湖南省长沙市南雅中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题

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2022年-有答案-湖南省长沙市某校高一(上)质检数学试卷(一)

2022学年湖南省长沙市某校高一（上）质检数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合A＝{12, a2+4a, a−2}，且−3∈A，则a＝（）A.−1B.−3或−1C.3D.−32. 记全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A＝{1, 2, 3, 5}，B＝{2, 4, 6}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A.{4, 6, 7, 8}B.{2}C.{7, 8}D.{1, 2, 3, 4, 5, 6}3. 已知集合A{x|x2−3x+2=0, x∈R}，B={x|0<x<5, x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.44. 对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知命题p:∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A.(−2, 1)B.[−1, 2]C.(−1, 2)D.(0, 2]6. 已知实数a、b、c满足b+c=6−4a+3a2，c−b=4−4a+a2，则a、b、c的大小关系是（）A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b7. 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD．作CE⊥OD交OD于E．由CD≥DE可以证明的不等式为（）A.≥(a>0, b>0)B.(a>0, b>0)C.≥(a>0, b>0)D.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)8. 函数f(x)=ax+b的图象如图所示，则下列结论成立的是()(x+c)2A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0二、多选题下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列选项中的两个集合相等的有（）A.P＝{x|x＝2n, n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n+1), n∈Z}B.P＝{x|x＝2n−1, n∈N∗}，Q＝{x|x＝2n+1, n∈N+}C.P＝{x|x2−x＝0}，Q＝{x|x＝，n∈Z}D.P＝{x|y＝x+1}，Q＝{(x, y)|y＝x+1}已知a，b∈R∗且a+b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有（）A.ab≤B.ab+≥C.+≤D.+≥2若x∈R，f(x)是y＝2−x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)()A.最大值为2B.最大值为1C.最小值为−1D.无最小值三、填空题已知集合A={−1, 1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为________．已知函数y＝f(x)的对应关系如表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1, 3)，B(2, 1)，C(3, 2)，则f（g(2)）的值为________．f(x)230若不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12, −13]，则不等式x2−bx−a<0的解集为________．已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+f2(4)+f(8)f(7)+f2(5)+f(10)f(9)的值为________．四、解答题设集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，（1）若m＝4，求A∪B；（2）若B∩A＝B，求实数m的取值范围．已知a>0，b>0，a+b＝1，求证：（1）a2+b2≥；（2）≥8．已知函数f(x)＝．（1）求f(2)+f（），f(3)+f（）的值；（2）求证：f(x)+f（）是定值；（3）求f(1)+f(2)+f（）+f(3)+f（）+...+f(2020)+f（）的值．国庆放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞．在某高速公路上的某时间段内车流量y（单位：千辆/小时）与汽车的平均速度v（单位：千米/小时）之间满足的函数关系y＝（0<v≤120，c为常数），当汽车平均速度为100千米/小时时，车流量为10千辆/小时．（1）在该时间段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？（2）为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：3，得例：求x3−3x，x∈[0, +∞)的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3√abc到x3+1+1≥3x，于是x3−3x=x3+1+1−3x−2≥3x−3x−2=−2，当且仅当x=1时，取到最小值−2（1）老师请你模仿例题，研究x4−4x，x∈[0, +∞)上的最小值；4）（提示：a+b+c+d≥4√abcdx3−3x，x∈[0, +∞)上的最小值；（2）研究19（3）求出当a>0时，x3−ax，x∈[0, +∞)的最小值．已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0．（1）当a∈R时，解关于x的不等式；（2）当x∈[2, 3]时，不等式ax2−x+1−a≤0恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2022学年湖南省长沙市某校高一（上）质检数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合A＝{12, a2+4a, a−2}，且−3∈A，得a2+4a＝−3或a−2＝−3，由此能求出结果．【解答】∵集合A＝{12, a2+4a, a−2}，且−3∈A，∴a2+4a＝−3或a−2＝−3，解得a＝−1，或a＝−3，当a＝−1时，A＝{12, −3, −3}，不合题意，当a＝−3时，A＝{12, −3, −5}，符合题意．综上，a＝−3．2.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由文氏图知，图中阴影部分所表示的集合是∁U(A∪B)．由此能求出结果．【解答】由文氏图知，图中阴影部分所表示的集合是∁U(A∪B)．∵A＝{1, 2, 3, 5}，B＝{2, 4, 6}，∵全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，∴∁U(A∪B)＝{7, 8}．3.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B可得满足条件的集合C有{1, 2, }，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 2, 3, 4}.【解答】解：由题意可得，A={1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1, 2}，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 2, 3, 4}共4个.故选D．4.【答案】B【考点】不等式性质的应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】不等式的基本性质，“a>b”⇒“ac2>bc2”必须有c2>0这一条件．【解答】解：当c=0时显然左边无法推导出右边；右边只要不等式恒成立，必定可以推导出左边.故选B.5.【答案】C【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】根据命题p是假命题，得￢p是真命题，转化为不等式恒成立的问题，从而求出实数a 的取值范围．【解答】∵命题p:∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0是假命题，则￢p是真命题，即∀x∈R，x2+2ax+a+2>0恒成立，∴4a2−4(a+2)<0，即a2−a−2<0；解得−1<a<2，∴a的取值范围是(−1, 2)．6.【答案】A【考点】不等式比较两数大小【解析】把给出的已知条件c−b=4−4a+a2右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．【解答】解：由c−b=4−4a+a2=(2−a)2≥0，∴c≥b．再由b+c=6−4a+3a2①c−b=4−4a+a2②①-②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．∵ 1+a 2−a =(a −12)2+34>0，∴ b =1+a 2>a ． ∴ c ≥b >a ．故选A ．7.【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【解答】由射影定理可知CD 2＝DE ⋅OD ，即DE ＝＝＝，由DC ≥DE 得≥，8.【答案】C 【考点】函数的图象与图象的变换函数的零点【解析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以−c >0，得c <0，由图象可知，f(0)=bc 2>0，∴ b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴ a <0，综上a <0，b >0，c <0.故选C .二、多选题【答案】B,C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件；对于D，−1<x< 1是x2<1的充要条件．【解答】解：解不等式x2<1，可得−1<x<1，∵{x|−1<x<1}⫋{x|x<1}，{x|−1<x<1}⫌{x|0<x<1}，{x|−1<x<1}⫌{x|−1<x<0}，因此，使得x2<1的成立一个充分不必要条件的有：0<x<1，−1<x<0．故选BC．