切线长定理公开课课件
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切线长定理公开课1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
应用新知
1、判断
（1）过一点能够做圆旳两条切线。（×）
（2）切线长就是切线旳长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O旳半径为2
A
（1）若四边形OAPB旳周
长为10，则PA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。
B
思索
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
内切圆旳圆心是三角形三条角平分线旳交点,叫做三角形旳内心.
活动 四
例2 如图 △ABC旳内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求
AF、BD、CE旳长.
A
解: 设
AF=x（cm），则 AE=x，
CD=CE=AC－AE=13－x，
F
E
O·
BD=BF=AB－AF=9－x，
积.（提醒：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
A
M
· r
rN
O
r
B
D
C
总结
课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆旳切线，这点和切点之间旳 线段旳长，叫做这点到圆旳切线长。
2、切线长定理 从圆外一点能够引圆旳两条切线，它们旳切线长 相等，这一点和圆心旳连线平分两条切线旳夹角。
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理论根据。
A
B
C
三角形旳三条角平分线交于一点，而且这个点到三条边 旳距离相等，所以，如图，分别作出∠B、∠C旳平分线 BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA旳距 离都相等，以点I为圆心，点I到BC旳距离ID为半径做圆， 则⊙I与△ABC旳三条边都相切.
《切线长定理》PPT课件
E O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
外切圆的半径：交点到三
内切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。 h 角形任意一边的垂直距离。15
分析题目已知：如
图, △ABC的内切圆
⊙O与BC 、CA、
AB 分别相交于点
A
D 、 E 、 F ，且
E
AB＝9厘米，BC
FO
＝14厘米,CA ＝13
厘米,求AF、BD、 B D CE的长。
h
C
16
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
h
6
我们学过的切线，常有 六五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
切线长定理(共33张PPT)
试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
《切线长定理》课件1-优质公开课-湘教9下精品
例5 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证： CO∥BD.
分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD = 90° ，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证 CO⊥AB即可. 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点， ∴ CA = CB， ∠ACO =∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD= 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.
下面我们来证明这个猜测是真的. 如图，连接OA，OB. ∵ PA，PB是⊙O的切线， ∴ ∠ =∠PBO = 90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形.
又∵ OA=OB，OP=OP，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO. ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO.
结论
由此得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
y
则
C
答：AE ,CD ,BF的长分别是9，2，6.
2.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B
，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于 E,F点，已知PA=5cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA，FQ=FB，PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=5cm， PF+FQ=PB=PA=5cm. ∴周长为10cm.
探究
在透明纸上画出下图， 设PA， PB 是⊙O 的两条切线， A，B 是切点，沿直线OP将图形 对折， 你发现了什么？
我把图形沿直线OP对折后，发现线段 PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重 合.即PA=PB， ∠APO=∠BPO.
由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两 条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角.
北师大版《切线长定理》ppt公开课课件3
谢谢合作！ 三画、一应 画用：新画知圆，O,体在验圆成外功取一点P，过点P作圆O的切线PA,切点为A。
2、你有哪些好的经验可推广？ 1（、三填）空、：圆如的图外1切0，四P边A、形P的B性分质别与⊙O相切于点A、B， ∴2、PA你=P有B哪，些∠好AP的O经=∠验B可PO推. 广？ （41）既是然指点一条P到线⊙段O的的长切度线。长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？ 例②题两1个：端已点知一如个图是，切R点t△，A一BC个的是两圆条外直已角知边点A。C=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径。 3（、1）为了是测指量一一条个线圆段形的锅 长盖度的。半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按 图四中、所 梳示理的小方结法，得盘到点相收关获数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？ （34）如既图然2点，P思到考⊙：O的点切P到线⊙长O可的以切用线两长条可不以同用的三线条段或的三长条来以表上示不，同那的么线这段两的条长线来段表之示间吗一？定这存样在的着线某段种最关多系可，以是有什几么条关？系为呢什？么？ （线4段）P既A或然线点段P到PB⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？ ②（两3）个若端P点A=一4，个A是O切=点3，，则一P个O是= 圆外；已知点。 变式12：如图，5，P△是A⊙BOC外的一内点切，圆P⊙AO与与PB分C，别C⊙AO,A切B分于别A、相B切两于点点，DD，E也E，是F⊙，O且的A切B线=9，cm切,B点C为=1C4，cmP,AC=AP=B1=35ccmm,求，A求F,△BDP,DCEE的的周长长。。 画二一、画合：作画学圆习O，,在探圆究外新取知一点P，过点P作圆O的切线PA,切点为A。 ②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。
