第十章习题课-武汉大学数学物理方法
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法答案(10) 刘连寿
3.反演 u(x,t)=L-1[u(x,p)]=L-1[x b -p b L [- 2 e a ] L-1[ 2 ] p p -1 x b -p b e a 2] 2 p p
(1)L-1[
b ] bt p2
f (t ), t 由延迟定理L-1[e p F(p)] f (t ) 0,t< x x b(t ), t p b - x a a L1[- 2 e a ] p 0,t x a
F[
8.用傅里叶变换求解下列定解问题：
2u 2u 0, x 2 y 2 x , y 0;
u y 0 ( x), u x 0, u y 0.
(k , y ), f ( x) f (k ) ，则原定解问题称为 解：设 u ( x, y ) u
x 0, t 0
t 0
u x 0 0, u t 0 0, ut
b
解：对方程及边界条件作关于变量 1. t的拉氏变换。
2 2 2 d p u(x,p)-pu(x,0)-u (x,0)-a u(x,p)=0 t 2 dx u(0,p)=0, u (x,p) 0 x x
(t )
A 0 0 t t0 t 0, t t0
如图 4，求电流。
5.试证明
(1) n 2 cos( a) 2 sin 2 ( a ) n ( n a )
式中实数 a 0, 1, 2,
6.求解半无界弦的振动
utt a 2u xx 0
2
C ( p ) ，则有 4.证明象函数 C ( p) 的位移定理，若有 f (t )
e ip0t f (t ) C ( p p0 )
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =Q ，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
武汉大学数学物理方法考试习题
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
Wuhan University
三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1
Wuhan University
第十六章 斯－刘问题
问题的引入：
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
） 解： 1 k ( x) 1, k (0) k (l ) 1, , q( x) 0, ( x) 1;
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法快速学习资料及练习题
现代远程教育《数学物理方法》课程学习指导书作者：先林08年2月课程学习方法指导为便于学员尽快进入本课程的学习，下面将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。
一、课程的性质、目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下良好的基础。
二、课程教学的基本要求通过本课程的教学,学员应达到下列基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在积分中的应用2.掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程3. 初步学会确定边界条件和初始条件4.熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法5.了解特殊函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。
针对课前预习时存在的问题，通过上课时认真的学习，并尝试运用上课时所学容解决这些问题，或者通过课外指导书，仔细研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，从而对课程容有进一步认识。
此外，每章结束后，做好阶段性总结。
还要制定学习计划，善于自主学习。
学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反思。
此外，为方便大家自主学习，现将教材及参考书罗列如下：（一）教材：《高等数学》（第四册）．大学．高等教育（二）参考书：1、《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育，第三版2、《数学物理方法教程》，志旺，高等教育3、《数学物理方法学习指导》，端正，科学希望各位学员善于这些教参书，能取得一个良好的成绩。
课程学习进度安排课程学习课时分配第一章复数和复变函数一、 章节学习目标1. 熟练掌握复数的运算。
2.掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，了解共轭复数的性质。
3.理解复数的几何意义。
4. 了解各种区域。
5. 理解复函的极限与连续。
数学物理方法-武汉大学物理科学与技术学院
1．课程代码
0700136
0700340
2．课程名称
数学物理方法
Mathematical Methods in Physics
3. 授课对象
物理学基地班、物理学类、材料物理、电子科技和材料化学专业。
4．学分
4
5．修读期
第三学期
6．课程组负责人
责任教授：姚端正教授
主讲教师：姚端正教授；周国全副教授（在职博士生）
7．课程简介
数学物理方法是一门重要的基础理论课程。
本课程以培养学生具有用数学方法分析解决物理问题的能力为目的。
其内容包括复变函数、数学物理方程、特殊函数、非线性方程四篇。
其中复变函数篇包括解析函数、科西积分理论、无穷级数、Taylor及Lauren 展开、留数理论等内容；数学物理方程篇包括定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法等内容；特殊函数篇包括勒让德多项式、缔合勒让德函数、贝塞尔函数等内容；非线性方程篇包括非线性方程的一些初等解法和孤子等内容。
该课程采用课堂讲授、CAI和课外练习相结合的教学过程，并特别注重对学生分析、解决问题的能力和逻辑思维能力的培养，以使学生能较好地掌握本课程的知识，为后继课程的学习和日后开展科研和实际工作打下良好的基础。
8．实践环节学时与内容或辅助学习活动
上机4学时，辅以上习题课
9．课程考核
平时课堂小练习、课外作业，与期中、期末考试相结合考试
10．指定教材
姚端正著《数学物理方法》(第二版) 武汉大学出版社 1997。
11．参考教材
姚端正著《数学物理方法学习指导》科学出版社 2001。
12. 网上资源
有数学物理方法课程教学专题网站(见武汉大学校园网)。
数学物理方法课后答案 (1)
16x2 + 25 y2 = (20)2 ，点集为椭圆： ( x )2 + ( y )2 = 1 54
(4)
z −1 = z +1
(x −1)2 + y2 (x +1)2 + y2
≤1
x2 − 2x +1+ y2 ≤ x2 + 2x +1+ y2
②
将①式与②式相除，易见 c 3 = 1,即 c = 1，由此得证。
8.试利用 Re z = x ≤ x2 + y2 = z 证明 z1 + z2 ≥ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2
证 将第一个不等式两边平方，则不等式右边的式子为
z1 + z 2 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 )∗ = z1 z1∗ + z 2 z 2∗ + z1 z 2∗ + z1∗ z 2
= 2sinα 2
iπ −α
e2
= 2sin α 2
⎡π ⎢⎣cos
−α 2
+
i
sin
⎛ ⎜⎝
π
−α 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
（6） (
3 + i)−3 = (
( 3 − i)3
=
−1i
=
1
e
−i
π 2
=
− 1 i sin π
3 + i)3( 3 − i)3 8 8
82
（7）
2i −1 +
i
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+ 解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即 ()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3， 1+解：代数式即：1z =+2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
7，1i1i-+ 解：21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin 22z i ππ=+；指数式：322i k i z e e ππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2解：将被开方的i 用指数式表示：22e i k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈。
2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++解：因为，cos Re (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos Re Re Re Re (1)Re Re 1cos cos(1)sin sin(1)Re 1cos sin 222sin sin cos 222Re 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e e e e e e e e e e e n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭=222(1)2sin 2Re sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222Re sinsin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
《数学物理方法》第10讲.ppt
4. xJm'(x) mJm(x) xJm1(x);
5.
mJm ( x)
x 2
[J
m
1
(
x)
Jm1( x)];
6.
J
m
'(
x
)
1 2
[J
m
1
(
x)
J
m
1(
x)]
.
证明
d dx
J
m
x
(x
m
)
J
m1( xm
x)
.
Jm(x) xm
k0
k
(1)k (1)2k m !(m k)! 2
x2k
.
d dx
由定解条件及温度有限知
R(b) R( 0)
0
因此
.
Qm
0,
且
R( )
Pm Jm (
)
(0 b)
()
R(b) 0.
