周期函数求法以及性质
周期函数定积分的计算
周期函数定积分的计算1. 周期函数定积分的概念1. 周期函数定积分的概念周期函数定积分是一种特殊的积分，它可以用来计算函数在某一周期内的积分值。
它的计算方法是将函数的积分值分成若干个小的积分段，每个积分段的积分值都是函数在该段内的定值，然后将所有的积分段的积分值求和，就可以得到函数在该周期内的积分值。
2. 周期函数定积分的性质2. 周期函数定积分的性质周期函数定积分的性质包括：1. 周期函数定积分的结果是定值，不受积分区间的变化而变化；2. 周期函数定积分的结果是一个实数，不受函数的变化而变化；3. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的幅度无关；4. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的起点无关；5. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的函数值无关；6. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的变化率无关。
：3. 周期函数定积分的计算方法周期函数定积分的计算方法是基于Fourier级数的，即可以将一个周期函数分解成一系列正弦、余弦函数的级数和。
积分可以分解为每一项的积分，然后将每一项的积分结果相加，最后得出周期函数定积分的结果。
具体的计算方法是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和，然后将每一项的积分求出，最后将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。
积分的具体步骤是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和；然后，对每一项正弦、余弦函数求积分，得出每一项的积分结果；最后，将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。
4. 周期函数定积分的应用：4. 周期函数定积分的应用周期函数定积分在物理、数学和工程领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来计算电磁场的能量；在数学中，它可以用来计算曲线的面积；在工程领域，它可以用来计算振动系统的能量。
此外，周期函数定积分还可以用来计算热量传递率，以及计算电路中电流和电压的关系。
函数的周期性与函数的图象(最全解析版)
八、函数的周期性㈠ 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3、图象的对称性 一个函数的对称性：1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析
周期函数运算（加、减、乘、除、复合）结果分析摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用. 关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期1周期函数与周期周期函数与周期的定义设函数(),y f x x A =∈,如果存在一个数T ,对任意x A ∈,有x T A +∈,且()()f x T f x +=,则函数()y f x =叫做周期函数,数T 叫做函数()y f x =一个周期.函数具有周期的性质叫做函数的周期性.周期函数的周期的性质性质1 若T 是(),y f x x A =∈的周期,则T -也是()y f x =的周期. 证明 因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以()(),f x T f x x T A +=+∈. 令'x x T A =+∈,则'x x T A =-∈,代入上式得:(')(')f x f x T =-,即:(')('),f x T f x x T A -=-∈.所以T -也是()y f x =的周期.性质2 若T 是(),y f x x A =∈的周期,且()x nT A n Z +∈∈,则nT 也是()y f x =的周期.证明 (1)证明当n N ∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期(运用数学归纳法). ② 当1n =时,T 是()y f x =的周期.②假定当n k =时, kT 是()y f x =的周期,则()()f x kT f x +=,那么当1n k =+时,有[(1)]()()()f x k T f x kT T f x kT f x ++=++=+=.所以(1)k T +是()y f x =的周期.由①、②可知:对于所有的自然数,n x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期. (2)当0n =时, ,0x nT x A nT +=∈=,显然, nT 是()y f x =的周期(特殊周期). (3)证明当n Z -∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期. 因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以由性质1可得:T -也是()y f x =的周期.又因为,()()n N x n T x nT A -∈+-⋅-=+∈即: ()()x n T A +--∈,所以由以上(1)的结论可得: ()n T --是()y f x =的周期.即: nT 是()y f x =的周期.综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若T 是(),y f x x A =∈的周期, ()x nT A n Z +∈∈,则nT 也是()y f x =的周期.由性质1和性质2可得出如下结论:结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期. 结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.最小正周期的定义由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:设周期函数()y f x =,把()y f x =的所有正周期中的最小的一个叫做函数()y f x =的最小正周期.显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.2 周期函数的和、差、积、商函数周期函数的和、差、积、商函数的周期性周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点下面的定理可给出明确的回答. 定理1 设函数1()y f x =与2()y f x =都是定义在A 上的周期函数,周期分别为1T 与2T ,且12T p a T q==（a 为正有理数, ,p Z q Z ++∈∈,且p 与q 互为质数),若12,M qT pT x M A==+∈,则M为函数12()()f x f x +、12()()f x f x -、12()()f x f x ⋅、12()()f x f x2()0)f x x A ≠∈（，的周期.证明 因为12(,T pp Z q Z T q++=∈∈,且p 与q 互为质数),所以12qT pT M ==,即: M 为1T 与2T 的最小公倍数.又因为1T 与2T 分别为1()y f x =与2()y f x =的周期,所以根据性质2可得:M 为1()y f x =与2()y f x =的周期.所以 1122()(),()().f x M f x f x M f x +=+= 1212()()()().f x M f x M f x f x +++=+ 所以M 为函数12()()f x f x +的周期. 同理可证明:M 为函数1121222()()()()()()0)()f x f x f x f x f x f x x A f x -⋅≠∈、、（，的周期.这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:第一步:求出两个周期函数1()y f x =与2()y f x =的周期.设周期分别为1T 与2T . 第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即12T p a T q== (a 为正有理数, ,p Z q Z ++∈∈,且p 与q 互为质数).第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出12M qT pT ==.那么最小公倍数M 即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可3 复合函数周期性复合函数周期性的判定定理2 设()u f x =是周期函数,函数()y g u =与()u f x =满足复合函数的条件,则复合函数[()]y g f x =是周期函数,且()u f x =的周期也是复合函数[()]y g f x =的周期.证明 记()[()]F x g f x =,设l 为函数()f x 的一个周期.任何()x D f ∈,则()()f x l f x +=,()[()][()]()F x l g f x l g f x F x +=+==. 同理()u f x =()()F x l F x -=,因此,()[()]F x g f x =为周期函数,()f x 的周期也是[()]g f x 的周期. 必须指出, ()u f x =的最小周期未必是[()]y g f x =的最小正周期. 例1 2()y g u u ==,()sin u f x x ==.复合函数21cos 2sin 2xy x -==,()sin f x x =的最小正周期是2π,2[()]sin g f x x =的最小正周期是π,所以()f x 的最小正周期2π是[()]g f x 的周期,但不是它的最小正周期.定理1可以推广到有限个函数复合的情形. 推论 设11()y f x =是周期函数,11()y f x =,221()y f y =,L ,1()n n n y f y -=, 这n 个函数满足复合的条件,记121()[(())]n n F x f f f f x -=L ,则()F x 是周期函数,且1()f x 的周期是复合函数()F x 的周期.例2 讨论函数y =的周期性.解 函数y 的定义域{()}42D x R n x n n Z ππππ=∈+≤<+∈,函数y =可看作12y u =,ln u v =,tan v x =的复合函数,容易验证tan x 在D上是周期函数,具有最小正周期π,有定理1的推论, y =是周期函数.π是函数.函数y 的零值集0{()}4D x x n n Z ππ==+∈有最小正周期π,因此, π.在定理1中,如果()y g u =是周期函数,()u f x =是一般的函数,特别()u f x =不是周期函数时,复合函数[()]y g f x =未必是周期函数.如sin y u =,2u x =的复合函数2sin()y x =不是周期函数.而sin y u =,u ax b =+的复合函数sin()y ax b =+是周期函数.有下面一般性的结论.定理3 设()y g u =是周期函数,l 是()g u 的一个周期,u ax b =+(,,0)a b R a ∈≠,则复合函数()y g ax b =+是周期函数,且la时函数()g ax b +的周期. 证明 设()y g u =的定义域为D ,记()()G x g ax b =+,则()()y G x g ax b ==+的定义域1{}D x R ax b D =∈+∈.任意1x D ∈,则ax b D +∈,由l 为()g u 的周期,有ax b l D +±∈,即()l a x b D a±+∈,所以1lx D a±∈. 又()[()]l l G x g a x b a a+=++[()]g ax b l =++ ()()g ax b G x =+=,因此,()()G x g ax b =+为周期函数,la为()G x 的周期. 也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.例3 2y u x ==,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数cos cos y x x ===是周期函数,且有最小正周期.几类复合周期函数的最小正周期问题1()f x 的最小正周期 定理4 函数()f x 是定义在D 上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数1()()F x f x =是集合{()0}x D f x ∈≠上的周期函数,且函数()f x 的周期都是1()f x 的周期. 必须指出,函数()f x 与1()f x 的周期未必是一致的.例4 函数0,()1,.x f x x R Z ⎧=⎨∈-⎩为偶数,显然, ()f x 是以2为最小正周期的周期函数.11()()x R Z f x ≡∈- 易见1()f x 是以1为最小正周期的周期函数. 定理5 若函数()f x 是R 上的不恒为零的周期函数,则函数()f x 与1()f x 的周期一致. 证明 由定理1,函数()f x 的周期都是函数()F x 的周期. (){()0}D F x R f x =∈≠,设0l 为函数()F x 的任意一个正周期.任意()x D F ∈,则0()x l D F ±∈,且0()()F x l F x ±=, 从而0()()f x l f x += (1) 任意()R D F -,则()0f x =,因此0()0f x l +=.