(
2)(
x2
2
x1 ) ,
x0 2 x2
相加得
f
( x1)
f
(x2) 2
f (x0 )
1[ 2
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知
道单调性对了解函数的性态是不够的
y (1)单调增
y f (x)
y y f (x)
(2)单调增
o
a
x 1
x x x
1
2
2
2b
x
y (3)单调减
y f (x)
o
ax 1
x x
1
2
x2 b
x
y
2
(4)单调减
y f (x)
o
a x1
凸函数的性质: 性质 1 设 f (x)是 [a , b]上二阶可导的函数, x , x0 是
[a , b]上的任意两点 , 则
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 )
证明: 利用泰勒公式 , 有
f (x)
f (x0 )
f '( x0 )(x x0 )
f
''(
说明: 对于二阶可导的凹函数, 性质1 和性质2 中的
不等式反号
杰森不等式的几何意义:
y 凸函数
y f (x)
y 凹函数
y f (x)
o
x1
x0 x2 x
o
x1
x0 x2 x
(3) 若在[a , b]上 f (x) > 0, 则性质 1和性质 2 中的
不等式当 x x0 和 x1 x2 时为严格不等式 .
x1 x2 2
x2 b
x
o
a x1
x1 x2 2
x2 b
x
定义 设 y =f (x) 在[a, b]上有定义 , 对于[a, b]上任意
两个不同的点 x1 , x2 ，
(1) 若总有
f
(
x1
2
x2
)
1 2
f
( x1)
1 2
f
( x2 )
则称 f (x) 在 [a, b] 上是 凸函数;
(2) 若总有
例 证明:对任意实数 x y , 有
1( x y)
e2
1 (ex
ey)
2
解 设 f (x) e x , 则 f'' ( x) e x 0
f (x) 在 R 上是凸函数, 据杰森不等式有
f (1 x 1 y) 1 f (x) 1 f ( y)
22 2
2
即有
1( x y)
e2
1 (e x
f '(2 )
f '(1)](x2
x1 )
由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( x0 ) 0
f ( x1
x2 ) 2
1 2
[
f
(
x1
)
f ( x2 )]
判断 f (x) 单调性可用 f (x) 的符号
凹函数的切线斜率 f (x)单调减少
定理 (一阶充分条件)
若 f (x)在 [a, b] 上连续, (a , b)内可导, 且 f (x)在
(a , b)内单调增加(或减少), 则 f (x) 在[a , b]是凸函数
(凹函数 )
证明: 任取 x1 , x2 [a , b] , x1< x2 ,
记
ey)
2
f
(
x1
2
x2
)
1 2
f
( x1)
1 2
f
(x2 )
则称f (x)在 [ a , b] 上是 凹函数
说明:
(1) 图(1)、(3)所表示的函数是凸函数
(2) 图(2)、(4)所表示的函数是凹函数
y
(3)
凸函数
y 凹函数
oa
bx
oa
bx
凹凸函数的另一重要特征:
凸函数的切线斜率 f (x) 单调增加
2!
)
(
x
x0
)2
其中 介于 x0 与 x 之间
y 凸函数
由于 f () 0 , 可知
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) o
x0
x
性质 2 (杰森不等式) 设 f (x) 是 [ a , b]上二阶可导 的凸函数, 则对[ a , b ]内任意两点 x1 、x2 ,以及 任意两个正数 1 、2 , 1+ 2 =1 , 则有
1 f ( x1) 2 f ( x2 ) ห้องสมุดไป่ตู้ ( x0 ) 1 f '( x0 )(x1 x0 )
2 f '( x0 )( x2 x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )(1x1 2 x2 x0 ) f ( x0 )
即 f (1x1 2 x2 ) 1 f (x1) 2 f (x2 )