2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理

专题03 直击函数压轴题中零点问题
一、解答题
1．已知函数()()()2
ln 10f x x a x a =+->.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3
12
e x e --<<.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110,
2x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
，于是： ()2
0010lnx a x +-= ①，2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x --=，设g (x )＝lnx −1
2x x
-，(x ∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
（2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，
且0110,
2x x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
. 于是： ()2
0010lnx a x +-= ①
2002210ax ax -+= ②
由①②得0001ln 02x x x --
=，设()()()1
ln ,0,12x g x x x x
-=-∈， 则()2212x g x x '-=
，因此()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 又3
32
2
402e g e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
， ()11
302e g e ---=< 根据零点存在定理，故3
12
0e
x e --<<.
点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f (x )＝x 2
＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(),1-∞
【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f (x )在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： 2
b x x
<- ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范围．
(2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，
所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．
令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减，
所以b<g(x)max＝g(1)＝2－1＝1 ，从而实数b的取值范围为(－∞，1)．
点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
3．已知函数()()2
10f x ax mx m a =++-≠.
（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；
（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围； （3）已知12,x x R ∈R 且12x x <， ()()12f x f x ≠，求证：方程()()()121
2
f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦ 在区间()12,x x 上有实数根.
【答案】⑴见解析;⑵01a <<;⑶见解析.
【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程()()()121
2f x f x f x ⎡⎤=
+⎣
⎦在区间()12,x x 上有实数根，即()()()()121
2g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣
⎦有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析：
⑴()10,10,1f a m m a -=∴-+-=∴=Q
()21f x x mx m ∴=++-
()()2
2412m m m ∆=--=-,
当2m =时， 0∆=，函数()f x 有一个零点； 当2m ≠时， 0∆> ，函数()f x 有两个零点
⑶设()()()()121
2g x f x f x f x ⎡⎤=-
+⎣
⎦，
则()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-
+=-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()22122111
22
g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦ ()()12f x f x ≠Q
()()()()212121
04
g x g x f x f x ⎡⎤∴⋅=--<⎣⎦, ()0g x ∴=在区间()12,x x 上有实数根，
即方程()()()121
2f x f x f x ⎡⎤=
+⎣
⎦在区间()12,x x 上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．已知函数()2
ln f x a x bx =-图象上一点()()
2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++.
(1)求,a b 的值;
(2)若方程()0f x m +=在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中
e 2.71828=L 为自然对数的底).
【答案】(1)a =2,b =1.(2) 21
12e
m <≤+. 【解析】试题分析：
本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用．(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解．(2)先利用导数研究函数h (x )=f (x )+m =2lnx ﹣x 2
+m 的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解．
(2)由（1）得f (x )=2lnx ﹣x 2
， 令h (x )=f (x )+m =2lnx ﹣x 2
+m ，
则()()
2212
2x h x x x x
='-=-，
令h '(x )=0，得x =1(x =﹣1舍去)．
故当x ∈11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ∈(1，e ]时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． ∵方程h (x )=0在1e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，内有两个不等实根，
∴()()22
1120
e e {110
20
h m h m h e e m ⎛⎫
=--+≤ ⎪⎝⎭
=-+>=-+≤，解得21
12e m <≤+． ∴实数m 的取值范围为211,
2e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
. 点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参
数的交点个数；
（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题．
（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5．已知函数()1x
f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈
（I ）若a e =，函数()()2g x e x =- ①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间 ②若函数()()(),{
,f x x m F x g x x m
≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围
（II ）若存在实数[]
12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证： 21e a e e -≤≤- 【答案】（1）①详见解析②实数m 的取值范围是10,
2e ⎡
⎤⎢⎥-⎣⎦
；（2）21e a e e -≤≤-；
试题解析：
（1）当a e =时， ()1x
f x e ex =--.
①()()()()21,'2x
x
h x f x g x e x h x e =-=--=-.
由()'0h x >得ln2x >，由()'0h x <得ln2x <.
所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. ②()'x
f x e e =-
当1x <时， ()'0f x <，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减； 当1x >时， ()'0f x >，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.
()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-,
因为()F x 的值域为R ，所以12)m
e em e m --≤-，
即210m e m --≤. *
（）
（2）()'x
f x e a =-.
若0a ≤时， ()'0f x >，此时()f x 在R 上单调递增. 由()()12f x f x =可得12x x =，与121x x -≥相矛盾， 同样不能有[
)12,ln ,x x a ∈+∞.
不妨设1202x x ≤<≤，则有120ln 2x a x ≤<<≤.
