等差数列前n项和性质
等差数列前n项和
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是
高斯算法：
怎么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
（2）当d<0时,Sn有最大值 若a1<0,则S1最大； 若a1>0,则所有正数项的和最大。
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故 可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
例5 已知一个等差数列中满足3a4 7a7,且a1 0 Sn是数列{an}的前n项和，求n为何值时Sn取最大值.
则: b1,b2,b3, ,成等差数列,公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列a
n
是公差为d的等差数列，则S n
An2
Bn
Sn n
An B
Sn n
是等差数列，公差为A.
2.已知an是公差为d的等差数列，Sn为数列an的前n项和，则
Sn n
是等差数列，公差为
d 2
解：方法一
3a4
7a7
d
4 33 a1
0
an
a1
(n
1)
•
(
4 33
)a1
0
n
37 4
当n 9时，an 0; 当n 9时，an 0
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
3a4
7a7
d
4 33
a1
0
Sn
na1
等差数列前n项和性质
n(n 1)d 由Sn na1 2
二.巩固练习
1.已知数列{an }的前项和Sn =2n -23n,
2
（1）求其通项公式a n；
（2）求Sn的最值。
2.在等差数列{an }中，a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。
2.等差数列前n项和的性质（2）最值问题：
(1)配方法： 利用二次函数求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ≥ 0，求得n的值.
4差数列。即 等差数列中： Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k ,......也成等差数列。 (公差为k2 d)
等差数列前n项和性质
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列前n项和的性质（1）
Sn是常数项为零的二次式
数列为等差数列
d 2 d 可化成 S n n (a1 )n 2 2 当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
Sk a1 a2 a3 ak
S2k Sk ak 1 ak 2 ak 3 a2k S3k S2k a2k 1 a2k 2 a2k 3 a3k
例 ：在等差数列{an }中，S10 =10,S20 =40,求S30 1
解：由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列，即10，30，S30 -40成等差数列， 2 30 10 30 -40） （S 解得S30 90
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
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05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和Sn的性质应用
nn 1
2
d,
Sn n
d 2
n
a1
d 2
.
Sn n
为等差数列.
又Q12,20成,2等8 差数列，
S12 12
,
S20 20
,
S28 28
成等差数列，
2 S20 S12 S28 ， 20 12 28
即2 460 84 S28 ,
(2)前20项中，奇数项和
S奇
=
1 3
75=25，
偶数项和
S偶=
2 3
75=50，
又S偶 S奇=10d,
d 50 25 2.5 10
小结
等差数列前n项和Sn的性质应用
等差数列an 中
性质1.
sm，s2m sm，s3仍m 为 s等2m差，K数列，
公差为 m2d.
性质2.
例3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数
项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
设数列共有2n 项1 ，则 S奇 a1 a3 a5 L a2n1, S偶 a2 a4 a6 L a2n ,
S奇 S偶
a1 a3 a2 a5 a4 L a2n1 a2n
a21 a22 a23 a24 a25
S5 5 1 S10 S5Байду номын сангаас S5
15 4 20 15 15
25
例2
等差数列an前 项n和为
求 s28.
,若sn
S12 84，S20 =460，
等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：问题1：课前提示目录1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用等差数列的前n项和公式S n的巧记方法对一般的等差数列{a n } ，则有S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n=n (a 1+a n)等差数列的前n项和将a n用首项a1和公差d 表示，可得等差数列的前n项和已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝S n＝1a nna 1a n n a S n 与梯形面积1a n a 12()n n a a nS +⋅=n 补成平形四边形n a 1a n S S n与梯形面积1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d(n -1)d n S S n 与梯形面积例1 已知数列{a n}是等差数列，(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；还有更简单的方法吗？(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1. 在等差数列{a n}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值a n=a10+(n－10)d1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )A．5或7 B．3或5C．7或－1 D．3或－12．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )A．51 B．50C．49 D．483．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．等差数列的前n项和公式S n的性质等差数列的S n最值问题2122()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.2A B n S n n =+等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．由题目可获取以下主要信息：①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．方法三：先求出d＝－2(同方法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0.∴a13>0，a14<0，故n＝13时，S n有最大值169.已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．n117{|a n|}的前n项和．由题目可获取以下主要信息：①数列{a n}为等差数列；②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．n117 {|a n|}的前n项和．已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－12．等差数列的前n项和公式的应用(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
等差数列的通项公式与前n项和公式及性质
数列的运算方法（一）等差数列的通项公式与前n 项和公式及性质一、等差数列：定义：从第二项开始，每一项与前一项之差为常数符号形式：111(-+--=-=-n n n n n n a a a a ）d a a 或常数 公式：d n n na a a n S dn a a n n n 2)1()(2)1(111-+=+=-+= 常用技巧：（1）若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,（2）n n a n S )12(12-=-（3）若p n m a a a p n m 2,2=+=+则（等差中项）（4）已知nm a a d q a p a n m n m --=⇒==,,（直线的斜率） 其中*,,,N q p n m ∈说明：1、定义主要用于判断和证明；2、通项公式对应一次函数，但图像是一些离散的点；3、前n 项和公式，前半部分比较灵巧，后半部分对应二次函数，图像也是一些离散的点；4、常见题型：求值、单调性、大小比较、求最值、求和最重要的数学思想方法：方程思想、函数思想、整体思想、配方法、数形结合。
例习题：（一）基本公式的应用1、（1）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a则数列{}n a 的通项公式 ；（2）已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项为A 、52-nB 、12+nC 、32-nD 、12-n（3）设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是A 、1B 、2C 、4D 、8（4）在a 和b 两数之间插入n 个数，使它们与b a ,组成等差数列，则该数列的公差为2、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ）(A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-3、在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ）A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项4、设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列。
等差数列前N项和及性质
等差数列前N 项和及性质1、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）当11a s =也符合n ≥2时那么n a 不需要分类2 ①当项数为偶数n 2时，则 ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）3{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。
4等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+ 5若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列6m p =则0m p +=例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn 取最大值例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为例3一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为例4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9={)1()2(11=≥--=n S n S S n n n a一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( ) A．12 B．10 C．8 D．62．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )A．24 B．27 C．29 D．483．在等差数列{a n}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )A．12 B．24 C．36 D．484．已知等差数列{a n}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( ) A．99 B．66 C．33 D．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10 C．11 D．127．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A．360 B．370 C．380 D．3908．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )A．25 B．26 C．27 D．289、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1019、等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260二、填空题1．设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. 2．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________. 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.5．在等差数列{a n}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.三、解答题10．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知数列{a n}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n＝20，S2n＝38，求S3n.。
