立体几何中平行与垂直的证明(整理好)

D 1

B 1

D A

B

C

E

1A 1

C 立体几何中平行与垂直的证明

姓名

例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．

求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．

【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1；

【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22

1

==AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。

B C A D E F

M D C 1

B 1

A 1

C

B

A

【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；

【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；

（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．

【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；

（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.

E D C

B

A P 课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。 （I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A

（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。

2.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点 （1）求证：//AF 平面BCE ；

（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

3.如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点．

（1）求证：AE CD ⊥；

（2）求证：⊥PD 面ABE ．

4.如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，P A =BC =

.2

1

AD （I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；

（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若 存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.

5.如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，

E 为CD 的中点．

（1）证明：CD ⊥平面SAE ；

（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．

S

A

B

C

D

E