哈工大现代控制理论基础第十一章最优控制.ppt
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最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
第7章第3页
7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例
实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为
零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察 任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。
m(t) h(t) v(t)
u(t) g
M F h0 v0
如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
2021年4月30日
0
第7章第15页
求证 如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
0
证明 根据泛函变分的定义
J J (x0 x) J (x0 ) L(x0, x) r(x0, x)
由于 L( x0, x) 时关于 x 的连续线性泛函，故
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
J J ( x(t) x(t)) J ( x(t)) L( x(t), x(t)) r( x(t), x(t))
2021年4月30日
第7章第14页
其中，第一项是 x(t) 的连续线性泛函，第二项是关于 x(t) 的高阶无穷小，则称上式第
变分 x 表示U 中点 x(t) 与 x0 (t) 之间的差。由于 x 存在，必然引起泛函数值的变化，
并以 J (x x) 表示。其中 为参变数，其值 0 1。当 1时，得增加后的泛函值
J ( x x) ；当 0 时，得泛函原来的值 J (x) 。
若 泛 函 J ( x(t)) 对 于 任 何 常 数 C1 ， C2 及 任 何 x1(t) U ， x2 (t) U ， 都 有
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
1.2-现代控制理论的主要内容PPT优秀课件
6
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)
哈工大现代控制理论-CHP1-1-PPT文档资料37页
x1a11x1a12x2a1nxnb11u1b12u2b1rur x2a21x1a22x2a2nxnb21u1b22u2b2rur
xnan1x1an2x2annxnbn1u1bn2u2bnurr
16
1-1-7 状态空间表达式（续）
33
1-3-2从系统的机理出发建立状态空间表达式
例5
电网络如下图所示，输入量为电流源，并指定以电容C1 和C2的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式
+ C2
-
uc2
l3
a
i1
b
i2
c
i3 L1
u +
L2
c1
i4
i
R1
l1
-
C1
l2
R2
34
例5
uC1` x1,uC2` x2 i1 x3,i2 x4
CT [1 0]
13
1-1-6 状态空间表达式
状态方程和输出合起来，构成对一个系统完整的动态描述， 称为系统的状态空间表达式。
设单输入--单输出定常系统，其状态变量为x1, x2, … , xn, 则状 态方程的一般形式为：
x1 a11x1 a12x2 a1nxn b1u x2 a21x1 a22x2 a2nxn b2u
C1CL,b0L1
xAxbu
12
1-1-5 输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量之间的函数 关系式，称为系统的输出方程
令 x1 uc 作为输出，则有
R
y uc 或 y x1
+i -
C
uc
L
y [1
0]xx12
或
y CT x
xnan1x1an2x2annxnbn1u1bn2u2bnurr
16
1-1-7 状态空间表达式（续）
33
1-3-2从系统的机理出发建立状态空间表达式
例5
电网络如下图所示，输入量为电流源，并指定以电容C1 和C2的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式
+ C2
-
uc2
l3
a
i1
b
i2
c
i3 L1
u +
L2
c1
i4
i
R1
l1
-
C1
l2
R2
34
例5
uC1` x1,uC2` x2 i1 x3,i2 x4
CT [1 0]
13
1-1-6 状态空间表达式
状态方程和输出合起来，构成对一个系统完整的动态描述， 称为系统的状态空间表达式。
设单输入--单输出定常系统，其状态变量为x1, x2, … , xn, 则状 态方程的一般形式为：
x1 a11x1 a12x2 a1nxn b1u x2 a21x1 a22x2 a2nxn b2u
C1CL,b0L1
xAxbu
12
1-1-5 输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量之间的函数 关系式，称为系统的输出方程
令 x1 uc 作为输出，则有
R
y uc 或 y x1
+i -
C
uc
L
y [1
0]xx12
或
y CT x
哈工大现代控制理论基础第十一章 最优控制
11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船 靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 ， 使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 要求设计推力函数 ，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为 ， 其高度和垂直速度分别为 和 ，月球的重力加速度为常数 ，飞船的自身 质量及所带燃料分别为 和 。
其中， 目标集 可表示为 性能指标 可表示为 其中 和 为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 与之相对应， 则称 为这类
哈工大现代控制理论基 础第十一章 最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则 泛函的变分是一种线性映射， 满足下列性质：
1 2 3 4
现代控制理论课件教材
2. 1895年劳斯（Routh）与赫
尔维茨（Hurwitz）把马克 斯韦尔的思想扩展到高阶微 分方程描述的更复杂的系 统中,各自提出了两个著名
的稳定性判据—劳斯判据
和赫尔维茨判据。基本上 满足了二十世纪初期控制 赫尔维茨（Hurwitz）
工程师的需要。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
水 运 仪 象 台
2. 公元1086－1089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
二 起步阶段
随着科学技术与工业生 产的发展，到十八世纪， 自动控制技术逐渐应用到 现代工业中。其中最卓越 的代表是瓦特（J.Watt） 发明的蒸汽机离心调速器， 加速了第一次工业革命的 步伐。
•成绩:
• 期终考试: 70% • 作业: 15% • 出席: 15%
同济大学汽车学院 2013
同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
课程内容：
• 绪论 • 控制系统的状态空间描述 • 线性控制系统的运动分析 • 线性控制系统的能控性和能观性 • 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 • 状态反馈和状态观测器 • 最优控制
3.由于第二次世界大战需要 控制系统具有准确跟踪与补 偿能力，1932年奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频域 内研究系统的频率响应法， 为具有高质量的动态品质和 静态 准确度的军用控制系 统提供了所需的分析工具。
奈奎斯特
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
4.1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出了复数域内 研究系统的根轨迹法。 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨 迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论 （或自动控制理论）。
现代控制理论ppt
求解方法
通过利用拉格朗日乘子法或Riccati方程，求 解线性二次调节器问题，得到最优控制输入
。
动态规划与最优控制策略
动态规划的基本思想
将一个多阶段决策问题转化为一系列单 阶段问题，通过求解单阶段问题得到多 阶段的最优解。
பைடு நூலகம்
VS
最优控制策略的确定
根据动态规划的递推关系，逐步求解每个 阶段的优化问题，最终得到最优控制策略 。
总结词
稳定性分析是研究非线性系统的重要方法，主要关注系统在受到扰动后能否恢 复到原始状态或稳定状态。
详细描述
稳定性分析通过分析系统的动态行为，判断系统是否具有抵抗外部干扰的能力。 对于非线性系统，稳定性分析需要考虑系统的初始状态、输入信号以及系统的 非线性特性等因素。
非线性系统的控制设计方法
总结词
要点二
详细描述
线性系统是指在输入和输出之间满足线性关系的系统，即 系统的输出量可以用输入量的线性组合来表示。线性系统 的性质包括叠加性、均匀性和时不变性等。叠加性是指多 个输入信号的响应等于各自输入信号响应的总和；均匀性 是指系统对不同频率信号的响应是一样的；时不变性是指 系统对时间的变化不敏感，即系统在不同时刻的响应是一 样的。
量随时间的变化规律，输出方程描述了输出量与状态变量之间的关系。
线性系统的稳定性分析
• 总结词：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，线性系统的稳定性分 析是现代控制理论的重要研究内容。