此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题，
进一步的讨论涉及 Bessel 函数的零点等问题。
若 0, (**)式化为 2R '' R m2R 0 .其通解为
方程。它须满足条件 v |x2 y2 b2 0 . 为求其解，将方程 和条件写成极坐标形式。
v
1
v
1
2
v
v
0
,
( b)
v
|
b
Hale Waihona Puke 0.再令 v R( ) ( ) , 代入上式得 '' 0 ()
2R '' R '( 2 ) R 0 . ()
由(*)式及周期条件 ( 2 ) 得特征值 m2 ,
数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。
[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
武汉大学：数学物理方法课件1_3孤波
2、确定g (u )、f (v) : uζ = f (v ) vτ = g (u ) (6) (7) f (v), g (u ) − 待定
由(3)启示我们对(6)(7)求导来确定f , g的形式
d (6) : uζτ = f ′(v )vτ = g (u ) f ′(v ) (8) dτ d (7) : vζτ = f (v ) g ′(u ) (9) dζ 为了与Φζη 发生关系、Φζη
类似的由 (17 )得 : Φ = 4th −1 exp [α ⋅ τ + C2 (ζ )] 由的两个表达式
1 ∴ C1 (τ ) = ατ + δ , C2 (ζ ) = ζ + δ α 1 ∴ Φ = 4th exp ζ + ατ + δ α
−1
Φ ( x, t )
x−t α Φ = 4th exp + (x + t) + δ 2 2α 1 1 1 1 −1 = 4th exp ( + α ) x + (α − ) + δ 2 α 2 α
(10) + (11) : g (u ) f ′(v) = sin u cos v g (u ) cos v 令 = =α sin u f ′(v)
于是得 : g (u ) = α sin u (12)
f (v) cos u 令 (10) − (11) : = =β sin v g ′(u )
3、u和Φ
1 1 2 2 =a ⋅ θ =a ⋅ θ θ e + 1 + 2e e + e −θ + 2
= a2 ⋅
1 (e + e ) 2
武汉大学姚端正报告——浅谈数学物理方法的学习共54页
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一、本课程的内容和特点
对物理问题的处理，通常需要三个步骤： ➢ 利用物理定律将物理问题翻译成数学问题； ➢ 解该数学问题，其中解数学物理方程占有很 大的比重，有多种解法； ➢ 将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得 结果的物理意义。
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课 2.数理方法是进行基础研究的重要工具 3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
“金钱如粪土，朋友值千金” “朋友如粪土”
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二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
力学
热学
电学
原子物理
理力
热统
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电动
量子力学
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
力学
热学
电学 原子物理
数学物理方法
理力
热统
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
理论物理： 稳恒场 泊松方程
基础课与专业课的关系:
“这好比一把斧头，基础是斧背，专业是斧刃。 斧背要厚，斧刃要尖，这样的斧头才会锋利无比”。
《数学物理方法》答案
z 4 + a4 = 0 ( a > 0) 。
4
⎛z⎞ ⎜ ⎟ = −1 ( a > 0 ) 4 4 ; 解:由题意 z = − a ,所以有 ⎝ a ⎠
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
π
+ i 2kπ = ln 2 + i ( + 2kπ ) 4 4
π
3i = eiLn 3 = ei (ln 3+ 2 kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3 e 2+i = e 2 ei = e 2 (cos1 + i sin1) sin z lim =1 z →0 z 22，求证 sin z sin( x + iy ) lim = lim z →∞ x , y →∞ z x + iy 证: z = x + iy (x,y,均为实数)，所以
z = z2 = z3 = 1; 试证明 z1 , z2 , z3 是一 11.设 z1 , z2 , z3 三点适合条件 z1 + z2 + z3 = 0 及 1
个内接于单位圆
z =1 的正三角形的顶点。
∴ z1 = − z2 − z3 ; z2 = − z3 − z1; z3 = − z1 − z2 ; 证明： z1 + z2 + z3 = 0;
∂v ∂u = e x cos y − y sin ye x + x cos ye x = e x ( x cos y − y sin y ) + e x cos y ∂ y ∂x ； ∂u ∂v = −e x ( x sin y + sin y + y cos y ) = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) ∂y ； ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x 。 满足 ∂x ∂y ∂y x, y ) 可微且满足 C − R 条件，故函数在 z 平面上解析。 即函数在 z 平面上 (
数学物理方法第十章作业答案
分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：2000(,)(,) (0)0 , 0() , ()tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ϕψ====⎧=≤≤⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 其中()x ϕ，()x ψ，为已知函数．解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得22()()()()()()()()T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =⇒=等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即2()()()()T ''tX ''xa T tX x λ==- 则得到两个常微分方程2()()0 (1)()()0 (2)T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X'X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)的解为12()cos sin(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)将(4)代入(3)的第一式得2(0)=0X'C C =⇒，而1C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得1(21)(21)()cos0cos 022n n X l C lππ--==⇒=⇒=⇒=（1,2,3,n =⋅⋅⋅）∴ λ只能取相应的一系列值222(21)4n n lπλλ-==（1,2,3,n =⋅⋅⋅）---由定解问题决定的本征值而 1(21)()()cos2n n X x X x C x lπ-==---由定解问题决定的本征函数将222(21)4n n lπλλ-==代入(1)，解得(21)(21)()()cossin22''n n n n an aT t T t A t B t llππ--==+ (,''n n A B 为任意常数)∴ 1(21)(21)(21)(,)()()[cossin]cos 222''n n n n n n an an u x t X x T t A t B t C x lllπππ---==+(21)(21)(21)[cossin]cos222n n n an an A t B t x lllπππ---=+即 11(21)(21)(21)(,)(,)[cossin]cos 222n n n n n n an an u x t u x t A t B t x lllπππ∞∞==---==+∑∑而1(21)(21)(21)(21)(21)(,)[sincos]cos22222t nnn n an an an an u x t A t B t x lllllπππππ∞=-----=-+∑任意常数n A ，n B 的确定 由初始条件有1(21)()()cos(0)2n t n n ux x A x x l lπϕϕ∞==-=⇒=≤≤∑2(21)()cosd (1,2,3)2l n n A n llπϕξξξ-⇒==⋅⋅⋅⎰1(21)(21)()cos(0)22tn t n n an u x B x x l llππψ∞==--=⇒≤≤∑(21)2(21)()cosd 22l n n an B lllππψξξξ--⇒=⎰4(21)()cosd (1,2,3)(21)l n n B n n alπψξξξπ-⇒==⋅⋅⋅-⎰10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：2000(,)(,) (0)0 , 0() , ()tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ϕψ====⎧=≤≤⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 其中()x ϕ，()x ψ，为已知函数．解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得22()()()()()()()()T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =⇒=等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即2()()()()T ''tX ''xa T tX x λ==- 则得到两个常微分方程2()()0 (1)()()0 (2)T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X X'l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)的解为12()cos sin(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)将(4)代入(3)的第一式得1(0)=0X C =，而2C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得2(21)(21)()=0cos 022n n X'l C lππ--=⇒=⇒=⇒=（1,2,3,n =⋅⋅⋅）∴ λ只能取相应的一系列值222(21)4n n lπλλ-==（1,2,3,n =⋅⋅⋅）---由定解问题决定的本征值而 2(21)()()sin2n n X x X x C x lπ-==---由定解问题决定的本征函数将222(21)4n n lπλλ-==代入(1)，解得(21)(21)()()cossin22''n n n n an aT t T t A t B t llππ--==+ (,''n n A B 为任意常数)∴ 22(21)(21)(21)(,)()()[cossin]sin222''n n n n n n an an u x t X x T t C A