等差数列前n项和的性质及其推导过程
等差数列前n项和的性质及其推导过程等差数列前n项和的性质及其推导过程：1. 性质等差数列前n项和即等差数列 S 的前 n 项之和，表达式为：S = a1 + a2 + a3 + …… + an，即求前 n 项之和，其中 a1 为等差数列的首项，an 为等差数列的第 n 项。
等差数列的前 n 项之和具有以下性质：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d ;（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd；2. 推导过程（1）当 n 是正整数时，等差数列的前 n 项之和 Sn = a1 + a2 + a3+ …… + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d，其中 a1 为等差数列的首项，d 为等差数列的公差。
将上面的式子进行合并可得：Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d = na1 + d + d + d + …… + d = na1 + n(n - 1)d，因此，等差数列的前 n 项之和 Sn = na1 + n(n - 1)d；（2）等差数列的前 n 项之和 S n = n a1 + n(n - 1)d，只需要将 n 移到后面 T n = (n - 1) a1 + n(n - 1)d，不难看出 Sn - Tn = a1，Tn - Tn-1 = a1，由此可知，等差数列的前 n 项之和 S n 和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）令 Tn = S n - nd，由上可知 Tn = (n - 1) a1 + n(n - 1)d ，可以得到另外一个式子：a1 s = Sn - nd 。
综上所述，等差数列的前 n 项之和的性质及其推导过程主要有三点：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d；（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd。
等差数列前n项和性质
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
10a ＋1010－1d＝100， 1 2 为 d，则 100100－1 100a1＋ d＝10. 2
1 099 a ＝ 1 100 ， 解得 d＝－ 11 . 50 110110－1 ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ × ( － 2 50)＝－110.
返回
n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.
返回
变式2．项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为51， 偶数项之和为42.5，首项为1，求这个数列的项数及通
项公式．
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110 －S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋ d＝10， 2 解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ d＝11×100＋ ×(－22)＝ 2 2 －110.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
通项公式．
解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
第3节 等差数列的前n项和及其性质
第3节 等差数列的前n 项和及其性质要点一 等差数列的前n 项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d1．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( √ ) 2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝kn (k ∈R )，则{a n }为常数列．( √ ) 3．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( √ )一、等差数列前n 项和的有关计算 例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5. 反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝7，求S 9； (2)a 3＋a 15＝40，求S 17；(3)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2. 故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.(3)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16，所以n ＝15，d ＝－16.二、等差数列前n 项和的比值问题例2 有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①，②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9.故A 9B 9＝a 5×9b 5×9.故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋ba ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ，b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k .所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 设{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则a n ∶b n ＝S 2n －1∶T 2n －1.跟踪训练2 已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝2n ＋33n －1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532 C ．1 D ．2 答案 A解析 由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，同理可得T 11＝11b 6，因此，S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2×6＋33×6－1＝1517.要点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1. 思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？ 答案 中间两项，中间项．要点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65，所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . 解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m .即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大； (2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②，由①②得d ＝－4. (2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值． 解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. 因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得 a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形 ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和S n 取得最小值S 3＝S 4＝－18.三、求数列{|a n |}的前n 项和例3 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *. 反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．等差数列前n 项和1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 答案 B解析 2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 答案 C解析 因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580， 解得n ＝20或n ＝－29(舍)．3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11， 得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( ) A ．－1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 AB解析 由题意知a 1＋(n －1)×2＝11，① S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝35，②由①②解得a 1＝3或－1.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0，得a 13＝12，则a 1＋12d ＝12，得d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －14，由2n －14>0，得n >7，即使得a n >0的最小正整数n 为8.6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其首项a 1＝________，公差d ＝________. 答案 1 12解析 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.答案 12解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， 所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12.9．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， ∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100， ∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1， 所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 所以1S n －1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ， 所以S n ＝－1n. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B.n (n ＋1)2C.3n (n －1)2D.n (n －1)2答案 C 解析 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 16．