2015届黑龙江省哈三中高三第一次模拟测试理科数学(含答案解析)
【数学】黑龙江省哈三中2015届高三第三次模拟考试(理)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合=B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 【知识点】几何的运算【答案解析】B 解析：}032{2>--=x x x A ={13}x x x <->或，所以{}13U C A x x =-≤≤，所以=B A C U )(}32{≤<x x ，故选：B【思路点拨】解出集合A ，再求出U C A ，然后借助数轴求出()U C A B 即可。
2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 【知识点】复数的运算【答案解析】A 解析：44142431,,1,()n nn n i i i i i i n N +++===-=-∈，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，所以1021i i i +++21i i i =++=，故选：A【思路点拨】由21i =-可得44142431,,1,()n n n n i i i i i i n N +++===-=-∈，按此规律化简原式，即可得到答案。
3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 【知识点】对数函数的单调性；指数函数的性质【答案解析】A 解析：因为0.21<， 函数0.2x y =是单调减函数，所以0.300.21a <=<，函数0.2log y x =也是减函数，所以4log 2.0=c <3log 2.0=b <0,所以c b a >>， 故选：A【思路点拨】利用指数函数和对数函数的性质，通过比较三个数和0、1的大小关系，结合单调性，即可得到它们的大小关系。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次联合模拟考试理科数学
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次联合模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos240=（）A．12B．12-C．3D．3-2．“x＞0”是“x≠0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知i是虚数单位，则3i=1i+-（）A．12i-B．22i-C．2i+D．12i+4．设数列{}n a的前n项和为n S，若11a=，13n na S+=（n∈N*），则6S=（）A．44B．54C．()61413⋅-D．()51414⋅-5．如果323nxx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）A．7 B．7-C．21 D．21-6．如果执行下面的框图，运行结果为A．221B．2 C101D．37．设a＞b＞0，则11ab a b++-的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．322+8．过双曲线22221x ya b-=右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．()1,2B ．()1,21+C ．()21,10+D ．()5,109．设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A ．4π B ．36π- C ．3212π+ D ．3218π+ 10．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为（ ）A ．92B ．922C ．32D ．311．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线C ：38y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若3FA FB =，则k =（ ） A ．32B ．23C ．223D ．2312．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保域函数”，给出下列四个函数：①()3f x x =-；②()3x f x =；③()sin 3xf x π=；④()2ln33f x x =-，其中可以找到一个区间使其为保域函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13广告费用x （单位：万元） 2 3 4 5 销售额y （单位：万元）264954根据上表可得线性回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为 ．14．哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且老师不站两端的排法有 种（结果用数字作答）． 15．抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的封闭图形的面积为 ．16．在四面体ABCD 中，AD ⊥AB ，AD ⊥DC ，若AD 与BC 成角60°，且3AD =，则BC 等于 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3cos 3a B a B c +=．（1）求A 的大小；（2）若3c b =，求tan C 的值． 18．（本小题满分12分）春节期间，某微信群群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（分组区间为[)0,1，[)1,2，[)2,3，[)3,4，[)4,5）．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若群主在只抢到2元以下的几人中随机选择3人拜年，设选中的三人中抢到的钱数在1元以下的人数为X ，试求X 的分布列及期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，D 为AC 的中点． （1）求证：1AB ∥面1BDC ；（2）若二面角11A B D A --大小为45°，求直线1AC 与平面1AB D 所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知()12,0F -，()22,0F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上的动点，且12PF PF ⋅的最大值为2. （1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且满足sin OM ON θθ⋅=，求直线l 的方程（其中MON θ∠=，O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x =++（1）当92a =时，求()f x 在定义域上的单调区间；（2）若()f x 在()0,+∞上方为增函数，求a 的取值范围，并在此范围下讨论关于x 的方程()223f x x x =-+的解的个数． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++．（1）当2a =-时，求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若()3f x x ≤+的解集包含[]1,2，求实数a 的取值范围．。
2015学年度高三数学试题
哈三中2013－2014学年度高三学年第一次验收考试数学试卷（理）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本题共有12小题，每小题5分， 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合}1{},03{2-<=<+=x x B x x x A ，则集合=B A I)(A }0{>x x )(B }13{-<<-x x )(C }03{<<-x x )(D }1{-<x x2．函数xy 2=的值域为)(A [)+∞,0 )(B [)+∞,1 )(C ()+∞,1 )(D (]1,03．函数)2ln(x x y -=的定义域为)(A )2,0( )(B )2,0[ )(C ]2,0( )(D ]2,0[4．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f 等于 )(A 2- )(B 0 )(C 1 )(D 25．四个函数3x y =，x y =，xx y 1+=，xe y =中，是奇函数且在),0(+∞上单调递增的函数的个数是)(A 4 )(B 3 )(C 2 )(D 16．已知命题02,:2≤++∈∃a ax x R x p ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是)(A [)+∞,1 )(B []1,0 )(C ()1,0 )(D (]1,07．设33=a ，2)31(-=b ，2log 3=c ，则)(A c b a >> )(B a c b >> )(C b a c >> )(D b c a >>8．已知0lg lg =+b a （10≠>a a 且,10≠>b b 且），则函数x a x f =)(与x x g b log )(-= 的图象可能是)(A )(B )(C )(D9．某公司租地建设仓库，已知仓库每月租地费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月车运货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，据测算，如果在距车站10km 处建仓库，这两项费用1y ，2y 分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应该建在离车站)(A 5km 处 )(B 4km 处 )(C 3km 处 )(D 2km 处10．已知221ln )(x x a x f +=，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有 0)()(2121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是)(A [)+∞,0 )(B ()+∞,0 )(C ()1,0 )(D (]1,011．已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为00(,)M x y ，记函数)(x f 的导函数为)(x f '，)(x f '的导函数为)(x f ''，则有0)(0=''x f ．若函数233)(x x x f -=，则可求得=+++)20134025()20134024()20132()20131(f f f f Λ )(A 4025)(B 4025- )(C 8050 )(D 8050-12．已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表， )(x f 的导函数)(x f y '=的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题:① 函数)(x f y =在2=x 时，取极小值； ② 函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③ 当12a <<时，函数a x f y -=)(有4个零点；④ 如果当],1[t x -∈时， )(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0， 其中所有正确命题的个数是)(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 4第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题， 每小题5分）13．若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位），则复数=z________．14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(≥m f ，则实数m 的取值范围是 ．15．已知偶函数)(x f 在R 上可导,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 ．16．已知对于],1,0[∈∀x 不等式0)1(4)1(4222>-+-+-x x x x a a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+≤，{}22B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）设32)(+-=x x x f ．（Ⅰ）求不等式7)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式032)(≤-+t x f 有解，求实数t 的取值范围．某兴趣小组研究某城市雾霾等极端天气发生次数与患呼吸道疾病人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份的雾霾等极端天气发生次数情况与患呼吸道疾病而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验线性回归方程是否理想.（Ⅰ）若选出的是1月份和6月份两组数据进行检验，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; （Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到是线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？并写出具体判断过程.参考公式：1122211()()ˆ()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-20．（本小题满分12分）已知函数)10(,)2111()(≠>+-=a a x a x f x且． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域; （Ⅱ）讨论函数)(x f 的奇偶性;（Ⅲ）求实数a 的取值范围，使)(x f 0>在定义域上恒成立．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，其图象均在x 轴上方，对任意的[)+∞∈,0,n m ，都有[]nm f n m f )()(=⋅，且4)2(=f ，又当0≥x 时，其导函数0)(>'x f 恒成立．（Ⅰ）求)1(),0(-f f 的值;（Ⅱ）解关于x 的不等式：2)422(22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x kx f ，其中)1,1(-∈k ．22．（本小题满分12分）已知函数()()ln 1x mf x ex -=-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当1m ≤-时，证明：()0f x >.哈三中2014－2015学年度高三学年第一次验收考试数学试卷（理）答案一 选择题1.B2.B3.B4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.A11.D12.C 二 填空题13.i - 14.),1[]1,(+∞--∞Y 15.-1 16.)2,(--∞ 三 解答题17.解：{}24A x x =≤≤; （1）B =Φ时，2a > （2）B ≠Φ时，12a ≤≤ 综上，1a ≥18.解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-<<---≥-=)3(3)03(33)0(3)(x x x x x x x f 所以7)(≤x f 的解集为]10,4[-．（Ⅱ）若关于x 的不等式032)(≤-+t x f 有解,则只需32)(min --≤t x f ， 所以32)0(--≤t f ，所以323--≤-t ,实数t 的取值范围]3,0[．19.解：（Ⅰ）1830ˆ77yx =- （Ⅱ）该小组得到的线性回归方程是理想的. 20.解：（Ⅰ）),0()0,(+∞-∞Y ；（Ⅱ）偶函数 ； （Ⅲ）),1(+∞.21.解：（Ⅰ）2)1(,1)0(=-=f f ；（Ⅱ）01<<-k 时，]0,14[2k k-； 10<<k 时，]14,0[2kk-； 0=k 时，{0}．22.解：（Ⅰ）由已知()00f '=知：0m =当0m =时，()()ln 1xf x e x =-+，()11x f x e x '=-+为()1,-+∞上的增函数，又由于()00f '=， 故()1,0x ∈-时，()0f x '<，()f x 递减；()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增； （Ⅱ）当1m ≤-时，对于()1,x ∈-+∞， 首先：x R ∈时，1xe x ≥+恒成立；其次：()1,x ∈-+∞时，()ln 1x x ≥+恒成立； ()11ln 1x mx x ee e x x x -+≥>≥+>≥+所以，()0f x >成立.。
东北三省三校2015届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题(1)-推荐下载
A． 1, 2
3,
9、不等式组
2 0 y
x2 4
B． 2,
表示的点集记为
为 ，在 A 中任取一点 ，则 的概率为（ ）
A． 9 32
D． 7 16
10、设二项式
bn
，则
A． 2n1 3
D．1
a1 a2 b1 b2
东北三省三校 2015 年高三第一次联合模拟考试
理科数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合 A x 2 x 1， x x2 2x 0，则 A （ ）
ln 1 xx 0
B．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13、向量 a ， b
．
满足
a
1，
b
0,
1 2
2，
14、三棱柱 AC A11C1 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，
AC 120 ， CA C 2 3 ， AA1 4 ，则这个球的表面积为
② p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必
B． 2013
D． 2015
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
黑龙江省哈尔滨三中高三数学一模试题 理(含解析)
黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=( )A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于( )A．1 B．C．﹣2 D．33．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=( )A．30°B．45°C．60°D．75°4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是( )A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）5．方程log2x+x=2的解所在的区间为( )A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为( )A．B．C．0 D．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是( )A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为( ) A．B．C．D．59．如图，△A OB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=( )A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45•11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )A．B．C．3 D．212．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于__________．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为__________．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若•=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．18．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞﹣1），曲线y=f（x）过点（e﹣1，e2﹣e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=( )A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．[1，2）考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．点评：本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于( ) A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．3．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=( ) A．30°B．45°C．60°D．75°考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是( )A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．方程log2x+x=2的解所在的区间为( )A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解答：解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）故选：B．点评：本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为( )A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是( )A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①利用异面直线的定义即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不一定平行，即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理可得：α∥β，即可判断出正误．解答：解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题．8．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为( ) A．B．C．D．5考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，求阴影内的点到点A（2，0）的距离的范围可得．解答：解：由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，由图象知点B（0，1）到点A的距离最短，故（x﹣2）2+y2的最小值为（0﹣2）2+12=5；故选：D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．9．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=( )A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．解答：解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则•=（﹣）•=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△P AD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45•考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，利用四边形AEFG是等腰梯形，求其余弦值．解答：解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，如图过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，AG=，AE＞FG，过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，在△GHA中，GH=EF=，AH=AE﹣FG=﹣=，AG=，AG2=GH2=AH2，所以∠AEF=90°，故选A．点评：本题考查了异面直线所成的角；首先要将空间角转化为平面角，然后通过解三角形求之．11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )A．B．C．3 D．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．解答：解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( ) A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于510．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知的a4的值比上a2的值求出公比q的值，然后由a2和q的值求出a1的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前4项之和，把求出的a1和q的值代入即可求出值．解答：解：由a2=4，a4=16，得到q2===4，解得：q=2（舍去负值），∴a1==2，则数列的前9项之和S9==，即S9=510．故答案是：510．点评：此题考查了等比数列的求和公式，考查了等比数列的性质．学生做题时注意求出的公比q的值有两个，都符合题意，不要遗漏．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的表面积S=×π×22+×π×4×2+×4×4=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，化简整理即可得出．解答：解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若•=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知条件化简表达式，求出A的正弦函数值，然后求角A的值；（Ⅱ）利用•=12，求出bc的值，利用余弦定理得到关系式，然后求b，c（其中b＜c）．解答：解：（Ⅰ）（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．可得：=，∴，∴．…（Ⅱ），∴bc=24，又a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，∴b+c=10，∵b＜c，∴b=4，c=6．…点评：本题考查余弦定理的应用，实数的化简求值，基本知识的考查．18．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用已知条件推出，即可证明{b n}是等差数列．（Ⅱ）求出b n，然后求解数列{a n}的通项公式．解答：解：（Ⅰ）（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3[（a n﹣1）﹣（a n+1﹣1）]，∴，即，∴{b n}是等差数列．…（Ⅱ）∵b1=1，∴，…，∴．…点评：本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明ED∥BC，推出ED∥平面BCH，利用直线与平面平行的性质定理以及平行公理证明IH∥BC．（Ⅱ）建立空间右手直角坐标系，求出平面AGI的一个法向量，平面CHI的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣GI﹣C的余弦值．（Ⅲ）法（一），通过，解得，然后求解即可．法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，通过△HKJ与△CKA相似，求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED=HI所以ED∥HI又因为ED∥BC，所以IH∥BC．…（Ⅱ）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），，，，，设平面AGI的一个法向量为，则，，令z1=1，解得x1=1，y1=﹣1，则设平面CHI的一个法向量为，则，，令z2=﹣2，解得y1=﹣1，则，，所以二面角A﹣GI﹣C的余弦值为…（Ⅲ）解：法（一），设则，解得，…法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，△HKJ与△CKA相似，得，易证HI∥GK，所以…点评：本题考查空间向量求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的性质定理以及判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过三角形△OAB的面积，求出B的纵坐标，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出p，即可得到抛物线方程．