小升初数学试卷及答案：数论之带余除法
小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
小升初名校招生真题数学(一)有余数的除法
除法叫做有余数的除法。
被除数=商× 除数+余数
题1
若 a b 84，且 a、b 都是非0的自然数，那么a 最小是_44__。
分析：a 8b 4, a要取最小，也就是 b要最小，b最小为多少呢？
是__1_00___。
解法1：1900÷600=3…100
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数，商不变， 但余数也对应扩大或缩小 相同的倍数
解法2：1×100=100
题5 • 在有余数的除法算式中，24÷（
有___2__种答案。
）=（
）…3，商可以
分析：除数>余数>3，24-3=21，21=1×21=3×7， 所以除数=21或7
除数最小为余数加1
解：b 4 1 5 a 58 4 44
题2
• 一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最 大数是_4_7_9 __。
分析：被3除少1，被除数=3的倍数-1；
温馨提示
被a除少1， 被除数=a的倍数-1
被4除少1，被除数=4的倍数-1； 被5除少1，被除数=5的倍数-1； 被3除少1，被4除少1， 被5除少1，被除数=3、4、5的公倍数-1； 3、4、5的最小公倍数为60，500以内60的最大倍数为480，
480-1=479。
题3 • 一个数被8除，余数是7，该数的3倍被8除时，余数是_5____。
解法1：设商为1，被除数=8×1+7=15，15×3÷8=5…5
被除数扩大若干倍后再除 以除数，余数等于原来余 数扩大与被除数同样的倍 数除以除数的余数。
解法2：7×3÷8=2…5
有余数的除法(教师)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。
【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。
【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。
【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
六年级数学小升初专题训练-第3节-数论拓展人教新课标含答案
第3节：数论拓展模块一：数位问题我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
.这样，数字0〜9可以组成.无穷无尽、千变万化的数。
数字的数值、数位的变化，决定不同的数同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同.也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。
根据以上原则，我们可以将数写成另一种形式，例如：926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100＋2×10＋6×1。
11.3表示1个十，1个一，3个0.1，即11.3=1×10＋1×1＋3×0.1。
有时，我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示a个百，b个十，c个一。
其中，a可以是1〜9中的数字，不能是0；b和c是0〜9中的数字。
【例1】有一个小数，先把它的小数点向左移动2004位后，再向右移动2005位，结果是40.3，原来的小数是。
【例2】小李在某个三位数的最左边添上了一个数字1，得到一个新的四位数，且这个数是原数的9倍，那么原来的三位数是。
【例3】一个三位数，三个数位上的数字和为16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（）A.4B.5C.61.有这样的一类三位数:个位和百位上的数字交换后仍然是这个数，这样的三位数共有（）个。
A.10B.9C.902．—个两位数，它个位上的数字是m ，十位上的数字是n ，用含有字母的式子表示这个两位数是（ ）A ．mnB ．10m n +C ．10n m +3.一个数的小数点向右移动一位后比原来的数大25.2，原数是 。
4.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ）。
A.54B.27C.72D.455．—个自然数各个数位上的数之和是16，而且各数位上的数字都不相同。
六年级下册数学试题-小升初考点点拨：数论(含答案)全国通用
数论知识点拨主要包括了数的整除、质数合数、约数倍数、余数和数位进制、最大公因数和最小公倍数，以及平均数的计算等问题。
例题精讲【例题1】A= 2×3×7，B=【答案】A = 2×3×7，B = 2×5×7 A 和 B 公有的质因数是 2 和 7，A 独有的质因数是 3，B 独有的质因数是 5，那么 A 和 B 的最大公因数是：2×7=14， A 和 B 的最小公倍数是：2×7×3×5=210 故答案为：14,210 【例题 2】A 、B 、C 三个互相咬合的齿轮，若 A 轮转 3 圈、B 轮转 7 圈、C 轮转 2 圈，那么这三个齿轮的齿数最少是 A 轮（ ）齿，B 轮 （ ）齿，C 轮（ ）齿。
【答案】3、7、2 三个数两两互质，它们的最小公倍数是它们的乘积： 3×7×2=42， 即三个齿轮转过的总齿数是 42， A 为：42÷3=14（齿）； B ：42÷7=6（齿）；C：42÷2=21（齿）；故答案为：14，6，21．【例题3】a=2×3×m，b=3×5×m（m 是自然数且≠0），如果a 和b 的最大公约数是21，则m 是（），此时a 和b 的最小公倍数是（）。