【答案】A,C【考点】集合的相等【解析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P＝{0, 1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q ＝{0, 1}，则P＝Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，【答案】A,B,C【考点】基本不等式及其应用【解析】选项A，由a+b≥2，得解；选项B，令t＝ab，则y＝ab+＝t+，再结合对勾函数的图象与性质，可得解；选项C，由（+）2＝a+b+2，再根据选项A的推导，得解；选项D，由“乘1法”，可得解．【解答】令t＝ab，则t∈(0，]，∴y＝ab+＝t+在t∈(0，]上单调递减，∴当t＝时，y取得最小值，为，即ab+≥，故选项B正确（1）∵（+）2＝a+b+2＝1+2≤1+2×＝2，∴+≤，即选项C正确（2）∵+＝（+）⋅(a+b)＝1+++≥+2＝+，当且仅当＝时，等号成立，即选项D错误．故选：ABC．【答案】B,D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由题意作出函数f(x)的图象，数形结合得答案．【解答】作出函数y＝2−x2，y＝x的图象如图，则f(x)的图象为图中实线部分，由图可知，当x＝1时，f(x)取最大值为1，无最小值．三、填空题【答案】{−1, 0, 1}【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．【解答】解：当a=0时，B=⌀，B⊆A；当a≠0时，B={−1a }⊆A，−1a=1或−1a=−1⇒a=1或−1，综上实数a的所有可能取值的集合为{−1, 0, 1}．故答案是{−1, 0, 1}．【答案】2【考点】函数的求值求函数的值【解析】由函数的图象先求出g(2)＝1，从而f（g(2)）＝f(1)，由此能求出结果．【解答】由题意得g(2)＝1，f（g(2)）＝f(1)＝2．故答案为：2．【答案】(2, 3)【考点】一元二次不等式的应用【解析】不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12, −13]，可得−12，−13是一元二次方程ax2−bx−1＝0的两个实数根，且a<0．利用根与系数的关系即可得出．【解答】∵不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12, −13]，∴−12，−13是一元二次方程ax2−bx−1＝0的两个实数根，且a<0．∴{−12−13=ba−12×(−13)=−1aa<0，解得a＝−6，b＝5．则不等式x2−bx−a<0化为x2−5x+6<0，即(x−2)(x−3)<0，解得2<x<3．∴不等式x2−bx−a<0的解集为(2, 3)．【答案】30【考点】抽象函数及其应用【解析】题中条件：f(p+q)=f(p)f(q)，利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f2(n)，后化简所求式子即得．【解答】解：由f(p+q)=f(p)f(q)，令p=q=n，得f2(n)=f(2n)．原式=2f 2(1)f(1)+2f(4)f(3)+2f(6)f(5)+2f(8)f(7)2f(10)f(9)++=2f(1)+2f(1)f(3)f(3)+2f(1)f(5)f(5)+2f(1)f(7)f(7)+2f(1)f(9)f(9)=10f(1)=30，故答案为：30四、解答题【答案】由题意：集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，当m＝4时，B＝{x|5≤x≤7}，∴A∪B＝{x|−2≤x≤7}．∵B∩A＝B，∴B⊆A，当B＝Φ时，满足题意，此时m+1>2m−1，解得：m<2；当B≠Φ时，−2≤m+1≤2m−1≤5，解得：2≤m≤3；综上所得：当B⊆A时，m的取值范围为(−∞, 3]．【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】（1）求出集合A，B，由此能滶出A∪B．（2）由B∩A＝B，得B⊆A，当B＝⌀时，m+1>2m−1，当B≠⌀时，−2≤m+ 1≤2m−1≤5，由此能求出当B⊆A时，m的取值范围．【解答】由题意：集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，当m＝4时，B＝{x|5≤x≤7}，∴A∪B＝{x|−2≤x≤7}．∵B∩A＝B，∴B⊆A，当B＝Φ时，满足题意，此时m+1>2m−1，解得：m<2；当B≠Φ时，−2≤m+1≤2m−1≤5，解得：2≤m≤3；综上所得：当B⊆A时，m的取值范围为(−∞, 3]．【答案】a>0，b>0，a+b＝1，可得a+b≥2，即有0<ab≤，当且仅当a＝b＝时，取得等号，所以a2+b2＝(a+b)2−2ab＝1−2ab≥1−2×＝．由（1）可知≥4，即有＝≥8，当且仅当a＝b＝时，取得等号．【考点】不等式的证明【解析】（1）a>0，b>0，a+b＝1，由基本不等式可得0<ab≤，由a2+b2＝(a+b)2−2ab即可得证；（2）由（1）得≥4，即可得证．【解答】a>0，b>0，a+b＝1，可得a+b≥2，即有0<ab≤，当且仅当a＝b＝时，取得等号，所以a2+b2＝(a+b)2−2ab＝1−2ab≥1−2×＝．由（1）可知≥4，即有＝≥8，当且仅当a＝b＝时，取得等号．【答案】∵函数f(x)＝．∴f(2)+f（）＝+＝＝2，f(3)+f（）＝＝2．证明：∵f(x)＝，∴f(x)+f（）＝f(x)＝+＝＝2．∴f(x)+f（）是定值2．∵f(x)+f（）是定值2．∴f(1)+f(2)+f（）+f(3)+f（）+...+f(2020)+f（）＝+2019×2＝4039．【考点】函数的求值求函数的值【解析】（1）分别把f(x)＝中所有的x都换成2，，3，，能求出f(2)+f（）和f(3)+f（）的值．（2）把f(x)＝中的x分别换成x，，能证明f(x)+f（）是定值2．（3）由f(x)+f（）是定值2，能求出f(1)+f(2)+f（）+f(3)+f（）+...+f(2020)+f（）的值．【解答】∵函数f(x)＝．∴f(2)+f（）＝+＝＝2，f(3)+f（）＝＝2．证明：∵f(x)＝，∴f(x)+f（）＝f(x)＝+＝＝2．∴f(x)+f（）是定值2．∵f(x)+f（）是定值2．∴f(1)+f(2)+f（）+f(3)+f（）+...+f(2020)+f（）＝+2019×2＝4039．【答案】由题意可知：10＝，解得c＝6400，所以y＝＝，当且仅当v＝，即v＝80时取等号，所以当汽车的平均速度为80时车流量最大；由题意可知：，即v2−164v+6400≤0，解得64≤v≤100，所以当64≤v≤100时，在该时间段内车流量至少为10千辆/小时．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）首先根据题意求出c的值，再利用基本不等式即可求解；（2）根据题意建立不等式关系，解不等式即可求解．【解答】由题意可知：10＝，解得c＝6400，所以y＝＝，当且仅当v＝，即v＝80时取等号，所以当汽车的平均速度为80时车流量最大；由题意可知：，即v2−164v+6400≤0，解得64≤v≤100，所以当64≤v≤100时，在该时间段内车流量至少为10千辆/小时．【答案】解：（1）x4−4x=x4+1+1+1−4x−3≥4x−4x−3=−3，当且仅当x=1时，取到最小值−3，（2）19x3−3x=19x3+3+3−3x−6≥3x−3x−6=−6，当且仅当x=3时，取到最小值−6，（3）x3−ax=x3√a3√3+√a3√3ax−2a√3a9≥ax−ax−2a√3a9=−2a√3a9，当且仅当x=√a3√3时，取到最小值−2a√3a9【考点】基本不等式【解析】（1）根据新定义可得x4−4x=x4+1+1+1−4x−3，解得即可，（2）根据新定义可得19x3−3x=19x3+3+3−3x−6，解得即可，（3）根据新定义可得x3−ax=x3√a3√3√a3√3−ax−2a√3a9，解得即可．【解答】解：（1）x4−4x=x4+1+1+1−4x−3≥4x−4x−3=−3，当且仅当x=1时，取到最小值−3，（2）19x3−3x=19x3+3+3−3x−6≥3x−3x−6=−6，当且仅当x=3时，取到最小值−6，（3）x3−ax=x3√a3√3+√a3√3ax−2a√3a9≥ax−ax−2a√3a9=−2a√3a9，当且仅当x=√a33时，取到最小值−2a√3a9【答案】不等式ax2−x+1−a≤0可化为(x−1)(ax+a−1)≤0，当a＝0时，不等式化为x−1≥0，解得x≥1，当a<0时，不等式化为(x−1)(x−）≥0，解得x≤，或x≥1；当a>0时，不等式化为(x−1)(x−）≤0；①0<a<时，>1，解不等式得1≤x≤，②a＝时，＝1，解不等式得x＝1，③a>时，<1，解不等式得≤x≤1．综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，当a<0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}，0<a<时，不等式的解集为{x|1≤x≤}，a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}，a>时，不等式的解集为{x|≤x≤1}．由题意不等式ax2−x+1−a≤0化为a(x2−1)≤x−1，当x∈[2, 3]时，x−1∈[1, 2]，且x+1∈[3, 4]，所以原不等式可化为a≤恒成立，设f(x)＝，x∈[2, 3]，则f(x)的最小值为f(3)＝，所以a的取值范围是(−∞，]．【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）不等式化为(x−1)(ax+a−1)≤0，讨论a＝0和a<0、a>0时，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a(x2−1)≤x−1，即a≤恒成立，求出f(x)＝在x∈[2, 3]时的最小值即可．【解答】不等式ax2−x+1−a≤0可化为(x−1)(ax+a−1)≤0，当a＝0时，不等式化为x−1≥0，解得x≥1，当a<0时，不等式化为(x−1)(x−）≥0，解得x≤，或x≥1；当a>0时，不等式化为(x−1)(x−）≤0；①0<a<时，>1，解不等式得1≤x≤，②a＝时，＝1，解不等式得x＝1，③a>时，<1，解不等式得≤x≤1．综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，当a<0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}，0<a<时，不等式的解集为{x|1≤x≤}，a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}，a>时，不等式的解集为{x|≤x≤1}．由题意不等式ax2−x+1−a≤0化为a(x2−1)≤x−1，当x∈[2, 3]时，x−1∈[1, 2]，且x+1∈[3, 4]，所以原不等式可化为a≤恒成立，设f(x)＝，x∈[2, 3]，则f(x)的最小值为f(3)＝，所以a的取值范围是(−∞，]．。

