勾股定理第2课
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【数学课件】勾股定理(2)课件
两个证明基本上完全相同！
3.1 勾股定理（2）
活动三：请同学们按照演示程序剪纸．
a2
c a
b
b2
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
c2 a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验 证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把 你的想法与大家交流一下．
b a
c
， ，
．
3.1 勾股定理（2）
c
， ．
3.1 勾股定理（2）
弦图
赵爽 东汉末至三国时代吴国
人，为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方圆说》．
3.1 勾股定理（2）
a2 b2
a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
活动二：你能根据下面的图形验证勾股定理吗？
a
bc
，
c
a
．
b
Байду номын сангаас
3.1 勾股定理（2）
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
3.1 勾股定理（2）
活动三：请同学们按照演示程序剪纸．
a2
c a
b
b2
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
3.1 勾股定理（2）
c2 a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验 证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把 你的想法与大家交流一下．
b a
c
， ，
．
3.1 勾股定理（2）
c
， ．
3.1 勾股定理（2）
弦图
赵爽 东汉末至三国时代吴国
人，为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方圆说》．
3.1 勾股定理（2）
a2 b2
a2＋b2＝c2
3.1 勾股定理（2）
活动二：你能根据下面的图形验证勾股定理吗？
a
bc
，
c
a
．
b
Байду номын сангаас
3.1 勾股定理（2）
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
此外，实践活动的设计还可以更加丰富多样。例如，可以让学生走出教室，到校园中寻找直角三角形，并运用勾股定理解决实际问题。这样的教学方式有助于学生将理论知识与实际生活紧密结合，提高学习的趣味性和实用性。
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
17.3 勾股定理 - 第2课时课件(共14张PPT)
第十七章 特殊三角形17.３ 勾股定理第2课时
学习目标
学习重难点
重点
难点
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
回顾复习
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理
例题解析
知识点 勾股定理的应用
例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.∵AB=200 m，BC=160 m，∴答：点A和点C间的距离是120 m.
例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解：∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2.∵AC=50-15-26=9（mm），BC=40-18-10=12（mm），∴答：孔中心A和B间的距离是15 mm.
C
8
3.如图,公园有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了 步路. (假设2步为1米)
拓展提升
1.如图,某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m,结果他在水中实际划了65 m,求该河流的宽度.
解：根据题中数据，由勾股定理可得，AB2=AC2-BC2=652-252=3 600,则AB=60 m.答：该河流的宽度是60米.
随堂练习
1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）A.140米 B.120米 C.100米 D.90
学习目标
学习重难点
重点
难点
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
会运用勾股定理解决实际问题.
回顾复习
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理
例题解析
知识点 勾股定理的应用
例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.∵AB=200 m，BC=160 m，∴答：点A和点C间的距离是120 m.
例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解：∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2.∵AC=50-15-26=9（mm），BC=40-18-10=12（mm），∴答：孔中心A和B间的距离是15 mm.
C
8
3.如图,公园有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了 步路. (假设2步为1米)
拓展提升
1.如图,某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m,结果他在水中实际划了65 m,求该河流的宽度.
解：根据题中数据，由勾股定理可得，AB2=AC2-BC2=652-252=3 600,则AB=60 m.答：该河流的宽度是60米.
随堂练习
1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）A.140米 B.120米 C.100米 D.90
第2课时 勾股定理的验证与应用
第2课时 勾股定理的验证与应用
基础巩固练
验证勾股定理
1.勾股定理的一种验证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角
三角形的边AE,EB在一条直线上.验证中用到的面积相等关系是(
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.四边形 CDAE=四边形 CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=四边形 ABCD
由a-b=2,得a2+b2-2ab=4,所以100-2ab=4,所以2ab=96,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196.
因为a+b>0,所以a+b=14,所以a+b+c=14+10=24,
所以其中一个直角三角形的周长是24.
素养培优练
8.如图所示,在甲村至乙村间有一条公路,在C处需要爆破,已知点C与公
解:(2)如图所示,设风筝沿CD方向下降12米到达M处,
由题意,得CM=12米,所以DM=8米,
所以BM2=DM2+BD2=82+152=289,
所以BM=17米,
所以BC-BM=25-17=8(米),
所以他应该往回收线8米.
能力提升练
5.《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读
)D
2.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有
独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直
角 三 角 形 拼 成 如 图 所 示 的 “ 弦 图 ” . 在 R t △ A B C 中 , ∠ AC B = 9 0 ° ,
AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明:a2+b2=c2.
基础巩固练
验证勾股定理
1.勾股定理的一种验证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角
三角形的边AE,EB在一条直线上.验证中用到的面积相等关系是(
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.四边形 CDAE=四边形 CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=四边形 ABCD
由a-b=2,得a2+b2-2ab=4,所以100-2ab=4,所以2ab=96,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196.