从而,0()()0f x l f x +== (2)由(1),(2)两步证明,0l 为函数()f x 的周期,所以函数()F x 的每个周期都是()f x 的周期. 由定理5,立即有:推论 函数()f x 是R 上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数,则函数1()f x 与()f x 具有相同的最小正周期.()f x 的最小正周期定理6 函数()f x 是周期函数,则()f x 是周期函数,且函数()f x 的周期都是()f x 的周期.证明 因为()f x 是周期函数,T 是它的周期所以()()f x T f x += (x x T +、都是在定义域内) , 由绝对值的性质得()()f x T f x += , 所以()f x 也是周期函数,T 是它的周期.必须指出,函数()f x 的周期未必是函数()f x 的周期,甚至可能()f x 有最小正周期,但()f x 未必有最小正周期.例 1: 证明函数()sin cos f x x x =+是周期函数,并求出它的一个周期.证明 因为sin x 和cos x 都是周期函数, 2π是它们的周期, 所以由上面定理 6得sin x 和cos x 都是周期函数, 并且2π是它们的周期, 由上面定理 得sin cos x x +也是 周 期 函 数 , 又 因 为sin()cos()cos sin sin cos 22x x x x x x ππ+++=+-=+, 所以2π是()sin cos f x x x =+的一个周期.例5 函数()f x sin x =,函数()f x =sin x 有周期x ,但π不是sin x 的周期. 还要指出,定理6的逆不成立,即函数()f x 为周期函数时,函数()f x 未必是周期函数. 例6 函数()f x =sin x 不是周期函数,但函数()f x sin sin x x ==是周期函数. [()]nf x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期定理7 函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数[()]nf x 是周期函数,且函数()f x 与[()]n f x 的周期一致.定理8 函数()f x 是周期函数,若n 为正偶数, 则函数[()]nf x 是周期函数,且函数[()]n f x 与()f x 的周期一致.定理9函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负奇数,则函数[()]nf x 是周期函数,且[()]n f x 与1()f x 的周期一致. 定理10函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负偶数,则函数[()]nf x 是周期函数,且[()]nf x 与1()f x 的周期一致. 1[()]nf x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期n 为正奇数时,函数1[()]nf x 的定义域与()f x 的定义域相同,且1(){[()]}nnf x f x =,因此,由定理7可得定理7＇函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数()f x与1[()]nf x 的周期一致.n 为正偶数时,函数()f x 是非负的周期函数,则函数1[()]nf x 的定义域1{()0}()D x R f x D f =∈≥=.1{[()]}()n nf x f x =.因此,由定理8,有定理8＇函数()f x 是非负的周期函数,若n 为正偶数, 则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1[()]nf x 与()f x 的周期一致.n 为负奇数时,函数1[()]nf x 的定义域与1()f x 的定义域相同,且11{[()]}()n n f x f x -=. 因此,由定理9,有定理9＇函数()f x 是不恒为零的周期函数,若n 为负奇数，则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1[()]nf x 与1()f x 的周期一致. n 为负偶数时,函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数, 函数1[()]nf x 的定义域与1()f x 的定义域相同,且11{[()]}()nn f x f x -=.因此,由定理10,有定理10＇函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数,若n 为负偶数，则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1()f x 与1[()]n f x 的周期一致.参考文献[1]王清印,吴和琴.函数周期性初论[M].北京:煤炭工业出版社,1987.[2]梁力平.对周期函数及其和、差、积、商函数周期性的探讨[J]. 韶关学院学报,2006,(27).[3]杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨[J]. 娄底师专学报,2001,(2).[4]费强.周期函数性质初探[J].数学学习与研究,2014,(13).[5]宣立新,马明.周期函数初论[M].合肥:安徽教育出版社,1989.[6]潘劲松.关于周期函数定义的研究[J]. 湖南师范大学自然科学学报,2012,(35).英文摘要Probed into cycle function and cycle properties of the sum, the difference, the product and the quotient of itAbstract The paper probes into the definition of cycle function and cycle,cycle properties of cycle function and the definition of least positive cycle, and furthermore probes into cycle properties of the sum ,the difference ,the product ,the quotient of cycle function ,thus coming to its theorem ,and illustrates its application.Key words cycle function; cycle; cycle properties; least positive cycle。
周期怎么求物理
周期怎么求物理物理中周期的算法是T=1/f，卫星环绕地球，作匀速圆周运动，轨道周期，是指一颗行星（或其它天体）环绕轨道一周需要的时间，环绕太阳运行的星体有很多种不同的轨道周期。
行星，通常指自身不发光，环绕着恒星的天体。
其公转方向常与所绕恒星的自转方向相同。
一般来说行星需具有一定质量，行星的质量要足够的大且近似于圆球状。
扩展资料：周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
周期函数的判定方法分为以下几步：（1）判断f（x）的定义域是否有界；例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。
（3）一般用反证法证明。
（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。
例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。
证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。
例：证f（x）= ax+b是非周期函数。
证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T）≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。
周期函数
周期函数一、周期函数定义设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x）；则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
二、周期函数性质（1）若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。
（2）若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。
（3）若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。
（4）若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期（6）若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
三、判定定理定理1若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2若f(X）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n）是集{X/aX+ n }上的以T*/ a 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：先证是f(ax+b）的周期∵T*是f(X）的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T’（0<T’<；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X）的周期，但<=T*这与T*是f(X）的最小正周期矛盾。
周期函数及其周期
中学教材对函数的周期性及其应用的介绍很简单，有很多学生对学习这部分内容感到困难，也有很多疑问．为了帮助学生解决疑点和丰富学生对周期性的学习，本文谈一下周期函数及其周期．一、周期函数周期的求法１．利用公式确定周期我们利用周期定义和三角函数的诱导公式可得一般的三角周期函数，正如（１）ｓｉｎ（ｘ＋２!）＝ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ＋２!）＝ｃｏｓｘ，所以２!为ｙ＝ｓｉｎｘ、ｙ＝ｃｏｓｘ的周期；（２）ｔａｎ（ｘ＋!）＝ｔａｎｘ，ｃｏｔ（ｘ＋!）＝ｃｏｔｘ，所以!为ｙ＝ｔａｎｘ、ｙ＝ｃｏｔｘ的周期．２．利用函数的运算和特性，求出函数的周期定理１两个周期（这周期不一定是最小正周期）相同的周期函数的和、差、积、商（作为分母的周期函数不能为零）也是周期函数，并且周期不变．例如，若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都是Ｔ为周期的周期函数，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）也都是周期函数，并且Ｔ也是它们的周期．证明：设这两个周期函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的和、差、积、商函数分别为Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ），即Ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），Ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），Ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），Ｆ４（ｘ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．∵ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）有相同的周期Ｔ，∴当ｘ取ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域内的任一个值时，有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ（ｘ）（其中ｘ＋Ｔ是在定义域内），∴有（１）Ｆ１（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）＋ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝Ｆ１（ｘ）；（２）Ｆ２（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）－ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝Ｆ２（ｘ）；（３）Ｆ３（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）·ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝Ｆ３（ｘ）；（４）Ｆ４（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）／ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）＝Ｆ４（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．因此Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ）都是周期函数，并且Ｔ是它们的一个周期．