史上最详细的光纤模式推导

史上最详细的光纤模式推导

史上最详细的光纤中的模式推导

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刖言

如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。

波动光学-光纤波导模式理论推导

研究光学通常有两种方法几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。

如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell 方程也是此次推导的源头，由Maxwell 方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可得到模场分布。过程有些许复杂，容我 ---------------------------- 道来，

Maxwell 方程组简化

先让我们花三秒钟一起膜拜一下 Maxwell 方程

组:

V - D - p ZE=-臥 v-s = o V x H =丿十兀

由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电 流，即P 二°,丿=°|，于是，Maxwell 方程组可 以简化成如下形式

:

O

-

D

■

以下推导以电场分量为例

波动方程推导

明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2) 式得到，对V x E =-丙两边取旋度得

dB

V x V x H =- V x

旋度和偏微分可以交换顺序(二者作用的对象不同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间)：

-- L d fV x B)|

D和E、H和B之间满足物质方程：

:D = £()E + P

[B =讪 + M W

光纤是无磁介质，因而M = °, p为感应电极化

强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：

:D —E E Z R.

[B =“H 其中£ =切6, M = “o(5)

(5)式代入⑶式得：

V x V x E = E 又因为

d2B

临T冷)

V X 其中7xE)=

V-E = 0

V(V • E) -

V2E

V x (V x E) = -V2F (7)

最后，得到波动方程:

亥姆赫兹方程推导

得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离， 也

就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场 和磁场的单独关系。但是波动方程依旧很复杂， 因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好 在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的 性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥 姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是 波动方程的一个特例。 假设

E = E m exp(ia)t) (9)1

代入(8)式(简单的求导，不赘述)，得：

V 2

E + £ fxa>2

E = 0

通常令k2

= £

，k 称为波数，最终得到亥姆

赫兹方程：

V 2E + k 2

F =0 (10)

分离变量法求解

由于光纤的圆柱对称特性，因而采用柱坐标求解 比较方便，(10)式所表示的波动方程在柱坐标系 下，可以

(8)

d 2

E

表示为：

d2E IdE 1 d2E d2E 7

郦 + 両+ +曲+ kE

这里需要强调一点，因为E和H满足Maxwell方程组，因而6个分量其实只有2个是独立的，习惯上选择Ez和Hz作为独立分量。

关于Ez的波动方程可以用分离变量求解，通解为 (至于通解是怎么来的，这应该属于数学问题，这里可以不必深究)：

E z - AF(p)exp (im0)exp (i0z) (12)

将通解(12)代入波动方程(11)，得：

d2E ldF { . ° m2\

诉 + 网+ (k -韵F =0 03)

这个方程就是总所周知的贝塞尔函数的微分方

程，当然稍微不太一样，于是，就有了下面的一些简单变换：

首先，比=】】&，当o 匕伉@为纤芯直径)，

n = n^ k2-^>C(这个量其实是横向传播常数，在纤芯内这个量必须为整数，而在包层则为负数)。

有了上面的条件，可以定义：

u2 w20 < p < a

(14)

P〉a

最后，将定义(14)代入贝塞尔微分方程(13)，得到两个方程：

d2E ldF (U2 m2\

时+阿+賦詡尸" d2E ldF (U2m2\硏+网备+詞F =00 < p < a

P〉a

(15)

这个方程怎么解？我也不知道怎么解，不过贝塞尔已经帮我们解好了：

0 < p < a

P > a

(16)

因为N*（0）= , G（8）= o ,这二者不能满

足光纤传播条件，因而被舍去，同时，根据边界连续

条件：

Fi（a） = F2（a）

所以:

Fi(P)

尸2

(17)

最后：

E z=E°G嵐(p)exp (tm0)exp (i/?z)

"心(1町

(18)

分割线

看到这里，你已经基本掌握了利用波动光学求解光纤中传导模式的方法，虽然复杂，但细细去看，并不算难，既然这个东西如此重要，何妨多花点时间看看。如果你已经看懂了上面的推导，那我们就继续。

本征值方程

F