因为a+b>0,所以a+b=14,所以a+b+c=14+10=24,
所以其中一个直角三角形的周长是24.
素养培优练
8.如图所示,在甲村至乙村间有一条公路,在C处需要爆破,已知点C与公
解:(2)如图所示,设风筝沿CD方向下降12米到达M处,
由题意,得CM=12米,所以DM=8米,
所以BM2=DM2+BD2=82+152=289,
所以BM=17米,
所以BC-BM=25-17=8(米),
所以他应该往回收线8米.
能力提升练
5.《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读
)D
2.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有
独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直
角 三 角 形 拼 成 如 图 所 示 的 “ 弦 图 ” . 在 R t △ A B C 中 , ∠ AC B = 9 0 ° ,
AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明:a2+b2=c2.
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3， 因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
第2课时 勾股定理(2)
M
30km
O
N 40km
50km P
120km
Q
解:可以计算出MO、OQ 长度分别为50km、 130km，合计长度180km,造价预计为90000万元．
M
30km
O
N 40km
50km P
120km
Q
2.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m， 宽1m的门框内通过，为什么？
能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.
第2课时 勾股定理（2）
八年级上册
情景导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了 直角三角形三边的关系，但是这种方法是否具有 普遍性呢？
做一做 在纸上画一个直角三角形，分别以这个
直角三角形的三边为边长向外作正方形。
为了方便计算图中大正方形的面积， 对其进行适当割补：
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
课后作业
布置作业：教材P6-7 1、3。 完成练习册中本课时的习题。
c2=a2+b2
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
c2=a2+b2
例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m
处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶
紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400m，
10s后汽车与他相距500m，你能帮助王计算敌方汽车的速度吗？
C
B 公路
400m 500m
A
解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行 C
B
驶的距离为300×6×60=10800（m）， 400m 500m 即它行驶的速度为108km/h.
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
八年级数学勾股定理2
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
18.1 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b c
2
2；
勾股定理的证明
证明方法1：数方格
（1）观察图1-1
正方形A中含有 小方格，即A的面积是
16 个
A
B
图1-1
C
16 个单位面积。
正方形B的面积是
9 个单位面积。
2 2 2
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, A 求AC的长呢？
7 24 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2
已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC 3 2
2 2
B
2
D
C
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
AD AB BD
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
人教版初中数学八年级下册精品教学课件 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时
只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟至少飞行___m.
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
八年级数学下18.1勾股定理(2)课件
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
A C
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
O
B
D
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
D
C
10
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52
C B
D
E
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中， ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
S3
A
S2
B
S1 S2 S3
答；梯子底端B不是外移0.4m
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
A C
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
O
B
D
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
D
C
10
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52
C B
D
E
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中， ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
S3
A
S2
B
S1 S2 S3
勾股定理(第2课时)(课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(人教版)
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
课堂练习
1.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯
三角形的面积公式可求BD，再利用
勾股定理便可求CD.
北东
A
C
D
Q
课堂练习
P
解：∵AC10，BC8，AB6，
B
∴AC2AB2BC2
北东
A
即△ABC是直角三角形，
C
D
Q
1
1
而S△ABC BC AB AC BD
2
2
24
解得：BD .
5
2
24
在Rt△BCD中，CD = BC 2 BD 2 82 6.4
路线最短？
B
A
B
A
方案①
B
A
方案②
方案③
针对练习
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？
你画对了吗？
B
A
B
A
B
∵两点之间线段最短，
∴方案③的路线最短．
A
针对练习
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
多少？
解：在Rt△ABC中，
C
B
AC＝12 cm，BC＝18÷2＝9（cm）．
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
北师大版八年级数学上册课件1.1探索勾股定理(第2课时)(19张PPT)
于是推得 AB2 AC 2 BC 2
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股 定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面 积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm
第2课时 勾股定理(2)