定理２周期函数的绝对值函数也是周期函数，即若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则ｆ（ｘ）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都是在定义域内），∴由绝对值的性质得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），∴ｆ（ｘ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．定理３周期函数的有限次整数幂的函数（以后把它称为函数幂）也是周期函数，并且原来函数的周期也是函数幂的周期．例如，若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ，ｆ（ｘ）≠０）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：设Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）．∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都在定义域内）．∴Ｆ（ｘ＋Ｔ）＝［ｆ（ｘ＋Ｔ）］ｎ＝［ｆ（ｘ）］ｎ＝Ｆ（ｘ）．∴Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．例１：证明函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ是周期函数，并求出它的一个周期．分析∵ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，２!是它们的周期，所以由上面定理２得ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，并且２!是它们的周期，由上面定理１得ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ也是周期函数，又因为ｓｉｎｘ（ｘ＋!２）＋ｃｏｓ（ｘ＋!２）＝ｃｏｓｘ＋－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，所以!２是ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的一个周期．３．利用递推关系，找出函数的周期定理４具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的数列｛ａｎ｝必定是周期数列，６ｋ就是它的周期．证明：∵ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（ｋ为某正整数）①∴ａｎ＝ａｎ－ｋ－ａｎ－２ｋ（其中ｎ＞２ｋ）②将①②两式左右两边相加并合并同类项得：ａｎ＋ｋ＝－ａｎ－２ｋ∴ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ∴ａｎ＋６ｋ＝－ａｎ＋３ｋ＝－（－ａｎ）＝ａｎ③又由ｎ的任意性可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列，而６ｋ就是它的周期．我们从上面定理４的推导过程可得到：推论具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的周期数列｛ａｎ｝的任一周期段的各项之和必为零．证明：①由上面定理４得｛ａｎ｝是一个周期数列，６ｋ是它的周期；周期函数及其周期文／茂名学院高州师范分院蒋雪英５７广东教育·教研２００７年第１期广东教育·教研２００７年第１期②设它的任一周期段的各项分别为ａｎ＋１，ａｎ＋２，…，ａｎ＋６ｋ，由上面定理４的证明过程（由③式的证明过程）中可得：ａｎ＋１＝－ａｎ＋１＋３ｋ，ａｎ＋２＝－ａｎ＋２＋３ｋ，…，ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ＋６ｋ；∴ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋ａｎ＋３ｋ＋１＋ａｎ＋３ｋ＋２＋…＋ａｎ＋６ｋ＝ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋（－ａｎ＋１－ａｎ＋２－…－ａｎ＋３ｋ）＝（ａｎ＋１－ａｎ＋１）＋（ａｎ＋２－ａｎ＋２）＋…＋（ａｎ＋３ｋ－ａｎ＋３ｋ）＝０二、周期的应用１．求周期函数的函数值例２：已知函数ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ，ｆ（ｘ＋１）［１－ｆ（ｘ）］＝１＋ｆ（ｘ），ｆ（１）＝２!．求ｆ（２００６）的值．分析：由已知式子得ｆ（ｘ＋１）＝１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）≠１，ｆ（ｘ）≠０，所以ｆ（ｘ＋２）＝ｆ［（ｘ＋１）＋１］＝１＋ｆ（ｘ＋１）１－ｆ（ｘ＋１）＝１＋１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）１－１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）＝－１ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ＋４）＝ｆ［（ｘ＋２）＋２］＝－１ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），即ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数．又因为２００６＝４×５０１＋２，所以ｆ（２００６）＝ｆ（２＋４×５０１）＝ｆ（２），而ｆ（２）＝１＋ｆ（１）１－ｆ（１）＝１＋２!１－２!＝－３－２２!，所以ｆ（２００６）＝－３－２２!．这里我们利用函数ｆ（ｘ）的周期性把求ｆ（２００６）的值转化为求ｆ（２）的值．这比直接将ｘ＝２００６代入计算简化了许多．２．求周期函数的最大值和最小值例３：求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的最大值和最小值．分析：此函数的定义域是Ｒ，由例１知它是一个周期函数，并且π２是它的周期．若在整个定义域Ｒ上考察它的函数值，然后找出它的最大值和最小值，则计算量大且复杂．我们若根据函数的周期性，只在它的一个周期［０，π２］上考察ｆ（ｘ）的函数值，就可得出ｆ（ｘ）的最大值和最小值，因为当ｘ∈［０，π２］时，有π４≤ｘ＋π４≤π２＋π４，ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ≥０，所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２!ｓｉｎ（ｘ＋π４），再由正弦函数的单调性质得：当ｘ＋π４＝π２（即当ｘ＝π４）时，ｆ（ｘ）有最大值２!；当ｘ＋π４＝π４（即当ｘ＝０）或当ｘ＋π４＝π２＋π４（即当ｘ＝π２）时，ｆ（ｘ）有最小值１．显然，我们利用函数的周期性把考察ｘ的范围缩小了，从而可去掉函数式中的绝对值符号，使问题变成一个关于三角函数的最值问题．３．求周期数列的前ｎ项之和例４：己知数列｛ａｎ｝有ａｎ＝ａｎ－１－ａｎ－２（ｎ≥３）；它的前１８４项之和等于１９７，前１９７项之和等于１８４，求它的前２００６项之和．解：（１）由上面定理４可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列且６是它的周期．由定理４的推论得：Ｓ１８０＝Ｓ６·３０＝０·３０＝０（其中Ｓ１８０是数列｛ａｎ｝的前１８０项之和，其余有关Ｓ及其下标的符号类推），所以Ｓ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１８１＋ａ１８２＋ａ１８３＋ａ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝１９７①又由定理４的推论得：Ｓ１９２＝Ｓ６·３２＝０·３２＝０．所以Ｓ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１９３＋ａ１９４＋ａ１９５＋ａ１９６＋ａ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝１８４②比较①②得：ａ５＝Ｓ１９７－Ｓ１８４＝１８４－１９７＝－１３．又由定理４的③式的证明过程可得：ａ１＝－ａ１＋３＝－ａ４，ａ２＝－ａ２＋３＝－ａ５＝１３，即ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２．（２）因为Ｓ２００４＝Ｓ６·３３４＝０，又根据已知条件得ａ３＝ａ２－ａ１，即ａ１＝ａ２－ａ３，所以Ｓ２００６＝Ｓ２００４＋ａ２００５＋ａ２００６＝Ｓ２００４＋ａ１＋ａ２＝ａ１＋ａ２＝（ａ２－ａ３）＋ａ２＝２ａ２－ａ３＝２×１３－ａ３③又因为ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２，所以②式变为１８４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝ａ１＋ａ２＋ａ３－ａ１－ａ２＝ａ３④再用④式代入③得Ｓ２００６＝２×１３－１８４＝－１５８．责任编辑罗峰５８。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法一、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中,根据定积分的性质和被积函数的奇偶性,及其周期性,我们有如下结论1、若()x f 是奇函数即()()x f x f --=,那么对于任意 的常数a,在闭区间][a a ,-上,()0=⎰-aa dx x f ;2、若()x f 是偶函数即()()x f x f -=,那么对于任意的常数a,在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a aadx x f dx x f 02;3、若()x f 为奇函数时,()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时,()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0,其中C 为任意常数;当()x f 为奇函数时,()⎰xdt t f 0为偶函数,任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时,()⎰xdt t f 0为奇函数,任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数,⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数;4、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,且在闭区间][T ,0上连续可积,那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022;5、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0,由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0;二、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可,但要注意积分区间;2. 拆项法：观察被积函数,在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式,则分开积分会简化计算;3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难,并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ,()()()x f x f x q --=,则()()()2x q x p x f +=,从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算;三、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分,最主要是能够确定被积函数的周期特别是三角函数与复合的三角函数的周期,并熟悉周期函数的积分性质,基本上就能解决周期函数定积分的问题; 二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积,证明：1若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f 2若f 为偶函数,则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02;证明：1因为()()x f x f --=,而()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=,则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaaadx x f dx x f dt t f x d x f 0000 所以()()()00=+-=⎰⎰⎰-aaaadx x f dx x f dx x f .2因为()()x f x f -=, 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0,对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aa adx x f dt t f x d x f 0,所以()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.例2 设f 在)(∞∞-,上连续,且以T 为周期,证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022;证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaTTa Tdx x f dx x f dx x f dx x f 0,在上式右端最后一个积分中,令t T x +=则有 ()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+0aTa Ta a dx x f dt t f dt t T f dx x f ,即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaTdx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0,成立再证()()⎰⎰-=22T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=TT T Tdx x f dx x f dx x f 220对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT T T dtT t f dx x f 22,因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+0202T T dx x f dt T t f ,()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f ;例3 求定积分 ()dx x x xI cos 2411++=⎰-;解：被积函数为偶函数,()()dx x x x dx x x xI ⎰⎰++=++=-1242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ,其中n 为自然数;解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期,因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20222======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n 自然数n 或m 为奇数;解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n m n m n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时,由于被积函数为奇函数,故0,=m n I 当m 为奇数时设2,1,0,12=+=k k m …时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n 其中()u R 为u 的某个多项式不含常数项 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin ;解：因为被积函数是为奇函数,且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx x x x x ⎰--+-2225242cos ;解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42,因为2542cos xx x -+是奇函数,而2242x x -+是偶函数,所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042=()π28422202-=--⎰dx x例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰; 解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π2cos 1sin dx x xx ;解：令t x +=2π,则dt dx =,因为][π,0∈x ,所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt , dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 1122022πππππ==+=⎰t t d t例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x ; 分析：若此题采用常规求法,会发现过程相当复杂,但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出;原函数可以看做一个奇函数fx=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数ux=3122+-x x 之和;解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+02 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx ; 分析：如果此题按照一般解法直接进行求解,那么会发现很繁琐,注意到()xxx f +-=11lncos 为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分,而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心,半径为21的上半圆周面积, s=2)21(21π= 8π 解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos=dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π 例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续,证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-,并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x ;解：若记()()()x f x f x p -+=,()()()x f x f x q --=,显而易见()x p 为偶函数,()x q 为奇函数,而且()()()2x q x p x f +=.所以有()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa ⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x ;分析：此题的积分区间][2,2-关于原点对称,从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质,但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数;按照上一题的结果我们可以知道()()()][21x f x f x u --=为奇函数,而()()()][21x f x f x w -+=为偶函数解：()()()()()()2211ln ]1ln 1ln [21][21x e x e x e x x f x f x u x x x -+=+++=--=-()()()dx x e x dx x x e x dx e x I x x x ⎰⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-+=+=222222222211ln ]21211ln [1ln3821202102222=+=+⎰⎰-x dx x dx x 例14 求定积分⎰=πn n dx x x I 0sin 其中N n ∈;分析：被积函数不是周期函数,无法直接用周期函数的定积分性质计算,采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原; 令t x n =-π 则dt dx -=()()⎰⎰---==ππππn n n dt t n t n dx x x I 0sin sin⎰⎰⎰⎰⋅+-=+-=ππππππ000sin sin sin sin dx x n n dx x x dt t n dt t t n n n移向得：πππππ20222sin sin 2n xdx n dx x n I n ===⎰⎰ 所以 π2n I n =例15 求定积分 ()⎰+=ππ20sin dx x x I n ;解：()⎰⎰⎰+=+=πππππ0sin sin 2sin 2dx x dx x x dx x x I n[]ππππππππ4222sin cos 2sin sin 200=+=+--=+=⎰⎰x x x xdx xdx x例16 求定积分 ⎰+=π02222cos sin dx xb x a dxI解：注意到被积函数是以π为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算()⎰⎰⎰+=+=+=-2022222222202222tan tan 2cos sin cos sin ππππdx x a b x d dx x b x a dx dx x b x a dx I()[]abx b a ab x ba ab x d πππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎰222tan arctan 2tan 1tan 2例17 求定积分()⎰-+22223cos sin ππxdx x x ;解：注意到是对称区间,函数可以应用定积分的奇偶性来计算()()d xx x xdx x xdx x xdx x x⎰⎰⎰⎰-+=+=+---20222222222322223sin 1sin 20cos sin cos cos sin πππππππ8sin 2sin 2204202πππ=-=⎰⎰xdx xdx例18 证()x f 是以T 为周期的周期函数,则()()⎰⎰=TnTdx x f n dx x f 0;证明：因为()()()∑⎰⎰-=+=110n k Tk kTnTdx x f dx x f 故只需证明()()()⎰⎰=+TTk kTdx x f dx x f 01由题设可知()()kT x f x f += 现令kT t x +=,当kT x =时,0=t ； 当()T k x 1+=时,T t =且dt dx = ()()()()⎰⎰⎰=+=+TT T k kTdt t f dt kT t f dx x f 01所以有()()()⎰∑⎰⎰==-=Tn k TnTdx x f n dx x f dx x 0100 例19 设()x f 是以π为周期的周期函数,证明()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ;分析:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 等价于()()++⎰dx x f x x π0sin()()()()⎰⎰+=+ππππ022sin dx x f x dx x f x x 所以 ()()⎰+ππ2sin dx x f x x = ()()⎰-+ππ0sin dxx f x x 即()()()()⎰⎰-+=+ππππ02sin sin dxx f x x du u f u u 由题设()()x f n x f =+π 可令 π+=x u证明：()()⎰+π20sin dx x f x x()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++=ππππππ2020sin sin sin sin duu f u u dx x f x x dx x f x x dx x f x x 令π+=x u ,则()()()()()()()⎰⎰⎰-+=+++++ππππππππ002sin sin sin dx x f x x dx x f x x du u f u u ()()()()()()⎰⎰⎰-+++=+ππππ0020sin sin sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x()()⎰+=ππ02dx x f x例20 设函数()⎰=xdt t x s 0cos1 当n 为正整数,且()ππ1+≤≤n x n 时,证明()()122+≤≤n x s n ； 2求()xx s x +∞→lim证明：1因为0cos ≥x ,且()ππ1+≤≤n x n ,所以()⎰⎰⎰+<≤ππ10cos cos cos n xn dx x dx x dx x ,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：⎰⎰=+ππcos cos dx x dx x a a,从而⎰⎰=ππcos cos dx x n dx x n()()n n xdx xdx n 211cos cos 220=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰πππ 同理可得到()()12cos 10+=⎰+n dx x n π2由1有()()()ππn n x x s n n 1212+≤≤+,当∞→n 去极限,由夹逼定理得,()π2lim =+∞→x x s x例21 设函数()x f 在)(∞∞-,上连续,而且()()()dt t f t x x F x ⎰-=02;证明：1若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数；2若()x f 单调不减,则()x F 单调不减1证明：令u t -=,则()()()()()()()()x F du u f u x du u f u x dt t f t x x F xx x =-=--=--=-⎰⎰⎰-000222故()x F 为偶函数;2 由于被积函数连续,所以()x F 可导,且()()()()()()()()x xf dt t f x f x x dt t f dt t tf dt t f x x F xx x x -=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰⎰00'00'22()()[]00≥-=⎰xdt x f t f ,因此()x F 在)(∞∞-,上单调不减例22 设()x f 在)(∞∞-,上连续,以T 为周期,令()()⎰=xdt t f x F 0,求证：1()x F 一定能表成：()()x kx x F ϕ+=,其中k 为某常数,()x ϕ是以T 为周期的周期函数； 2()()⎰⎰=∞→Tx x dx x f T dt t f x 0011lim ； 3若有())(()∞∞-∈≥,0x x f ,n 为自然数,则当()T n x nT 1+<≤时,有()()()()⎰⎰⎰+<≤Tx T dx x f n dt t f dx x f n 01;证明:1 即确定常数k,使得()()kx x F x -=ϕ以T 为周期,由于T 因此,取()⎰=Tdt t f Tk 01,()()kx x F x -=ϕ,则()x ϕ是以T 为周期的周期函数; 此时 ()()()x x dt t f Tx F Tϕ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰12 ()()()x dt t f Tx dt t f Txϕ+=⎰⎰00.