• 详细描述：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，如果一个系统受到 扰动后能够自我恢复到原来的状态，那么这个系统就是稳定的。线性系 统的稳定性分析是现代控制理论的重要研究内容，常用的方法有劳斯赫尔维茨稳定判据和奈奎斯特稳定判据等。劳斯-赫尔维茨稳定判据是 一种基于系统极点的判据，通过判断系统的极点是否都在复平面的左半 部分来判断系统的稳定性；奈奎斯特稳定判据是一种基于频率域的判据， 通过判断系统的频率响应是否在复平面的右半部分来判断系统的稳定性。
现代控制理论课件
图中，I为(n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
9
❖ 讨论： 1、状态变量的独立性。
2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、 动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是 唯一的，与状态变量的选取方法无关。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任 何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
3) 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。 4) 状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的
推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态 轨线或状态轨迹。
5) 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称
b2
p
bnp
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cq1 cq2
cqn
d11 d12 L
D
d21
d22
L
d2
p
M
dqp
现代控制理论与控制算法PPT幻灯片
动态系统的数学描述
动态系统的运动方程描述:有控SDOF
m
激励
SDOF结 构+控制器ABS SDOF主动控制结构的运动方程
响应
k,c u(t)
m&x&(t) cx&(t) kx(t) m&x&g (t) u(t)
写成向量矩阵形式：
&x&g
x&(t) 0 &x&(t)21 k / m
1 c /
2013春季学期研究生结构振动智能控制
结构振动控制的 现代控制理论数学基础与控制算法
刘敏 哈尔滨工业大学 土木工程学院
第1章 动态系统及其重要特性
动态系统的数学描述 动态系统的稳定性 线性定常系统的能控性 线性定常系统的能观性 线性系统能控性和能观性的对偶关系
2
基本概念
外部描述：传递函数
动态系统的稳定性
判据1：若存在Lyapunov函数v(Z(t))，使 v&(Z(t)) 0 ，
则系统是Lyapunov稳定的；
判据2：若存在Lyapunov函数v(Z(t))，使 v&(Z(t)) 0 ，
则系统是渐进稳定的；
判据3：若存在Lyapunov函数v(Z(t))，使 v&(Z(t)) 0 且当 Z 时v(Z)
D0
Rm2n称为输出矩阵
Rmr和B0 Rm p称为直接传递矩阵
动态系统的数学描述
主动控制问题的状态方程描述
Zt AZ t BU t DF t Z t0 Z0 Y t C0Z t B0U t D0 F t
主动控制的一个重要特征是反馈
状态反馈
线性反馈、非线性反馈、自适应反馈以及智能反馈
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
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h 和 v ，月球的重力加速度为常数 g，飞船的自身
质量及所带燃料分别为 M 和 F 。
设从 t 0时刻飞船开始进入软着陆过程，
以竖直向上为参考正方向， 可写出运动方程为
6
h v
v
f m
g
m kf
其中 k 为常数。
h(0) h0 控制飞船从初始状态为 v(0) v0
m(0) M F
0
s2
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0
S
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
19
上述性能指标的第一项表示末端时刻导弹与目标距 离的一种度量， 该距离常称为脱靶量； 第二项表示 控制过程消耗的能量。
20
11.1.2 最优控制的一般提法
设被控系统的状态方程及初始条件为
x(t) f (x(t), u(t),t) x(t0 ) x0 目标集为 M，求取一个容许控制 u(t) U , t [t0 , tf ]
tf L(x(t), u(t),t)dt
t0
其中 和 L 为连续可导的标量函数。
22
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设 y(x)为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 J 与之相对应， 则称 J 为这类
第十一章 最优控制
目录
11.1 最优控制的一般提法 11.2 应用变分法求解无约束条件的最优控制 11.3 极小值原理 11.4 线性二次型最优控制问题 11.5 动态规划