【答案】a=2×3×m，b=3×5×m，a 和b 的最大公约数是21=3×7=3×m，所以m=7；a 和b 的最小公倍数是2×3×5×7=210 故答案为：7；210【例题4】一个两位数除以5 余3，除以7 余5，这个两位数最大是（）（A）72 （B）37 （C）68 （D）33【答案】首先找出5 的倍数5,10,15,20,25,30…尾数都是0 或5 的整数, 而这个数应该是:8,13,18,23,28,33…尾数都是3 或8 的整数; 满足情况的只有答案C 或D,而7×9+5=68 满足题意. 故:答案选择C举一反三【变式 1】如果 A=60，B=42，那么 A、B 的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
小升初真题之数论篇(含答案)
小升初真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初小学数学应用题基础练习《有余数的除法》答案详解
《有余数的除法》1．（2019秋•灵武市期末）一双足球鞋388元，奇思每月攒120元，至少攒( )个月才能买上．A ．3B ．4C ．5【解答】解：3881203÷=（个)28⋯⋯（元）314+=（个）答：至少攒4个月才能买上．故选：B ．2．（2019秋•兴国县期末）每个纸盒可以装2.5千克的苹果，小明要把25.5千克的苹果装在这样的纸盒里，至少需要( )个这样的纸盒．A ．10B ．11C ．12【解答】解：25.5 2.510÷=（个)0.5⋯⋯（千克）10111+=（个）答：至少需要11个这样的纸盒．故选：B ．3．（2019秋•合肥期末）妈妈把2升牛奶倒入几个同样的杯子里，每个杯子的容积是300毫升，全部倒完至少需要( )个杯子．A ．5B ．6C ．7【解答】解：22000L ml =20003006÷=（个)200⋯⋯（毫升）617+=（个） 答：至少需要7个这样的杯子．故选：C ．4．（2019秋•丰台区期末）王大爷的菜园收获了242个水果罗卜，如果每箱装6个，准备38个纸箱够吗？我的判断是( )A ．够B ．可能够C ．不够【解答】解：242640÷=（个)2⋯⋯（个）40141+=（个）因为3841<，所以准备38个纸箱不够．故选：C ．5．（2019秋•迎江区期末）18名同学乘车去科技馆游玩，至少需要( )A ．4B ．5C ．6【解答】解：1844÷=（辆)2⋯（名）415+=（辆）答：至少需要租5辆车．故选：B ．6．（2018秋•抚宁区期末）一辆汽车最高载重量是3.5吨，有15吨的货物需要用汽车运走，至少运() A ．3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次【解答】解：15 3.55÷≈（次）答：至少运5次．故选：C ．7．（2018秋•邓州市期末）一本词典需39元，王老师带376元钱，最多能买( )本这样的词典．A ．9本B ．10本C ．8本【解答】解：376399÷=（本)25⋯（元）．答：王老师带376元钱，最多能买9本这样的词典．故选：A ．8．（2019秋•西城区期末）用10元钱买1.8元一块的橡皮，最多可以买 块．【解答】解：10 1.85÷≈（块）答：她最多能买5块．故答案为：5．9．（2019秋•东城区期末）同学们用长度为3.8米的竹竿为老年人制作长度为0.9米的拐杖，最多能够做出 根这样的拐杖．【解答】解：3.80.94÷≈（根）答：最多可以做出4根．故答案为：4．10．（2019秋•卫东区期末）果园里共收果子4.6吨，每箱中最多装入15千克，这些果子能装满 箱；如果用一辆载重量1.9吨的小货车来运，至少 次才能运走．.306A .307B .2C .3D【解答】解：（1）4.6吨4600=千克460015306÷=（箱)10⋯⋯（千克）答：能装满306箱．（2）4.6 1.92÷=（次)0.8⋯⋯（千克）213+=（次）答：需要3次才能运走．故选：A ，D ．11．（2019秋•闵行区期末）做一个蛋糕需要面粉80克．一袋1.25千克面粉最多可以做 个这样的蛋糕，还剩 克面粉．【解答】解：1.25千克1250=克12508015÷=（个)50⋯⋯（克）答：一袋1.25千克面粉最多可以做 15个这样的蛋糕，还剩 50克面粉．故答案为：15，50．12．（2019秋•红安县期末）礼品店用丝带包装礼品盒，每个用1.2米，用23.4米的丝带最多可以包装 个这样的礼品盒．【解答】解：23.4 1.219÷=（个)0.6⋯（米）答：最多可以包装19个这样的礼品盒．故答案为：19．13．（2018秋•卢龙县期末）果农们要将690千克的苹果装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下20千克苹果，需要 个纸箱．【解答】解：6902034÷=（个)10⋯（千克）因剩下的10千克也需要1个纸箱所以共需纸箱34135+=（个）答：至少需要35个纸箱．故答案为：35．14．（2018秋•海陵区校级期末）组装一辆玩具汽车用4个轮子，45个轮子最多可以组装 辆玩具汽车，还剩 个轮子，再添上 个轮子又可以装1辆车．【解答】解：45411÷=（辆)1⋯（个）413-=（个）答：45个轮子最多可以组装11辆玩具汽车，还剩1个轮子，再添上3个轮子又可以装1辆车．故答案为：11，1，3．15．（2019秋•鹿邑县期末）一种练习本每本1.4元，小明有10元钱，他最多可以买7本这种练习本． （判断对错）【解答】解：10 1.47÷=（本)0.2⋯（元）答：他最多可以买7本这种练习本．原题说法正确．故答案为：√．16．（2018秋•兴义市期末）每个水桶最多装水4.5kg ，要装完65kg 水，至少需要15个这样的水桶． （判断对错）【解答】解：65 4.514÷=（个)2⋯⋯（千克）14115+=（个）答：至少需要15个水桶．故原题说法正确；故答案为：√．17．（2019秋•镇原县期末）张阿姨到批发市场买毛巾，每条毛巾2.8元，用80元最多可以买这种毛巾28条． （判断对错）【解答】解：80 2.828÷≈（条）答：用80元最多可以买这种毛巾28条，原题说法正确．故答案为：√．18．（2019秋•辉南县期中）每套礼服用布2.4m ，现有80m 布最多可以做33套这样的礼服． （判断对错）【解答】解：80 2.433÷≈（套）答：现有80m 布最多可以做33套这样的礼服，原题说法正确．