切线长定理公开课课件
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的切线长的问题时，往 往需要我们构建基本图 形。
（1）分别连结圆心和切点
A
。
O
P B
（2）连结圆心和圆外一点 （3）连结两切点
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 A 段的长叫做这点到圆的切线长
O
P B
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
O
M
2
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
ห้องสมุดไป่ตู้
P
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
证明：连结OA、OB ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
几 ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B 何 表 ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 述
1、作业本：习题24.2第6、11题
2、练习册：p72
切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
A
P · O P· · O P· · O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的 切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
A
E
O
C D
B
P
练一练：
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB,
E Q P
A O B F
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
O B P
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。
几 何 表 述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
A
O
P
B
例1、 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A E O C D P
切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的 切线（定义法） （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线 是圆的切线（d=r）（数量法） （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直” 2、“无交点、作垂直，证半径”
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm ∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
∴周长为24cm
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
C O· D B A P
结论拓展2、
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分 别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o， 求弦AB的长．
反思：在解决有关圆
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交⊙O于点 D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（1）分别连结圆心和切点
A
。
O
P B
（2）连结圆心和圆外一点 （3）连结两切点
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 A 段的长叫做这点到圆的切线长
O
P B
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
O
M
2
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
ห้องสมุดไป่ตู้
P
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
证明：连结OA、OB ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
几 ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B 何 表 ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 述
1、作业本：习题24.2第6、11题
2、练习册：p72
切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
A
P · O P· · O P· · O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的 切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
A
E
O
C D
B
P
练一练：
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB,
E Q P
A O B F
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
O B P
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。
几 何 表 述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
A
O
P
B
例1、 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A E O C D P
切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的 切线（定义法） （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线 是圆的切线（d=r）（数量法） （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直” 2、“无交点、作垂直，证半径”
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm ∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
∴周长为24cm
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
C O· D B A P
结论拓展2、
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分 别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o， 求弦AB的长．
反思：在解决有关圆
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交⊙O于点 D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB