权重的确定方法

权重的确定方法

综合评价指标体系内部各元素间存在质和量的联系。由指标体系的结构模

型（如层次模型），我们已经确定了指标体系质的方面的联系，那么权重则反映各系统各元素之间量的方面联系纽带，它对于系统综合评价具有重要的意义。无论

是在模糊综合评价，还是层次分析、灰色系统评价无一例外的用到了评价指标的

权重。

权重的概念

韦氏大词典中对权重（Weight ）的解释为：“在所考虑的群体或系列中，赋予某一项

目的相对值”；“在某一频率分布中，某一项目的频率” ；“表示某一项目相对重要性所赋予的一个数”。从中我们可以得出两点结论：

（1）权重是表示因素重要性的相对数值。

（2）权重是通过概率统计得出的频率分布中的频率。由此可以看出权重具有随机性与模糊性，它是一个模糊随机量。在综合评价中权重可以定义为元素对于整体贡献的相对重要程度，即元素能够反映总体的程度。

权重的确定方法对实际问题选定被综合的指标后，确定各指标的权的值的方法有很多种。有些方法是利用专家或个人的知识和经验，所以有时称为主观赋权法。但这些专家的判断本身也是从长期实际中来的，不是随意设想的，应该说有客观的基础；有些方法是从指标的统计性质来考虑，它是由调查所得的数据决定，不需征求专家们的意见，所以有时称为客观赋权法。在这些方法中，德尔菲（Delphi ）方法是被经常被采用的，其它方法就相对来说用得不多，这里列举几个在下面，以供比较。

1. 德尔菲法

德尔菲法又称为专家法，其特点在于集中专家的知识和经验，确定各指标的权重，并在不断的反馈和修改中得到比较满意的结果。基本步骤如下：

（1）选择专家。这是很重要的一步，选得好不好将直接影响到结果的准确性。一般情况下，选本专业领域中既有实际工作经验又有较深理论修养的专家10〜30人左右，并

需征得专家本人的同意。

（2）将待定权重的p 个指标和有关资料以及统一的确定权重的规则发给选定的各位专家，请他们独立的给出各指标的权数值。

（3）回收结果并计算各指标权数的均值和标准差。

（4）将计算的结果及补充资料返还给各位专家，要求所有的专家在新的基础上确定

权数。

（5）重复第（3）和第（4）步，直至各指标权数与其均值的离差不超过预先给定的标准为止，也就是各专家的意见基本趋于一致，以此时各指标权数的均值作为该指标的权重。

此外，为了使判断更加准确，令评价者了解已确定的权数把握性大小，还可以运用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需要在上述第（5）步每位专家最后给出权数值的同时，标出各自所给权数值的信任度。这样，如果某一指标权数的任任度较高时，就可以有较大的把握使用它，反之，只能暂时使用或设法改进。

2. 两两比较法

这一方法往往与德尔菲法结合使用。当需要确定权系数的指标非常多时，专家们往往难以对所有各项的重要程度有把握和准确的判断。但对两两各项之间的重要程度作出判断是比较容易的。故而先让专家和决策者对指标作成对比较，然后再确定权值。目前，人们广泛采用1〜9尺度作为确定判断定量值的依据，在这个依据上，设定对A i与A j两

个因素进行重要度比较时，比较尺度a ij的含义如表2.3所示；对于n个因素论公2, ,x n，

利用两两比较法进行因素间重要程度的比较结果如表 2.4所示；得到比较矩阵A :

表2.3比较尺度a j的含义

表2.4两两比较结果

假设在矩阵A 中做两两比较时，令 W j 为第i 个指标的重要程度，W j 为第j 个指标的 重要程度，a j 为第i 个指标相对于第j 个指标的重要程度比较值，即：

w i

a ij —

W j

根据该矩阵可以用一定的方法求出权向量的值，通常有和法、根法、特征根法和最 小平方法等，这里主要介绍特征根法。

特征根法：

令各组成元素对目标的特征向量为

T

W i ，W 2， ,W n

n

如果有 W i 1，且矩阵A 满足

i 1

则A 成为一致性矩阵，简称一致阵。

n 阶一致性矩阵A 具有下列性质：

（1） A 的秩为1, A 的唯一非零特征根为n 。

（2） A 的任一列（行）向量都是对用特征根 n 的特征向量。 如果得到的成对比较判断矩阵是一致阵，则对应于特征根 n 并归一的特征向量表示

各因素对目标（或上层因素）的权重，该向量称为权向量。

如果两两成对比所得的判断矩阵 A 不是一致阵，但在不一致的允许范围内，则对应 于A 的最大特征根mac 的特征向量（归一化后）作为权向量 W 。即W 满足

AW

max

W

其中W 的分量W 1 ,W 2, , W n 就是对应于n 个因素的权重系数

3.熵值确定权重法

(2.39)

(2.40)

a ij

a ik

a jk

i, j,k 1,2, ,n 。 (2.41)

(2.42)

熵是来自热力学的一个概念，在哲学和统计物理中熵被解释为物质系统带来的混乱 和无序程度。信息论则认为它是信息源的状态的不确定程度。在综合评价中，运用信息 熵评价所获系统信息的有序程度及信息的效用值是很自然的，统计物理中的熵值函数形 式对于信息系统应是一致的。

熵值确定权重法是依据熵的概念和性质，以及各指标相对重要程度的不确定性来分 析各指标的权重的。

设已获得m 个样本的n 个评价指标的初始数据矩阵X 冷mn ，由于各指标的量纲、 数量级及指标优劣的取向均有很大差异，故需对初始数据做无量纲化处理。处理方法根 据样本的实际特点和性质选取合适的方法

无量纲化处理后的标准化矩阵为： Y y j 。则j 项指标的信息熵值为：

ij m n

m

e j k

y ij ln y j (2.43)

i 1

式中常数k 与系统的样本数m 有关，对于一个信息完全无序的系统，有序度为零, 其熵值最大，e 1。m 个样本处于完全无序分布状态时，y ij 1 m

，贝U:

于是得到：

1

k (In m) 0 e 1

由于信息熵e 可用来度量j 项指标的信息（指标的数据）的效用价值，当完全无序 时，e j 1。此时，e j 的信息（也就是j 指标的数据）对综合评价的效用价值为零。因此, 某项指标的信息效用价值取决于该指标的信息熵 e j 与1的差值h j :

h j 1 e j

（2.46）

可见，利用熵值法估算各指标的权重，其本质是利用该指标信息的价值系数来计算 的，其价值系数越高，对评价的重要性就越大（或称对评价结果的贡献越大） ，于是j 指

标的权重为：

h j

W j —

（2.47 ）

h j

j 1

熵值法是根据各指标所含信息有序度的差异性，也就是信息的效用价值来确定该指标 的权重。所以它是一种客观赋权的方法。客观赋权的方法还有很多，如：最大值法、公

m

1 1 k —In — i 1 m

m

1

k In m k In m 1 i 1 m

(2.44)

(2.45)