故答案为：√．19．（2018秋•蔚县期末）买196元的台灯，每月存19元，至少要存10个月才够． （判断对错）【解答】解：1961910÷=（个)6⋯⋯（元)10111+=（个）至少需要11个月．故原题说法错误；故答案为：⨯．20．（2018秋•阳江期末）某校三年级50个同学去春游，每条船最多坐8人，至少要租7条船． （判断对错）【解答】解：5086÷=（条)2⋯（人）余下的2人还需要1条船617+=（条）答：至少需要7条船．故答案为：√．21．（2015秋•薛城区期末）一匹布40米，做一套服装用布2.7米，这批布最多可以做16套这样的服装． ．（判断对错）【解答】解：40 2.714÷=（套) 2.2⋯（米）答：这些布最多可以做14套这样的服装．故答案为：⨯．22．（2015秋•纳雍县月考）一堆石子60吨，一辆卡车最多能装4.5吨，运完这堆石子需要13趟． （判断对错）【解答】解：60 4.513÷=（趟) 1.5⋯（吨）13114+=（趟）答：运完这堆石子需要14趟．故答案为：⨯．23．（2014秋•南昌县期末）一种玩具汽车94元，王阿姨有360元钱．她可以买4辆这样的玩具汽车． ．（判断对错）【解答】解：360943÷=（辆)78⋯（元）答：她可以买3辆这样的玩具汽车．故答案为：⨯．24．（2019秋•兴国县期末）周老师准备80元买一些文具作为优秀学生的奖品．他先买了8本相册，再用剩下的钱买一些笔，周老师最多能买回几支笔？【解答】解：(80 2.58) 5.7-⨯÷(8020) 5.7=-÷60 5.7=÷10=（支)3⋯（元）答：周老师最多可以买10支钢笔．25．（2019秋•雨花区期末）工厂生产了106个零件，每8个零件装一箱，可以装满几箱？还剩几个？【解答】解：106813÷=（箱)2⋯（个）答：可以装满13箱，还余2个．26．（2019秋•灵武市期末）郝家桥小学进行篮球比赛，男女生各一队，每队有14人，现有120瓶矿泉水，每个队员可以分到多少瓶？还剩几瓶？【解答】解：14228⨯=（人）120284÷=（瓶)8⋯（瓶)答：每个队员可以分到4瓶，还剩8瓶．27．（2019秋•芙蓉区期末）全校师生去旅游，一共有430个人，每辆车限载客35人，需要准备几辆车？【解答】解：4303512÷=（辆)10⋯（人）12113+=（辆）答：需要准备13辆车．28．（2019秋•闵行区期中）小丁丁用10元钱买2.4元一块的橡皮，他最多可以买几块？还剩多少元？【解答】解：10 2.44÷=（块)0.4⋯（元）答：最多可以买4块，还剩0.4元．29．（2018秋•秀山县期末）某超市开展促销活动，某品牌毛巾11元一条，每买3条送1条．张阿姨带了132元，最多能买多少条毛巾？【解答】解：1321112÷=（条）因为为每买3条送1条，所以买12条送4条12416+=（条）答：最多能买16条毛巾．30．（2018秋•长阳县校级期末）实验小学三年级350名师生乘坐大巴出去游每辆大巴可乘坐40人，需要租用几辆这样的大巴，每辆大巴租金550元，一共要付租金多少元？【解答】解：350408÷=（辆)30⋯（人）余下的30人还需要1辆车819+=（辆）95504050⨯=（元）答：需要租8辆这样的大巴，需要付租金4050元．31．（2019秋•洛阳期中）面包店做了86块月饼，每盒装8块，这些月饼能装多少盒，还剩多少块？【解答】解：86810÷=（盒)6⋯（块）答：能装10盒，还剩6块．32．（2019秋•绿园区期末）张老师带450元去买篮球，每个篮球27元，能买几个篮球？还剩多少元？【解答】解：4502716÷=（个)18⋯（元）答：能买16个篮球，还剩18元．33．（2019•衡阳模拟）王老师带了500元去体育商店买足球，每个足球的售价是61元，王老师最多可以买几个足球，还剩下多少元？【解答】解：500618÷=（个)12⋯（元）答：最多可以买8个足球，还剩12元．34．（2019春•武侯区月考）食堂要运回142袋大米，一次最多运8袋，至少要运多少次才能运完？【解答】解：142817÷=（次)6⋯（袋）6袋也需要运一次，所以至少运17118+=（次）答：至少要运18次才能运完．35．（2018秋•抚宁区期中）一个工地的施工处有37.2吨黄沙需要运走，一辆小卡车一次最多能运走3.8吨．那么至少需要几次才能全部运完？【解答】解：37.2 3.810÷≈（次）答：至少运10次才能全部运完．36．（2019秋•丹江口市期末）美心蛋糕房特制一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉．李师傅领了4千克面粉做蛋糕，他最多可以做几个生日蛋糕？【解答】解：40.3212÷≈（个）答：他最多可以做12个生日蛋糕．37．（2017•广陵区）方方做了97朵花，每4朵扎成一束，可以扎成几束？还剩几朵？【解答】解：97424÷=（束)1⋯（朵），答：可以扎成24束，还剩下1朵．38．（2016秋•天津期末）卡车的载质量是4.5吨，现在有95吨煤，需要几车才能运完？【解答】解：95 4.522÷≈（车）答：需要22车才能运完．39．（2016秋•仙桃期末）希望小学有370人去旅游，每辆汽车最多坐30人，需要几辆这样的汽车？【解答】解：3703012÷=（辆)10⋯（人），12113+=（辆）；答：需要13辆这样的汽车．。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
小升初精选习题：余数问题能力达标卷及答案
小升初精选习题：余数问题能力达标卷及答案☆基础题1、有一筐苹果2个2个的数余一个，5个5个的数余一个，7个7个的数余一个。
问这筐苹果最少有多少个？2、召开学生座谈会，每组5人则多1人，每组6人则多2人，每组7人则多3人，至少有多少人？3、某数除以7余2，除以9余3，求：（1）满足条件的最小数是多少？（2）200以内满足条件的所以数分别是多少？4、如果某数除482、992、1094都余74，这个数最大是多少？☆☆提高题1、360360360除以99的余数是多少？2、计算249×388×234除以19，余数是几？3、49015×81364—83778＋10除以9的余数是多少？4、一个自然数被7、8、9除的余数分别是1、2、3，并且三个商的和是570，求这个自然数。
5、一筐苹果，三三数之余一，四四数之余三，五五数之不足一，这筐苹果最少有几个？6、一个三位数除以4余1，除以7余3，这个三位数最小是多少？7、有一个数除以3余1，除以4余2，这个数除以12，余数是多少？☆☆☆竞赛题1、4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为103，135，163，128．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？2、一个数除551、745、1133、1327这四个数，余数都相同，问：这个数最大可能是多少？2、1425除以11的余数是多少？余数问题能力达标卷答案解析☆基础题1、答案：71个解析：根据题意知这筐苹果的总个数是2、5、7的公倍数＋1，[2，5，7]＝7070＋1＝71（个）答：这筐苹果最少有71个。
2、答案：196人解析：此题的条件可以转化为：每组5人则少4人，每组6人则少4人，每组7人则少4人，参加座谈会的人数是5、6、7的公倍数—4，[5，6，7]＝210210—4＝196（人）答：参加座谈会的人数至少196人。
3、答案：（1）30；（2）3个解析：（1）先考虑除以9余3的最小的数是：9×1＋3＝12，依次加9的倍数直到找到符合条件除以7余2为止，12＋9＝21,21÷7＝7，21＋9＝30，30÷7＝4……2，所以满足条件的最小数是30。
人教版小学数学小升初思维拓展(知识梳理+典题精讲+专项训练)专题8-带余除法
专题8-带余除法小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有()个．A．13B．19C．61D．121【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是23212⨯⨯=，⨯+=，13不满足5个5个地数却少4个；121113⨯+=，25不满足5个5个的数却少4个；122125⨯+=，37不满足5个5个的数却少4个；123137⨯+=，49不满足5个5个的数却少4个；124149⨯+=，61满足5个5个的数却少4个．125161答：这堆苹果最少有61个．故选：C．【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．【典例二】某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是班．班级四（1）四（2）四（3）四（4）五（1）五（2）五（3）五（4）六（1）六（2）六（3）人数5554575554515453515248【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数.11个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．【解答】解：5554575554515453515248584++++++++++=人，58431942÷=⋯，各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．故答案为：五（4）．【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．【典例三】桌子上有七个纸盒，分别装有3，4，5，6，8，9，15千克糖，小明和小丽共拿走了六个纸盒，已知小明拿走糖的重量是小丽的3倍．剩下的一个纸盒有多少千克糖？【分析】根据题意，小明拿走糖的重量是小丽的3倍，那么小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，我们可以先从这一组数字(34568915)4122++++++÷=⋯，去掉一个除以4余2的数即可，只有6符合题意，由此列式解答即可．【解答】解：7个纸盒共重：3456891550++++++=（千克），50(31)12÷+=（千克）2⋯（千克），只有6除以4余2，所以剩下一个纸盒是6千克．答：剩下的一个纸盒有6千克．【点评】解答此题的关键是分析出小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，然后再将7个数相加除以4，结果有余数，就找那个除以4是与余数相同的，也就是剩下的一个纸盒．一．选择题（共3小题）1．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是()A．3B．6C．2D．12．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为()A．9B．7C．6D．23．所有被4除余1的两位数的和为()A．1200B．1208C．1210D．1224E．1229二．填空题（共13小题）4．一个整数除以8余7，除以12余11，那么这样的数中，最小的一个是，在小于1000的数中，这样的整数有个．5．一个数除以2余1，它的商除以5余4，再用得到的商除以6余1，那么原来这个数除以60余．6．把1~2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数1234567892005⋯⋯，这个多位数除以9的余数是。
小升初真题之数论篇（含答案）
小升初真题之数论篇（含答案）小升初真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
【精品】小升初数学难点真题解析-数论全国通用