且()x ϕ在)(∞∞-,上连续并以T 为周期,于是()x ϕ在()x ϕ在[]T ,0有界,在()+∞∞-,也有界;因此()()()()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→∞→Tx T x x dt t f T x x dt t f T dt t f x 00011lim 11lim ϕ 3因()0≥x f ,所以当()T n x nT 1+<≤时,()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=<≤=+ToTn xonTT dt t f n dt t f dt t f dt t f dt t f n 110例23 设()x f 是)(∞∞-,上的连续函数,试运用周期函数性质证明()()⎰⎰-+=+222220sin 2sin cos πππdx x b afdx x b x a f ;证明：因为()α++=+x b a x b x a sin sin cos 22,其中ba=αtan ,令tx =+α,()()()()⎰⎰⎰++=++=+πααππα222202220sin sin sin cos dt t b afdx x b afdx x b x a f()()⎰⎰++++=απππα2222222sin sin dt t b a ftd b a f令t x =-π2,则()()⎰⎰+=++ααππ222222sin sin dt t b a f dt t b af,所以左端=()⎰+π2022sin dx x b af,按照周期函数的性质知⎰⎰⎰+-==ππππ202332c c所以左端=()()⎰⎰+++-232222222sin sin ππππdx x b afdx x b af,x t -=π,知()()d x x b afdx x b af⎰⎰-+=+222223222sin sin ππππ故()⎰-+=2222sin 2ππdx x b a f例24 设()⎰+=2sin πx xdt t x f ,证明1()()x f x f =+π；2求出()x f 的最大最小值;证明：1()⎰++=+23sin πππx x dt t x f ,设π+=u t ,当π+=x t 时,x u =；当23π+=x t 时,2π+=x u ,则()()x f du u dt t x f x x x x ===+⎰⎰+++232sin sin ππππ 2 因为右端连续,故()x f 可导,()x x x f sin cos '-=,又()x f 为周期函数,故只讨论一个周期内即可,现讨论][π,0∈x 当40π≤≤x 时,()0'≥x f ,当434ππ≤<x 时,()0'<x f ,当ππ≤≤x 43时,()0'≥x f 所以当4π=x 时取最大值,2sin 4434==⎪⎭⎫⎝⎛⎰πππdt t f ；当43π=x 时取最大值,2sin 434543-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰πππdt t f ;参考文献1曹绳武,王振中,于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社 2001 2郝涌,卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社 19993李永乐,李正元考研复习全书国家行政出版社 20124林益,邵琨,罗德斌等数学分析习题详解 2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题目评审者考核项目评分指导教师1 平时态度与遵守纪律的情况满分20分2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平满分20分3 抽签答题的正确性满分20分4 完成任务的情况与水平按规范化要求满分20分5 答辩时讲述的条理性与系统性满分20分总评成绩总评成绩等级优、良、中、及格、不及格指导教师签字：。
函数周期性对称性零点
函数周期性、对称性、零点一、函数的周期性：对于函数()y f x =，如果存在大于零的常数，使得x 取定义域内的任意值时都有()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，T 叫做周期。
最小正周期：如果()y f x =是以T 为周期的函数，那么()kT k Z ∈也是()y f x =的周期，因而，周期函数会有无数多个周期，如果这些周期中存在最小的值，那么这个最小的周期就叫做最小正周期。
例1：已知对于定义域内的任意一个x 都有()()2f x f x +=，切当[)1,1x ∈-时，有()2f x x =，求()2014f ，()2013.5f周期函数的判定以及性质：1. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()f x T f x +=-，那么函数()f x 就是以2T 周期的函数。
2. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数就是以b a -为周期的函数。
二、函数的对称性：如果函数()f x 的定义域为M ，如果存在实数a ，使得对于任意的,a x a x M +-∈，都有()()f a x f a x +=-，那么()f x 是以x a =为对称轴的对称函数。
例2：已知二次函数()22f x x mx m =-++-满足()()11f x f x +=-，求函数()f x 的解析式。
函数对称性判定以及性质：1. 如果()f x 是以x a =为对称轴的对称函数，那么必有()()2f x f a x =-，同理如果函数()f x 满足()()2f x f a x =-，那么()f x 是以x a =为对称轴。
2. 如果函数满足()()f a x f b x +=-，那么函数()f x 一定是对称函数，对称轴为()()22a xb x a b x ++-+==。
例3：求证函数()y f x k =-关于x k =对称。
求函数fx周期的几种常见方法解读
求函数f(x)周期的几种常见方法函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．1 定义法根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．(1)∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T 是f(x)的周期．周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．(1)∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a](2)∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．2 特殊值法当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．3 变量代换法例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x代x＋1995，得f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；(1)在(1)中以x＋1代x，得f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，∴f(x－1)＝－f(x＋2)．(3)在(3)中以x＋1代x，得f(x)＝－f(x＋3)；(4)在(4)中以x＋3代x，得f(x＋3)＝－f(x＋6)．(5)将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．4 递推法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．(1)在(1)中以x＋2代x，得f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，∴f(x)＝－f(x＋6)．(3)在(3)中以x＋6代x，得f(x＋6)＝－f(x＋12)．(4)(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．5 消去法例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得f(x)＝f(10－x)；(1)在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得f(x)＝f(14－x)．(2)由(1)和(2)，得f(10－x)＝f(14－x)．(3)在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．6 结构类比法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解：可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．7 公式法例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．证明(1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x 轴的直线，∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),同理可证f(x)＝f(2b－x)．解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．由例8可得到如下的定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a＜b)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.7－2.5＝4．。
高一数学周期函数的图像与性质
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周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
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矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
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周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
函数的周期性的知识点总结
函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。
更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。
二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。
3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。
三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。
2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。
四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。
2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。
3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。
五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。
2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。