（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件．通过设直线l的方程x=my+4，与抛物线联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），通过，求出，然后求出m，得到直线l即可．解答：解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣32∴=．…由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…可得要使，只需…即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件…点评：本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题以及转化思想的应用，考查计算能力．21．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞﹣1），曲线y=f（x）过点（e﹣1，e2﹣e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x）．利用f′（0）=a+b=0，f（e﹣1）=e2﹣e+1，即可求解a，b．（Ⅱ）设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），求出导函数，利用导函数的判断函数的单调性，推出g（x）≥g（0）=0．推出结果f（x）≥x2．（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，求出导函数h′（x），利用（Ⅱ）中的结果，通过讨论m的范围，求解即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e ﹣1）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x，设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣x，（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2．…（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x﹣2mx，（Ⅱ）中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x ﹣2mx，①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．②当3﹣2m＜0即时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1﹣2m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+3﹣2m，令h′′（x）=0，得，当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不成立．综上，．…点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及导函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．解答：解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，设PA=x，PD=y则有，所以…（Ⅱ）因为PA=1，=，所以PB=4，因为PA•PB=PD•PC，=，所以PC=2，因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，所以BC==2．…点评：本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2015哈三中校一模 黑龙江省哈三中2015届高三第一次高考模拟考试 理科数学 扫描版含答案
2015年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试理科数学参考答案二、填空题：13．1022 14．8(2π++15．4 16．3(3,]4--三、解答题： 17．解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n an ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点， 所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面B C H ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………………… 4分AB(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ， )0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=，)0,1,1(=， )1,2,0(-=CH ，)0,0,1(21==， 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n EA ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-01111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n CH ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-02221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ， 所以二面角C GI A --的余弦值为1515…………………………… 8分 （Ⅲ）法（一）)2,1,3(-=，设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλAG AH GH则02=⋅n ，解得32=λ， 3142)2(13323222=-++==AF AG ………………… 12分 法（二）取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，HKJ ∆与CKA ∆相似， 得2=KJ AK ，易证GK HI //，所以314232==AF AG …………… 12分 20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………4分(Ⅱ) 存在直线l : 0411=-±y x 符合条件解：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与x y 82=联立得03282=--my y .设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=.……………6分 由直线OC 的斜率为1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 18=，与1121622=+y x 联立得 1)1211664(212=+⋅y y E ，同理1)1211664(222=+⋅y y F ， 所以2E y ⋅1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F ………8分 可得2E y ⋅223625612148F y m⨯=+ 要使37712=S S ，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分 即21214849121m +=⨯解得11±=m ，所以存在直线l : 0411=-±y x 符合条件………………………… 12分21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(， 0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． ………………………………4分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)( (())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴2)(x x f ≥．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(， ∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立． ②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m e x ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似， 设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以24AD x BC y ==………………………………5分 (Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((1x y +=圆心(22-到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分 24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分 (Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥-…………………10分。
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试题和答案（理）
哈尔滨三中2015年第⼀次模拟考试数学试题和答案（理）哈尔滨三中2015年第⼀次模拟考试数学试卷（理⼯类）第I 卷（选择题, 共60分）⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．) 1. 集合?>+-=031x x xP ，{}24x y x Q -==，则=Q PA ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．)2,1[2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．33. 在ABC ?中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，则ABC ?的⾯积为23，=∠C A ．30 B ．45 C ．60 D ．75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y 5. ⽅程2l og2=+x x 的解所在的区间为A ．)1,5.0(B ．)5.1,1(C ．)2,5.1(D ．)5.2,2( 6. 将函数()()?+=x x f 2si n 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则?的⼀个可能取值为 A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平⾯α、β的四个命题：①若α?m ，A l =α，点m A ?，则l 与m 不共⾯；②若m 、l 是异⾯直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ；③若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④若α?l ，α?m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//，其中为真命题的是侧视图俯视图A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量x 、y 满⾜条件??->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最⼩值为A ．223 B ．5 C ．2D ．5 9. 如图，AO B ?为等腰直⾓三⾓形，1=OA ，OC 为斜边AB 的⾼，点P 在射线OC 上，则?的最⼩值为A ．1-B ．81-C ．41-D ．21-10. 如图，四棱锥ABCD P -中，90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ?和PAD ?都是等边三⾓形，则异⾯直线CD与PB 所成⾓的⼤⼩为A ． 90B ．75 C ．60 D ．4511. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上⼀点，Q 是直线PF 与C 的⼀个交点，若QF PF 3=，则QF = A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 12. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈?，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为A ． ]2,2[-B ． ),2[+∞C ． ),0[+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞第Ⅱ卷（⾮选择题, 共90分）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 正项等⽐数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于．14. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则它的表⾯积为．15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的⼀个公共点，且21π=∠PF F ，椭圆的离⼼率为1e ，双曲线的离⼼率2e ，则=+222131e e ． AOCBPBDCPA16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满⾜ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的⼀个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本⼩题满分12分）设ABC ?是锐⾓三⾓形，三个内⾓A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3si n()3si n()si n )(si n si n (si n B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求⾓A 的值；（Ⅱ）若12=?，72=a ，求b ，c （其中c b <）． 18.