2、你有哪些好的经验可推广？ 1（、三填）空、：圆如的图外1切0，四P边A、形P的B性分质别与⊙O相切于点A、B， ∴2、PA你=P有B哪，些∠好AP的O经=∠验B可PO推. 广？ （41）既是然指点一条P到线⊙段O的的长切度线。长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？ 例②题两1个：端已点知一如个图是，切R点t△，A一BC个的是两圆条外直已角知边点A。C=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径。 3（、1）为了是测指量一一条个线圆段形的锅 长盖度的。半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按 图四中、所 梳示理的小方结法，得盘到点相收关获数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？ （34）如既图然2点，P思到考⊙：O的点切P到线⊙长O可的以切用线两长条可不以同用的三线条段或的三长条来以表上示不，同那的么线这段两的条长线来段表之示间吗一？定这存样在的着线某段种最关多系可，以是有什几么条关？系为呢什？么？ （线4段）P既A或然线点段P到PB⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？ ②（两3）个若端P点A=一4，个A是O切=点3，，则一P个O是= 圆外；已知点。 变式12：如图，5，P△是A⊙BOC外的一内点切，圆P⊙AO与与PB分C，别C⊙AO,A切B分于别A、相B切两于点点，DD，E也E，是F⊙，O且的A切B线=9，cm切,B点C为=1C4，cmP,AC=AP=B1=35ccmm,求，A求F,△BDP,DCEE的的周长长。。 画二一、画合：作画学圆习O，,在探圆究外新取知一点P，过点P作圆O的切线PA,切点为A。 ②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。
3.7切线长定理(共14 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖课件 公开课一等奖课件
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O 的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切 线，求这两条切线的夹角及切线长．
E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
语文
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E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
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34第三课时切线长定理用课件
22cm
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
a
b
c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。
P
B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
A 16cm
D 8cm
C 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。
数学探究
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
a
b
c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。
P
B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
A 16cm
D 8cm
C 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。
数学探究
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
《29.4 切线长定理 第一课时》精品课件
(2)AC∥OP.
探索新知
导引：(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝
1 2
∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
1 2
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
探索新知
证明：(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B， ∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ 1 ∠APB，PA＝PB，
(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等， 并说明理由．
课堂练习
(1)证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1. ∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE. ∴△ODE 是等边三角形．∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝
课堂练习
2 如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别 为A，B，点C 是劣弧AB上一点，过点C 的切线分别交PA， PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的 周长为( C ) A．4 B．6 C．4 3 D．6 3
课堂练习
3 如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点， CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连 接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD； ③OD＝OC；④S梯形ABCD＝12 CD·OA；⑤∠DOC＝90°. 其中正确的 结论是( A ) A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
∠OED＝60°.∴△AOD 和△BOE 是等边三角形． ∴∠OAD＝∠OBE＝60°. ∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°. ∴△CDE 是等边三角形． ∵DF 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DF. ∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝90°. ∴DF⊥CE. ∴CF＝EF.
圆的切线长定理优秀课件演示文稿
这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。
第六页，共20页。
符号表示
A
O
1
·
2
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
第七页，共20页。
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB E 于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（1）若PA=2，则△PDE的周长为___4_；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=___7_0_;°
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=_______2____ 度 。
A D
P
C
O
第十五页，共20页。
E B
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O 是内心，求∠BOC的度数。
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48
C
O·
则最长的边为_____
D
2、 A
B
C O·
D
圆内接平行四边形是矩形
A
B
O·
C
D
圆外切平行四边形是_______
第十八页，共20页。
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A
第十六页，共20页。
B
O C
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
第六页，共20页。
符号表示
A
O
1
·
2
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
第七页，共20页。
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB E 于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（1）若PA=2，则△PDE的周长为___4_；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=___7_0_;°
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=_______2____ 度 。
A D
P
C
O
第十五页，共20页。
E B
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O 是内心，求∠BOC的度数。
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48
C
O·
则最长的边为_____
D
2、 A
B
C O·
D
圆内接平行四边形是矩形
A
B
O·
C
D
圆外切平行四边形是_______
第十八页，共20页。
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A
第十六页，共20页。
B
O C
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
《切线长定理》教学课件
通过切线长定理，我们可以解决一些复杂的几何问题，如 求圆的切线方程、证明与切线有关的定理等。同时，切线 长定理也是数学竞赛中一些难题和压轴题的解题关键。
PART 04
切线长定理的拓展
REPORTING
WENKU DESIGN
相关定理的介绍
切线长定理
切线与弦的性质定理
切线长定理是几何学中的一个基本定 理，它指出从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等。
定理内容
切线长定理的内容是，一个三角 形的三条外接圆的切线长度相等 。
重要性及应用
重要性
切线长定理是几何学中的基础定理之 一，它在证明其他几何定理、解决几 何问题以及理解几何概念等方面具有 重要作用。
应用
切线长定理在几何学、三角学、解析 几何等领域都有广泛的应用，例如在 解决三角形面积问题、三角形外接圆 问题等方面都有重要的应用。
切线与弦的性质定理是关于切线与弦 的关系的定理，它包括切线与弦的距 离、切线与弦的平行关系等。
切线性质定理
切线性质定理是关于切线的性质和性 质的定理，它包括切线的性质、切线 与半径的关系等。
相关定理的证明
切线长定理的证明
切线长定理可以通过圆周角定理、三角形中位线定理等几何定理 进行证明。
切线性质定理的证明
定理的推论
总结词：丰富多样
详细描述：根据切线长定理，我们可以推导出多个重要的几何结论。例如，当两个圆相切时，它们的切线长度相等；当一个 圆与一个直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当一个圆与一个斜线相切时，圆心到斜线的垂足与圆心和切点的连 线形成一个直角三角形等。
PART 03
切线长定理的应用
定理证明
切线长定理可以通过勾股定理进行 证明，利用圆的性质和勾股定理的 逆定理来推导。
PART 04
切线长定理的拓展
REPORTING
WENKU DESIGN
相关定理的介绍
切线长定理
切线与弦的性质定理
切线长定理是几何学中的一个基本定 理，它指出从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等。
定理内容
切线长定理的内容是，一个三角 形的三条外接圆的切线长度相等 。
重要性及应用
重要性
切线长定理是几何学中的基础定理之 一，它在证明其他几何定理、解决几 何问题以及理解几何概念等方面具有 重要作用。
应用
切线长定理在几何学、三角学、解析 几何等领域都有广泛的应用，例如在 解决三角形面积问题、三角形外接圆 问题等方面都有重要的应用。
切线与弦的性质定理是关于切线与弦 的关系的定理，它包括切线与弦的距 离、切线与弦的平行关系等。
切线性质定理
切线性质定理是关于切线的性质和性 质的定理，它包括切线的性质、切线 与半径的关系等。
相关定理的证明
切线长定理的证明
切线长定理可以通过圆周角定理、三角形中位线定理等几何定理 进行证明。
切线性质定理的证明
定理的推论
总结词：丰富多样
详细描述：根据切线长定理，我们可以推导出多个重要的几何结论。例如，当两个圆相切时，它们的切线长度相等；当一个 圆与一个直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当一个圆与一个斜线相切时，圆心到斜线的垂足与圆心和切点的连 线形成一个直角三角形等。
PART 03
切线长定理的应用
定理证明
切线长定理可以通过勾股定理进行 证明，利用圆的性质和勾股定理的 逆定理来推导。
《切线长定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (1)
如图PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB。
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
切线长定 理B
。POFra bibliotekAPA、PB分别切⊙O于A、 B
7 切线长定理
探究：
如图，纸上有一⊙o， PA为⊙0的一条切线， 沿着直线PO将纸对折， 设圆上与点A重合的点 为B，这时，OB是⊙o 的一条半径吗？PB是 ⊙o的切线吗？利用图形 的轴对称性说明图中PA 与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长。
A B
2
通过这节课的学习，你有什么收获或体会？
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
(1)∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角? 是
(2)∠BAC与∠ DAE是不是同一个角? 是
(3)∠BAC与∠ ACB是不是同一个角? 不是
2、如图2，图中共有多少个角？请分别表示它们。
A 共有10个角
D
格，时针转 30°.
