第四章 恒定磁场59页PPT
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第四章 恒定磁场
§4-1 磁感应强度与毕奥-萨瓦定律 §4-2 磁通及其连续性原理 §4-3 真空中的安培环路定理 §4-4 非真空媒质中的安培环路定理 §4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件 §4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式 §4-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 §4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程 §4-10 自感及其计算 §4-12 载电流回路系统的磁场能量及其分布
§4-1 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律
1.磁感应强度
2.磁感应强度
BB 1.磁场F qvB （4-1）
3.磁场d F 力 （d 安培v q 力B ） d考d q l 察 磁B 场 中I 载l 流d 微B 小(线4元-2）Idl dt
FId lB
图4-1 正点电荷运动 方向与磁场方向夹角
BdS (4-8) s
图4-7 穿过面元 的磁感应强度
2.磁通连续性原理
穿过空间任意闭合曲面S的磁通恒等于零。
sBdS0
(4-10)
——磁通连续性原理的积分形式，说明磁场是一个无源场。
由高斯公式有
diBv0
——磁通连续性原理的微分形式：磁场中，空间任一点 的磁感应强度矢量的散度恒为零。它说明了磁场是无源场，磁 感应强度矢量线处连续而不断。
z a bdr b
zabdr
b
d d b d 2 0I ra b b drdr
0I2a b bdln b dd2 0Ia
0.1210 6Wb
§4-3 真空中的安培环路定理
1.定理 真空媒质中，一般情况下
lB dl 0 I
（4-14）
——真空中的安培环路定理
2.物理意义
真空媒质中，磁感应强度 沿B任意闭合
补充例4-2 判断下列矢量函数是否可能是某区域的磁感应强度。
1 B A e r ; 2 F r A ( x e x y e y ) 3 F ; A e r
解：依据磁通连续性原理判断
1
B
1
r Ar 0,不可能
r r
2
F
Ax
Ay 0,可能
x
y
3
F
1
Ar 0,可能
解 坐标系如图示。在区间（a，d－a）内 任一点x处截取长度元dx，则导线1，2 在x处的磁感应强度分别为
B 14 0x I(c0o 0s co 2)s4 0x I B 24 ( d 0I x )(c 2 o cs o) s4 ( d 0 I x )
BB 1B 2 4 0I(1 xd 1x)
解:采用圆柱坐标系，取电流Idz，则
长直导线的磁场
B 0
4
IdleR L R2
R2r2z2
dleRdzsine
dzsine rde z R
B40
L1
Ir dz0I[
L2(r2z2)32 4r
L1 r2L12
L2 ] r2L22
40rI(sin 1sin2) 当 L1 ,L2 ,B 20rIe
r
设某B 磁 场1 磁x 感e 2 x 应 强2 度y e 为 5 y ce zz，求c。
例4-3 无限长直导线通以电流I，直角三角形ΔA’B’C’与之
共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。a=12cm，b=7cm，
d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解 长窄直长导条线上外穿任进一的点磁的通磁d 感应强B 度dS BB20dIre 2 s0Irzdr
F d F d a I0 I 1 1 d x 0 I 2 ln d a a 4 xd x 2 a
§4-2 磁通及其连续性原理
1.磁通
磁感作应磁强场度的矢矢量量线线，B 数穿简过称某为微磁小通面量元或的磁
通。其表达式为
BdS (4-7) s
当S为空间闭合曲面时，磁通为
dB 40IdlR2R0 (4-3）
图4-3 载流导体外一
真空磁导率 μ0 ＝4π×10-7H/m
点的磁感应强度
闭合载流回路产生的
B 40I
dl R0 l R2
(4-4)
对于任何其它均匀媒质空间 μ——空间媒质的磁导率
I dlR0
B
4 l
R2
(4-5)
Байду номын сангаасμr (=μ／μ0)——媒质的相对磁导率
例4-1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解：由对称知磁力线必为同心圆。沿每个 圆的磁场强度是恒定值，对任意半径r有