第2课时 勾股定理(2)预学目标1．在直角三角形中，已知两边，不作草图就能熟练地运用勾股定理求出第三边的长．2．探索并总结用拼图验证勾股定理的一般方法：用两种不同的方法计算同一个图形的面积，从而列出等式并化简推导得到勾股定理．知识梳理1．勾股定理的运用(1)在Rt △ABC 中，∠A 对的边是a ，∠B 对的边是b ，∠C 对的边是c ，若∠C ＝90°，则_______2＋_______2＝_______2．若∠A ＝90°，则_______2＋_______2＝_______2；若∠B ＝90°，则_______2＋_______2＝_______2．(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝13，AC ＝12，则AB ＝_______． 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝8，AC ＝10，则AB ＝______．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝61，BC ＝60，则AC ＝_______．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝25，AB ＝20，则AC ＝_______．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝24，BC ＝7，则AC ______．2．勾股定理的验证一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种的验证方法，如图1，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB'C'D'的位置，连接CC'，设AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，利用四边形BCCD'的面积验证勾股定理：a 2＋b 2＝c 2．S 梯形BCC'D'＝12( ______＋______)·______(梯形的面积公式) ＝12( ______＋______) (______＋______) ＝12( ______＋______)2． S 梯形BCC'D'＝S △ABC ＋S △AC'D'＋______＝12______12＋______12＋______， ∴______＝______，化简得____________．例题精讲例1 如图，将长为10米的梯子AC 斜靠在墙上，BC 的长为6米．(1)求梯子上端A 与墙的底端B 之间的距离AB ．(2)若梯子下端C 向后移动2米到C 1点位置，则梯子上端A 向下移动了 多少米？提示：分别在Rt △ABC 和Rt △A 1BC 1中运用勾股定理．解答：(1)由题意，得∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2， ∴AB 2＝AC 2－BC 2＝102－62＝64．∴AB ＝8米．点评：梯子在移动过程中，不变的是梯子的长度．此外，题目中隐含着直角的条件，要能够发现其中的直角三角形，运用勾股定理求线段的长．例2 如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．6C．16 D．55提示：求b的面积即求AB或AD的平方，图中△ABC≌△DAE．解答：由题意，得AB＝AD，∠BCA＝∠AED＝90°，∠CBA＋∠CAB＝90°，∠DAE＋∠CAB＝90°，BC 2＝5，DE 2＝11．∴∠CBA＝∠DAE．∴△ABC≌△DAE．∴AC＝DE．∴b的面积＝AB 2＝BC 2＋AC 2＝BC 2＋DE 2＝5＋11＝16．∴选C．点评：正方形的面积就是边长的平方，此题综合考查了勾股定理及全等的问题．热身练习1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A对的边是a，∠B对的边是b，∠C对的边是c．若a＝5，b＝12，则c＝______ ；若a＝15，c＝25，则b＝______；若c＝61，b＝60，则a＝______；若a：b＝3：4，c＝10，则S△ABC＝______．2．若△ABC是直角三角形，它的两边长分别为8和15，则第三边的平方是( ) A．161 B．289 C．17 D．161或2893．若△ABC的三边长为3、4、5，则最长边上的高为______，最短边上的高为_______．4．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为16 cm，则面积为( ) A．96 cm2B．48 cm2C．24 cm2D．32 cm25．如图，P为正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝8，求以PE为边长的正方形的面积．参考答案1．13 20 11 24 2．D 3．2.4 4 4．B 5．128。
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
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∴AC=1,AB=2
A
1
a
c2
C
45° b1
B
a:b:c =1:1:√2
A
1a
2
c
30°
C b3 B
a:b:c =1:√3:2
学海y=无0 涯
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
练习题
勾股定理(第三个课时)
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边 为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。
公式变形：c=
a= c2 b2 b= c2 a2
检查：(1)求出下列直角三角形中未知的边.
17
B
B
A
6
10
∟
C
A
8
8
15
C
问题: ①在解决上述问题时,每个直角三 角形需知晓几个条件?
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
21
-2 -1 0 1 1 2 2 3 4 5
探究3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
例 有一圆柱，底面圆的半径为3cm，高为 12cm，一只蟑螂从底面的A处爬行到对角B处 吃偷食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
CB
A
A
一只老鼠从距底面1cm的A处爬行到对角B处
A.7m B.8m C.9m D.10m
A
8m
C
B
2m
8m
3、如图是一个正方体土块，在正方体下
底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底
面B点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短
路程是多少？
正方体侧面展开图：
D
BD
B
A
CA
C
如果可以钻洞的话，最短路程是多少？
台阶中的最值问题
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高
2. 在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条 边是直角边，哪一条是斜边.在直角三角形中，若 已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边； 若没有直角，可作垂线构造直角三角形.
1
1
美丽的勾股树
勾股定理
作业:P70: 第5、6题
勾股定理的应用
再见
3、假期先往东走8千
∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12. 求CD；
D
解：在Rt△ABC中,根据勾股定理得:
A
BD AD2 AB2
C
B
32 42
5
在Rt△BCD中,根据勾股定理得:
CD BD2 BC2
52 122 13
3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，
AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求
CD的长。
C
分析：先用勾股定理 3
求出AC的长，再根据 B
1
1
D5
A
SABC 2 AB CD 2 AC BC
求出CD的长。
实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示 2
3
点D表示 7
3
试一试：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B
点，最短线路是多少？
A
5
A
3
1
5
C
12 B
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13（cm）.
B
小结
1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到 合适的直角三角形.
距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多
少千米？
C
B
20秒后
4000米
5000米
A
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上
方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞
机每小时飞行多少千米？
解：在RtABC中，根据勾股定理得：
C 20秒后
B AC2 BC2 AB2
米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3
千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走
1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点
B的距离是多少千米？
分析：如图连接AB，过点B作垂
B 1
线，使得AC⊥BC
6
求得 AC=6 BC=8
3
AB AC2 BC2 62 82 10
A
2
8
C
圆柱(锥)中的最值问题
② 直角三角形中哪条边最长?