t C B t x ll lπππ---==+(21)(21)(21)[cossin]sin222n n n an an A t B t x lllπππ---=+即 11(21)(21)(21)(,)(,)[cossin]sin 222n n n n n n an an u x t u x t A t B t x lllπππ∞∞==---==+∑∑而1(21)(21)(21)(21)(21)(,)[sincos]sin22222t nnn n an an an an u x t A t B t x lllllπππππ∞=-----=-+∑任意常数n A ，n B 的确定 由初始条件有1(21)()()sin(0)2n t n n ux x A x x l lπϕϕ∞==-=⇒=≤≤∑2(21)()sind (1,2,3)2l n n A n llπϕξξξ-⇒==⋅⋅⋅⎰1(21)(21)()sin(0)22tn t n n an u x B x x l llππψ∞==--=⇒≤≤∑(21)2(21)()sind 22l n n an B lllππψξξξ--⇒=⎰4(21)()sind (1,2,3)(21)2l n n B n n alπψξξξπ-⇒==⋅⋅⋅-⎰10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的热传导问题(第一类齐次边界条件)：200(,)(,) (0)0 , 0()t xx x x l t u x t a u x t x l u u u x ϕ===⎧=≤≤⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 其中()x ϕ为已知函数．解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得22()()()()()()()()T't X''x T't X x a X''x T t a T t X x =⇒=等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即2()()()()T 't X ''xaT tX x λ==- 则得到两个常微分方程2()()0 (1)()()0 (2)T't a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)的解为12()cos sin(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)将(4)代入(3)的第一式得1(0)=0X C =，而2C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得2()sin0sin 0n X l C n lππ==⇒=⇒=⇒=（1,2,3,n =⋅⋅⋅）∴ λ只能取相应的一系列值2()n n lπλλ== （1,2,3,n =⋅⋅⋅）---由定解问题决定的本征值而 2()()sinn n X x X x C x lπ==---由定解问题决定的本征函数将222n n lπλλ==代入(1)，解得2222()()n a t'ln n T t T t C eπ-== ('n C 为任意常数)∴ 222222222(,)()()sinsinn a t'ln n n nn a tln n u x t X x T t C C ex ln C exlππππ--===即 222211(,)(,)sinn a tln n n n n u x t u x t C ex lππ∞∞-====∑∑任意常数n C 的确定 由初始条件有1()()sin(0)n t n n ux x C x x l lπϕϕ∞===⇒=≤≤∑2()sind (1,2,3)l n n C n llπϕξξξ⇒==⋅⋅⋅⎰。
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r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
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第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
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第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
u ( x, y ) = − ∫
∞
−∞
∂G f ( x0 ) dx0 ∂n0
r1 = 1 { ln ( x − x ) 2 + ( y + y ) 2 1 G= ln 0 0 4 π 2π r − ln ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 }
M1
y
M
r1
n←
r
M 0 (x0 , y0 )
ε0
电象 : −ε 0
− ε0
ε0
r2
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1 1 1 1 1 1 ln ln , − ln , 2π r3 2π r1 2π r2 M3 M2 1 1 ln + g G= 1 1 1 1 1 1 1 1 2π r ln + ln ln − ln − 故G = 2π r 2π r1 2π r2 2π r3 ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ 1 r1r2 | = − g ln | l l G= ln ⎪ 2π r ⎩ 2π rr
2
3
3
1 G= 4π
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⎡ 1 a ρ0 1 a ρ0 ⎤ )−( − )⎥ ⎢( − r1 r2 r3 ⎦ ⎣ r
第十章习题课
二、用电像法求格林函数
2、求四分之一平面的狄氏格林函数：
设M 0 ( x0 , y0 )点置有电荷ε 0，则有
象点 : M 1 (− x0 , y0 ), M 2 ( x0 ,− y0 ), M 3 (− x0 ,− y0 )
M
M1
r1
r
0
ε0 •M 0
M2
(1)确定象点 : 设M 0 ( ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 )
则M 1 ( a2
M3
ρ0
, θ 0 , ϕ 0 ), M 2 ( ρ 0 ,−θ 0 , ϕ 0 ), M 3 (
a2
ρ0
,−θ 0 , ϕ 0 ),
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第十章习题课
ρ0 a r = = r1 a ρ1 r1 §5.3格林函数的求法 二、用电像法求格林函数 M
iax
∫
∞
iax −iωx
∫
∞
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是否正确？
第十章习题课
二、用电像法求狄氏格林函数
M
G (M , M 0 ) =
r
M0
1 4π r
+g
ε0
σ
⎧ Δ g = 0, M ∈ τ ⎪ 1 ⎨ g |σ = − |σ ⎪ 4π r ⎩
1 1 ln + g G= 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ g |l = − ln |l ⎪ 2π r ⎩
∞
1 1 [δ ( x − a) + δ ( x + a)] = [δ ( x − a) + δ ( x + a)] ∴δ ( x − a ) = 2a 2x δ ( x) 2 在上式中取a = 0 δ ( x ) = x
2 2
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第十章习题课
3.F [δ ( x)] = ?, δ ( x)的积分表式？ F [cos ax] = ?, F [sin ax] = ? ∞ iω x 1 ∞ iωx → e dω = 2πδ ( x) e dω F [δ ( x)] = 1 ∴δ ( x) = ∫ ∫ − ∞ −∞ 2 π iax ∞ e ∞ + e−iax −iωx 1 ∞ i ( a−ω ) x dx + ∫ e−i ( a +ω ) x dx] F[cos ax] = ∫ e dx = [∫ e −∞ −∞ −∞ 2 2 ∞ ∞ i ( a −ω ) x →∫ e dx = 2πδ (a − ω ), ∫ e −i ( a +ω ) x dx = 2πδ (a + ω ),
Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
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第十章 习题课 一、δ 函数及其在物理上的应用 二、用电像法求格林函数 三、用格林函数法求泊松方程 的狄氏问题
求G → 求M点电位 → 求感应电荷产生的电位
用电像法求：在像点放一虚构的点电荷，来等效 的代替边界面上的感应电荷所产生的电位。
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第十章习题课
二、用电像法求格林函数
1. 求上半球域的G 1 +g G= 4πr ⎧ Δg = 0 , M ∈ τ ⎪ 1 ⎨ |σ g |σ = − ⎪ 4πr ⎩
第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
1 1 [δ ( x − a) + δ ( x + a)]dx = [ f (a) + f (−a)] ( 2) Q ∫ f ( x ) −∞ 2a 2a ∞ 1 ∫−∞ f ( x) 2 x [δ ( x − a) + δ ( x + a)]dx 1 1 1 = f (a) + f (− a) ⋅ [ f ( a ) + f ( − a )] = 2a 2−a 2a
0
∫
∞
−∞
δ ( x)ϕ ( x)dx = ϕ (0)
d H ( x) δ ( x) = dx
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第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
1 ⎧ 2 2 δ (x − a ) = [δ ( x − a ) + δ ( x − a )] ⎪ 2a ⎪ 2、证： ⎨ δ ( x) ⎪ δ (x2 ) = x ⎪ ⎩ n δ ( x − xk ) 其中ϕ ( xk ) = 0, k = 1,2, L , n (1) Q δ [ϕ ( x)] = ∑ k =1 ϕ ′( xk ) 令ϕ ( x) = x 2 − a 2 则ϕ ′( x) = 2 x,
3 2
∫∫
∞
−∞
dx0 dy0
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
2、求上半平面的狄氏问题：
∞ ⎧Δu = 0 , y > 0 ∂G u ( x, y ) = − ∫ f ( x0 ) dx0 ⎪ −∞ ∂n0 ⎨u y =0 = f ( x) ⎪ ⎩ M 1 1 1 1 1 r1 ln − ln = ln G= ε0 2π r 2π r1 2π r • M0
(2)确定g及qi : 在M i点放置 − qi则
1
r
ε0
M0
M1
3 qi 1 qi 0 Δ (∑ ( )) = 0, M ∈τ g = ∑ M i =1 4πε 0 ri i =1 4πε 0 ri 1 qi 1 而由 |σ = − |σ M 4πε 0 ri 4πr q1 1 q1 1 有: |ρ =a = |ρ =a = − |ρ = a ∴ q = −ε a 1 0 a π r 4πε 0 r1 4 ρ0 4πε 0 r ρ0 a 1 q2 1 |σ = − |σ (Qσ : r2 = r ) ∴ q2 = −ε 0 显然, q3 = ε 0 ρ0 4πε 0 r2 4πr
且由x 2 − a 2 = 0有x1 = a, x2 = −a 2 δ ( x − xk ) 2 2 故有δ ( x − a ) = δ [ϕ ( x)] = ∑ 2 xk k =1
δ (x − a ) =
2 2
1 [δ ( x − a ) + δ ( x + a )] 2a
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