因为()f x 在()1,ln x a 上单调递减，在()2ln ,a x 上单调递增，且()()12f x f x =， 所以当12x x x ≤≤时， ()()()12f x f x f x ≤=. 由1202x x ≤<≤，且121x x -≥，可得[]
121,x x ∈ 故()()()121f f x f x ≤=.
又()f x 在(]
,ln a -∞单调递减，且10ln x a ≤<，所以()()10f x f ≤，
所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤. 即2
10,
{
122e a e a e a --≤--≤--，
解得211e a e e -≤≤--， 所以21e a e e -≤≤-.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 6．已知函数()1x
x
f x ax e =
-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]
1,1x ∈-上的值域； （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1）[]
2,1e -（2）当0a ≤时， ()f x 只有一个零点；当0a >时， ()f x 有两个零点．
（2）原方程等价于10x e a x -
-=实根的个数，原命题也等价于()1
x h x e a x
=--在(),0)(0,x ∈-∞⋃+∞上的零点个数，讨论0a =， 0a <， 0a >，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.
试题解析：（1）当1a =时， ()1x x f x ax e =-+，则()()11x
x
f x
g x e
-'-==， 而()2
0x
x g x e -'=
<在[]1,1-上恒成立，所以()()g x f x ='在[]1,1-上递减， ()()max 1210f x f e =-=-'>'， ()()min 110f x f ''==-<，
所以()f x '在[]
1,1-上存在唯一的00x =，使得()00f '=，而且
当()1,0x ∈-时， ()0f x '>， ()f x 递增；当()0,1x ∈时()0f x '<， ()f x 递减； 所以，当0x =时， ()f x 取极大值，也是最大值，即()()max 01f x f ==，
()()(){}()min min 1,112f x f f f e =-=-=-，
所以， ()f x 在[]1,1-上的值域为[]
2,1e -.
（I ）若0a =，则
当(),0x ∈-∞时， ()1
0x h x e x
=-
>恒成立，则没有零点； 当()0,x ∈+∞时， ()110h e =->， 1202h e ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递增的，所以有唯一的零点。

（II ）若0a <，则
当(),0x ∈-∞时， ()1
0x h x e a x
=-
->恒成立，则没有零点； 当()0,x ∈+∞时， 110a h e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 11
22
12202a h e e a -⎛⎫=-<-< ⎪-⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递
增的，所以有唯一的零点 （III ）若0a >，则
当(),0x ∈-∞时，由 ()x
e x x R >∈，则11
0,(0)x e a x a x x x
-
->--><， 则2
10,x ax --<取20402a a x +=
<，则()00h x <，又()1
0a h a e a a
--=+-<，所以()h x 在(),0-∞有唯一的零点，
当()0,x ∈+∞时， ()()1111
1110111a h a e a a a a a a
++=-
->+--=->+++，
()()()1
2122202a h e a a a a a a a +⎛⎫=-+-<+-+-=-< ⎪+⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递增的，所以有唯一的零点
综上所述，当0a ≤时， ()f x 只有一个零点；当0a >时， ()f x 有两个零点． 7．已知函数()1ln f x ax x =-+
（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围；
（2）在（1）中， a 取最小值时，设函数()()()
()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恰有两个零点，求实数k 的取值范围；
（3）证明不等式： ()221
2ln 234n n n n
-+⨯⨯⨯⨯>L （*n N ∈且2n ≥）.
【答案】(1) [
)1,+∞；(2) 9ln21105
⎛⎤
+
⎥⎝
⎦
，；(3)证明见解析.
(2)由(1)可知， 1a ≥，当1a =时， ()1ln f x x x =-+，
()()()ln 22g x x x x k x =--++ ()2ln 22x x x k x =--++，
()g x 在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，即关于x 的方程()2ln 220x x x k x --++=在区间1,82⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两
个实数根. 整理方程得， 2ln 22x x x k x -+=+，令()2ln 21,822x x x s x x x -+⎡⎤
=
∈⎢⎥+⎣⎦
，， ()()
22
32ln 4
'2x x x s x x +--=
+， 令()2
32ln 4x x x x ϕ=+--， 1,82
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则()()()
212'x x x x
ϕ-+=
， 1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是()'0x ϕ≥， ()x ϕ在1,82
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
因为()10ϕ=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时， ()0x ϕ<，从而()'0s x <， ()s x 单调递减， 当(]
1,8x ∈时， ()0x ϕ>，从而()'0s x >， ()s x 单调递增，
19ln2
2105
s ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()11s =， ()3312ln285s -=，
因为()15726ln280210s s -⎛⎫-=>
⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是9ln2
1105⎛⎤
+
⎥⎝⎦
，. (3)由(1)可知，当1a =时，有1ln x x -≥， 当且仅当1x =时取等号. 令21x k =
，则有22
111ln k k
-≥，其中*
,k N ∈ 2k ≥. 整理得： ()211111
2ln 111111k k k k k k
k k ≥-
=->-=-+⋅-⋅-， 当2,3,,k n =L 时，
112ln21212>-
+-， 112ln31313>-+-， L ， 112ln 11n n n
>-+-， 上面1n -个式子累加得： ()12ln 2311n n n ⨯⨯⨯>--+L . *
n N ∈且2n ≥，
即()221
2ln 23n n n n
-+⨯⨯⨯>L .命题得证.