3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。
六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。
2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。
第十讲 函数的性质(3)周期性
1 (3) f ( x + 3) = ± , 周期T = ___; f ( x) (4) f ( x + 1) + f ( x ) = 1, 周期T = ___;
(5) f ( x − 1) = f ( x − 3), 周期T = ___; (6) f ( x − m ) = f ( x − n), 周期T = ___; (7) f ( x ) = f ( x − 1) + f ( x + 1), 周期T = ___;
第十讲 函数的基本性质（3） 函数的基本性质（ 函数的周期性： 三、函数的周期性： y=f(x)， 1.周期函数 对于函数y=f(x) 如果存在一个不为零的常 周期函数： 1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常 使得当x取定义域内每一个值时 f(x+T)=f(x)都成 数T，使得当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)都成 就把f(x)叫做周期函数 f(x)叫做周期函数. 立，就把f(x)叫做周期函数. 中不为零的常数T. 2.周期 f(x+T)＝f(x)中不为零的常数 周期： 2.周期：f(x+T)＝f(x)中不为零的常数T. 3.最小正周期 如果在函数的周期中，存在一个最小的正 最小正周期： 如果在函数的周期中， 3.最小正周期： 就把这个正数叫做最小正周期. 数，就把这个正数叫做最小正周期. 4.证明函数为周期函数的步骤 证明函数为周期函数的步骤： 4.证明函数为周期函数的步骤： 在定义域中任取一个自变量x; ①在定义域中任取一个自变量x; 找到一个常数T≠0,证明： T≠0,证明 ②找到一个常数T≠0,证明：f(x+T)=f(x). 5.证明常数 为最小正周期的方法： 证明常数T 5.证明常数T为最小正周期的方法： 验证： ①验证：f(x+T)=f(x); 用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. ②用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. 6.重要结论 已知常数T≠0，当x取定义域内每一个值时， 重要结论： 已知常数T≠0 T≠0， 取定义域内每一个值时， 6.重要结论：
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法定积分中的奇偶函数和周期函数是一种特殊类型的函数，它们在积分计算中有着特殊的性质和处理方法。
在下面的文章中，我们将详细介绍奇偶函数和周期函数在定积分中的处理方法。
一、奇偶函数奇偶函数是指满足以下性质的函数：1.奇函数：对于任意实数x，如果f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数关于原点对称。
2.偶函数：对于任意实数x，如果f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数关于y轴对称。
奇偶函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 奇函数的定积分：对于奇函数f(x)，其在[-a, a]上的定积分为0，即∫[-a, a]f(x)dx = 0。
这是因为奇函数的左右两边面积相等且符号相反，所以其定积分为0。
2.奇函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，则f(x)的积分区间[-a,a]上f(x)的定积分为0。
反过来，若函数f(x)在[-a,a]上的定积分为0，则f(x)为奇函数。
这是因为对于奇函数来说，其在[-a,0]上的面积与在[0,a]上的面积互为相反数，所以两边面积相等。
3.函数的奇偶分解：任何函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。
这是因为一个函数可以分解为其奇部分和偶部分的和。
二、周期函数周期函数是指满足以下性质的函数：对于函数f(x)，如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为其周期。
周期函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 周期函数的定积分：对于周期函数f(x)，其在一个周期内的定积分等于其周期内定积分的任意整数倍，即∫[0, T]f(x)dx = n∫[0,T]f(x)dx（n为任意整数）。
这是因为周期函数在一个周期内的面积是重复的，所以其定积分是周期的整数倍。
2. 定积分与周期函数的周期性：对于周期函数f(x)，其在整个实数轴上的定积分为其一个周期内定积分的整数倍，即∫(-∞, +∞)f(x)dx = n∫[0, T]f(x)dx（n为任意整数）。
周期函数常见的结论及其应用
周期函数常见的结论及其应用作者：腾洪曲来源：《新校园·学习版》2010年第05期周期性是函数的一个重要的性质,在高考题中频频出现.要解决此类问题,必须牢固掌握周期函数的概念、透彻理解问题以及灵活运用数形结合的方法.本文从对周期函数概念的理解,几个重要的周期函数的结论及典型例题三个方面加以阐述,希望能给读者解决此类问题带来帮助.一、周期函数的定义对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,当x取定义域内每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的一个周期.二、理解定义必须注意的问题1.f(x+T)=f(x)必须使定义域内每一个值都成立.如:对于函数y=sin x,当x=-π,0,π,2π,…等π的整数倍时,sin(x+π)=sin x都成立,能否说常数π是函数y=sin x的周期呢?显然不能,因为当x=π3时,sin(π3+π)≠sinπ3,可见常数π不能使定义域内每一个值f(x+π)=f(x)都成立.2.式子f(x+T)=f(x)是自变量x加上非零常数T对应的函数值与x对应的函数值对于定义域内每一个x都成立.如:对于函数y=sin x3,sin(x3+2π)=sin x3对于一切x∈R恒成立,所以该函数的周期为2π,这是错误的.正确的说法是sin(x3+2π)=sin[13(x+6π)]=sin13x,所以函数y=sin x3的周期为6π.3.通常所说的函数周期是指其最小正周期,但并不是每个周期函数都有最小正周期.如:常值函数f(x)=a(a为常数),任一个正数都是其周期,所以它没有最小的正周期.三、常见的函数周期性的结论及证明证明或求函数y=f(x)为周期函数,主要是根据周期函数的定义、性质及图像.结论1若函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+a)=-f(x),则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.证明:∵对任意x∈R,都有f(x+a)=-f(x).∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x).因此,函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.点评:这是一个重要的基本结论,如果问题中有f(x+a)=-f(x)(x∈R)就可得出该函数是周期为2a的周期函数.结论2若偶函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.证明:∵函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,∴f(x+2a)=f[a+(a+x)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x).因此函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.点评:如果函数y=f(x)是偶函数且除x=0外还有对称轴x=a(a≠0),则该函数是周期为2a的周期函数.结论3若奇函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,那么函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.证明:∵函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,∴f(x+4a)=f[a+(3a+x)]=f[a-(x+3a)]=f(-2a-x).又∵函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(-2a-x)=-f(2a+x)=-f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=f(x).因此函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.点评:如果函数y=f(x)是奇函数,并且函数的图像还有对称轴x=a(a≠0),那么该函数是周期为4a的周期函数.结论4若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a证明:∵函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a∴f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x).∴f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).因此函数y=f(x)是周期为2b-2a(b>a)的周期函数.点评:如果函数y=f(x)有两个对称轴,那么这个函数必为周期函数,且周期为两对称轴间距离的二倍.结论5若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a对称,且关于点A(b,0)(a证明:∵函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,∴f(2a-x)=f(x).∵函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(b,0)(a∴f(2b-x)=-f(x).∴f[x+4(b-a)]=f[2b-(4a-2b-x)]=-f(4a-2b-x)=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(2b-2a+x)=-f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).因此函数y=f(x)是周期为4(b-a)的周期函数.点评:以上结论告诉我们,如果函数y=f(x)有一个对称轴和一个对称中心,那么这个函数是周期函数,周期为对称轴与对称中心相应横坐标差的绝对值的四倍.结论6若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a证明:∵函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a∴f(2a-x)=-f(x),f(2b-x)=-f(x),∴f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=-f(2a-x)=f(x).因此,函数y=f(x)是周期为2(b-a)的周期函数.点评:由以上结论2～6可以归纳得出:“如果函数y=f(x)的图像有两条对称轴或有一条对称轴和一个对称中心或有两个对称中心,那么这个函数是周期函数.结论7若函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,则函数是周期为6a的周期函数.证明:∵函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,∴可用x+a代换x,得f(x+2a)+f(x)=f(x+a) .以上两式消去f(x+a),得f(x+2a)=-f(x-a) .再用x+a代换x,得f(x+3a)=-f(x),∴f(x+6a)=f[3a+(x+3a)]=-f(x+3a)=f(x).因此,函数y=f(x)是周期为6a的周期函数.点评:本结论证明两次用到了x+a代换x,这种方法在解决周期性问题时经常用到.结论8对于函数y=f(x),若对任意x,存在非零常数t,使f(x+t)=1+f(x)1-f(x)都成立.则函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.证明:∵f(x+2t)=f(x+t+t)=1+f(x+t)1-f(x+t) =1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),∴f(x+4t)=f[(x+2t)+2t]=-1f(x+2t)=f(x).所以,函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.点评:由f(x+t)=1+f(x)1-f(x)的结构,联想到tan(x+π4)=1+tan x1-tan x,而f(x)=tan x的周期是π4的4倍.由此可以猜想函数y=f(x)的周期为4t.结论9 若函数y=f(x)对任意x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=|a-b|为周期的函数.证明:∵函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),∴用x-a代换x,得f(x)=f(x-a+a)=f(x-a+b)=f[x+(b-a)].因此函数y=f(x)是周期T=|b-a|的周期函数.点评:类比结论9还可以得到若函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=-f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=2|a-b|为周期的函数.四、典型例题例1已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+3)=f(x+1),若x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)与y=log5x的图像交点个数是.解析:由结论9可得函数y=f(x)的周期为2.在同一坐标系中作出函数y=f(x)和y=log5x在[0,5]的图像,由图像可以直观得到交点的个数为4个.例2已知定义在(-∞,+∞)上的函数y=(x)的图像关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值是.解析:∵函数y=f(x)的图像关于点(-34,0)对称,∴f(x)=-f(-x-32)又∵函数y=f(x)满足f(x)=-f(x+32),∴f(-x-32)=f(x+32),用x代换x+32得, f(-x)=f(x),且x∈(-∞,+∞),∴函数y=f(x)是偶函数.又由结论1,函数y=f(x)是T=3的周期函数.∴ f(-1)=f(1)=1, f(2)=f(-1+3)=1,f(3)=f(0)=-2,∴ f(1)+f(2)+…+f(2010)=670[f(1)+f(2)+f(3)]=0.。
函数图像的周期性探究
函数图像的周期性探究在数学的广袤天地中，函数图像的周期性是一个引人入胜且具有重要意义的概念。
它不仅为我们理解和分析函数的性质提供了有力的工具，还在众多科学和工程领域有着广泛的应用。
让我们先来明确一下周期性的定义。
如果存在一个非零常数 T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就被称为周期函数，T 被称为函数的周期。
通俗地说，就是函数的图像在经过一段固定的水平距离 T 后，会重复出现。
为了更直观地理解周期性，我们来看一些常见的周期函数。
首先是正弦函数 y ＝ sin(x) 和余弦函数 y ＝ cos(x)，它们的周期都是2π。
想象一下正弦函数的图像，它像波浪一样起伏，每隔2π 的距离，就会出现完全相同的波形。
余弦函数也类似，只不过它的起点不同。
再来看正切函数 y ＝ tan(x)，它的周期是π。
正切函数的图像在每个π 的区间内有着独特的特点，但在相邻的π 区间会重复。
那么，如何判断一个函数是否具有周期性呢？这需要我们从函数的表达式或者图像特征入手。
如果函数的表达式能够通过一定的变形，找到满足周期性定义的形式，那么就可以确定其周期性。
对于一些复杂的函数，可能需要通过分析其定义域、值域以及函数的变化规律来判断。
函数图像的周期性有着许多有趣的性质。
例如，周期函数的定义域一定是无界的，因为要能够容纳无限次的重复。
而且，如果一个函数是周期函数，那么它的平均值在一个周期内是恒定的。
周期性在实际问题中也有广泛的应用。
比如在物理学中，交流电的电压或电流通常可以用正弦函数来描述，其周期性反映了交流电的变化规律。
在信号处理中，周期性的信号可以通过傅里叶变换进行分析和处理，从而提取出有用的信息。
接下来，让我们深入探讨一下周期函数的一些运算性质。
如果 f(x)和 g(x)都是周期函数，且周期分别为 T1 和 T2，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也是周期函数，其周期通常是 T1 和 T2 的公倍数。
函数周期性
函数周期性定义及推论1． 函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
--------引申：证明函数为周期函数(1) 12log cos2y x = 证明：函数定义域为{|,},44D x k x k k ππππ=-<<+∈Z 若取T π=,那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 1122log cos2()log cos2,x x x D π+=∈所以, y 是周期函数.(2) tan(sin )y x =证明：函数定义域为R , 若取2Tπ=, 那么有 t a n (s i n (2))t a n (s i n ),x x x π+=∈R 所以, y 是周期函数.(3) 22cos tan cot 10x y x x =+ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 若取10T π=, 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 2102cos tan cot cos()2cos()2,1055x x x x x x D π++=+=+∈ 所以, y 是周期函数.(4) 21cos 4(sin cos )22sin 2x y x x x-=-++ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈有 s i n 21s i n 221,y x x x D =--+=∈.所以, y是周期函数,周期为任意x D2．最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
数学周期变化知识点总结
数学周期变化知识点总结1. 周期函数在数学中，周期函数是指其函数值在一定的间隔内呈现重复性变化的函数。
即存在一个正数T，对于函数f(x)，满足f(x+T) = f(x)。
这里T即为函数的周期，也称为基本周期。
周期函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，以及其他常见的函数如正弦余弦函数、指数函数等。
正弦函数是最基本的周期函数之一，其公式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数，B控制周期的长度，也可以表示为2π/k，其中k为正整数，即函数的周期为2π/k。
余弦函数的公式为y=Acos(Bx+C)+D，其特点与正弦函数类似，但相位差不同。
正切函数的公式为y=Atan(Bx+C)+D，也是一个周期函数，但其周期与正弦余弦函数不同。
2. 周期变化的图像周期函数在坐标平面上的图像表现为一种重复性的波动形状，可以是正弦波、余弦波等不同的形状。
在图像上，周期函数的波形会在一定的间隔内反复出现，形成一种规律性的变化。
通过观察其图像特点，可以确定周期函数的周期、振幅、相位等重要参数。
以正弦函数为例，当B=1时，周期函数的图像将呈现正弦波形状，其周期为2π。
当振幅A增大时，波形将变得更加陡峭；相位C的变化可以控制波形的水平平移；常数D则可以控制波形的上下平移。
通过调整这些参数，可以得到不同形式的周期函数图像。
在三角函数中，还有一些其他形式的周期函数，如正弦余弦函数y=Asin(Bx+C)+Acos(Dx+E)+F等，其图像将呈现一种叠加的波动形状。
根据具体的函数表达式，可以通过分析图像特点来确定其周期、振幅、相位等参数。
3. 周期变化的应用周期变化在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在电路分析、机械振动、天文学、气候变化等领域。
周期函数的图像特点可以描述许多自然现象和物理规律，因此被广泛应用于建立模型和解决实际问题。
在电路分析中，周期函数可以用来描述电流、电压等随时间的变化规律，帮助工程师设计和优化电路。
函数的周期性与奇偶性判断
函数的周期性与奇偶性判断在数学中，函数的周期性和奇偶性是两个重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
本文将详细介绍函数的周期性和奇偶性，以及如何判断一个函数是否具有这些性质。
一、函数的周期性周期性是指函数在一定的区间内，以相同的规律不断重复。
如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有周期性：f(x + T) = f(x)，其中T为正实数。
换句话说，如果对于函数f(x)的任意x值，都有f(x + T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
例如，正弦函数sin(x)的周期是2π，即对于任意x，都有sin(x + 2π) = sin(x)。
而余弦函数cos(x)的周期也是2π。
判断一个函数是否具有周期性，可以通过观察函数的图像或使用数学方法来确定。
例如，对于三角函数来说，我们可以观察函数的波形是否在一定区间内不断重复。
对于其他类型的函数，我们可以使用数学方法来求解函数的周期。
二、函数的奇偶性奇偶性是指函数在坐标系中关于原点对称。
具体而言，如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有奇偶性：奇函数：f(-x) = -f(x)，即函数关于原点对称。
偶函数：f(-x) = f(x)，即函数关于y轴对称。
对于奇函数来说，当x取正值时，函数值与对应的负值相等但符号相反。
而对于偶函数来说，无论x为正值还是负值，函数值都相等。
常见的奇函数有正弦函数sin(x)，而常见的偶函数有余弦函数cos(x)。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们可以观察函数的图像是否关于原点对称，即是否在y轴上下对称。
而对于余弦函数cos(x)，我们可以观察函数的图像是否关于y轴对称。
判断一个函数是否具有奇偶性，可以使用函数的性质来进行推导。
例如，对于三角函数来说，我们可以根据函数的定义和性质来判断其奇偶性。
对于其他类型的函数，我们可以使用函数的表达式进行分析。
三、函数周期性和奇偶性的应用函数的周期性和奇偶性在数学和物理中有广泛的应用。
例谈求函数周期的几种常见方法
例谈求函数周期的几种常见方法董㊀强(西安市第八十五中学ꎬ陕西西安７１００６１)摘㊀要:周期性是函数的基本性质ꎬ文章通过高考真题和一些模拟题对函数周期的几种常见求法进行总结.关键词:周期性ꎻ公式法ꎻ函数ꎻ高考题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００１２－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:董强(１９８５－)ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:西安市教育科学研究 十四五 规划２０２１年度小课题: 思维型教学理论指导下的教师专业成长研究 (项目编号:２０２１ＸＫＴ－ＺＸＳＸ１６２).㊀㊀一般地ꎬ对于函数ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ设其定义域为Ｄꎬ若存在非零常数Ｔꎬ使得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)都成立ꎬ那么就称函数ｙ＝ｆ(ｘ)为周期函数ꎬＴ为函数ｆ(ｘ)的一个周期.当Ｔ为函数ｆ(ｘ)的周期时ꎬｋＴ(ｋɪＺ)也是该函数的周期.对于三角函数ꎬ可以通过公式求得其周期ꎻ对于抽象函数ꎬ可以根据周期函数的定义ꎬ合理运用所给函数性质ꎬ求出其周期.１三角函数的周期性(公式法)三角函数是典型的周期函数ꎬ对于三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｔａｎ(ωｘ＋φ)(ｘɪＲ)而言ꎬ它们的周期分别是２πωꎬ２πωꎬπωꎻ而函数ｙ＝Ａ｜ｓｉｎ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｃｏｓ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｔａｎ(ωｘ＋φ)｜的周期均为πω.例１㊀(２０１５年天津理第１５题第(１)问)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎ２(ｘ－π６)ꎬｘɪＲ.求ｆ(ｘ)的最小正周期.解析㊀ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ２－１－ｃｏｓ(２ｘ－π３)２＝１２(１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ)－１２ｃｏｓ２ｘ＝３４ｓｉｎ２ｘ－１４ｃｏｓ２ｘ＝１２ｓｉｎ(２ｘ－π６).所以ｆ(ｘ)周期Ｔ＝２π２＝π.评析㊀求解三角函数问题的一般思路是先通过三角函数恒等变形将函数式进行化简ꎬ再由公式求出三角函数的周期.本题先利用降幂公式将已知函数化简ꎬ再利用辅助角公式将其转化为同一个角的三角函数ꎬ从而利用公式法求得周期.㊀例２㊀(２０１５年重庆理第１８题第(１)问)已知２１函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ.求ｆ(ｘ)的最小正周期和最大值.解析㊀ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓｘｓｉｎｘ－３２(１＋ｃｏｓ２ｘ)＝１２ｓｉｎ２ｘ－３２ｃｏｓ２ｘ－３２＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)－３２.所以ｆ(ｘ)的最小正周期为πꎬ最大值为２－３２.