数论难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．9787682．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是．3．（2014•长沙县）一个四位数11既能被25整除，又能被9整除．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．1216．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．12297．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是页．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．2113．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．1614．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求=．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了次．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．．（判断对错）20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有个因数．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（）A． 3 B． 4 C． 5 D．622．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．2123．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是．25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．难点七、数字和问题28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？难点八、整除性质31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（）份，每份是米．A．18 B．54 C． 632．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数．．（判断对错）难点九、奇偶性问题33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使x﹣1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（）A．p，q都是偶数B．p，q都是奇数C．p是奇数，q是偶数D．p是偶数，q是奇数34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是色．35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是（填奇数或偶数）．36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．难点十、质数与合数问题37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是．38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？难点十一、公约数与公倍数问题40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生人，女生人．41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书本．（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费元．（用含有x的式子表示）42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔米又有一盏不必移动．43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长厘米，一共能截成段．44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买来个苹果．45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？难点十二、整数的裂项与拆分46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是．47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是排．难点十三、数的整除特征48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．难点十四、二元一次方程组的求解49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？难点十五、等量关系与方程52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．参考答案与试题解析难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．978768考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．解答：解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故A正确；B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故B错误；C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故C错误．故选：A．点评：掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是285714．考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四捨五入）得1998，再将1998乘143，得出答案．解答：解：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．故答案为：285714．点评：此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．3．（2014•长沙县）一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求出9、25的最小公倍数是：9×25=225；然后求出是225的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．解答：解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，9、25的最小公倍数是：9×25=225，因为225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，故答案为：25．点评：此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是225的倍数．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答．解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，可得26≤m≤53，因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7，在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数，19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，所以m=37或52，所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，经检验正好满足题意，答：所求的四位数是1409或1979．点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．121考点：带余除法．专题：余数问题．分析：2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．解答：解：所以2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2=12，12×1+1=13，13不满足5个5个地数却少4个；12×2+1=25，25不满足5个5个的数却少4个；12×3+1=37，37不满足5个5个的数却少4个；12×4+1=49，49不满足5个5个的数却少4个；12×5+1=61，61满足5个5个的数却少4个．答：这堆苹果最少有61个．故选：C．点评：此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．1229考点：带余除法；等差数列．专题：数的整除．分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解答：解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是52．考点：带余除法．分析：由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．解答：解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105﹣1）÷2=52，答：这个自然数最小是52．故答案为：52．点评：此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是324页．考点：带余除法．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解答：解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是23或46．考点：带余除法．专题：数的整除．分析：根据题意，可设除数是A，商是B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到AB+21=251，然后再将AB的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．解答：解：设除数是A，商是B，AB+21=251，AB=230，230=2×5×23，因为余数小于除数，所以这个两位数的除数可能为：23或2×23=46；即这个两位数的除数可能为：23或46；故答案为：23或46．点评：此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=商×除数+余数；3、分解质因数．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是6a+5．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．解答：解：依题意可知，这个数是a×6+5=6a+5．故答案为：6a+5．点评：考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商 2 余17，得甲数=2x+17．又根据乙数的10 倍除以甲数商3余45得10x=3（2x+17）+45，列出方程并解方程，即可得解．解答：解：设乙数为x，则甲数为2x+1710x=3（2x+17）+4510x=6x+51+454x=96x=242x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．点评：灵活应用余数的性质“被除数=除数×商+余数”来解决实际问题．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．21考点：数字问题．专题：整数的分解与分拆．分析：分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．