（本⼩题满分12分）已知数列}{n a 满⾜)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式． 19.（本⼩题满分12分）ABC ?为等腰直⾓三⾓形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ?沿DE 折起，使⾯AD E ⊥⾯DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平⾯BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点．（Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓C GI A --的余弦值；（Ⅲ）求AG 的长．20.（本⼩题满分12分）AHICDBFGE如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第⼀象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB的⾯积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的⽅程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ?和OCD ?的⾯积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，求出直线l21.（本⼩题满分12分）设函数bx x x a x f +++=)1ln()1()(2)1(->x ，曲线)(x f y =过点)1,1(2+--e e e ，且在点)0,0(处的切线⽅程为0=y .（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0≥x 时，2)(x x f ≥；（Ⅲ）若当0≥x 时，2)(mx x f ≥恒成⽴，求实数m 的取值范围．请考⽣在第22、23、24三题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，四边形ABC D 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，1=PB PA ， 21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD的值；（Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．23.（本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程已知在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程是+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程)4cos(2πθρ+=.P（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意⼀点，求y x +的取值范围． 24.（本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．哈尔滨三中2015年第⼀次模拟考试数学试卷（理⼯类）答案及评分标准⼀、选择题：⼆、填空题：13. 1022 14. 8(2π++ 15. 4 16. 3(3,]4-- 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-?+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分 (Ⅱ) 12cos ==?A b ，24=∴bc ，⼜bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分 (Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为?BC 平⾯BC H ，?ED 平⾯BC H ，所以//ED 平⾯BC H因为?ED 平⾯BC H ，?ED 平⾯AED ，平⾯BC H ?平⾯HI AED = 所以HI ED //⼜因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………………… 4分(Ⅱ))0,0,0(D ，)0,0,2(E ，2,0,0(A )0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H )2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=EF )1,2,0(-=CH ，)0,0,1(2 1==，设平⾯AGI 的⼀个法向量为),,(1111z y x n =，则=?=?0011n EB n ，=+=+-01111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平⾯C HI 的⼀个法向量为),,(2222z y x n =，则=?=?0022n n CH ，==+-02221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=->=1515…………………………… 8分（Ⅲ）法（⼀）)2,1,3(-=AF ，设)2,,3(λλλλ-==AF AG)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλ则02=?n ，解得32=λ， 3142)2(13323222=-++==AF AG ………………… 12分 AB法（⼆）取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，HKJ ?与CKA ?相似，得2=KJAK，易证GK HI //，所以314232==AF AG …………… 12分 20. 解: (Ⅰ)因为O A B ?的⾯积为368,所以364=B y ，……………2分代⼊椭圆⽅程得)364,34(B ，抛物线的⽅程是：x y 82= ……………4分 (Ⅱ) 存在直线l : 0411=-±y x 符合条件解：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的⽅程可设为4x my =+，与x y 82=联⽴得03282=--my y .设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=?=+y y m y y12211sin 21sin 2E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32= .……………6分由直线OC 的斜率为1118y x y =,故直线OC 的⽅程为x y y 18=，与1121622=+y x 联⽴得 1)1211664(212=+?y y E ，同理1)1211664(222=+?y y F ，所以2E y ?1)1211664)(1211664(22212=+?+?y y y F………8分可得2E y ?223625612148F y m=+ 要使37712=S S ，只需22232(12148)77362563m +??=………10分即21214849121m +=? 解得11±=m ，所以存在直线l : 0411=-±y x 符合条件………………………… 12分 21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． ………………………………4分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)((())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴2)(x x f ≥．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1l n()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(，∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成⽴．②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1l n()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m ex ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成⽴．综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ?与PCB ?相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=?=，所以24AD x BC y ==………………………………5分 (Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通⽅程为0x y -+=曲线C 的直⾓坐标系下的⽅程为22(()122x y -++=圆⼼,22-到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ?+=+=+∈?.……………10分24. (Ⅰ)①当12x ≤-时，1223x x x --+≥?≤-，所以3x ≤- ②当102x -<<时，12123x x x ++≥?≥，所以为φ③当0x ≥时，121x x +≥?≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-?+∞……………5分(Ⅱ)即12122122ax x a x x +-≤+?+-≤+ 由绝对值的⼏何意义，只需11322aa -≤+?≥-…………………10分。
哈尔滨市第三中学届高三第一次模拟考试数学试题及答案(文)
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（文史类）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP ，{}24x y x Q -==，则=Q PA ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞D ．)2,1[2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠C A ．30 B ．45 C ．60 D ．75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．x e y =C ．)1ln(+=x yD ．)2(+-=x x y 5. 设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为A ．(4,0)(2,)-+∞B ．(0,2)(4,)+∞C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(4,4)-6. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为A ．43πB ．4πC ．0D ．4π-7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为A ．223 B ．5 C ．29 D ．59. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅A ．1-B ．81-C ．41-D ．21-10. 如图，四棱锥ABCD P -中，90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为 A ．90 B ． 75 C ． 60 D ． 4511. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的BDCPAAOCBP侧视图一个交点，若QFPF3=，则QF=A．25B．38C．3D．612.设xxf lg)(=，若函数axxfxg-=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a的取值范围是A．10,e⎛⎫⎪⎝⎭B．lg2lg,2ee⎛⎫⎪⎝⎭C．lg2,2e⎛⎫⎪⎝⎭D．lg20,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 正项等比数列{}n a中，42=a，164=a，则数列{}n a的前9项和等于．14. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．15.已知椭圆C：2211612x y+=，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则||||PN QN+=．16．定义：如果函数)(xfy=在定义域内给定区间],[ba上存在x)(bxa<<，满足abafbfxf--=)()()(，则称函数)(xfy=是],[ba上的“平均值函数”，x是它的一个均值点，例如2xy=是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mxxxf+=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m的取值范围是．俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12=⋅，72=a ，求b ，c （其中c b <）． 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式． 19.（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 是边AD 的中 点，平面BCH 与AE 交于点I ． （Ⅰ）求证：IH //BC ； （Ⅱ）求三棱锥HIC A -的体积.20.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为AHICDBE坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21.（本小题满分12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y .（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ， 21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．P23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. 1022 14. 83π 15. 16 16. 