1
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
x 面内的坐标， vd 表示导弹的速度， vd 与 轴的
夹角为 d ， F表示导弹的侧向控制力。 如果用
表示推进剂秒流量， 可作为一个控制量， 则纵向
推力为 C ， 其中 C 为常数。 设 Kd 表示导弹的
阻力因子， 且
Kd
1 2
C0 S
13
其中
C0
零升力阻力系数，可以看作是常数
大气密度，也可以看作是常数
F
16
令
x xm xd
y ym yd
则可得状态方程
x1 x6 cox6
sin m
x3
sin
x4
x3
1 x5
(Cu1
Kd x32 )
x4
u2 x3 x5
x5 u1
x6 0
17
这个问题可以归纳为：导弹从已知的初始状态
x(t0 ) x0 出发， 通过选择适当的控制律 (t) 及
[例2]
J m(tf )
空对空导弹拦截。 假定导弹与目标的运动
发生在同一平面， 即假设导弹能产生足够大的铅垂
方向的升力，以抵消其自身的重力； 假定导弹推力
方向与其速度方向一致， 目标常速、定航向飞行。
这种假定并非过分限制， 实际上，导弹按此种假设
9
下所形成的控制律飞行， 直至接收到关于目标下一 次新的测量为止，根据新的测量再形成新的控制律， 这样反复进行，直至击中目标。 当量测采样间隔充 分小时， 关于目标常速、定航向的假设离实际情况 相差并不太远。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
2
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
函数的泛函，记为 J J y(x)。
23
函数类 y(x) 称为泛函 J 的定义域。
[例3] 函数的定积分是一个泛函。设
1
J (x) 0 x(t)dt
3
11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船
靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 f ，
使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。
要求设计推力函数 f (t) ，使得发动机燃料消耗最少。
4
f
m
h mg
月球
5
[解]
m 设飞船的质量为 ，其高度和垂直速度分别为
F (t)(t0 t tf ) ，使得在末端时刻 tf 尽可能地接
近目标， 同时，尽可能地节省控制能量。
为此，取性能指标为
J xT (tf )Sx(tf )
tf uT (t)R(t)u(t)dt
t0
这里的 R(t) 和 S 均为对角线矩阵。
18
R(t)
r1(t)
0
0
r2
(t
)
s1 0 0 0 0 0
使受控系统由给定初始条件出发，在末端时刻 tf t0
将系统的状态转移到目标集 M， 并使性能指标 J
达到最小。 21
其中， 目标集 M可表示为
M x(tf ) x(tf ) Rn, g x(tf ),tf 0, h x(tf ),tf 0
性能指标 J 可表示为
J (x(tf ),tf )
7
到某一时刻 tf 实现软着陆，即
vh((ttff
) )
0 0
控制过程中，推力 f (t)不能超过发动机所能提供的
最大推力 fmax， 即 0 f (t) fmax
最优控制问题可以描述为： 在满足控制约束的条件
下，寻求发动机推力 f (t) ，使飞船的燃料消耗最小，
8
也就是使得 tf 时刻飞船的质量 m为最大， 即
S
导弹的参考面积
将 F 和 看作是两个独立的控制变量时， 导弹
的运动方程为
14
xd
vd
cos d
yd vd sin d
vd
1 m
(C
Kdvd2 )
d
1 vd
F m
m
15
取状态变量为
xT x1 x2 x3 x4 x5 x6 x y vd d m vm
取控制变量为
uT u1 u2
10
[解] 在上述假设下目标的运动方程为
xm vm cosm
ym
vm
sin m
vm 0
(xm , ym )
目标的位置坐标，
vm
目标的线速度，
m
x 目标运动方向与 轴的夹角，
11
y
vd
d
(xd , yd )
o
vm
m
(xm , ym )
x
12
设 m 为导弹的质量，(xd , yd )为导弹在坐标平
质量及所带燃料分别为 M 和 F 。
设从 t 0时刻飞船开始进入软着陆过程，
以竖直向上为参考正方向， 可写出运动方程为
6
h v
v
f m
g
m kf
其中 k 为常数。
h(0) h0 控制飞船从初始状态为 v(0) v0
m(0) M F
0
s2
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0
S
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
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上述性能指标的第一项表示末端时刻导弹与目标距 离的一种度量， 该距离常称为脱靶量； 第二项表示 控制过程消耗的能量。
20
11.1.2 最优控制的一般提法
设被控系统的状态方程及初始条件为
x(t) f (x(t), u(t),t) x(t0 ) x0 目标集为 M，求取一个容许控制 u(t) U , t [t0 , tf ]
