函数的凸性与拐点(-)

x0
x1
2
x2
利用拉格朗日中值定理有
f
(x1)
f
(x0)
f
'(1) (x1
x0 )
f '(1) (
x1
2
x2
),
x1 1 x0
f
(x2)
f
(x0)
f
'(2 ) (x2
x0 )
f '(
2)(
x2
2
x1 ) ,
x0 2 x2
相加得
f
( x1)
f
(x2) 2
f (x0 )
1[ 2
例 证明:对任意实数 x y , 有
1( x y)
e2
1 (ex
ey)
2
解 设 f (x) e x , 则 f'' ( x) e x 0
f (x) 在 R 上是凸函数, 据杰森不等式有
f (1 x 1 y) 1 f (x) 1 f ( y)
22 2
2
即有
1( x y)
e2
1 (e x
定理 (二阶充分条件)
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 则
(1) 如果在 (a , b) 内 f (x) > 0 , 则 f (x)是 [a , b] 上的
凸函数
(2) 如果在 (a , b) 内 f (x) < 0 , 则 f (x) 是 [a, b]上的
ey)
2
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知
道单调性对了解函数的性态是不够的
y (1)单调增
y f (x)
y y f (x)
(2)单调增
o
a
x 1
x x x
1
2
2
2b
x
y (3)单调减
y f (x)
来自百度文库
o
ax 1
x x
1
2
x2 b
x
y
2
(4)单调减
y f (x)
o
a x1
f '(2 )
f '(1)](x2
x1 )
由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( x0 ) 0
f ( x1
x2 ) 2
1 2
[
f
(
x1
)
f ( x2 )]
判断 f (x) 单调性可用 f (x) 的符号
x1 x2 2
x2 b
x
o
a x1
x1 x2 2
x2 b
x
定义 设 y =f (x) 在[a, b]上有定义 , 对于[a, b]上任意
两个不同的点 x1 , x2 ，
(1) 若总有
f
(
x1
2
x2
)
1 2
f
( x1)
1 2
f
( x2 )
则称 f (x) 在 [a, b] 上是 凸函数;
(2) 若总有
2!
)
(
x
x0
)2
其中 介于 x0 与 x 之间
y 凸函数
由于 f () 0 , 可知
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) o
x0
x
性质 2 (杰森不等式) 设 f (x) 是 [ a , b]上二阶可导 的凸函数, 则对[ a , b ]内任意两点 x1 、x2 ,以及 任意两个正数 1 、2 , 1+ 2 =1 , 则有
说明: 对于二阶可导的凹函数, 性质1 和性质2 中的
不等式反号
杰森不等式的几何意义:
y 凸函数
y f (x)
y 凹函数
y f (x)
o
x1
x0 x2 x
o
x1
x0 x2 x
(3) 若在[a , b]上 f (x) > 0, 则性质 1和性质 2 中的
不等式当 x x0 和 x1 x2 时为严格不等式 .
凸函数的性质: 性质 1 设 f (x)是 [a , b]上二阶可导的函数, x , x0 是
[a , b]上的任意两点 , 则
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 )
证明: 利用泰勒公式 , 有
f (x)
f (x0 )
f '( x0 )(x x0 )
f
''(
凹函数 说明:
(1) 可放宽成 f (x) 0 及 f (x)=0 的点不形成区间
(2) 当 f (x) 二阶可导时, f (x) 0 也是 f (x) 在[a , b]
上是凸函数的必要条件
定理 (凸或凹函数的必要条件）
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 且 f (x) 是 [a , b] 上的凸(或凹)函数 , 则在 (a , b) 内恒有
1 f ( x1) 2 f ( x2 ) f ( x0 ) 1 f '( x0 )(x1 x0 )
2 f '( x0 )( x2 x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )(1x1 2 x2 x0 ) f ( x0 )
即 f (1x1 2 x2 ) 1 f (x1) 2 f (x2 )
f (1x1 2 x2 ) 1 f ( x1) 2 f ( x2 )
证明 不妨设 x1 < x2 , 令 x0= 1 x1+2 x2 , 则 x0(x1 , x2) , 利用性质 1 , 有
f ( x1) f ( x0 ) f '( x0 )(x1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f '( x0 )( x2 x0 )
f '' (x) 0 ( 或0 )
证明 见教材
例(划分凹凸区间)
讨论 f ( x) x4 2x3 1 的凹凸区间 解 f '(x) 4x3 6x2, x R
f ''( x) 12x2 12x 12x( x 1) x R
f (x) 有两个零点 x1= 0, x2 = 1, 并将定义域 分成三个子区间 当 x ( , 0)时, f (x) > 0 f (x) 是凸的 当 x ( 0, 1 )时, f (x) < 0 f (x) 是凹的 当 x ( 1, +∞ )时, f (x) > 0 f (x) 是凸的
f
(
x1
2
x2
)
1 2
f
( x1)
1 2
f
(x2 )
则称f (x)在 [ a , b] 上是 凹函数
说明:
(1) 图(1)、(3)所表示的函数是凸函数
(2) 图(2)、(4)所表示的函数是凹函数
y
(3)
凸函数
y 凹函数
oa
bx
oa
bx
凹凸函数的另一重要特征:
凸函数的切线斜率 f (x) 单调增加
凹函数的切线斜率 f (x)单调减少
定理 (一阶充分条件)
若 f (x)在 [a, b] 上连续, (a , b)内可导, 且 f (x)在
(a , b)内单调增加(或减少), 则 f (x) 在[a , b]是凸函数
(凹函数 )
证明: 任取 x1 , x2 [a , b] , x1< x2 ,
记