3(3,]4-- 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分 231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED // 又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………… 6分(Ⅱ)211121=⨯⨯=∆AIC S 高2=CD3122131=⨯⨯=V …………………………………… 12分20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………6分(Ⅱ) 直线CD 斜率不存在时，OCD S ∆=直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为(4)y k x =-，带入抛物线，得28320ky y k --=1212OCD S OA y y ∆=-=>综上OCD S ∆最小值为. ……………12分21.解：(Ⅰ)()2ln f x a x ax b '=++，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．………………………………4分(Ⅱ)2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=．∴2()(1)f x x ≥-．………………………………8分（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，(Ⅱ) 中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立．②当03<-m 即23>m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=---， (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x '=，得232021m x e-=->，当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以2AD x BC y ==…………………………5分(Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((122x y -++=圆心到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设cos ,sin )M θθ++，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分(Ⅱ)即12122122ax x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-…………………10分。
黑龙江省哈尔滨三中高三数学一模试题 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某三中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=( )A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于( )A．1 B．C．﹣2 D．33．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=( )A．30°B．45°C．60°D．75°4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是( )A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）5．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为( ) A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为( )A．B．C．0 D．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是( )A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为( ) A．B．C．D．59．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=( )A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45•11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )A．B．C．3 D．212．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值X围是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于__________．14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为__________．15．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值X围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若•=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．18．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H是边AD的中点，平面BCH与AE交于点I．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣HIC的体积．20．如图，抛物线C1： y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，某某数m的取值X围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值X围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，某某数a的取值X围．某某省某某三中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=( )A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．[1，2）考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．点评：本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于( ) A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．3．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=( ) A．30°B．45°C．60°D．75°考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是( )A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为( )A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．解答：解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x＜0时，f（x）＞0的解集，是解决本题的关键．6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为( )A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是( )A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①利用异面直线的定义即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不一定平行，即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理可得：α∥β，即可判断出正误．解答：解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题．8．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为( ) A．B．C．D．5考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，求阴影内的点到点A（2，0）的距离的X围可得．解答：解：由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，由图象知点B（0，1）到点A的距离最短，故（x﹣2）2+y2的最小值为（0﹣2）2+12=5；故选：D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．9．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=( )A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．解答：解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则•=（﹣）•=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45•考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，利用四边形AEFG是等腰梯形，求其余弦值．解答：解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，如图过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，AG=，AE＞FG，过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，在△GHA中，GH=EF=，AH=AE﹣FG=﹣=，AG=，AG2=GH2=AH2，所以∠AEF=90°，故选A．点评：本题考查了异面直线所成的角；首先要将空间角转化为平面角，然后通过解三角形求之．11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )A．B．C．3 D．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．解答：解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值X围是( )A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可．解答：解：函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）=ax的根有3个，即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过A，与l之间时，满足题意．A（4，lg4），k OA=．设l与y=lgx的切点为（t，f（t）），可得y′=，切线的斜率为：==，即lgt=lge，t=e．可得切线l的斜率为：，a∈．故选：B．点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于510．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知的a4的值比上a2的值求出公比q的值，然后由a2和q的值求出a1的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前4项之和，把求出的a1和q的值代入即可求出值．解答：解：由a2=4，a4=16，得到q2===4，解得：q=2（舍去负值），∴a1==2，则数列的前9项之和S9==，即S9=510．故答案是：510．点评：此题考查了等比数列的求和公式，考查了等比数列的性质．学生做题时注意求出的公比q的值有两个，都符合题意，不要遗漏．14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的体积V=×π×22×4=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．15．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|=16．考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先作出图形，由椭圆方程，得a的值，设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，K为线段MN的中点，易得KF1，KF2分别是△NBM和△NAM的中位线，可得|NB|与|KF1|，及|NA|与|KF2|的数量关系，再利用椭圆的定义，即可达到目的．解答：解：设椭圆C的长轴长为2a，则由，得a=4，又设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，K为线段MN的中点，如右图所示，由已知条件，易得F1，F2分别是线段MB，MA的中点，则在△NBM和△NAM中，有|NB|=2|KF1|，|NA|=2|KF2|，又由椭圆定义，得|KF1|+|KF2|=2a=8，故|AN|+|BN|=2（|KF1|+|KF2|）=16．故答案为：16．点评：本题主要考查了椭圆定义的运用，三角形中位线的性质等．本题涉及的动点较多，解题的突破口是作出图形，根据图形的几何特征，寻找两个三角形的中位线，关键是利用椭圆的定义，抓住变化中确定的数量关系．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值X围是﹣3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值X 围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所某某数m的取值X围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若•=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知条件化简表达式，求出A的正弦函数值，然后求角A的值；（Ⅱ）利用•=12，求出bc的值，利用余弦定理得到关系式，然后求b，c（其中b＜c）．解答：解：（Ⅰ）（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）=sin（﹣B）sin（+B）．可得：=，∴，∴．…（Ⅱ），∴bc=24，又a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，∴b+c=10，∵b＜c，∴b=4，c=6．…点评：本题考查余弦定理的应用，实数的化简求值，基本知识的考查．18．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用已知条件推出，即可证明{b n}是等差数列．