解答：解：个位上是数字7的有：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；十位上有7的数字有：70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；其中77重复，所以一共有：10+10﹣1=19（个）答：号码布上有数字7的运动员有19名．故选：A．点评：解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．16考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．解答：解：1、2、3、4、5、…、n的和为，当n=16时，==136＜149当n=17时，==153＞149，因为多加了一个数，所以n=16，多加的数就是：149﹣136=13．故选：A．点评：本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求=2856．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：一个四位数扩大到3倍后，变成了，通过分析，设abc是x，则3（2000+x）=10x+8，据此解答即可．解答：解：设abc是x，则有3（2000+x）=10x+86000+3x=10x+85992=7xx=856所以这个四位数是2856．故答案为：2856．点评：找出题目突破口：设abc是x，找出等量关系式3（2000+x）=10x+8是解题的关键．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：此题应通过分类来解决：当百位为2时；当十位为2时；当个位为2，其他各数位各有几种情况，进而解决问题．解答：解：由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有10×10=100种；当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有4×10=40种；当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有4×10=40种；所以共有100+40+40=180次．答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．故答案为：180．点评：本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，五个连续自然数的和是：（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4），然后根据题意列方程解答即可．解答：解：设中间为x，前面的数为：x﹣2，x﹣4，后面的数为：x+2，x+4，x﹣[（x﹣4）+（x+4）]×=18x﹣x=18x=36x=36（x﹣2）+（x﹣4）+x+（x+2）+（x+4）=5x=36×5=180答：这五个偶数的和是180．点评：根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键．难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90考点：同余定理．专题：余数问题．分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．解答：解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3=29…1；98÷3=32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．解答：解：105=3×5×7，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，答：它的约数共有8个．故选：C．点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．×．（判断对错）考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可．解答：解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：×．点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有6个因数．考点：约数个数与约数和定理．专题：压轴题．分析：因为N最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和=4，则组成加法算式的另一个因数是4﹣1=3；这说明N是3的整倍数．196=N+另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除N外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出N+=196，求出N的值即可解决问题．解答：解：因为N最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：4﹣1=3，由此可知：N是3的倍数，因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，所以：N+=196，N=196，N=147，147=3×7×7，所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．故答案为：6．点评：根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（）A． 3 B． 4 C． 5 D．6考点：位值原则．专题：整数的认识．