钟表上有60小格， 每分钟分针走1小
格，分针转 6°.
120°
C
分析：设 AF=x，BD=y，
CE=z
y+z=14
x+z=13
x+y=9
如图：从⊙O外的定点P作 ⊙O 的点A两在条弧切线AB上，任分取别切一点⊙CO，于过 和点BC，作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。PA =12
求：⑴ △PDE的周长
（提示AD=DC）
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
切线长定 理B
。POFra bibliotekAPA、PB分别切⊙O于A、 B
7 切线长定理
探究：
如图，纸上有一⊙o， PA为⊙0的一条切线， 沿着直线PO将纸对折， 设圆上与点A重合的点 为B，这时，OB是⊙o 的一条半径吗？PB是 ⊙o的切线吗？利用图形 的轴对称性说明图中PA 与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长。
A B
2
通过这节课的学习，你有什么收获或体会？
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
(1)∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角? 是
(2)∠BAC与∠ DAE是不是同一个角? 是
(3)∠BAC与∠ ACB是不是同一个角? 不是
2、如图2，图中共有多少个角？请分别表示它们。
A 共有10个角
D
格，时针转 30°.
钟表上有60小格， 每分钟分针走1小
格，分针转 6°.
120°
C
分析：设 AF=x，BD=y，
CE=z
y+z=14
x+z=13
x+y=9
如图：从⊙O外的定点P作 ⊙O 的点A两在条弧切线AB上，任分取别切一点⊙CO，于过 和点BC，作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。PA =12
求：⑴ △PDE的周长
（提示AD=DC）
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切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
A
P · O P· · O P· · O
问题
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交⊙O于点 D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
O B P
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。
几 何 表 述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
A
O
P
B
例1、 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A E O C D P
几 ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B 何 表 ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 述
1、作业本：习题24.2第6、11题
2、练习册：p72
的切线长的问题时，往 往需要我们构建基本图 形。
（1）分别连结圆心和切点
A
。
O
P B
（2）连结圆心和圆外一点 （3）连结两切点
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 A 段的长叫做这点到圆的切线长
O
P B
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
∴周长为24cm
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
C O· D B A P
结论拓展2、
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分 别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o， 求弦AB的长．
反思：在解决有关圆
切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的 切线（定义法） （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线 是圆的切线（d=r）（数量法） （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直” 2、“无交点、作垂直，证半径”
A
E
O
C D
B
P
练一练：
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB,
E Q P
A O B F
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm ∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
O
M
2
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
P
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
证明：连结OA、OB ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
A
P · O P· · O P· · O
问题
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
B
轴对称图形
PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点，直线OP交⊙O于点 D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
O B P
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。
几 何 表 述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
A
O
P
B
例1、 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A E O C D P
几 ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B 何 表 ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 述
1、作业本：习题24.2第6、11题
2、练习册：p72
的切线长的问题时，往 往需要我们构建基本图 形。
（1）分别连结圆心和切点
A
。
O
P B
（2）连结圆心和圆外一点 （3）连结两切点
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 A 段的长叫做这点到圆的切线长
O
P B
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
∴周长为24cm
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
C O· D B A P
结论拓展2、
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分 别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o， 求弦AB的长．
反思：在解决有关圆
切线的判定方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的 切线（定义法） （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线 是圆的切线（d=r）（数量法） （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直” 2、“无交点、作垂直，证半径”
A
E
O
C D
B
P
练一练：
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB,
E Q P
A O B F
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm ∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
O
M
2
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
P
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
证明：连结OA、OB ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO