模拟试题及参考答案_数学物理方程
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《数学物理方程》模拟试题
一、填空题（3分⨯10=30分）
1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.
2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（）.
3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） .
4.边界条件
f
u
n
u
S
=
+
∂
∂
)
(σ
是第（）类边界条件，其中S为边界.
5.设函数
),
(t
x
u的傅立叶变换式为),
(t
Uω，则方程2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
的傅立叶变换
为（）.
6.由贝塞尔函数的递推公式有
=
)
(
x
J
dx
d
（） .
7.根据勒让德多项式的表达式有
)
(
3
1
)
(
3
2
2
x
P
x
P+
= （）.
8.计算积分
=
⎰-dx
x
P
2
1
12
)]
(
[
（）.
9.勒让德多项式
)
(
1
x
P的微分表达式为（） .
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） .
二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：
1.⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
=
∂
∂
=
= =
>
<
<
∂
∂
=
∂
∂
=
=
=
=
3
0,0
,
3
,0 0
,3
0,
2
3
2
2
2
2
2
,0
x
t
u
x
x
t
x
x
u
t
u
t
t
x
u
u
u
2.⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
>
<
<
∂
∂
=
∂
∂
=
=
=
x
t
x
x
u
t
u
u
u
u
t
x
x
2
,0
,0
,4
0,
4
2
2
3. ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,1620020
22
222x t u t x x u
t u t t x x u u u
三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）
⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0
,2sin 0,,cos 0022
2
22t t t u x u t x x x u a t u
四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u
五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：
)
(1)()('
0'
'02x J x
x J x J -=
六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ
21cos ==r u ，即所提问题归
结为以下定解问题（10分）:
.
0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222
πθθπθθθθ
θ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r u
r r u r r r
(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)
《数学物理方程》模拟试题参考答案
一、 填空题：
1.初始条件，边值条件，定解条件.
2.
)(222222
2z u y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(12
22=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u .
4. 三.
5.U a dt U
d 222
2ω-=.
6.)(1x J -.
7.2
x .
8.52.
9.)1(212
-x dx d .
10.
2
020)()(1
ln
y y x x u -+-=.
二、试用分离变量法求以下定解问题
1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：
0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的
情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2
βλ=，得到
22
22
3πβλn ==为特征值，特征函数
3s in
)(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32s in
32c o s )(;
;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3
sin )32sin 32cos
(),(1
x
n t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞
=再由初始条件得到
0,)1(18
3sin 332130=-==
+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为