第十章习题课-武汉大学数学物理方法

1 u( ρ ,ϕ ) = 2π
∫
2π
0
A cos ϕ 0 (a 2 − ρ 2 ) dϕ 0 2 2 a + ρ − 2aρ cos(ϕ − ϕ 0 )
分子 a 2 ρ 将 , 并记ε = 2 分母 a a
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cos ϕ 0 (1 − ε 2 ) A 2π dϕ 0 于是有 : u ( ρ , ϕ ) = 2 ∫ 0 1 − 2ε cos(ϕ − ϕ ) + ε 2π 0 I
2
3
3
1 G= 4π
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⎡ 1 a ρ0 1 a ρ0 ⎤ )−( − )⎥ ⎢( − r1 r2 r3 ⎦ ⎣ r
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二、用电像法求格林函数
2、求四分之一平面的狄氏格林函数：
设M 0 ( x0 , y0 )点置有电荷ε 0，则有
象点 : M 1 (− x0 , y0 ), M 2 ( x0 ,− y0 ), M 3 (− x0 ,− y0 )
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
f ( x0 ) u ( x, y ) = ∫ dx0 2 2 π −∞ ( x0 − x) + y y
∞
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三、求泊松方程的狄氏问题
3、用格林函数法重新求解 ⎧Δ 2u = 0, ρ < a ⎨ ⎩u |ρ = a = A cos ϕ 解 : 由圆域的狄氏积分公式有
r3
gi :
x
−
3
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三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
0 0 0
∂G ∂n z u(M ) = 2π
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z =0
− z0 1 = 2π [( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + z 2 ] 3 2 0 0 0 f ( x0 , y0 ) 1 [( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + z 2 ]
−∞
一、 δ 函数及其在物理上的应用
∴ F [cos ax] = π [δ (a − ω ) + δ (a + ω )]
−∞
F [sin ax] = iπ [δ (a + ω ) − δ (a − ω )]
思考： F [e ] = e e dx = e i ( a −ω ) x dx = 2πδ (a − ω ) → −∞ −∞ F [cos x] + iF [sin x] = 2πδ (a − ω ) → F [cos x] = 2πδ (a − ω ), F [sin x] = 0
∞
1 1 [δ ( x − a) + δ ( x + a)] = [δ ( x − a) + δ ( x + a)] ∴δ ( x − a ) = 2a 2x δ ( x) 2 在上式中取a = 0 δ ( x ) = x
2 2
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3.F [δ ( x)] = ?, δ ( x)的积分表式？ F [cos ax] = ?, F [sin ax] = ? ∞ iω x 1 ∞ iωx → e dω = 2πδ ( x) e dω F [δ ( x)] = 1 ∴δ ( x) = ∫ ∫ − ∞ −∞ 2 π iax ∞ e ∞ + e−iax −iωx 1 ∞ i ( a−ω ) x dx + ∫ e−i ( a +ω ) x dx] F[cos ax] = ∫ e dx = [∫ e −∞ −∞ −∞ 2 2 ∞ ∞ i ( a −ω ) x →∫ e dx = 2πδ (a − ω ), ∫ e −i ( a +ω ) x dx = 2πδ (a + ω ),
3 2
∫∫
∞
−∞
dx0 dy0
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三、求泊松方程的狄氏问题
2、求上半平面的狄氏问题：
∞ ⎧Δu = 0 , y > 0 ∂G u ( x, y ) = − ∫ f ( x0 ) dx0 ⎪ −∞ ∂n0 ⎨u y =0 = f ( x) ⎪ ⎩ M 1 1 1 1 1 r1 ln − ln = ln G= ε0 2π r 2π r1 2π r • M0
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一、 δ 函数及其在物理上的应用
⎧ ⎧0 x ≠ x0 2. ⎪δ ( x − x0 ) = ⎨ ⎪ ⎩∞ x = x0 1. ⎨ ∞ ⎪ δ ( x − x )dx = 1 0 ⎪∫ ⎩− ∞
∞
∞ −∞
∫ f ( x)δ ( x − x )dx = f ( x )
⎧0, x < 0 d H ( x) 证明：δ ( x) = 1. H ( x) = ⎨ dx ⎩1, x > 0
设ϕ ( x)为任意一无穷次可微且在无穷区域等于零的函数，则
∞ dH ∞ ∫−∞ dx ϕ ( x)dx = ϕ ( x) H ( x) −∞ − ∫−∞ H ( x)ϕ ′( x)dx ∞ = − ∫ ϕ ′( x)dx = ϕ (0) ∞
0
∫
∞
−∞
δ ( x)ϕ ( x)dx = ϕ (0)
d H ( x) δ ( x) = dx
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一、 δ 函数及其在物理上的应用
1 ⎧ 2 2 δ (x − a ) = [δ ( x − a ) + δ ( x − a )] ⎪ 2a ⎪ 2、证： ⎨ δ ( x) ⎪ δ (x2 ) = x ⎪ ⎩ n δ ( x − xk ) 其中ϕ ( xk ) = 0, k = 1,2, L , n (1) Q δ [ϕ ( x)] = ∑ k =1 ϕ ′( xk ) 令ϕ ( x) = x 2 − a 2 则ϕ ′( x) = 2 x,
M
M1
r1
r
0
ε0 •M 0
M2
(1)确定象点 : 设M 0 ( ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 )