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解 (1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14， ∴a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．等差数列前n 项和的性质及应用1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( ) A ．10 B ．100 C ．110 D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81. 4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确； S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确； 数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k 2， 解得k ＝2 020.6．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148，S 偶－S 奇＝50d ＝50，解得S 偶＝99.7．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 答案 5解析 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为________．答案 6解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.9．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8， 故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2； 则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________. 答案 310解析 设S 4＝k ，S 8＝3k ，由等差数列的性质得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12构成等差数列．所以S 8－S 4＝2k ，S 12－S 8＝3k ，S 16－S 12＝4k .所以S 12＝6k ，S 16＝10k .S 8S 16＝310.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433， 解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1<2,6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)．(1)求证：{a n }是等差数列；(2)令b n ＝3a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1. 证明 (1)因为6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)， 所以当n ≥2时，6S n －1＝(a n －1＋1)(a n －1＋2)，两式相减，得到6a n ＝(a 2n ＋3a n ＋2)－(a 2n －1＋3a n －1＋2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝3(a n ＋a n －1)， 又因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列．(2)当n ＝1时，6S 1＝(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2，因为a 1<2，所以a 1＝1，由(1)可知a n －a n －1＝3，即公差d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，所以b n ＝3a n a n ＋1＝3(3n －2)(3n ＋1)＝13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝1－13n ＋1<1.。
好的等差数列前n项和及其性质
例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多 少项的和最小？
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋21×12×11·d ，∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn ＝d2n－2212－4841d. ∵d>0，∴Sn 有最小值．
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
高二·必修5·数学
『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』
思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列， 即数列a1＋a2＋…＋ak， ak+1＋ak+2＋…＋a2k， a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，… … 是等差数列吗？
性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk， S3k－S2k , …仍然成等差数列
Sn
10500 10（10 1）50 2
7250（万元）
答：从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 中的总投入是7250万元。
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a 例2. 己知一个等差数列｛ n｝前10项高二的·必和修5·数学
是310,前20项的和是1220.由这些条件能确
①若C＝0，则数列{an}是等差数列； ②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
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高二·必修5·数学
思考4：若{an}为等差数列，那么 {Sn }是什么数列？ n
数列{an}是等差数列
{Sn } 为等差数列 n
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列的前n项和公式的性质
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列前n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容，其中心是通项公式与前n 项和公式。
透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。
现就等差数列前n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。
性质1：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，公差为d ，*.N n m ∈ 则①()d m n m S n S m N -=-21 ②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+ 性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈若k n m ..成等差数列，则kS n S m S k n m ,,成等差数列 性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈若n m q p +=+，则qp S S n m S S q p n m --=-- 性质4：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：（人教版高中数学第一册上123P 7题）如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是6-，求其前n 项和公式。
解：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：n n S n 30433072+-= 例2：（97年全国高考文科卷）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}n a 的通项公式n a 。
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
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精心整理
2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】
1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系；
2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式.
【自学园地】
1. 等差数列的前n 项和的性质：
已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．
(1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .
(2)a m （3）仍成等差，且公差为（4中项数相等，且S -偶1n n a a +=． （5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.
2.{}n a 为等差数列⇔其前n 项和2n S An Bn =+．
3.若数列{}n a 为等差数列{
}n S n
⇒成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100
n n a a +≥⎧⎨<⎩的正整数解时取得；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1
00n n a a +≤⎧⎨>⎩的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=⇔=．
5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量．
【典例精析】
1.（1（2（3（4，则项数n （5d ．
（62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.中，321,S =7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)n a n n =
+，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2)
n a n n =
+，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（）
A.8
B.7
C.6
D.5
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612
S S =（）
A.
3
10
B.
1
3
C.
1
8
D.
1
9
3.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等()
A．8B．10C．12 D.14
4．下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题：
p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{a n＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为()
A．p
1
5
A．15
6
A．2
7
A．4
8
9
n的值是
A.4和
10
(1)
11.
【
1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B.－4C．－2 D.2
2．在等差数列{a n}中，a9＝a12＋6，则数列{a n}的前11项和S11＝() A．24 B.48C．66 D.132
3．设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于() A．31 B．32
C．33 D．34
4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于() A．13 B．35
C ．49
D ．63
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1的值等于________．
6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求a n 的表达式．
8.等差数列{}n a 中，110,a =且21325(22)a a a =+，求
（1）n a （2）若n a +。