评析㊀在求解三角函数的问题时常需进行恒等变形ꎬ常用方法有降幂法和变量归一法ꎬ本题利用诱导公式㊁二倍角公式㊁辅助角公式化简ｆ(ｘ)后ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小正周期及最大值.２利用函数周期的定义求周期对于一些抽象函数ꎬ充分利用函数周期的定义是求函数周期的常见方法.例３㊀(２０１２年山东)定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).当－３ɤｘ<－１时ꎬｆ(ｘ)＝－(ｘ＋２)２ꎻ当－１ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ.则ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.３３５㊀㊀Ｂ.３３８㊀㊀Ｃ.１６７８㊀㊀Ｄ.２０１２解析由ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)知ꎬ函数ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ结合题设有ｆ(－３)＝ｆ(３)＝－１ꎬｆ(－２)＝ｆ(４)＝０ꎬｆ(－１)＝ｆ(５)＝－１ꎬｆ(０)＝ｆ(６)＝０ꎬｆ(１)＝１ꎬｆ(２)＝２ꎬ所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(６)＝１＋２－１＋０－１＋０＝１.所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝ｆ(１)＋ｆ(２)＋３３５ˑ１＝１＋２＋３３５＝３３８.评析㊀由函数周期的定义知ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ故需要算出一个周期内的６个函数值ꎬ再将待求式子分成周期的倍数ꎬ利用分段函数来计算前６个函数值就可以了.例４㊀设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ恒有ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).当ｘɪ[０ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２.求证:ｆ(ｘ)是周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.评析㊀证明一个函数是周期函数ꎬ只需证明存在一个非零常数Ｔꎬ使ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ).在周期性与奇偶性相结合的函数综合问题中ꎬ周期性起到转换自变量值的作用ꎬ奇偶性起到调节函数值符号的作用.㊀３利用抽象函数的对称性求周期函数的对称性往往和周期性密不可分ꎬ如果一个函数既有对称轴ꎬ又有对称中心ꎬ那么这个函数是一个周期函数ꎬ可结合函数周期的定义推出其周期.例５㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且它的图象关于直线ｘ＝１对称ꎬ求证:ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.证明㊀由函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称ꎬ有ｆ(ｘ＋１)＝ｆ(１－ｘ)ꎬ即有ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ＋２).又函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ故有ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).从而ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).即ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.例６㊀已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)ꎬ对任意ｘɪＲꎬ都有ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)成立ꎬ若函数ｙ＝ｆ(ｘ＋１)的图象关于直线ｘ＝－１对称ꎬ则ｆ(２０１３)＝(㊀㊀).３１Ａ.０㊀㊀Ｂ.２０１３㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.－２０１３解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ＋１)关于ｘ＝－１对称知ꎬｙ＝ｆ(ｘ)关于ｘ＝０对称ꎬ故ｆ(ｘ)为偶函数.在ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)中ꎬ令ｘ＝－３ꎬ得ｆ(３)＝ｆ(－３)＋ｆ(３).即ｆ(－３)＝０.所以ｆ(３)＝０ꎬｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).所以Ｔ＝６.ｆ(２０１３)＝ｆ(６ˑ３３５＋３)＝ｆ(３)＝０.故选Ａ.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)对任意ｘɪＲ都有ｆ(ｘ＋６)＋ｆ(ｘ)＝２ｆ(３)ꎬｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ且ｆ(４)＝４ꎬ则ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.－４㊀㊀㊀Ｃ.－８㊀㊀㊀Ｄ.－１６解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ可知ｆ(ｘ)关于点(０ꎬ０)对称.故ｆ(ｘ)为奇函数.令ｘ＝－３ꎬ则ｆ(３)＋ｆ(－３)＝２ｆ(３)ꎬｆ(－３)＝ｆ(３).又ｆ(－３)＝－ｆ(３)ꎬ所以ｆ(３)＝０.所以ｆ(６＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０.所以ｆ(１２＋ｘ)＝－ｆ(６＋ｘ)＝ｆ(ｘ).于是ｆ(ｘ)是一个周期为１２的周期函数.因此ｆ(２０１２)＝ｆ(－４)＝－ｆ(４)＝－４.故选Ｂ.例８㊀已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ(ｘ)ꎬ满足ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ且在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ若方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)在区间[－８ꎬ８]上有四个不同的根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬ则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝.解析㊀因为函数ｆ(ｘ)在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ又ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数ꎬ故ｆ(０)＝０ꎬｆ(ｘ)的图象关于坐标原点对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[－２ꎬ２]上的特征图象(如图１).由ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)得ｆ(４－ｘ)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝２对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[２ꎬ６]上的特征图象.因为ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ－８)＝－ｆ(ｘ－４)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)是以８为周期的周期函数.根据函数的周期性得到ｆ(ｘ)在[－８ꎬ８]上的特征图象(如图１所示).图１根据图象不难看出ꎬ方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)的两根关于直线ｘ＝２对称ꎬ另两根关于直线ｘ＝－６对称ꎬ故四个根的和为２ˑ(－６)＋２ˑ２＝－８.评析㊀例５~例８是根据函数的对称性求得函数的周期.一般地ꎬ有以下一些常用的结论:(１)若ｘ＝ａꎬｘ＝ｂ都是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(２)若(ａꎬ０)ꎬ(ｂꎬ０)都是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(３)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ(ｂꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝４ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(４)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则直线ｘ＝ａ＋ｎＴ２(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎻ(５)若(ａꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则点(ａ＋ｎＴ２ꎬ０)(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心.参考文献:[１]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０１５.[责任编辑:李㊀璟]４１。
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如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ．∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =， 因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32sin 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。
如常函数f(x)=C；3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期。
(证一证)6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a<b）,则4（b-a）是f（x）的周期。
举例:y=sinx,等.三.双基题目练练手1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为（）A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-43. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f(px)的一个正周期是；5.数列中简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。
四.经典例题做一做【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
）∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1), ∵T=2,是偶函数∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x∈(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。
解：周期为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。
方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1.∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。
【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式.解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.②当时，由题意可设，由得，∴，∴.③∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，，从而时，，故时，.∴当时，有，∴.当时，，∴∴.五．提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习2．7 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为A.0B.C.TD.－2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为A.－B.C.－D.【填空题】3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，= ,则=4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。