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2y 34x x =--+的定义域为（）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（） A ．2B ．2±C ．4D ．4±7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（） A ．5 B ．5-C ．0D ．201910．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．6二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >．（1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示，故选D ．4．C解析：C 【解析】【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a，当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去；当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．B解析：B 【解析】【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值．【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5．故选：A ．【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根，函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根，即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f（x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ），当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，. 【解析】【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)a f x x a x x =+≠≠，，取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立． 121204x x x x -<>Q ，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.24．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-，因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a≥即1(0,]2a∈时，()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。

湖南省长沙一中2020-2021学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷 Word版含答案

长沙一中2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学时间：120分钟分值：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U =R ，201x A xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA =( )A.{}21x x -<<B.{}21x x x ≤-≥或C.{}21x x x ≤->或D.{}21x x -<≤2.函数()f x =+的定义域为( )A.[)3,1-B.[]3,1-C.[)3,-+∞D.(),1-∞3.下列函数为偶函数，且在()0,+∞单调递增的是( )A.1y x=B.2y x x =+C.22y x =-D.2y x =-4.命题“x ∀∈R ，321x x +≤”的否定是( )A.x ∀∈R ，321x x +>B.x ∀∈R ，321x x +≥C.x ∃∈R ，321x x +>D.x ∃∈R ，321x x +≥5.若P =+Q =()0a ≥，则P 、Q 的大小关系为( )A.P Q >B.P Q =C.P Q <D.由a 的取值确定6.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为( )A.[]2,2-B.[]1,3-C.[]1,3D.[]1,1-7.已知()2x ϕ=()()2231x f x x ϕ=-，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.15-B.15C.13-D.138.已知a ，b 都是正数，且3ab a b ++=，则2a b +的最小值为( )A.2B.3-C.2D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.已知集合{}24P x x ==，N 为自然数集，则下列表示正确的是( )A.2P ∈B.{}2,2P =-C.{}P ∅⊆D.P N10.下列函数的最小值为4的有( )A.224y x x=+B.92y x x=+- C.2y =D.()1111y x x x =++>- 11.以下选项中，是0a <，0b <的一个必要条件的为( )A.0a b ->B.1ab<-C.0a b +<D.21a b +<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是( )A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y ->-C.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D.不等式[][]2230x x --≥的解集为{}02x x x <≥或三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数()21,12,1x f x x x x +<=+≥⎪⎩，则()()0f f =________.14.已知集合{}220A x x x =--=，{}1B x ax ==，若A B B =，则实数的所有可能的取值组成的集合为________.15.用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=的最大值为________.16.高二某班共有60人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22210B x x mx m =-+-≤.(1)若332AB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，求实数m 的值；(2)x A ∈是x B ∈的________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处)18.(本小题满分12分)函数()f x =.(1)若()f x 的定义域为R ，求k 的取值范围； (2)当1k =-时，求()f x 的值域.19.(本小题满分12分)已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<.(1)求m ，n 的值，并求不等式220nx mx ++>的解集；(2)解关于x 的不等式()20ax n a x m -+->(a ∈R ，且1a <)20.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 为正数.(1)若22a b ab +=，证明：922a b +≥； (2)若1a b c ++=，证明：22213a b c ++≥.21.(本小题满分12分)用清水洗一堆衣服上残留的污渍，用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，现作如下假定：用x 单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数()222f x x =+. (1)(ⅰ)试解释()0f 与()1f 的实际意义；(ⅱ)写出函数()f x 应该满足的条件或具有的性质；(写出至少2条，不需要证明)(2)现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由.22.(本小题满分12分)已知()f x x x=⋅.(1)若[)1,x ∃∈+∞，使()20f x a a --<成立，求实数a 的取值范围；(2)若()()10g x x x mx m =+->，在()1,x ∈-+∞上有最小值，求实数m 的取值范围.长沙一中2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、选择题二、填空题13.814.10,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭15.616.8三、解答题17.【解析】(1)对()()2:23013013A x x x x x --≤⇒+-≤⇒-≤≤即{}13A x x =-≤≤对()()22:210110B x mx m x m x m -+-≤⇔--⋅-+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦11m x m ⇒-≤≤+，即{}11B x m x m =-≤≤+332AB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则312m -=-，即12m =-经检验满足题意.(2)选①，1131m AB m -≤-⎧⇒⎨≤+⎩，此时m 必无解.即不存在实数m ，使得题意成立选②，110213m BA m m -≤-⎧⇒⇒≤≤⎨+≤⎩选③，1113m A B m -=-⎧=⇒⇒⎨+=⎩此时m 无解，即不存在实数m ，使得题意成立18.【解析】(1)即23208kx kx ++>，对x ∈R 恒成立 1 当0k =，满足；2°当0k ≠时，2030030k k k k >⎧⇒-<⇒<<⎨∆<⎩综上：03k ≤<时，函数()f x 的定义域为R(2)1k =-时，令2328y x x =--+21112422x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭故02<≤∴()f x的值域为)+∞19.【解析】(1)由题意知0m <且321212n m mn n m ⎧+=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪⋅=-⎪⎩. 则2221722024nx mx x x x ⎛⎫++=-+=-+> ⎪⎝⎭即220nx mx ++>的解集为R(2)()()()211110ax a x ax x -++=-->1 当0a <，不等式()()11101x ax x x a⇔-+-<⇒<< 2 当0a =，不等式101x x -+>⇒< 3 当01a <<时，11a> 则()()1101ax x x -->⇒<或1x a>综上所述：1)当0a <时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2)当0a =时，不等式的解集为{}1x x <3)当01a <<时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 20.【解析】(1)∵22a b ab +=，变形得122a b+= ∴()112222a b a b a b ⎛⎫+=⋅+⋅+ ⎪⎝⎭12252b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵224b a a b +≥，∴922a b +≥ 当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立(2)212293a a +≥= 21293b b +≥ 21293c c +≥ ()2221233a b c a b c ⇒+++≥++.即22213a b c ++≥ 当且仅当13a b c ===时，等号成立 21.【解析】(1)(ⅰ)()01f =，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变()213f =，表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13(ⅱ)函数()f x 的定义域为[)0,x ∈+∞，值为()(]0,1f x ∈，在()0,+∞上单调递减(2)设清洗前衣服上的污渍为1，用a 单位量的水清洗1次后，残留的污渍为1W 则()12212W f a a =⨯=+ 如果用2a 单位的水清洗1次，则残留的污渍为28128a f a⎛⎫⨯= ⎪+⎝⎭ 然后再用2a 单位的水清洗1次后，残留的污渍为()22226428a W f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+. 由于()()()()22122222222162642828a a W W a a a a --=-=++++，所以，12W W -的符号由216a -决定当4a >时，12W W >，此时，把a 单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少当4a =时，12W W =，此时，两种清洗方法效果相同当4a <时，12W W <，此时，用a 单位的水清洗一次，残留的污渍较少22.【解析】(1)()220,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，易知()f x 在R 上递增 [)1,x ∃∈+∞，使()()min 2020f x a a f x a a --<⇔--< ()120f a a ⇒--<()12120a a a ⇒---<(ⅰ)当21a ≥，()12120a a a --≤<，满足题意(ⅱ)当()2221124510a a a a a <⇒--=-+< 114a ⇒<<，即1142a << 综上上述，当14a >时，满足题意 (2)()221,011,011,x mx x g x x mx x m x mx x m ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩1 当12m m ≤，即0m <≤()g x 在21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，在2,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减当()g x 有最小值，则需()21g m g ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭())22144144021m m m m m ⇒-+-=-+-≤⇒≤≤2 当12m m>，即m >对0x ≤，22m -≤-，此时()()min 01g x g == 对0x >，()g x 在0,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增.()min 2111g x g m m ⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 存在最小值.综上，当)21m ≥时，()g x 在()1,-+∞上有最小值.。

2020-2021学年湖南省长沙市高一(上)12月月考数学试卷 (1)人教A版(2019)