（Ⅱ）求出b n，然后求解数列{a n}的通项公式．解答：解：（Ⅰ）（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3[（a n﹣1）﹣（a n+1﹣1）]，∴，即，∴{b n}是等差数列．…（Ⅱ）∵b1=1，∴，…，∴．…点评：本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H是边AD的中点，平面BCH与AE交于点I．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣HIC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明ED∥平面BCH，ED∥HI，然后利用平行公理证明IH∥BC．、（Ⅱ）求出棱锥的底面面积以及高，即可求解体积．解答：（Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED=HI所以ED∥HI又因为ED∥BC，所以IH∥BC．…（Ⅱ）解：V A﹣CIH=V C﹣AIH，高CD=2，…点评：本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，直线与直线平面的证明，直线与平面平行的判定定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．解答：解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1•y2=32，，综上S△OCD最小值为．…点评：本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，某某数m的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的f′（x），通过f′（1）=a+b=0，f（e）=e2﹣e+1，求出a，b．（Ⅱ）求出f（x）的解析式，设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），求出导数，二次求导，判断g′（x）的单调性，然后证明f（x）≥（x﹣1）2．（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求出h′（x），利用（Ⅱ）中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），推出h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当时，②当时，求解m的X围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）=2alnx+ax+b，∵f′（1）=a+b=0，f（e）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…（Ⅱ）f（x）=x2lnx﹣x+1，设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）=2xlnx﹣x+1（g′（x））′=2lnx＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g （x）≥g（1）=0．∴f（x）≥（x﹣1）2．…（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，（Ⅱ）中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，成立．②当3﹣m＜0即时，h′（x）=2xlnx﹣（1﹣2m）（x﹣1），（h′（x））′=2lnx+3﹣2m，令（h′（x））=0，得，当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）=0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减∴h（x）＜h（1）=0，不成立．综上，．…点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断参数的X围的求法，考查分析问题解决问题的能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．解答：解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，设PA=x，PD=y则有，所以…（Ⅱ）因为PA=1，=，所以PB=4，因为PA•PB=PD•PC，=，所以PC=2，因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，所以BC==2．…点评：本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值X围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值X围．解答：解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值X围是．点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，某某数a的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的X围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2015届东北三省三校高三3月第一次联合理科数学模拟考试(含答案)
2015届东北三省三校高三第一次联合模拟试题理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2{|30}A x x x =-->，{|1}B x x =<-，则A B = （ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|30}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|0}x x > 2．命题“若1x >，则0x >”的否命题是A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x <3．已知11xyi i=-+，其中x ，y 是实数，i 是叙述单位，则x +yi 的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 4．已知数列{}n a 是等差数列，且1232a a a π++=，则的值为A B ．C D ．5．与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为A ．2213y x -=B ．2221y x -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．88．若n 的展开式中第四项为常数项，则n =A ．4B ．5C ．6D ．79．已知sin()y A x k ωϕ=++函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC= ，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为A ．1256πB ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线24y x =上，则点P 到点A （2,3）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既无最小值，又无最大值D ．既有最小值，又有最大值12．已知ln ()ln 1xf x x x=-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为 ①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x >A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟考试(
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合，，则A．B．C．D．2. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A．B．C．D．3. 在中，，，，则的面积为，A．B．C．D．4. 下列函数在上为减函数的是A．B．C．D．5. 方程的解所在的区间为A．B．C．D．6. 将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为A．B．C．D．7. 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，，，，则，其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上， 则的最小值为A ．B ．C ．D ．10. 如图，四棱锥中，90=∠=∠BAD ABC ，， 和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为 A ． B ． C ． D ．11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=A ．B ．C ．D ．12. 设函数在上存在导数，，有，在上，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 正项等比数列中，，，则数列的前项和等于 ．14. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 ．15. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求，（其中）．18.（本小题满分12分）已知数列满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，，令. （Ⅰ）证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式．19.（本小题满分12分）为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求的长．20.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数bx x x a x f +++=)1ln()1()(2，曲线过点，且在点处的切线方程为. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，， .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系； （Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．哈尔滨三中2015年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCDBBCDBABB二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， ，． ………………………… 6分 (Ⅱ) 12cos ==⋅A b ，，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，， ，，．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ， 3111111=---∴+n n a a ，即，是等差数列．………6分 (Ⅱ)，，………………………… 10分 ，．………………………… 12分 19. (Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面因为平面，平面，平面平面 所以 又因为，所以. …………………………………… 4分(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，，，， ，，， ，， ，，设平面的一个法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令，解得，，则 设平面的一个法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n CH ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令，解得，则 15155321,cos 21=⋅->=<n n ， 所以二面角的余弦值为 …………………………… 8分 （Ⅲ）法（一），设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλ则，解得，3142)2(13323222=-++==AF AG ………………… 12分 法（二）取中点，连接交于点，连接，与相似， 得，易证，所以…………… 12分 20. 解: (Ⅰ)因为的面积为,所以，……………2分代入椭圆方程得，抛物线的方程是： ……………4分(Ⅱ) 存在直线: 符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠.……………6分 由直线OC 的斜率为,故直线的方程为，与联立得 ，同理，所以1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F ………8分可得要使，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分即解得，所以存在直线: 符合条件………………………… 12分 21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+，． ………………………………4分 (Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，，x x x x g -++=')1l n ()1(2)((())2ln(1)10g x x ''=++>，在上单调递增，，在上单调递增，．．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，， ，①当即时，，在单调递增，，成立．②当即时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='，m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令，得，当时，，在上单调递减，不成立． 综上，．………………………………12分22. (Ⅰ)由，，得与相似，设则有 ，所以………………………………5分 (Ⅱ)，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为曲线的直角坐标系下的方程为22((1x y ++=圆心到直线的距离为51d ==>所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以② 当时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为 ③ 当时，，所以综合①②③不等式的解集为……………5分(Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需…………………10分。