8．已知函数()()ln 1ax
f x e x =+，其中a R ∈.
（1）设()()ax
F x e
f x -='，讨论()F x 的单调性；
（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围是10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
解析：（1）定义域{}()()()11| 1 ,'ln 1ln 111ax
ax
ax x x f x a e x e e a x x x ⎛
⎫>-=⋅++⋅
=++ ⎪++⎝
⎭ 故()()()1'ln 11ax F x e f x a x x -==++
+ 则 ()()()
22
11
'111a ax a F x x x x +-=-=+++ 若0a =，则 ()()'0,F x F x <在 ()1,-+∞ 上单调递减； 若0a ≠，则 ()1
'01F x x a
=⇒=-. （i ） 当 0a <时，则 1
11x a
=-<-，
因此在()1,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()1,-+∞ 上单调递减；
（ii ）当0a >时， 111x a =
->-，
因而在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在11,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上有()'0F x > ；
因此 ()F x 在 11,
1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增.
（ii ）当102a <<
，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1'0210,'0,'2h a h h x a ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭
在 ()0,+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()0,+∞的第一个零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()00,x 上为减函数，又 ()()000h x h <=，
所以当 ()00,x x ∈时， ()'0g x <，从而 ()g x 在 ()00,x 上单调递减，故在 ()00,x 上恒有
()()00
g x g <=。

即
()00
g x < ，注意到
ax e x ax
>，因此
()()()()()ln 1ln 11ln 11ax g x e x x x ax x x a x =+->+-=+-，令1
a
x e =时，则有()0g x >，由零点存在
定理可知函数 ()y g x =在 1
0,a x e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有零点，符合题意.
点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln 1x
e x x x ≥+≤-等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数. 9．设函数()ln
f x x =， ()b
g x ax c x
=+
-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；
（2）当3b a =-时，若对任意()01,x ∈+∞和任意()0,3a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得
()()()120g x g x f x ==，求c 的最小值；
（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于()11,,A x y ()2212,()B x y x x <两点．求证：
122121x x x b x x x -<<-.
【答案】（1）1
2{ 12
a b =
=-
（2）3
（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x x x x x -
<<-.再构造函数()1
ln 1t t t
ϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论
（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化为方程3(0)a
ax c t t x
-+
-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()2
30(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．
所以()()2
121203
430{ 030
a c t a a c t x x a a x x a
<<∆=+-->++=>-=>，得()()2
03
{43 0a c t a a c t <<+>-+>， 所以()23c a a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．
因为03a <<，所以（当且仅当3
2
a =
时取等号）， 又0t -<，所以
的取值范围是(),3-∞，所以3c …．
故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，
所以111
222
{ b lnx x c x b lnx x c x =+
-=+-，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭.
要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x
x x x x x x x x x x ⎛⎫
--<-
<- ⎪-⎝⎭
，
即证
212211ln ln 11
x x x x x x -<<-，即证122211
1ln 1x x x x x x -<<-. 令
21x t x =，则1t >，此时即证1
1ln 1t t t
-<<-． 令()1ln 1t t t
ϕ=+-，所以()2
2111
0t t t t t ϕ'-=-
=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即1
1ln t t
-<成立；
再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110t
m t t t
-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，
又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
10．已知函数()f x lnx ax =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性;
（Ⅱ）当函数()f x 有两个不相等的零点12,x x 时,证明: 2
12x x e ⋅>.