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——高斯2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 下列表示方法正确的是( )A.N∈QB.Q⊆RC.R⊆ZD.Z⊆N2. 与函数y=|x|为同一函数的是( )A.y=xB.y=√x2C.y={x，(x>0)−x，(x<0)D.y=a log a x3. 不等式x−2≥0的所有解组成的集合表示成区间是()A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, 2)D.(−∞, 2]4. 函数y=log2(2x−4)+1x−3的定义域为( )A.(2, 3)B.(2, +∞)C.(3, +∞)D.(2, 3)∪(3, +∞)5. 设a=sin4π5，b=cosπ10，c=tan5π12，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b6. 函数y=sin(x+π3)的最小正周期为( )A.πB.2πC.3πD.4π7. 已知函数f(x)={2x, x≤0，−(12)x,x>0，则f(f(2))=( )A.−4B.−12C.12D.−88. 函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(11π24)的值为( )A.−√62B.−√32C.−√22D.−1二、多选题下列命题的否定中是全称命题，并且是真命题的是()A.∃x∈R，x2−x+14<0 B.∃x∈R，x2+2x+2=0C.所有的正方形都是矩形D.至少有一个实数x使得x3+1=0若角α=3rad，则下列说法正确的是( )A.sinα>cosαB.α是第三象限角C.sinα>0D.tanα>0下列四个不等式中解集为⌀的是( )A.−x2+x+1≤0B.2x2−3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.−x2+4x−(a+4a)>0，(a>0)已知函数f(x)=sin4x+cos2x，则下列说法正确的是( )A.最小正周期为π2B.f(x)是偶函数C.f(x)在(−π4,0)上单调递增 D.x=π8是f(x)的图像的一条对称轴三、填空题已知sinα+cosαsinα−cosα=3，则tanα的值为________.已知集合A={x∈Z|−1≤x≤1}，则集合A的真子集个数为________.已知函数y=a2x−1+1(a>0且a≠1），若无论a取何值，函数图象都恒过一点，该点的坐标为________.不等式log12x>2的解集为________.四、解答题把下列弧度转化为角度.(1)π12；(2)5π3；(3)3π10；(4)π8；(5)−5π6.已知sin A=45，求5sin A+815cos A−7的值．有关部门计划2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？已知log0.7(2m)<log0.7(m−1)，求m的取值范围.已知函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)求f(x)的单调增区间；(2)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．已知f(x)=3ax2−4x+3.(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)有最大值81，求实数a的值．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用常用数集以及之间的包含关系进行求解即可.【解答】解：A，N⊆Q，故该选项错误；B，Q⊆R，故该选项正确；C，Z⊆R，故该选项错误；D，N⊆Z，故该选项错误.故选B.2.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．【解答】解：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，A，函数y=x的定义域是R，对应关系和y=|x|不同，故A不符合题意；B，y=√x2=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，对应关系也一样，故它和y=|x|为同一函数，故B符合题意；C，y={x，(x>0)−x，(x<0)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；D，函数y=a log a x=x定义域为{x|x>0}，定义域不同，不是同一个函数，故D不符合题意.故选B.3. 【答案】B【考点】集合的含义与表示【解析】求解不等式，结果写成区间即可．【解答】解：不等式x−2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2,+∞).故选B.4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】可看出，要使得原函数有意义，需满足{2x−4>0x−3≠0，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则{2x−4>0，x−3≠0，解得x>2且x≠3，所以原函数的定义域是(2, 3)∪(3, +∞)．故选D.5.【答案】C【考点】诱导公式正弦函数的单调性正切函数的单调性【解析】根据诱导公式知b=cosπ10=sin(π2−π10)=sin2π5，可由正弦函数单调性知a<b，由π2>5π12>π4知c=tan5π12>1，即可比较出大小．【解答】解：因为b =cos π10=sin (π2−π10)=sin 2π5，所以1>b =sin 2π5>a =sin π5.因为π2>5π12>π4，所以c =tan 5π12>1，所以c >b >a .故选C . 6. 【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】直接利用函数y =A sin (ωx +φ)的周期计算公式T =2π|ω|求解即可．【解答】解：由题意得ω=1，所以其最小正周期T =2πω=2π1=2π．故选B . 7.【答案】 D【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】本题主要是通过分段函数代入具体的函数值进行求解即可【解答】解：∵f (2)=−(12)2=−14 ，且−14<0，∴f (−14)=2−14=−8，∴f(f (2))=−8. 故选D ． 8.【答案】D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据顶点的纵坐标求A ，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f(x)的解析式，进而求得f(11π24)的值【解答】解：由图像可得A =√2， 2π4ω=7π12−π3，解得ω=2．由五点法作图可得2×π3+φ=π，解得φ=π3，所以f(x)=√2sin (2x +π3)，所以f(11π24)=√2sin (2×11π24+π3)=√2sin (π+π4)=−√2sin π4=−√2×√22=−1．故选D .二、多选题【答案】 A,B【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：由条件可知：原命题为特称量词命题，所以排除C ；对于D 选项，当x =−1时，x 3+1=0，故原命题为真，排除D ；又因为x 2−x +14=(x −12)2≥0， x 2+2x +2=(x +1)2+1>0，所以AB 均为假命题. 故选AB . 【答案】 A,C【考点】象限角、轴线角【解析】由π2<3<π，得到3rad 是第二象限角，再利用第二象限内三角函数的符号求解即可.【解答】解：因为π2<3<π，所以3rad 是第二象限角，故B 错误；由正余弦函数图象可知sin α>cos α，sin α>0，tan α<0，故AC 正确，D 错误. 故选AC . 【答案】 B,D【考点】一元二次不等式的解法【解析】分别求出选项中一元二次不等式的解集，即可得出正确的选项．【解答】解：A ，不等式−x 2+x +1≤0可化为x 2−x −1≥0，解集为(−∞,1−√52]∪[1+√52,+∞)，不是⌀；B ，不等式2x 2−3x +4<0中，Δ=9−32=−23<0，不等式的解集为⌀；C ，不等式x 2+6x +9≤0可化为(x +3)2≤0，解集为{x|x =−3}，不是⌀；D ，不等式−x 2+4x −(a +4a )>0可化为x 2−4x +(a +4a )<0，Δ=16−4(a +4a )≤16−4×2√a ⋅4a =0，当且仅当a =2时取等号，所以原不等式的解集为⌀.故选BD ．【答案】 A,B,C【考点】余弦函数的周期性余弦函数的奇偶性余弦函数的单调性余弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知f (x )=sin 4x +cos 2x =sin 4x +1−sin 2x=−sin 2x(1−sin 2x)+1 =1−sin 2x cos 2x =1−14sin 22x=1−14×1−cos 4x 2=18cos 4x +78， ∴ T =2π4=π2，∴ A 正确；∵ f (−x )=f (x )，x ∈R ，∴ f (x )是偶函数，∴ B 正确；由余弦函数的单调性可知C 正确；由4x =kπ，k ∈Z ，得x =kπ4，k ∈Z ，不能取到π8，∴ D 错误．故选ABC . 三、填空题【答案】 2【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】解：sin α+cos αsin α−cos α=tan α+1tan α−1=3，解得tan α=2. 故答案为：2. 【答案】 7【考点】子集与真子集子集与真子集的个数问题【解析】化简求解集合，利用真子集的定义，求出真子集个数；【解答】解：由题意得A={−1,0,1}，所以集合A中有3个元素，所以集合A的真子集个数为：23−1=7.故答案为：7.【答案】(12,2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：令2x−1=0，解得x=12，则x=12时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过点(12,2).故答案为：(12,2).【答案】{x|0<x<1 4 }【考点】指、对数不等式的解法【解析】将不等式右边化为以12为底的对数，利用对数函数的单调性可得．【解答】解：∵12∈(0,1)，∴y=log12x在(0,+∞)上单调递减.∵不等式log12x>2的可化为log12x>log1214，∴0<x<14.故答案为：{x|0<x<14}．四、解答题【答案】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【考点】弧度与角度的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由π=180∘可得：π12×180∘π=15∘.(2)5π3×180∘π=300∘.(3)3π10×180∘π=54∘.(4)π8×180∘π=22.5∘.(5)−5π6×180∘π=−150∘.【答案】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角，所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时，原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时，原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由sin A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos A 的值，把sin A 与cos A 的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：因为sin A =45，所以A 为第一或第二象限角，所以cos A =±√1−sin 2A =±35. 当A 为第一象限角，即cos A =35时，原式=5×45+815×35−7=122=6；当A 为第二象限角，即cos A =−35时，原式=5×45+815×(−35)−7=12−9−7=−34．【答案】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆，据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆，即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车．【考点】函数模型的选择与应用【解析】根据题意一次列出各年的投入量，归纳总结即可得到结果【解答】解：由题意知在2020年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)辆，在2021年应投入的数量为128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2辆，据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6辆，即128×(32)6=1458（辆）．故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车．【答案】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)，所以2m >m −1且2m >0，m −1>0，解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，求得m 的取值范围．【解答】解：设函数y =log 0.7x ，因为0<0.7<1，所以对数函数y =log 0.7x 在定义域上单调递减. 因为log 0.7(2m)<log 0.7(m −1)，所以2m >m −1且2m >0，m −1>0，解得m >1.所以m 的取值范围为(1,+∞). 【答案】解：(1)令A =2x −π3， ∵x ∈R ，∴A ∈R .且函数f (x )=2sin A 的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k ∈Z ，∴−π2+2kπ≤A ≤π2+2kπ，k ∈Z ，即−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【考点】正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)令A=2x−π3，∵x∈R，∴A∈R.且函数f(x)=2sin A的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，∴−π2+2kπ≤A≤π2+2kπ，k∈Z，即−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，化简得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴原函数的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z.(2)由(1)得当sin A取得最大值1时，f(x)取得最大值2×1=2，此时A=2kπ+π2，k∈Z，即2x−π3=2kπ+π2，k∈Z，化简得x=kπ+5π12，k∈Z，∴当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取得最大值2．【答案】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.【考点】函数的值域及其求法函数的最值及其几何意义已知函数的单调性求参数问题二次函数在闭区间上的最值【解析】∵f(x)=3ax2−4x+3，当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1.∴当x=2时f(x)取得最小值f(x)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13，+∞).令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意.当a<0时t=ax2−4x+3=a(x−2a)2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=31在R上是一个增函数，∴当t取得最大值3−4a时f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34即3−4a=4，解得a=−4.∴当f(x)取得最大值81时a的值为−4.【解答】解：(1)∵f(x)=3ax2−4x+3，∴当a=1时，f(x)=3x2−4x+3=3(x−2)2−1，∴当x=2时，f(x)取得最小值，为f(2)=30−1=3−1=13，∴函数f(x)的值域为[13,+∞).(2)令t=ax2−4x+3，当a≥0时，t无最大值，不符合题意；当a<0时，t=ax2−4x+3=a(x−2a )2−4a+3，∴t≤3−4a.又∵f(t)=3t在R上是增函数，∴当t取得最大值3−4a时，f(x)取得最大值81，∴33−4a=81=34，即3−4a=4，解得a=−4，∴当f(x)取得最大值81时，a的值为−4.。

学2020-2021学年高一数学上学期第一次质量检测试题

学2020-2021学年高一数学上学期第一次质量检测试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本小题共12小题，每小题5分，共60分．每小题四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设，，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．2．下列函数中与函数相同的是 ( )A． B． C．D．3．命题“x R，x2－2x＋2≤0”的否定是( )．A．x R，x2－2x＋2≥0B．x R，x2－2x＋2＞0C．x R，x2－2x＋2＞0 D．x R，x2－2x＋2≤0 4．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数y＝的定义域是( )A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．[－1,1)∪(1，＋∞)6．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是( )A B C D7．若x＞1，则的最小值为( )．A．B．C．D．8．已知A，B是非空集合，定义A B＝{x∣x A B 且x A B}，若M＝{x∣－1≤x≤4}，N＝{x∣x＜2}，则M N＝( )．A．{x∣－1≤x＜2} B．{x∣2≤x≤4} C．{x∣x＜－1或2≤x≤4}D．{x∣x≤－1或2＜x≤4}9．已知x＞0，y＞0，且xy＝10，则下列说法正确的是( )．．A．当x＝y＝时，取得最小值B．当x＝y＝时，取得最大值C．当x＝2，y＝5时，取得最小值D．当x＝2，y＝5时，取得最大值10．下列条件中，是的必要不充分条件的是( ) A．B．C．D．11．若二次函数y＝x2＋(a－1)x＋1(a＞0)只有一个零点，则不等式ax2－8x－a≥0的解集为( )．A．B．C．D．12．已知为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m ＞0)（假设全部溶解），则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为_______ ．(填“>”“<”或“＝”)14．已知x＞0，y＞0且满足x＋3y＝2，则的最小值为______ .15．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．16．已知函数，则函数的定义域是 _______ .三、解答题(本题共6小题，第17小题10分，其余小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 17．设18．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若，求实数a的取值范围．19．(1)已知是一次函数，且，求的解析式。

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数2xy x =⋅的图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >．（1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)．又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．C解析：C 【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．D解析：D 【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ．【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A 【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈，其次0.5log 430x ->，∴022 0431xx≤≤⎧⎨<-<⎩，解得0131 4xx≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或1 3【解析】【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围．【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．18．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】由题意有：13,29aa =∴=-，则：()22124a--=-=. 19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可．【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=，由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人，故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意；故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数；证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 25．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。

2020-2021长沙市雅礼中学高一数学上期末第一次模拟试题含答案

2020-2021长沙市雅礼中学高一数学上期末第一次模拟试题含答案一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A ．(3)(2)(1)f f f <-0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（） A ．1sin x + B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+11．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1212．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．函数()()4log 5f x x =-+________.17．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．18．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 19．函数()()()310310xx x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值； (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 22．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.23．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.26．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x fx x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.5．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行6．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．D解析：D 【解析】【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-，所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=，故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.11．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 12．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案．【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221xf x ++]＝13， ∴()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13，解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1， ∴f （log 25）＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．14．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域．【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.17．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．18．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-；则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.19．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃，故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点，故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．(1)1；(2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(3)1k >-.【解析】【分析】（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得11t =或21t k =+，分析即得解.【详解】(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.(2)令2(2)xt t =≥，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立. ∴2min 1114m t ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3)令2log (0)t x t =≥，则()y g x =可化为()()()22111y t k t k t t k =-+++=---，由()()110t t k ---=可得11t =或21t k =+，∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解， ∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-. 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >，所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)mf x x x >--恒成立，即221log log 1(1)(7)x mx x x +>---对[]2,4x ∈恒成立，即101(1)(7)x mx x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立，因为[]2,4x ∈，所以107mx x+>>-恒成立，即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大. 23．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <-综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.24．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.25．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤，故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．26．(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克【解析】【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =；当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+，故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=；当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．。