tf L(x(t), u(t),t)dt
t0
其中 和 L 为连续可导的标量函数。
22
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设 y(x)为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 J 与之相对应， 则称 J 为这类
第十一章 最优控制
目录
11.1 最优控制的一般提法 11.2 应用变分法求解无约束条件的最优控制 11.3 极小值原理 11.4 线性二次型最优控制问题 11.5 动态规划
1
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
x 面内的坐标， vd 表示导弹的速度， vd 与 轴的
夹角为 d ， F表示导弹的侧向控制力。 如果用
表示推进剂秒流量， 可作为一个控制量， 则纵向
推力为 C ， 其中 C 为常数。 设 Kd 表示导弹的
阻力因子， 且
Kd
1 2
C0 S
13
其中
C0
零升力阻力系数，可以看作是常数
大气密度，也可以看作是常数
F
16
令
x xm xd
y ym yd
则可得状态方程
x1 x6 cox6
sin m
x3
sin
x4
x3
1 x5
(Cu1
Kd x32 )
x4
u2 x3 x5
x5 u1
x6 0
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这个问题可以归纳为：导弹从已知的初始状态
x(t0 ) x0 出发， 通过选择适当的控制律 (t) 及
[例2]
J m(tf )
空对空导弹拦截。 假定导弹与目标的运动
发生在同一平面， 即假设导弹能产生足够大的铅垂
方向的升力，以抵消其自身的重力； 假定导弹推力
方向与其速度方向一致， 目标常速、定航向飞行。
这种假定并非过分限制， 实际上，导弹按此种假设
9
下所形成的控制律飞行， 直至接收到关于目标下一 次新的测量为止，根据新的测量再形成新的控制律， 这样反复进行，直至击中目标。 当量测采样间隔充 分小时， 关于目标常速、定航向的假设离实际情况 相差并不太远。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
2
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
函数的泛函，记为 J J y(x)。
23
函数类 y(x) 称为泛函 J 的定义域。
[例3] 函数的定积分是一个泛函。设
1
J (x) 0 x(t)dt
3
11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船
靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 f ，
使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。
要求设计推力函数 f (t) ，使得发动机燃料消耗最少。
4
f
m
h mg
月球
5
[解]
m 设飞船的质量为 ，其高度和垂直速度分别为
F (t)(t0 t tf ) ，使得在末端时刻 tf 尽可能地接
近目标， 同时，尽可能地节省控制能量。
为此，取性能指标为
J xT (tf )Sx(tf )
tf uT (t)R(t)u(t)dt
t0
这里的 R(t) 和 S 均为对角线矩阵。
18
R(t)
r1(t)
0
0
r2
(t
)
s1 0 0 0 0 0
使受控系统由给定初始条件出发，在末端时刻 tf t0
将系统的状态转移到目标集 M， 并使性能指标 J
达到最小。 21
其中， 目标集 M可表示为
M x(tf ) x(tf ) Rn, g x(tf ),tf 0, h x(tf ),tf 0
性能指标 J 可表示为
J (x(tf ),tf )
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到某一时刻 tf 实现软着陆，即
vh((ttff
) )
0 0
控制过程中，推力 f (t)不能超过发动机所能提供的
最大推力 fmax， 即 0 f (t) fmax
最优控制问题可以描述为： 在满足控制约束的条件
下，寻求发动机推力 f (t) ，使飞船的燃料消耗最小，
8
也就是使得 tf 时刻飞船的质量 m为最大， 即
S
导弹的参考面积
将 F 和 看作是两个独立的控制变量时， 导弹
的运动方程为
14
xd
vd
cos d
yd vd sin d
vd
1 m
(C
Kdvd2 )
d
1 vd
F m
m
15
取状态变量为
xT x1 x2 x3 x4 x5 x6 x y vd d m vm
取控制变量为
uT u1 u2
10
[解] 在上述假设下目标的运动方程为
xm vm cosm
ym
vm
sin m
vm 0
(xm , ym )
目标的位置坐标，
vm
目标的线速度，
m
x 目标运动方向与 轴的夹角，
11
y
vd
d
(xd , yd )
o
vm
m
(xm , ym )
x
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设 m 为导弹的质量，(xd , yd )为导弹在坐标平