北大离散数学

非交换: ABCBCA (要求A,B,C均非空,且互不相等)
非结合: (非2元运算) 分配律: 例如
AB(CD)=(ABC)(ABD) 其他: 如 ABC=A=B=C=.
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《集合论与图论》第5讲
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二元关系
n元关系 二元关系 A到B的二元关系 A上的二元关系 一些特殊关系
有序对: <a,b> = { {a}, {a,b} }
其中, a是第一元素, b是第二元素. <a,b>也记作(a,b) 定理1: <a,b>=<c,d> a=cb=d 推论: ab <a,b><b,a>
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《集合论与图论》第5讲
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有序对(引理1)
引理1: {x,a}={x,b} a=b 证明: () 显然.
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 1. 有序对与卡氏积 2. 二元关系 3. 二元关系的基本运算
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《集合论与图论》第5讲
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有序对与卡氏积
有序对(有序二元组) 有序三元组, 有序n元组 卡氏积 卡氏积性质
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《集合论与图论》第5讲
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有序对(ordered pair)
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《集合论与图论》第5讲
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特殊关系(续)
设AR, 则可以定义A上的: 小于等于(less than or equal to)关系:
LEA = { <x,y> | xA yA xy } 小于(less than)关系,
LA = { <x,y> | xA yA x<y } 大于等于(greater than or equal to)关系 大于(great than)关系,…
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《集合论与图论》第5讲
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有序对(推论)
推论: ab <a,b><b,a> 证明: (反证) <a,b>=<b,a>a=b,
与ab矛盾. #
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《集合论与图论》第5讲
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有序三元组(ordered triple)
有序三元组: <a,b,c>=<<a,b>,c>
有序n(2)元组: <a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
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《集合论与图论》第5讲
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卡氏积分配律
1. A(BC) = (AB)(AC) 2. A(BC) = (AB)(AC) 3. (BC)A = (BA)(CA) 4. (BC)A = (BA)(CA)
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A到B的二元关系(举例)
例: 设 A={a1,a2}, B={b}, 则A到B的二元关系共有4个:
R1=,
R2={<a1,b>},
R3={<a2,b>}, R4={<a1,b>,<a2,b>}.
B到A的二元关系也有4个:
R5=,
R6={<b,a1>},
R7={<b,a2>}, R8={<b,a1>,<b,a2>}. #
证明: (1) x, x∪A z(zA xz) z(zB xz) x∪B.
(2) x, x∩A z( zA xz ) z( zB xz ) x∩B. #
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《集合论与图论》第5讲
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有序对(定理1)
定理1: <a,b>=<c,d> a=cb=d 证明: () 显然.
A不是关系. #
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《集合论与图论》第5讲
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二元关系的记号
设F是二元关系, 则 <x,y>F x与y具有F关系 xFy
对比: xFy (中缀(infix)记号) F(x,y) (前缀(prefix)记号) <x,y>F (后缀(suffix)记号)
例如: 2<15 <(2,15) <2,15><.
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《集合论与图论》第5讲
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卡氏积非交换性
非交换: AB BA (除非 A=B A= B=)
反例: A={1}, B={2}. AB={<1,2>}, BA={<2,1>}.
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《集合论与图论》第5讲
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卡氏积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
() 分两种情况. (1) x=a. {x,a}={x,b} {a,a}={a,b}
{a}={a,b} a=b. (2) xa. a{x,a}={x,b} a=b. #
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《集合论与图论》第5讲
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有序对(引理2)
引理2: 若A=B , 则 (1) ∪A=∪B (2) ∩A=∩B
2m2
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《集合论与图论》第5讲
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A上的二元关系(例1,续2)
R12 = { <a1,a1>,<a1,a2>,<a2,a1>
}
R13 = { <a1,a1>,<a1,a2>,
<a2,a2> }
R14 = { <a1,a1>,
<a2,a1>,<a2,a2> }
R15 = {
<a1,a2>,<a2,a1>,<a2,a2> }
EA = AA = { <x,y> | xA yA}
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《集合论与图论》第5讲
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特殊关系(续)
设AZ, 则可以定义A上的: 整除关系:
DA = { <x,y> | xA yA x|y } 例: A={1,2,3,4,5,6}, 则 DA= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>, <2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>, <5,5>,<6,6>}. #
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A到B的二元关系
A到B的二元关系: 是AB的任意子集. R是A到B的二元关系
RAB RP(AB) 若|A|=m,|B|=n, 则|AB|=mn, 故
|P(AB)|=2mn 即A到B不同的二元关系共有2mn个
2m2
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《集合论与图论》第5讲
<3,1>,<3,2>,<3,3> }. #
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卡氏积的性质
非交换: AB BA (除非 A=B A= B=)
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
分配律: A(BC) = (AB)(AC)等 其他: AB= A=B=等
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例题1
例题1: 设A,B,C,D是任意集合, (1) AB= A= B= (2) 若A, 则 ABAC BC. (3) AC BD ABCD,
并且当(A=B=)(AB)时, ABCD ACBD.