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确；当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确；当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确；故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()A B =R（）A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤【答案】D【解析】根据{}1B x x =<，利用补集的定义求得RB ，然后再利用交集运算求解.【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R1B x x =≥.又{}12A x x =-≤≤，(){}R 12A B x x ∴⋂=≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（） A ．()U C A B U =B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U =【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 4．“a ，b 为正数”是“2a b ab +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案. 【详解】当0a b =>时，2a b ab +=，故“a ，b 为正数”是“2a b ab +>的不充分条件当1,0a b ==时，满足a b +>a ，b 为正数，故“a ，b 为正数”是“a b +>的不必要条件综上：“a ，b 为正数”是“a b +>的既不充分也不必要条件故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5．已知命题p ：01x ∃>，2010x ->，那么p ⌝是（）A ．01x ∀>，210x ->B ．01x ∃>，2010x -≤ C ．01x ∀>，2010x -≤D ．01x ∃≤，2010x -≤【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案. 【详解】解：命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：01x ∀>，2010x -≤.故选：C. 【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=，所以1()43252a f a a +=⨯+=+，由2515a +=，解得5a =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7．已知命题“x ∃∈R ，使()214204x x a ++-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．0a 【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．【详解】解：命题“x R ∃∈，使()214204x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使()214204x x a ++->”是真命题，即判别式()21144204a ∆=-⨯⨯-<，所以94a >，故选：D ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题．8．已知2x >，则函数()124f x x x =+-的最小值为（）A ．2+B ．2+C ．2D ．【答案】A【解析】对()11222242f x x x x x =+=-++--进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】当2x >时，()1122222242f x x x x x =+=-++≥=--当且仅当1222x x -=-，即22x =+取等号，所以()f x 的最小值为2 故选： A.本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9．使0ab >成立的充分不必要条件可以是（） A ．0a >，0b > B ．0a b +>C ．0a <，0b <D ．1a >，1b >【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可. 【详解】由0a >，0b >可以推出0ab >，反之不成立，故A 满足题意当5,4a b ==-时满足0a b +>，但不满足0ab >，故B 不满足题意由0a <，0b <可以推出0ab >，反之不成立，故C 满足题意由1a >，1b >可以推出0ab >，反之不成立，故D 满足题意故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 10．（多选题）下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】当0c 时，可判断选项A 不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确．【详解】选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B : 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题；选项C : 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题；选项D :111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题；故选:BCD ．本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】设2()6f x x x a=-+，其图象是开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式260x x a-+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0{(1)0ff>，从而解出所有符合条件的a的值．【详解】设()26f x x x a=-+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩aa解得58a<≤，又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．下列说法正确的是（）A ．若x ∈R ，则12x x+≥ B ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-<C ．“1x >或2y >”是“3x y +>”的必要不充分条件D ．若a ab b ，则a b >【答案】BCD【解析】A. 由0x <判断； B.根据15x y -≤<≤，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当0x <时，12x x+≥不成立，故错误； B.因为15x y -≤<≤，所以51y -≤-≤，由不等式的基本性质，则60x y -≤-<，故正确；C. “1x >或2y >”，则“3x y +>”的逆否命题是“3x y +≤”，则“1x ≤且2y ≤”是假命题，故不充分，“1x >或2y >”，则“3x y +>”的否命题是“1x ≤且2y ≤” ，则“3x y +≤”是真命题，故必要，故正确；D.当()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图所示：()f x 在R 上递增，由()()f a f b >则a b >，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．设{}|13A x x=-<≤，{}|=>B x x a，若A B⊆，则a的取值范围是______.【答案】1a≤-【解析】依据题中条件:“A B⊆”结合数轴求解即可，本题即要考虑a对应的点与区间[]1,3-的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:A B⊆,a∴对应的点必须在区间[]1,3-的左端点1-的左侧，1a∴≤-.故答案为：1a≤-.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14．已知()0,01,01,0xf x xx x<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则()()()1f f f-=______．【答案】2【解析】先求出()1f-，进而可求出()()1f f-，最后即可求出()()()1f f f-【详解】解：因为10-<，所以()10f-=，则()()()101f f f-==，因为10>，所以()()()()112f f f f-==，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15．若{}13x x x∃∈≤≤，使得不等式220x x a++≥成立，则实数a的取值范围为______．【答案】15a ≥-【解析】令()22f x x x =--，求出()f x 的最小值即可.【详解】解：即{}13x x x ∃∈≤≤，使22a x x ≥--成立，令()()22211f x x x x =--=-++，{}13x x x ∈≤≤时，()()22211f x x x x =--=-++单调递减，()()()31513f f x f =-≤≤=-，则实数a 的取值范围为15a ≥-.故答案为：15a ≥-. 【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16．已知a ，b R +∈，1a b +=，则：（1）1122a b +++的最小值是______．（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是______．【答案】452+ 【解析】(1)将1a b +=配凑为()()225a b +++=，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出1122a b +++最小值； (2)将11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通分后可得21b ab+，然后将分母中的利用1的代换可得2222b a ab ab ++，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】(1)由于a ，b R +∈，1a b +=，则()()225a b +++=所以11111[(2)(2)]22522a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 12211522b a a b ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭1222522b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立； (2)()2222211122b a b b b a ab b a b ab ab ab+++++⎛⎫+===⎪⎝⎭2)2ab ab=≥，当且仅当a =，即2a =，1b =时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可（2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可【详解】（1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤ (2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）[]1,3；（2）2,⎡⎣.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数()y f x =的定义域；（2）把()f x =()24f x =+，再求241612x x -+-的值域即可，然后逆推回去即可求解函数()y f x =的值域.【详解】解：（1）由220620x x -≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为[]1,3；（2）易知()0f x ≥．又()222624f x x x =-+-=+4=+2x =时，()221x --+有最大值1，1x =或3x =时，()221x --+有最小值0，所以[]1,3x ∈时，易得()[]24,8f x ∈，故求()f x 的值域为2,⎡⎣．【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知p ：x R ∀∈，()221x m x >+，q ：0x R ∃∈，200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）条件可转化为方程2210x x m +--=有实根，然后可求出答案；（2）先求出p 为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数m 的取值范围．【详解】（1）因为q ：0R x ∃∈，200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-．（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若p ：R x ∀∈，()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，∴1m <-．由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-．【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元；两侧墙砌砖，每1m 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S 的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每21m 造价20元，则当仓库占地面积S 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【答案】（1）64009；（2）15米．【解析】（1）设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积S xy =，由条件可得402453200x y +⨯=，然后利用基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据题意可得40245203200x y xy +⨯+=，然后利用基本不等式可求出答案. 【详解】设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积Sxy =．（1）402453200x y +⨯=，49320x y +=≥=64009S xy =≤ 当且仅当40x =，1609y =时取等号，故该仓库占地面积S 的最大值为64009．（2）依题设，得40245203200x y xy +⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S ≥==，则1600S +≤，即)10160≤10≤，从而100S ≤，当且仅当4090x y =且100xy =即15x =时取等号，所以S 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米．【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题. 22．（1）已知a ，b ，c 均为正数，求证：233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥；（2）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y <+++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）45a <. 【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出12155x y +++=，再结合基本不等式求出2212x y x y +++的最小值，即得解. 【详解】（1）证明∵a ，b ，c 均为正数，∴222b a a b +≥ 323c a a c +≥ 32223c bb c+≥ 以上三式相加，得233262323b a c a c b a b a c b c+++++≥ ∴233211132323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥．（当且仅当23a b c ==时等号成立）．（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以()()125x y +++=，所以：12155x y +++= 则()()222211221212x y x y x y x y +-+-+=+++++，()()()()221211242412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =+-++，121415512x y x y ⎛⎫++⎛⎫=++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()4112441115525155x y y x ++=+++-≥-+=++， (当且仅当23x =，43y =等号成立) 要使2212x y a x y <+++恒成立，只需满足22min12x y a x y ⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭即可，故45a <．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2024届长沙市南雅中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届长沙市南雅中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1CC ，11A D 的中点，则异面直线1A B 与MN 所成的角为 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -＝ A ．CBB ．BCC ．12CB D ．12BC 3．若a b c >>，则以下不等式一定成立的是( ) A ．ab bc > B ．22a b > C ．33a c >D ．22ab cb >4．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（）A ．13B ．16C ．32D ．355．设某曲线上一动点M 到点(3,0)F 的距离与到直线3x =-的距离相等，经过点(2,1)P 的直线l 与该曲线相交于A ，B 两点，且点P 恰为等线段AB 的中点，则||||AF BF +=（）A ．6B ．10C ．12D ．146．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（） A ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>7．函数()22f x cos x sinx ＝＋的最小值和最大值分别为( ) A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，8．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（） A ．45B ．35C ．35-D ．45-9．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（） A ．5B ．10C ．15D ．2010．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（） A ．3B ．0C ．1-D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年度上学期高一年级数学第一次检测试题

2020-2021学年度上学期高一年级数学第一次检测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1、如果集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )∩B 等于（）A 、{}5B 、{}8,7,6,5,4,3,1 C 、{}8,2 D 、{}7,3,1 2.设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =（）（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)23.已知映射1,:2+→→+x x N N f ，则17的原像是（）A 2B 2±C 4D 4±4、下列四个函数中，在(0,+∞）上为增函数的是（）()32f x x =- B ()|1|f x x =+ C 2()2f x x x =- D. 221()x f x x+= 5．若函数y=f(x+2)的定义域为[0，1]，则函数y=f(x)的定义域为( )A ．[2，3]B ．[0，1]C ．[-2，-1]D ．[－1，0]6．已知函数⎩⎨⎧≤-≥=2,32,)(x x x x x f ，则))1((-f f 的值为（）A.-1B.0C.1D.27. 设32)2(+=+x x g ，则)(x g 等于（） A ．12+x B ．12-x C ． 32-x D ．72+x8、定义在R 的奇函数)(x f ，当x <0时，x x x f +-=2)(，则x >0时，)(x f 等于（） A ．x x +2 B ．x x +-2 C ．x x --2 D ．x x -29、设U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（）A 、（M ∩P ）∩SB 、（M ∩P ）∪（CUS ）C 、（M ∩P ）∪SD 、（M ∩P ）∩（CUS ）10、设函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当时，),0(+∞∈x )(x f 是增加的，则m 的值为（）A. 2-B. 2-或1C. 2D. 1-2或11.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (0)＜f (2)＜f (－2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)12.若函数f (x )为偶函数，且在[)0+∞，上是增函数，又f (－3)=0，则不等式(x －2) f (x )<0的解集为（）A.(－2，3) B. (－3，－2)∪(3，＋∞) C. (－3，3) D. (－∞，－3)∪(2，3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．14.函数()f x =的定义域为________________________________ 15、．已知函数f (x )是定义在区间上的增函数，则满足f (2x －1)＜的x 取值范围是16．50名学生做物理、化学两种实验，每人两种实验各做一次。