【答案】(1)见解析(2)见解析
试题解析：（Ⅰ）当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞单调递增；
当0a >时， ()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增；
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 11．已知()()()32
31ln ,2
x f x x e e x g x x x a =--=-++． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
. 【解析】试题分析：
（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在
()0,+∞上的值域为[)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有1
个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()10{
20
g g ≥<，由此可得所求范围．
（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值， 又()10f =，
所以()f x 在()0,+∞上的值域为[
)0,+∞．
因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个． 因为()32
32
g x x x a =-+
+， 所以()()2
3331g x x x x x =-+'=--，
所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
所以
()
()
10
{
20
g
g
≥
<
，即
1
{
2
20
a
a
+≥
-+<
，
解得
1
2
2
a
-≤<．
所以实数a的取值范围是
1
,2
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭．
点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．12．设函数()()
2ln2
f x x a x a x
=---.
（1）求函数()
f x的单调区间；
（2）若存在
1
x、
2
x满足()()
12
f x f x
=.求证：12
2
'0
3
x x
f
+
⎛⎫
>
⎪
⎝⎭
（其中()
'f x为()
f x的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析
试题解析：
（1）由题知()()
'22
a
f x x a
x
=---
()
2
22
x a x a
x
---
=
()()
21
(0)
x a x
x
x
-+
=>.
当0
a>，此时函数()
f x在,
2
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
单调递增，在0,
2
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减.
当0a ≤，此时函数()f x 在()0,+∞单调递增. （2）因为()()12f x f x =，由（1）知0a > 不妨设1202
a
x x <<
<，由()()12f x f x =得， ()21112ln x a x a x --- ()22222ln x a x a x =--- 即()()2
2
1122222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，
22
112222x x x x +-- 1122ln ln ax a x ax a x =+-- ()1122ln ln a x x x x =+--
所以22
1122
1122
22ln ln x x x x a x x x x +--=+--.
()0,1t ∈， ()0m t <总成立，
原题得证.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 13．已知函数()()2
2
ln R f x a x x ax a =-+∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
(
)
51e 1,
2
⎛
⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭
试题解析：
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()2222a x a x a ax x f x x x
-++='-=.
由()0f x '=得x a =或2
a
x =-
. 当0a =时， ()0f x '<在()0,+∞上恒成立，
所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
.
点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 14．已知函数()()21x
f x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数.
（1）若函数()f x 在区间[]
0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；
（2）已知函数()()2
11x
g x e a x bx =----，且()10g =，若函数()g x 在区间[]
0,1上恰有3个零点，求
实数a 的取值范围．
【答案】(1) ][3,
1,22e
⎛⎫-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭
(2) ()1,2e - 【解析】试题分析：（1）函数()f x 在区间[]0,1上单调递增等价于()'0f x ≥在区间[]
0,1上恒成立，可得()()
min
211x a e -≤=，函数()f x 在区间[]0,1单调递减等价于()'0f x =≤在区间[]0,1上恒成立，可得()()
max
21x
a e e -≥=，综合两种情况可得结果；（2）()()()'21x g x e a x
b f x =---=，由
()()010g g ==，
知()g x 在区间()0,1内恰有一个零点，设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调，所以()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ，同理， ()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以只需()f x 在区间()0,1内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论()f x 的零点，从而可得结果．
（2）()()()'21x
g x e a x b f x =---=．
由()()010g g ==，知()g x 在区间()0,1内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调， 所以()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理， ()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间()0,1内恰有两个零点．
由（1）知，当3
2
a ≤时， ()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间()0,1内至多有一个零点，不合题意． 当12
e
a ≥
+时， ()f x 在区间[]0,1上单调递减， 故()f x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意； 所以
3122
e
a <<+．
15．已知函数()()ln 1ax
f x e x =+，其中a R ∈.
（1）设()()ax
F x e
f x -='，讨论()F x 的单调性；
（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围是10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】试题分析：（1）求导可以得到()()
2
1
'1ax a F x x +-=
+，分0,0,0a a a =三种情况讨论导数的符号.
（2）计算可以得到()()ln 1ax
g x e x x =+-，其导数为()()'1ax
g x e F x =-，我们需要讨论()'g x 的符号，
故需再构建新函数()()1ax
h x e F x =-，其导数为()()()
2
2
221'ln 11ax
ax a h x e a x x ⎛⎫
+- ⎪=++ ⎪+⎝⎭
，结合原函数()g x 的形式和()'h x 的形式，我们发现当0a ≤时()0g x <恒成立；当1
02
a <<时， ()'h x 在()0,+∞上
有极小值点0x x = ，结合10a g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
可知()g x 在()0,+∞上有零点；当1
2a ≥时， ()'0h x >恒成立，
结合()00h =可知， ()'0g x > 在()0,+∞上也是恒成立的，故而()g x 在()0,+∞上递增()0g x >恒成立.
（i ） 当 0a <时，则 1
11x a
=-<-，
因此在()1,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()1,-+∞ 上单调递减；
（ii ）当0a >时， 111x a =
->-，
因而在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在11,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上有()'0F x > ；因此 ()F x 在 11,
1a ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增. （2）设 ()()()()ln 1,0,ax
g x f x x e x x x =-=+-∈+∞,
()()()()1''1ln 1111ax ax
g x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝
⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，
则 ()()()()()2
2221''ln 11ax
ax
ax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫
+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭
. 先证明一个命题：当0x >时， ()ln 1x x +<.令()()ln 1S x x x =+-， ()1'1011x
S x x x
-=
-=<++，故()S x 在()0,+∞上是减函数，从而当0x >时， ()()00S x S <=，故命题成立.
若0a ≤ ,由 0x >可知， 01ax e <≤.()()()
ln 1110ax ax ax g x e x e x x x e ∴=+-<-=-≤，故
()0g x <，对任意()0,x ∈+∞都成立，故 ()g x 在()0,+∞上无零点，因此0a >.
（ii ）当102a <<
，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1'0210,'0,'2h a h h x a ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭
在 ()0,+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()0,+∞的第一个零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()00,x 上为减函数，又 ()()000h x h <=，
所以当 ()00,x x ∈时， ()'0g x <，从而 ()g x 在 ()00,x 上单调递减，故在 ()00,x 上恒有
()()00
g x g <=。

即
()00
g x < ，注意到
ax e x ax
>，因此
()()()()()ln 1ln 11ln 11ax
g x e x x x ax x x a x =+->+-=+-，令1
a
x e =时，则有()0g x >，由零点存在
定理可知函数 ()y g x =在 1
0,a
x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有零点，符合题意.
点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln 1x
e x x x ≥+≤-等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数. 16．已知函数()ln 3
f x a x bx =--（R a ∈且0a ≠） （1）若a b =，求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证： 12ln ln 2x x +>. 【答案】(1) 当0a >时，函数()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,+∞，当0a <时，函数()
f x
的单调增区间是()1,+∞，单调减区间是()0,1.(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由()ln 3f x a x ax =--知()()1a x f
x x
=
'-分0a >， 0a <两种情况讨论即得
解；（2）()ln g x x bx =-，设()g x 的两个相异零点为12,x x ，设120x x >>，因为()10g x =， ()20g x =，所以11ln 0x bx -=， 22ln 0x bx -=，相减得()1212ln ln x x b x x -=-，相加得()1212ln ln x x b x x +=+.要证12ln ln 2x x +>，即证()122b x x +>，即
121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()121212
2ln x x x x x x ->+，换元设121
x t x =>上式转化为()()21ln 11
t t t t ->
>+.构造函数()()21ln 1
t g t t t -=-
+
求导研究单调性即可得证.
（2）()ln g x x bx =-，设()g x 的两个相异零点为12,x x ， 设120x x >>，
∵()10g x =， ()20g x =， ∴11ln 0x bx -=， 22ln 0x bx -=，
∴()1212ln ln x x b x x -=-， ()1212ln ln x x b x x +=+. 要证12ln ln 2x x +>，即证()122b x x +>，
即121212ln ln 2
x x x x x x ->-+，即()121212
2ln x x x x x x ->
+，
设1
21x t
x =
>上式转化为()()21ln 11
t t t t ->>+. 设()()21ln 1
t g t t t -=-
+，∴()()
()
2
2
101t g t t t +'-=>，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，
∴()()10g t g >=，∴()21ln 1
t t t ->
+，∴12ln ln 2x x +>.
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题 17．设函数()()()2
2ln 11f x x x =---. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若关于x 的方程()2
30f x x x a +--=在区间[]
24，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞;(2) a 的取值范围是[
)2ln352ln24--，.
试题解析：
（1）函数()f x 的定义域为()1+∞， ∵()()()2212111x x f x x x x --⎡⎤=--=⎢
⎥--⎣⎦
'
∵1x >，则使()0f x '<的x 的取值范围为()2,+∞， 故函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞
31 故()230f x x x a +--=在区间[]24，内恰有两个相异实根()()()20{30 40.
g g g ≥⇔<≥，
，
即30
{4220 5230
a a ln a ln +≥+-<+-≥，解得： 2ln352ln24a -≤<-
综上所述， a 的取值范围是[)2ln352ln24--，。