(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长．
AC 5
思维拓展： 有没有一种直角三角形，
已知一边可以求另外两边长呢？
A
A
1
a
c2
C
45° b1
B
2X X
30°
∟
C
3
解：X 2
B
2
3
(2X
)2
X 2 3 4X 2
3X 2 3
X2 1
X 1或 （1 舍去）
1．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC.
6?
B 3D C
1、已知等边三角形ABC的边长6，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
BD 1 BC 3 2
6
在Rt△ABD中,根据勾股定理
?
AD2 AB2 BD2 AD AB2 BD2
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1
12
34 5
学以致用
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到
一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机
4000米
A
5000米
BC AB2 AC2 50002 40002 50002 40002 3000
3000 20 150 米 时＝0.15 千米 时
答：飞机每小时飞行0.15千米。
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高 2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ D ）
B 3D
C
36 9 27 3 3
( 2) S ABC
1 BC AD 2
163 3 9 3
2
练习
2 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD； D
A
C B
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，
A
1
a
c2
C
45° b1
B
a:b:c =1:1:√2
A
1a
2
c
30°
C b3 B
a:b:c =1:√3:2
学海y=无0 涯
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
练习题
勾股定理(第三个课时)
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边 为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。
公式变形：c=
a= c2 b2 b= c2 a2
检查：(1)求出下列直角三角形中未知的边.
17
B
B
A
6
10
∟
C
A
8
8
15
C
问题: ①在解决上述问题时,每个直角三 角形需知晓几个条件?
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
21
-2 -1 0 1 1 2 2 3 4 5
探究3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
例 有一圆柱，底面圆的半径为3cm，高为 12cm，一只蟑螂从底面的A处爬行到对角B处 吃偷食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
CB
A
A
一只老鼠从距底面1cm的A处爬行到对角B处
A.7m B.8m C.9m D.10m
A
8m
C
B
2m
8m
3、如图是一个正方体土块，在正方体下
底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底
面B点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短
路程是多少？
正方体侧面展开图：
D
BD
B
A
CA
C
如果可以钻洞的话，最短路程是多少？
台阶中的最值问题
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高
2. 在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条 边是直角边，哪一条是斜边.在直角三角形中，若 已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边； 若没有直角，可作垂线构造直角三角形.
1
1
美丽的勾股树
勾股定理
作业:P70: 第5、6题
勾股定理的应用
再见
3、假期先往东走8千
∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12. 求CD；
D
解：在Rt△ABC中,根据勾股定理得:
A
BD AD2 AB2
C
B
32 42
5
在Rt△BCD中,根据勾股定理得:
CD BD2 BC2
52 122 13
3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，
AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求
CD的长。
C
分析：先用勾股定理 3
求出AC的长，再根据 B
1
1
D5
A
SABC 2 AB CD 2 AC BC
求出CD的长。
实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示 2
3
点D表示 7
3
试一试：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B
点，最短线路是多少？
A
5
A
3
1
5
C
12 B
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13（cm）.
B
小结
1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到 合适的直角三角形.
距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多
少千米？
C
B
20秒后
4000米
5000米
A
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上
方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞
机每小时飞行多少千米？
解：在RtABC中，根据勾股定理得：
C 20秒后
B AC2 BC2 AB2
米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3
千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走
1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点
B的距离是多少千米？
分析：如图连接AB，过点B作垂
B 1
线，使得AC⊥BC
6
求得 AC=6 BC=8
3
AB AC2 BC2 62 82 10
A
2
8
C
圆柱(锥)中的最值问题
② 直角三角形中哪条边最长?
(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长．
AC 5
思维拓展： 有没有一种直角三角形，
已知一边可以求另外两边长呢？
A
A
1
a
c2
C
45° b1
B
2X X
30°
∟
C
3
解：X 2
B
2
3
(2X
)2
X 2 3 4X 2
3X 2 3
X2 1
X 1或 （1 舍去）
1．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC.
6?
B 3D C
1、已知等边三角形ABC的边长6，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
BD 1 BC 3 2
6
在Rt△ABD中,根据勾股定理
?
AD2 AB2 BD2 AD AB2 BD2
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1
12
34 5
学以致用
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到
一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机
4000米
A
5000米
BC AB2 AC2 50002 40002 50002 40002 3000
3000 20 150 米 时＝0.15 千米 时
答：飞机每小时飞行0.15千米。
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高 2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ D ）
B 3D
C
36 9 27 3 3
( 2) S ABC
1 BC AD 2
163 3 9 3
2
练习
2 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD； D
A
C B
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，