湖南省五市十校2020-2021学年高一上学期第一次联考试题(12月) 数学含答案

又由 u t 1 在 t [1 ,1] 上递减，在 t [1,9] 上递增，
t
3
可得 u t 1 [2, 82] ，即 x [1,2] 时，f (x) [2, 82] ，
t9
9
所以 2 2m 82 1 m 41 ，
9
9
实数 m 的取值范围为[1，41] …………12 分 9
21.解：（1）设 x [2,0) ，则 x (0,2]，
11.已知对任意 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋2y＝3，t≤ 1 1 恒成立，则 t 的取值可以是 x 2 2y 1
1
1
2
5
A.
B.
C.
D.
3
2
3
6
12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(1－x)＝f(1＋x)。若 f(1)＝2，记 Tn＝f(1)＋f(2)
＋f(3)＋……＋f(n)，n∈N*，则下列结论正确的是
分
2
（2）不等式 f (log 1 x) f (log2 (2x 1)) 0 可化为
2
f (log 1 x) f (log2 (2x 1)) f ( log2 (2x 1)) f (log 1 (2x 1))
2
2
可以判断 f (x) 在定义域[2,2] 上是单调递增函数，
则可得 2 log 1 x log 1 (2x 1) 2
A.T4＝0
B.T5＝2
C.T2020＝0
D.T2021＝2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 f(log3x)＝x，则 f(x)的解析式为
。
1
14.已知幂函数 y＝ x n4 (n∈N*)的定义域为(0，＋∞)，且单调递减，则 n＝

2020-2021长沙市高一数学上期末第一次模拟试题含答案

2020-2021长沙市高一数学上期末第一次模拟试题含答案一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．983．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（）A ．4B ．3C ．2D ．14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A ．(3)(2)(1)f f f <-⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)6．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.15．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 16．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 17．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；18．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________. 三、解答题21．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.23．已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ）（1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知函数2()1f x x x m =-+.（1）若()f x 在x 轴正半轴上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A3．D解析：D 【解析】【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=，所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．4．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.6．D解析：D 【解析】【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ．故选D ．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.7．C解析：C 【解析】【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U .内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数，外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．11．A解析：A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象解析：3【解析】【分析】由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示，且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=，因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32 【解析】【分析】【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =．答案：12或3215．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）U （53，+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|，所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 18．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题解析：916 【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<；当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立．综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值.【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032f f a a =-=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 22．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案；（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.23．（1）1k =（2）30a -≤≤【解析】【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =. 当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数. （2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*）在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立，即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-，因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩ 解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.24．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.25．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.【详解】（1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212x x x x x xg x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.26．（1）2m >；（2）m <【解析】【分析】（1）首先>0∆，保证有两个不等实根，又121=x x ，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，转化为2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 ,只要求得2x x+在[1,2]上的最小值即可．【详解】（1）由题知210x mx -+=有两个不等正根，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，∴2m >；（2）211x mx -+>-恒成立即22mx x <+恒成立，又[1,2]x ∈，故2m x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可 , 又2y x x=+在[1,2]x ∈上的值域为 ,故m <【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．。

2020-2021学年湖南省长沙一中高一上学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)

【解析】根据分断函数的解析式先求，再求即可得答案.
【详解】
解：根据题意得：，，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.
14．已知集合，，若，则实数的所有可能的取值组成的集合为________.
【答案】
【解析】确定集合中的元素，由得，由子集的定义求解．
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
【答案】BCD
【解析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
对D：令，定义域为
所以函数为偶函数且在单调递增，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.
4．命题“ ， ”的否定是（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由命题的否定的定义判断．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题
13．已知函数，则 ________.
【答案】8

2020-2021南雅第一次质量检测数学答案

参考答案1．D 【分析】令集合A 中的元素24a a +与2a -分别为-3，求得a 的值，再利用集合的互异性，进行取舍. 【详解】因为3A -∈，故：令243a a +=-，解得1a =-或3a=-；当1a =-时，2423a a a +=-=-不满足集合的互异性，故舍去；当3a=-时，集合{}12,3,5A =--，满足集合互异性，故3a =-；令23a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；综上所述：3a =-，故选：D. 【点睛】易错点睛：注意集合中元素的互异性，可以对参数的值进行取舍. 2．C 【分析】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,由此求得正确结论. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,{}1,2,3,4,5,6AB =,故(){}7,8U C A B ⋃=，故选C.【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题. 3．D 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 4．B 【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 5．B 【分析】由已知得命题p 是假命题，则将问题转化为命题“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 是假命题，,则“不存在0x R ∈，使得20220x ax a +++≤”成立, 即“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<，解得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围是()1,2-，故选B . 【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.6．A 【分析】把给出的已知条件244c b a a -=-+，右侧配方后可得c b ≥，再把给出的两个等式联立消去c 后，得到21b a =+，利用基本不等式可得b a >，从而得到结果. 【详解】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-≥所以c b ≥，2()22b c c b a +--=+，即2222b a =+，所以21b a =+，∴213024b a a ⎛⎫-=-+> ⎪⎝⎭，∴b a >即c b a ≥>，故答案选A ．【点睛】该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目. 7．A 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案. 【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a b OD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD =在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE >2aba b≥+，故选A .【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题. 8．C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ．考点：函数的图像 9．B 【分析】画出两个函数的图象，解得交点坐标，根据图象分析函数()f x 的取值并判断结果. 【详解】如图，作出函数22y x =-和函数y x =的图象，联立22y xy x⎧=-⎨=⎩易得()1,1A ，()2,2B --，根据图象易知()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，所以函数()f x 在1x =处取得最大值1.故选：B .【点睛】本题考查函数图象的的运用，难度一般，这类问题的解答方法如下：（1）分别画出各个函数的图象；（2）联立，解出交点的坐标；（3）观察每一段上各函数图象的变化，根据题目意思确定出结果. 10．BC 【分析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解. 【详解】解：{}2111x x x <⇔-<<，因为{}11xx -<<∣ {}1x x <∣， ()()2011,00,1x <<⇔-，()()1,00,1- {}11xx -<<∣， {}11xx -<<∣ {}10x x -<<∣，所以21x <的一个充分不必要条件有：201x <<或10x -<<. 故选：BC. 11．AC 【分析】根据集合相等的定义，分别对选项进行判断．【详解】选项A 中集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，所以P Q =；选项B 中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1Q ∉，所以P Q ≠；选项C 中{}0,1P =，当n 为奇数时()1102n x +-==，当n 为偶数时，()1112nx +-==，所以{}0,1Q =，P Q =；选项D 中集合P 表示直线1y x =+上点的横坐标构成的集合，而集合Q 表示直线1y x =+上点的坐标构成的集合，所以P Q ≠. 故选AC. 【点睛】本题考查了集合的相等问题，牢记定义是解题的关键，本题是一道基础题． 12．BCD 【分析】利用基本不等式或构造函数()1+f x x x=，逐个进行验证，即可得到结论．【详解】解：,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 错误；由选项A ，有104ab <≤，设()1+f x x x =，设121,0,4x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且12x x <，()()()121212*********+0x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=--=-> ⎪⎝⎭，则()1+f x x x =在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，()11744f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确； 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+>222a b =时等号成立），所以选项D 正确．故BCD 正确故选：BCD. 13．{}1,0,1- 【分析】分类讨论：当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，分别讨论B 中元素为1和-1两种情况依次求解. 【详解】由题：B A ⊆当0a =时，B =∅符合题意；当0a ≠时，1B A a ⎧⎫=-⊆⎨⎬⎩⎭，11a -=或11a-=- 所以，1a =-或1，所以实数a 所有取值的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1- 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题. 14．2 【分析】先根据函数()g x 的图象可判断出()2g 的值，再根据表格中函数()f x 的取值得出()()2f g .【详解】由函数()g x 的图象可知()21g =，所以()()()212f g f ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题. 15．(2,3) 【分析】由题意知12-，13-是方程210ax bx --=的两根，求出65a b =-⎧⎨=⎩，再解不等式得解.【详解】解：由题意知12-，13-是方程210ax bx --=的两根，所以由根与系数的关系得112311123baa ⎧--=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得65a b =-⎧⎨=⎩. 不等式20x bx a --<，即为2560x x -+<，所以(2)(3)0x x --<，所以解集为(2,3)．故答案为：(2,3) 16．30 【分析】由题意可得()()()113f x f f x +==、()()22=f x f x ，代入化简即可得解.【详解】由()()()f p q f p f q +=⋅，()13f =，令p x =，1q =，可得()()()11f x f x f +=，所以()()()113f x f f x +==，令==p q x 可得()()22=f x f x ，所以()()()()()()()()()2221224510139f f f f f f f f f +++++⋅⋅⋅+()()()()()()()()()()2224262821013579f f f f f f f f f f =++++()23333330=++++=.故答案为：30. 【点睛】思路点睛：利用函数递推关系式求值问题.用赋值法得到()()13f x f x +=，()()22=f x f x ，代入求值即可.17．（1）{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）(],3-∞. 【分析】（1）将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合A B ；（2）由BA B =得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. 当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）B A B =，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <；当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤；综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞．【点睛】本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题. 18．证明见解析. 【分析】（1）由0,0a b >>且1a b +=，122a b +=，再把1a b +=两边平方整理即可证明；（2）由11111112224a b a b a b b a a b ab a b ab a b a b a b +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭再结合基本不等式，即可证明. 【详解】证明：（1）因为0,0a b >>且1a b +=122a b +=（当且仅当12a b ==时取等号），即11,242ab ab ≤-≥-，所以1122ab -≥，又()22221a b a ab b +=++=，所以221122a b ab +=-≥；（2）因为1,0,0a b a b +=>>，所以11111112224a b a b a b b a a b ab a b ab a b a b a b +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭48≥=，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1118a b ab++≥. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．（1）2；（2）证明见解析；（3）4039. 【分析】（1）根据函数解析式，直接计算，即可得出结果；（2）根据函数解析式，计算1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可；（3）根据（2）的结论，可直接得出结果. 【详解】（1）∵()2221x f x x +＝，∴()222222211221222222121212112f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2222211331332223131313113f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明：∵()2221x f x x +＝，∴2221211121x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（3）由（2）知()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()()121,2,3,4,,2020f i f i i ⎛⎫+==⋯ ⎪⎝⎭∴()()()()11112320204039232020f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋯++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查根据解析式求函数值，属于常考题型.20．（1）当汽车的平均速度80v =时车流量y 达到最大值。