Bdl
c
02Brd2rB 0I
B20rI e
图4-12 长直载流 导线的磁场
例4-4 空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为a。试确 定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为μ0。
解 磁场以长直圆柱导体的轴线作 对称分布，取半径为r的圆周为闭 合曲线l半径为r（r＜a）的圆所交 链的仅是电流I的一部分：
补充例4-1 分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生 的磁感应强度。
b
I
R
P
a
（a）
P
I （b）
I P R （c）
解：(a)B 0I，方向自P点进入纸面
2R
(b)B
a0Iba2
b 2
2
1
2
，方向
自P点进入纸面
cB 0I (1 1)，方向自P点进入纸面
2R 2
例4-2 两平行的，轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直 导线3连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I，试确定连 接1，2的导线段3
图4-2 电流元、磁 场和磁场力方向
B的单位特斯拉
（T），1T＝ 1Wb/m2
仿电力线的作法，可作出恒定磁 场的磁感应强度 线B。
两根异向长直流导 线的磁场分布
长直螺线管磁场的分布
两根相同方向长直流导 线的磁场分布
2.毕奥－萨瓦定律
毕奥、萨瓦二人用实验归纳出：
微小载流线元在无限大空间某点所
产生的磁感应强度为
有向曲线l的环路积分，等于与该闭合有向 曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质磁 导率的乘积。
图4-11 磁场的有 旋性示意
磁场的环路积分不恒为零，说明磁场与静电场不同。它 的分布具有旋涡形，是非位场。
注意：电流的方向
3.应用
利用真空中 的B 环路定理，可以求解一些简单磁场的计算问
题。
补充例4-3 一根细而长的导线沿z轴放置，载有电流I。试用安 培定律求出自由空间任一点的磁感应强度。
r2 I r2 I a2 a2
lB 1dlB12r0Ia r22
B1 20aI2rra
同理
B2
0I 2r
(ra)
图4-13 例4-4图
§4-4 非真空媒质中的安培环路定理
§4-1 磁感应强度与毕奥-萨瓦定律 §4-2 磁通及其连续性原理 §4-3 真空中的安培环路定理 §4-4 非真空媒质中的安培环路定理 §4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件 §4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式 §4-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 §4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程 §4-10 自感及其计算 §4-12 载电流回路系统的磁场能量及其分布
§4-1 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律
1.磁感应强度
2.磁感应强度
BB 1.磁场F qvB （4-1）
3.磁场d F 力 （d 安培v q 力B ） d考d q l 察 磁B 场 中I 载l 流d 微B 小(线4元-2）Idl dt
FId lB
图4-1 正点电荷运动 方向与磁场方向夹角
BdS (4-8) s
图4-7 穿过面元 的磁感应强度
2.磁通连续性原理
穿过空间任意闭合曲面S的磁通恒等于零。
sBdS0
(4-10)
——磁通连续性原理的积分形式，说明磁场是一个无源场。
由高斯公式有
diBv0
——磁通连续性原理的微分形式：磁场中，空间任一点 的磁感应强度矢量的散度恒为零。它说明了磁场是无源场，磁 感应强度矢量线处连续而不断。
z a bdr b
zabdr
b
d d b d 2 0I ra b b drdr
0I2a b bdln b dd2 0Ia
0.1210 6Wb
§4-3 真空中的安培环路定理
1.定理 真空媒质中，一般情况下
lB dl 0 I
（4-14）
——真空中的安培环路定理
2.物理意义
真空媒质中，磁感应强度 沿B任意闭合
补充例4-2 判断下列矢量函数是否可能是某区域的磁感应强度。
1 B A e r ; 2 F r A ( x e x y e y ) 3 F ; A e r
解：依据磁通连续性原理判断
1
B
1
r Ar 0,不可能
r r
2
F
Ax
Ay 0,可能
x
y
3
F
1
Ar 0,可能
解 坐标系如图示。在区间（a，d－a）内 任一点x处截取长度元dx，则导线1，2 在x处的磁感应强度分别为
B 14 0x I(c0o 0s co 2)s4 0x I B 24 ( d 0I x )(c 2 o cs o) s4 ( d 0 I x )
BB 1B 2 4 0I(1 xd 1x)
解:采用圆柱坐标系，取电流Idz，则
长直导线的磁场
B 0
4
IdleR L R2
R2r2z2
dleRdzsine
dzsine rde z R
B40
L1
Ir dz0I[
L2(r2z2)32 4r
L1 r2L12
L2 ] r2L22
40rI(sin 1sin2) 当 L1 ,L2 ,B 20rIe
r
设某B 磁 场1 磁x 感e 2 x 应 强2 度y e 为 5 y ce zz，求c。
例4-3 无限长直导线通以电流I，直角三角形ΔA’B’C’与之
共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。a=12cm，b=7cm，
d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解 长窄直长导条线上外穿任进一的点磁的通磁d 感应强B 度dS BB20dIre 2 s0Irzdr
F d F d a I0 I 1 1 d x 0 I 2 ln d a a 4 xd x 2 a
§4-2 磁通及其连续性原理
1.磁通
磁感作应磁强场度的矢矢量量线线，B 数穿简过称某为微磁小通面量元或的磁
通。其表达式为
BdS (4-7) s
当S为空间闭合曲面时，磁通为
dB 40IdlR2R0 (4-3）
图4-3 载流导体外一
真空磁导率 μ0 ＝4π×10-7H/m
点的磁感应强度
闭合载流回路产生的
B 40I
dl R0 l R2
(4-4)
对于任何其它均匀媒质空间 μ——空间媒质的磁导率
I dlR0
B
4 l
R2
(4-5)
Байду номын сангаасμr (=μ／μ0)——媒质的相对磁导率
例4-1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解：由对称知磁力线必为同心圆。沿每个 圆的磁场强度是恒定值，对任意半径r有
Bdl
c
02Brd2rB 0I
B20rI e
图4-12 长直载流 导线的磁场
例4-4 空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为a。试确 定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为μ0。
解 磁场以长直圆柱导体的轴线作 对称分布，取半径为r的圆周为闭 合曲线l半径为r（r＜a）的圆所交 链的仅是电流I的一部分：
补充例4-1 分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生 的磁感应强度。
b
I
R
P
a
（a）
P
I （b）
I P R （c）
解：(a)B 0I，方向自P点进入纸面
2R
(b)B
a0Iba2
b 2
2
1
2
，方向
自P点进入纸面
cB 0I (1 1)，方向自P点进入纸面
2R 2
例4-2 两平行的，轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直 导线3连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I，试确定连 接1，2的导线段3
图4-2 电流元、磁 场和磁场力方向
B的单位特斯拉
（T），1T＝ 1Wb/m2
仿电力线的作法，可作出恒定磁 场的磁感应强度 线B。
两根异向长直流导 线的磁场分布
长直螺线管磁场的分布
两根相同方向长直流导 线的磁场分布
2.毕奥－萨瓦定律
毕奥、萨瓦二人用实验归纳出：
微小载流线元在无限大空间某点所
产生的磁感应强度为
有向曲线l的环路积分，等于与该闭合有向 曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质磁 导率的乘积。
图4-11 磁场的有 旋性示意
磁场的环路积分不恒为零，说明磁场与静电场不同。它 的分布具有旋涡形，是非位场。
注意：电流的方向
3.应用
利用真空中 的B 环路定理，可以求解一些简单磁场的计算问
题。
补充例4-3 一根细而长的导线沿z轴放置，载有电流I。试用安 培定律求出自由空间任一点的磁感应强度。
r2 I r2 I a2 a2
lB 1dlB12r0Ia r22
B1 20aI2rra
同理
B2
0I 2r
(ra)
图4-13 例4-4图
§4-4 非真空媒质中的安培环路定理