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《集合论与图论》第5讲
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卡氏积图示
n维卡氏积
n维卡氏积:
A1A2…An = { <x1,x2,…,xn> | x1A1x2A2…xnAn }
An = AA…A |Ai|=ni ,i =1,2,…,n
|A1A2…An| = n1n2…nn. n维卡氏积性质与2维卡氏积类似.
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《集合论与图论》第5讲
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n维卡氏积(性质)
2m2
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《集合论与图论》第5讲
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一些特殊关系
空关系 恒等关系 全域关系 整除关系 小于等于关系,… 包含关系, 真包含关系
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《集合论与图论》第5讲
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特殊关系
设A是任意集合, 则可以定义A上的: 空关系:
恒等关系:
IA = { <x,x> | xA } 全域关系:
2m2
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A上的二元关系
A上的二元关系: 是AA的任意子集 R是A上的二元关系
RAA RP(AA) 若|A|=m, 则|AA|=m2, 故
|P(AA)|= 2m2 即A上不同的二元关系共有 2m2个
2m2
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A上的二元关系(例1)
() 由引理2, <a,b>=<c,d> {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} ∪{{a},{a,b}}=∪{{c},{c,d}}{a,b}={c,d}. 又 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} ∩{{a},{a,b}}=∩{{c},{c,d}} {a}={c} a=c. 再由引理1, 得b=d. #
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特殊关系(续)
设A为任意集合, 则可以定义P(A)上的: 包含关系:
A = { <x,y> | xA yA xy } 真包含关系:
D
A
A
C
BC
B
A(BC) = (AB)(AC) ACBDABCD
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例题1(证明(2))
(2) 若A, 则ABAC BC. 证明: () 若 B=, 则 BC.
设 B, 由A, 设xA. y, yB<x,y>AB
<x,y>AC xAyC yC. BC
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《集合论与图论》第5讲
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n元关系(n-ary relation)
n元关系: 是集合, 其元素全是有序n元组. 例1: F1={<a,b,c,d>,<1,2,3,4>,
<物理,化学,生物,数学>}, F1是4元关系. 例2: F2={<a,b,c>,<,,>,
<大李,小李,老李>} F2是3元关系. #
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例题1(证明(2),续)
(2) 若A, 则ABACBC. 证明(续): ()若B=,则AB=AC.
设 B. <x,y>, <x,y>AB xAyB
xAyC <x,y>AC ABAC. # 讨论: 在()中不需要条件 A.
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《集合论与图论》第5讲
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例1: 设 A={a1,a2}, 则A上的二元关系共有16个: R1 = , R2 = {<a1,a1>}, R3 = {<a1,a2>}, R4 = {<a2,a1>}, R5 = {<a2,a2>2m2},
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《集合论与图论》第5讲
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A上的二元关系(例1,续1)
R6 = { <a1,a1>, <a1,a2> }, R7 = { <a1,a1>, <a2,a1> }, R8 = { <a1,a1>, <a2,a2> }, R9 = { <a1,a2>, <a2,a1> }, R10 = { <a1,a2>, <a2,a2> }, R11 = { <a2,a1>, <a2,a2> },
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《集合论与图论》第5讲
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卡氏积分配律(证明1)
A(BC) = (AB)(AC). 证明: <x,y>, <x,y>A(BC) xAy(BC) xA(yByC) (xAyB)(xAyC) (<x,y>AB)(<x,y>AC) <x,y>(AB)(AC)
A(BC) = (AB)(AC). #
R16 = {<a1,a1>,<a1,a2>,<a2,a1>,<a2,a2>}. #
2m2
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《集合论与图论》第5讲
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A上的二元关系(例2)
例2: 设 B={b}, 则B上的二元关系共有2个: R1=, R2={<b,b>}. #
例3: 设 C={a,b,c}, 则C上的2元关系共有29=512个! #
定理2: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ai = bi, i =1,2,…,n. #
2020/7/31
《集合论与图论》第5讲
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卡氏积(Cartesian product)
卡氏积: AB={<x,y>|xAyB}.
例: A={,a}, B={1,2,3}. AB={<,1>,<,2>,<,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>}. BA={<1,>,<1,a>,<2,>,<2,a>,<3,>,<3,a>}. AA={ <,>, <,a>, <a,>, <a,a>}. BB={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,
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《集合论与图论》第5讲
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二元关系(binary relation)
2元关系(简称关系): 是集合,其元素全是有序对. 例3: R1={<1,2>,<,>,<a,b>}
R1是2元关系. 例4: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>}
R2是2元关系. 例5: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1}