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【详解】
由函数的图象可知，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题.
15．
【分析】
由题意知，是方程的两根，求出，再解不等式得解.
【详解】
解：由题意知，是方程的两根，
所以由根与系数的关系得 ,解得 .
不等式，即为，
所以，所以解集为．
【详解】
若命题是假命题，,则“不存在，使得 ”成立,
即“ ，使得 ”成立,
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选B.
【点睛】
本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.
6．A
【分析】
把给出的已知条件，右侧配方后可得，再把给出的两个等式联立消去后，得到，利用基本不等式可得，从而得到结果.
①当时，原不等式可化为，则；
【详解】
（1）由，
知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，
知
当且仅当时，取到最小值；
（3）由，
知；
当且仅当时，取到最小值．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
【详解】
由题：
当时，符合题意；
当时，，或
所以，或1，所以实数所有取值的集合为 .
故答案为：
【点睛】
此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题.
14．
【分析】
先根据函数的图象可判断出的值，再根据表格中函数的取值得出 .
故答案为：
16．
【分析】
由题意可得、，代入化简即可得解.
【详解】
由，，
令，，可得，
所以，
令可得，
所以
.
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：利用函数递推关系式求值问题.用赋值法得到，，代入求值即可.
17．（1）；（2） .
【分析】
（1）将代入集合，利用并集的定义可求出集合；
湖南省长沙市南雅中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，且，则（）
A．-1B．-3或-1C．3D．-3
2．记全集集合则图中阴影部分所表示的集合是( )
选项C中，当为奇数时，当为偶数时，，所以，；
选项D中集合表示直线上点的横坐标构成的集合，而集合表示直线上点的坐标构成的集合，所以 .
故选AC.
【点睛】
本题考查了集合的相等问题，牢记定义是解题的关键，本题是一道基础题．
12．BCD
【分析】
利用基本不等式或构造函数，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】
因为所以，
，即，所以，
∴ ，∴
即，
故答案选A．
【点睛】
该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目.
7．A
【分析】
根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.
【详解】
连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以 .
【详解】
如图，作出函数和函数的图象，联立易得，，
根据图象易知，所以函数在处取得最大值 .
故选：B.
【点睛】
本题考查函数图象的的运用，难度一般，这类问题的解答方法如下：
（1）分别画出各个函数的图象；
（2）联立，解出交点的坐标；
（3）观察每一段上各函数图象的变化，根据题目意思确定出结果.
当时，集合，满足集合互异性，故；
令，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；
综上所述：，
故选：D.
【点睛】
易错点睛：注意集合中元素的互异性，可以对参数的值进行取舍.
2．C
【分析】
根据图像可知，阴影部分表示的是 ,由此求得正确结论.
【详解】
根据图像可知，阴影部分表示的是 , ,故，故选C.
15．已知不等式的解集是，则不等式的解集是______.
16．已知函数满足，，则的值为______.
四、解答题
17．设集合， .
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知，，，求证：
（1）；
（2） .
19．已知函数 .
（1）求，的值；
（2）求证：是定值；
【详解】
解：， (当且仅当时取得等号)．
所以选项A错误；
由选项A，有，
设，设，且，，
则在上单调递减，，
所以，所以选项B正确；
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D正确．
故BCD正确
故选：BCD.
13．
【分析】
分类讨论：当时，；当时，分别讨论中元素为1和-1两种情况依次求解.
（3）求的值.
20．五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量 (单位:千辆/小时)与汽车的平均速度 (单位:千米/小时)之间满足的函数关系（为常数），当汽车的平均速度为千米/小时时，车流量为千辆/小时.
（1）在该时间段内，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
（2）为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
21．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求，的最小值.
解：利用基本不等式，得到，
于是
当且仅当时，取到最小值-2
（1）老师请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：）
（2）研究，上的最小值；
11．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数所有取值的集合为_____
14．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为______.
10．BC
【分析】
由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解.
【详解】
解：，
因为，
，，
，
所以的一个充分不必要条件有：或 .
故选：BC.
11．AC
【分析】
根据集合相等的定义，分别对选项进行判断．
【详解】
选项A中集合，都表示所有偶数组成的集合，所以；
选项B中是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，，所以；
A． B． C． D．
3．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
4．对于实数，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知命题 “ ，使得 ”，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．已知实数满足，，则的大小关系为（）
（2）由得出，然后分和两种情况讨论，列出有关的不等式组解出即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）由题意：集合， .
当时，，；
（2）， .
当时，满足题意，此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所得：当时，实数的取值范围为．
பைடு நூலகம்【点睛】
本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题.
A． B．
C． D．
8．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
9．若，是，这两个函数中的较小者，则（）
A．最大值为2B．最大值为 C．最小值为 D．无最小值
二、多选题
10．下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（）
A． B． C． D．
18．证明见解析.
【分析】
（1）由且，得，再把两边平方整理即可证明；
（2）由再结合基本不等式，即可证明.
【详解】
证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以，
又，
所以；
（2）因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以 .
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
A． B． C． D．
7．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接 .作交于 .则下列不等式可以表示的是( )