东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试_理科数学试卷_word版含答案
哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中 辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B I 等于A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|21}x x -<≤2=A．)i B ．1 + i C ．iD ．-i3．点(1,1)M 到抛物线y = ax 2准线的距离为2，则a 的值为A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124．设S n 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且a 1 > 0，若S 5 = S 9，则当S n 最大时，n =A ．6B ．7C ．8D ．9 5．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6．下列命题中正确命题的个数是①对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件；③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线l 1：(21)10mx m y +-+=与直线l 2：330x my ++=垂直”的充要条件。
黑龙江哈尔滨第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(理)试卷(扫描版含答案)
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（理工）答案一、 选择题二、1-5 BADBC 6-10CCDDA 11-12 AB二、填空题（13） 39 （14）72 （15）332（16）32 17. （Ⅰ）由c B a B a 3cos 3sin =+，得分2sin 3cos sin 3sin sin C B A B A =+),sin(3cos sin 3sin sin B A B A B A +=+分4sin cos 3sin sin B A B A = 分63,3tan π==A A （Ⅱ）分87cos 22222b A bc c b a =-+=分107212cos 222 -=-+=ab c b a C分1233tan ,7233sin -==C C18．（Ⅰ）由题知，25.0=a ，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A ，则35.01.025.0)(=+=A P . ………………………………4分（Ⅱ）(2) 由直方图知，抢到钱数在2元以下的共15人，其中1元以下的有3人. 所以X 可能取值为0，1，2，3，455220)0(315312===C C X P ，455198)1(31521213===C C C X P ， 45536)2(31511223===C C C X P 4551)3(31533===C C X P ，……………8分 列为所以X 的分布…………10分所以X 的期望为534551345536245519814552200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………………12分19.（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以1AB ∥面1BDC . ------------------------4分（Ⅱ）以1C 为原点,如图建立空间直角坐标系. 设a AA =1,则)2,0,0(),0,,2(1B a A ,)0,0,2(),0,,1(1A a D ,)2,,2(1-=a A B ,)0,0,1(=DA ,)2,,1(1-=a D B ,)2,0,2(11-=B A ,设平面D AB 1的法向量为),,(z y x m =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01DA m A B m ,得),2,0(a m =, ----------5分同理得平面D B A 11的法向量为),1,(a a n =, ------6分cos 45cos =︒2=a . - ------------------8分)0,2,2(1--=AC ,)2,2,0(=m ,设直线1AC 与平面D AB 1所成角为θ,则21cos sin =θ,︒=30θ. ------------12分 20.126)1(22=+y x ----------4分024)3(1262),(),()2(22222211=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y xmy x y x N y x M θθcos 364sin =⋅ON OM ,90οθ=当02121=+y y x x ,0434232)1(,04)(2)1(22221212=++-+-+=++-+m mm m m y y m y y m 315±=m ----------7分 当,90οθ≠θθcos 364sin =⋅ON OM ，364sin ||||=θON OM21362sin ||||21y y ON OM S -===θ,384)(21221=-+y y y y 38324)34(222=+++m m m 0,3=±=m m ,综上所述，0,3=±=m m ，315±=m - ---------12分 21.（Ⅰ）当29=a 时,22)1(125)(++-='x x x x x f ,………………………………2分单调区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0和()+∞,2为增函数；⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上为减函数…………………4分（Ⅱ）由22)1(1)2()(++-+='x x x a x x f ,要使)(x f 在),0(+∞上为增函数 只需1)2(2+-+x a x 在),0(+∞恒大于等于0,得xx x a 122++≤恒成立,由421122≥++=++xx x x x ，得实数a 的取值范围为]4,(-∞；……………8分先考察当4=a 时方程32)(2+-=x x x f 的解的个数 由14ln )(++=x x x f 在),0(+∞上为增函数,且21141ln )1(=++=f , 而322+-x x 也当1=x 时得2,且函数322+-=x x y 在)1,0(上递减,所以方程14ln ++x x 322+-=x x 在]1,0(上有且只有一个解1=x ……………9分下面证明方程14ln ++x x 322+-=x x 在),1(+∞上无解易证1ln -<x x 在),1(+∞上恒成立 只需证明-+-322x x 114->+x x 在),1(+∞上恒成立即可, 记24()341F x x x x =-+-+,得()21432)(++-='x x x F , 再记()2142)(++=x x x G ,得()0182)(3>+-='x x G 在),1(+∞上恒成立所以)(x G 在),1(+∞上增,而3)1(=G ,所以)(x F '在),1(+∞上恒正,所以)(x F 在),1(+∞上增,而0)1(=F ,所以-+-322x x 114->+x x 在),1(+∞上成立 综上：当4=a 时,方程1ln ++x ax 322+-=x x 只有一个解……………10分 而当4<a 时,14ln 1ln ++<++x x x a x , 且由上知≤++14ln x x 322+-x x ，所以4<a 时方程无解……………12分22. （Ⅰ）由DBC ACD ∠=∠，得DBC ∆∽分3 DCE ∆DCDB DE DC =,分52 DB DE DC ⋅= （Ⅱ）设M AC OD =⋂222r CM OM =+;分8222 CD CM MD =+分103,12)1(122 ==-+-r r r23. （Ⅰ）由已知[]2,2,1:2-∈-=x x y M ；分2: t y x N =+联立方程有一个解，可得11t +<≤+或54t =-分5（Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-，所以所求的最小距离为823分10 24. （Ⅰ）2-=a ，原不等式分1122 +≤-⇔x x31221221≤⇔+≤-⇔+≤-≥x x x x x x 时分3311221221≥⇔+≤-⇔+≤-≤x x x x x x 时综上原不等式的解集为分53,31 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡（Ⅱ）323)(+≤++⇔+≤x x a x x x f 分723233232ax a a x x x a x -≤≤--⇔≤+⇔+≤++ 15223123-≤≤-⇔≥-≤--a aa 且分10注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟考试(
哈三中2015年第一次高考模拟考试理科综合试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列对小麦植株某些细胞的描述，错误的是A．叶肉细胞能进行光合作用是因为其具有叶绿体B．保卫细胞能进行有氧呼吸是因为其具有线粒体C．成熟区细胞能进行渗透吸水是因为其具有大液泡D．分生区细胞能形成纺锤体是因为其具有中心体2．下列相关生物知识的叙述，正确的是A．所有真核生物和原核生物，细胞呼吸过程都能产生CO2B．所有单细胞生物和多细胞生物，生命系统的结构层次都是一致的C．所有高等植物和低等植物的体细胞，有丝分裂末期都能形成细胞板D．所有动物和植物，都能产生基因突变、基因重组和染色体变异3．关于生命科学发展过程的相关叙述，正确的是①1972年桑格和尼克森提出“流动镶嵌模型”，强调膜的流动性和膜蛋白分布的不对称性②1880年恩格尔曼利用好氧细菌和水绵进行实验，证明叶绿体是植物进行光合作用的场所③1909年孟德尔给“遗传因子”重新起名为“基因”，并提出了表现型和基因型的概念④1928年温特的实验进一步证明造成胚芽鞘弯曲的影响确实是一种化学物质，并命名为生长素A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．关于生命活动调节的叙述，错误的是A．正常机体内甲状腺激素分泌过多时，会引起下丘脑和垂体分泌的相关激素减少B．在突触结构中，信号的转换模式为电信号→化学信号→电信号C．体液免疫中的抗体可以抑制病原体的繁殖，也可抑制其对人体细胞的黏附D．植物激素中的脱落酸可以促进叶和果实的脱落，也可以促进细胞分裂5．下列关于生物变异的叙述中，不正确的是A．DNA分子中碱基对的替换一定会引起生物性状的改变B．非姐妹染色单体上的A和a基因互换一般属于基因重组C．突变和基因重组能为进化提供原材料，但不决定生物进化的方向D．采用低温处理萌发的种子可获得茎秆粗壮的植株6．现有两个不同类型的生态系统I和Ⅱ，I和Ⅱ的生产者含有的总能量相同，据图分析相关说法正确的是A．I中现存的消费者的总能量大于Ⅱ中现存的消费者的总能量B．I、Ⅱ中的消费者的总能量都大于生产者同化的总能量C．I中的各营养级之间的能量传递效率大于Ⅱ中的各营养级之间的能量传递效率D．I中的生产者同化的总能量大于消费者的总能量，但Ⅱ中的则相反7.下列过程发生化学反应的是A.除去粗盐中含有的泥沙B.用萃取的方法提取天然香料C.食品加工厂中用静电除尘装置除去空气中的颗粒物D.向污水中加入明矾来净水8.有机物的一氯代物可能的结构有（不考虑立体异构）A.6种B.8种C.11种D.15种9.下列叙述正确的是A.向Al2(SO4)3溶液中滴加过量的NaOH溶液制备Al(OH)3B.向水玻璃中滴加盐酸制备硅酸C.用加热法除去Ca(OH)2固体中混有的NH4Cl固体D.SO2通入酸性KMnO4溶液检验其漂白性10.下列实验装置正确且能够达到目的的是A.制备Fe(OH)2B.验证溴与苯发生C.测定中和热D.制备硝基苯取代反应11.下列说法错误的是A.向0.1 mol/L的CH3COOH溶液中加入少量CH3COONH4固体，溶液的pH增大B.室温下，pH=4的NaHSO4溶液中，水电离出的H+浓度为1×10-10 mol/LC.浓度均为0.1 mol/L的HCN溶液和NaCN溶液等体积混合（忽略体积变化），溶液中c(HCN)+c(CN-)=0.1 mol/LD.pH相同的①NH4Cl、②NH4Al(SO4)2、③(NH4)2SO4三种溶液的c(NH4+)：②<③<①12.锂空气电池放电时的工作原理如图所示。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（理工）答案一、选择题1-5 BADBC 6-10CCDDA 11-12 AB二、填空题（13）39 （14）72 （15）（16）17. （Ⅰ）由，得（Ⅱ）18．（Ⅰ）由题知，，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A，则. ………………………………4分（Ⅱ）(2) 由直方图知，抢到钱数在2元以下的共15人，其中1元以下的有3人.所以可能取值为0，1，2，3，，，，……………8分所以的分布列为…………10分所以的期望为…………………12分19.（Ⅰ）连结，交于点,则为中点,又为中点,故∥,又因为, ,所以∥面. ------------------------4分（Ⅱ）以为原点,如图建立空间直角坐标系. 设,则, , , , , ,设平面的法向量为,则,得, ----------5分同理得平面的法向量为, ------6分,得. - ------------------8分, ,设直线与平面所成角为,则,. ------------12分20. ----------4分,----------7分当，,,综上所述，，- ---------12分21.（Ⅰ）当时, ,………………………………2分单调区间为和为增函数；上为减函数…………………4分（Ⅱ）由,要使在上为增函数只需在恒大于等于0,得恒成立,由，得实数的取值范围为；……………8分先考察当时方程的解的个数由在上为增函数,且,而也当时得,且函数在上递减,所以方程在上有且只有一个解……………9分下面证明方程在上无解易证在上恒成立只需证明在上恒成立即可,记,得,再记,得在上恒成立所以在上增,而,所以在上恒正,所以在上增,而,所以在上成立综上：当时,方程只有一个解……………10分而当时, ,且由上知，所以时方程无解……………12分22. （Ⅰ）由，得∽,（Ⅱ）设;23. （Ⅰ）由已知；联立方程有一个解，可得或（Ⅱ）当时，直线N:，设M上点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为24. （Ⅰ），原不等式综上原不等式的解集为（Ⅱ）注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次测试——数学(理)数学(理)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次测试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的有①集合，集合，A 与B 是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有5个元素；④集合},0|),{(R y x xy y x ∈≤、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．