则M 1 ( a2
M3
ρ0
, θ 0 , ϕ 0 ), M 2 ( ρ 0 ,−θ 0 , ϕ 0 ), M 3 (
a2
ρ0
,−θ 0 , ϕ 0 ),
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ρ0 a r = = r1 a ρ1 r1 §5.3格林函数的求法 二、用电像法求格林函数 M
( z − z0 ) ∂G 1 ∂G = = ∂n ∂ (− z ) 4π [( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 ] 3 2 0 0 0 ( z + z0 ) 1 − 4π [( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z + z ) 2 ] 3 2
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
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三、求泊松方程的狄氏问题
u ( x, y ) = − ∫
∞
−∞
∂G f ( x0 ) dx0 ∂n0
r1 = 1 { ln ( x − x ) 2 + ( y + y ) 2 1 G= ln 0 0 4 π 2π r − ln ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 }
M1
y
M
r1
n←
r
M 0 (x0 , y0 )
ε0
电象 : −ε 0
− ε0
ε0
r2
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1 1 1 1 1 1 ln ln , − ln , 2π r3 2π r1 2π r2 M3 M2 1 1 ln + g G= 1 1 1 1 1 1 1 1 2π r ln + ln ln − ln − 故G = 2π r 2π r1 2π r2 2π r3 ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ 1 r1r2 | = − g ln | l l G= ln ⎪ 2π r ⎩ 2π rr
且由x 2 − a 2 = 0有x1 = a, x2 = −a 2 δ ( x − xk ) 2 2 故有δ ( x − a ) = δ [ϕ ( x)] = ∑ 2 xk k =1
δ (x − a ) =
2 2
1 [δ ( x − a ) + δ ( x + a )] 2a
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0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
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一、 δ 函数及其在物理上的应用
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一、 δ 函数及其在物理上的应用
1 1 [δ ( x − a) + δ ( x + a)]dx = [ f (a) + f (−a)] ( 2) Q ∫ f ( x ) −∞ 2a 2a ∞ 1 ∫−∞ f ( x) 2 x [δ ( x − a) + δ ( x + a)]dx 1 1 1 = f (a) + f (− a) ⋅ [ f ( a ) + f ( − a )] = 2a 2−a 2a
⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) ⎨ ⎩G | z =0 = 0
{
G=
4πr
+g
•ε 0
− q = −ε 0
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1 1 ∴G = − 4πr 4πr1
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第十章习题课
问 : 下半空间狄氏问题？ ∂G G有无差别？ 有无差别？ 三、求泊松方程的狄氏问题 ∂n ∂G 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂G ( 2) = =− [ ] − ∂n ∂ (− z ) 4π ∂z r ∂z r1
iax
∫
∞
iax −iωx
∫
∞
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是否正确？
第十章习题课
二、用电像法求狄氏格林函数
M
G (M , M 0 ) =
r
M0
1 4π r
+g
ε0
σ
⎧ Δ g = 0, M ∈ τ ⎪ 1 ⎨ g |σ = − |σ ⎪ 4π r ⎩
1 1 ln + g G= 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ g |l = − ln |l ⎪ 2π r ⎩
Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
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第十章 习题课 一、δ 函数及其在物理上的应用 二、用电像法求格林函数 三、用格林函数法求泊松方程 的狄氏问题
求G → 求M点电位 → 求感应电荷产生的电位
用电像法求：在像点放一虚构的点电荷，来等效 的代替边界面上的感应电荷所产生的电位。
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第十章习题课
二、用电像法求格林函数
1. 求上半球域的G 1 +g G= 4πr ⎧ Δg = 0 , M ∈ τ ⎪ 1 ⎨ |σ g |σ = − ⎪ 4πr ⎩
(2)确定g及qi : 在M i点放置 − qi则
1
r
ε0
M0
M1
3 qi 1 qi 0 Δ (∑ ( )) = 0, M ∈τ g = ∑ M i =1 4πε 0 ri i =1 4πε 0 ri 1 qi 1 而由 |σ = − |σ M 4πε 0 ri 4πr q1 1 q1 1 有: |ρ =a = |ρ =a = − |ρ = a ∴ q = −ε a 1 0 a π r 4πε 0 r1 4 ρ0 4πε 0 r ρ0 a 1 q2 1 |σ = − |σ (Qσ : r2 = r ) ∴ q2 = −ε 0 显然, q3 = ε 0 ρ0 4πε 0 r2 4πr