3.函数的值域是A ．B ．C ．D ．4.函数的图象A ．关于原点对称B ．关于直线对称C ．关于轴对称D ．关于轴对称5.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合可以表示为A ．B ．C ．D ．7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则，，的大小关系是 A ． B ． C ． D ．8.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是9.已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则的值为A ．B ．C ．D ．10.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为 A ． 个 B ．个 C ．个 D ．个11.若函数为上的单调递增函数，且对任意实数，都有 (是自然对数的底数)，则的值等于A ．B ．C ．D ．12.已知关于的不等式)(3202R m m x x ∈≤+-≤有且只有一个实数解，函数， 2()22()1g x tx m t x =--+，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.是定义在上的偶函数，当时，，那么当时， .14. 已知函数在上单调递减，且，若，则的取值范围 .15.若偶函数对定义域内任意都有，且当时，，则 .16.已知为奇函数，当时，；当时，，若关于的不等式有解，则的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U 求集合.18.已知函数)1(11lg)(≠++=a ax x x f 是奇函数， （1）求的值；（2）若()1,1,212)()(-∈++=x x f x g x，求的值.19.已知二次函数[]1,2),0()(2--∈>++=x a c bx ax x f ，且函数在处取到最大值， （1）求的取值范围；（2）求的最小值.20.已知函数R m m x f x x ∈-⋅=,46)(.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.21.已知定义在上函数对任意正数都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当时，，且. （1）求的值；（2）解关于的不等式.22.设和是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点，其中 .（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值(注:是自然对数的底数).参考答案一、选择题二、解答题13. 14. 15. 16.三、解答题19.(1)因为函数在处取到最大值,则,可得且232,232-≤+-∴-≤-a c a a b ，解得 （2）()()ac c a ac c a a c a a ac c a +=+=-+-+22222因为，所以（2）因为对任意的，恒成立，则 整理得：x x x x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≤32132694对任意的，，所以232132≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则22.(Ⅰ)解:函数的定义域为,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=. 依题意,方程有两个不等的正根, (其中).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 . 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故的取值范围是(Ⅱ)解当时,.若设,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++. 于是有 111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥ 222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数 (其中),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<. 所以在上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+. 故得最大值为。
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哈三中2014－2015学年度高三第一次测试数学（理科）试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的有①集合}2,1{=A ，集合}4|{的因数是x x B =，A 与B 是同一个集合；②集合}32|{2-=x y y 与集合}32|),{(2-=x y y x 是同一个集合；③由1，23，46，|21|-，5.0这些数组成的集合有5个元素； ④集合},0|),{(R y x xy y x ∈≤、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数()292--=x x x f 的定义域是 A ．[]3,3- B ．()3,3- C ．()()3,22,3⋃- D ．[)(]3,22,3⋃-3.函数x y 525-=的值域是A ．[0,)+∞B ．[]5,0C ．[)5,0D ．()5,04.函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线x y =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集U R =，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合{}|12x x -<< 可以表示为A ． F EB ． ()F EC U C ．()()F C E C U UD ．()FE C U7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>8.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是A ．B ．C ．D ． 9.已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为A ．6B ．12C ．24D ．3610.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为 A ．1 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11.若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x (e 是自然对数的底数)，则)2(ln f 的值等于A ．1B ．2C ． 3D ．412.已知关于x 的不等式)(3202R m m x x ∈≤+-≤有且只有一个实数解，函数()f x tx =，2()22()1g x tx m t x =--+，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实 数t 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,2)C ．(2,8)D ．(0,8)第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()x x x f 42-=，那么当0<x 时，=)(x f .14. 已知函数()x f 在()+∞∞-,上单调递减，且()02=f ，若()01>-x f ，则x 的取值范围 .15.若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2l o g )(=，则=)215(f . 16.已知()x f 为奇函数，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2+-=；当()+∞∈,2x 时，42)(-=x x f ，若关于x 的不等式)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U =B ,021⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+x x x 求集合)(,B C A B A U .18.已知函数)1(11lg)(≠++=a ax x x f 是奇函数， （1）求a 的值；（2）若()1,1,212)()(-∈++=x x f x g x ，求)21()21(-+g g 的值.19.已知二次函数[]1,2),0()(2--∈>++=x a c bx ax x f ，且函数)(x f 在1-=x 处取到最大值0，（1）求ac 的取值范围； （2）求222a ab ac b --的最小值.20.已知函数R m m x f x x ∈-⋅=,46)(.（1）当154=m 时，求满足)()1(x f x f >+的实数x 的范围； （2）若x x f 9)(≤对任意的R x ∈恒成立，求实数m 的范围.21.已知定义在()+∞,0上函数)(x f 对任意正数n m ,都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当4>x 时，23)(>x f ，且0)21(=f . （1）求)2(f 的值；（2）解关于x 的不等式2)3()(>++x f x f .22.设m x =和n x =是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点，其中 R a n m ∈<,.（1）求)()(n f m f +的取值范围；（2）若21-+≥e e a ，求)()(mf n f -的最大值(注:e 是自然对数的底数).哈尔滨市第三中学2014－2015学年度高三第一次验收考试数学答案（理科）一、选择题A D C DB B A DC C C D二、解答题13.x x 42+ 14. ()3,∞- 15.1- 16.()()+∞-,00,2 三、解答题17.(]()U B C A B A U =+∞-∞-=)(,,21, .18．(1)因为)(x f 为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有0)()(=+-x f x f 即1,011lg 11lg 11lg 222±==--=+++--a x a x ax x ax x ，由条件知1≠a ，所以1-=a (2)因为)(x f 为奇函数，所以0)21()21(=+-f f 令x x h 212)(+=，则22111212)21()21(=+++=-+h h 所以2)21()21(=-+g g 19.(1)因为函数)(x f 在1-=x 处取到最大值0,则0)1(=+-=-c b a f ,可得c a b +=且232,232-≤+-∴-≤-a c a ab ，解得2≥ac （2）=--222a ab ac b ()()ac c a ac c a a c a a ac c a +=+=-+-+22222因为2≥a c ，所以25222≥--a ab ac b 20.（1）当154=m 时，)()1(x f x f >+ 则x x x x 461544615411-⋅>-⋅++，整理得x x 43634⋅>⋅ 即22323⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，解得2>x （2）因为对任意的R x ∈，x x f 9)(≤恒成立，则xx x m 946≤-⋅ 整理得：x x x x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≤32132694对任意的R x ∈，032>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，所以232132≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则2≤m21.（1）21)1()1()1(-+=f f f ，所以21)1(=f 21)21()2()212(-+=⨯f f f 解得1)2(=f （2）任取()+∞∈,0,21x x ，且21,x x ，则1)41()4(21)414(21)()()(12121212-+=-⋅=-=-f x x f x x f x x f x f x f 因为2121)21()21()41(-=-+=f f f ，且4412>x x 时23)(>x f 所以012123)()(12>-->-x f x f 所以)(x f 在()+∞,0上是增函数 因为2321)2()2()4(=-+=f f f 所以221)3()3()(2>++=++x x f x f x f 即)4(23)3(2f x x f =>+ 所以⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>430302x x x x ，解得()+∞∈,1x 22.(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=. 依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故 2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a m n +=+=. 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解当2a ≥-时, 21(2)2a e e +≥++.若设(1)n t t m =>,则 222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++. 于是有 111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥ 222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t=--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+. 故得最大值为1122e e -+。