分析：设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）=27，进而得出x﹣y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．解答：解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得：（10x+y）﹣（10y+x）=2710x+y﹣10y﹣x=279x﹣9y=27x﹣y=3，则x﹣3=y，y+3=x，因为x、y为小于10的正整数，所以x=9，8，7，6，5，4；对应的y=6，5，4，3，2，1所以10x+y=96，85，74，63，52，41共有6个．答：满足条件的两位数共有6个．故选：D．点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．21考点：位值原则．专题：压轴题；综合填空题．分析：设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，原来的数是：x×10+x=x，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是x，个位上数字是x，交换位置后这个数是：10x+x，然后根据新数﹣原数=18列方程解答．解答：解：设原来数字个位上的数是x，那么十位上数字是x，则：（10x+x）﹣（x×10+x）=18，x﹣x=18，3x=18，x=6，十位是：6×=4，则原来这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；故选：B．点评：根据十位上的数字是个位上数字的，设原来数字个位上的数是x，用未知数表示出十位上的数，进而表示出这个数是解答本题的关键．23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原来的两位数是85．考点：位值原则．专题：探索数的规律．分析：设这个两位数是x，这两个三位数的差是666，可知较大的三位数大于666，因此将1放在该两位数后面得到的三位数较大．则有（10x+1）﹣（100+x）=666，解方程即可．解答：解：设原来的两位数是x，由题意得：（10x+1）﹣（100+x）=666，9x=765，x=85．答：原来的两位数是85．故答案为：85．点评：此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母来表示数字，通过列出等式来解决．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数是14、25、36、47、58、69．考点：位值原则．专题：传统应用题专题．分析：此题可以设原数为AB，新数则为BA，A、B≥1，根据题意，得：BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=127；推得B﹣A=3．即原来个位比十位大2的数均符合题意，据此即可推出答案．解答：解：设原数为AB，新数为BA，A、B≥1，有BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=27；推得B﹣A=3．即原来个位比十位大3的数均符合题意，有：14、25、36、47、58、69 这6个．故答案为：14、25、36、47、58、69．点评：此题解答的关键是由后来的两位数，推出：个位数字﹣十位数字=27÷9=3．。
小升初数学专项解析+习题-数论篇(附答案).doc
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】小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
人教版六年级下册数学试题小升初专项练习题：数论(解析版)
小升初专项练习题数论1.【★★★★】求下式约简后的分母：2.【★★★★】任意一个自然数,当为奇数时，加上；当为偶数的时候，除以。
算一次操作。
现在对于连续进行这种操作，在操作过程中是否能出现？为什么？3.【★★★★】肖红家的电话号码是个七位数。
将前4位组成的数与后三位组成的数相加，得到7088；将前三位组成的数与后四位组成的数相加，得到1922。
肖红家的电话号码是______。
4.【★★★★】已知两个自然数，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于，而这两个数的最小公倍数是，则这两个数分别是_______、_______。
5.【★★★★】年月日是小红的岁生日。
爸爸在的前边和后边各添了一个数字，组成了一个六位数。
这个六位数正好能同时被她的年龄数、出生月份数和日期数整除。
求这个六位数。
1234569010026262626⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n 121n 2572100189752004621120046.【★★★★】在至之间，有三个连续自然数，其中。
最小的能被整除，中间的能被整除，最大的能被整除，那么，这样的三个连续自然数是 。
7.【★★★★】先任意指定个整数，然后将它们按任意顺序填入方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。
最后，将所有同一列的两个数之和相乘。
那么，积是 数。
(填奇或偶)。
8.【★★★★】将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。
已知这两个三位数的乘积等于，那么，这两个三位数的和等于 。
9.【★★★★】余 。
10.【★★★★】(85)N 是(7)N 的11倍，则(338)N ＝____________。
200300357727⨯52605199677777741⋅⋅⋅÷个小升初专项练习题数论1.【★★★★】求下式约简后的分母：【分析】分子有个相乘，有个相乘，分母有个相乘，个相乘，约简完分母为。
2.【★★★★】任意一个自然数,当为奇数时，加上；当为偶数的时候，除以。
小升初数论知识点余数问题练习及答案
小升初数论知识点余数问题练习及答案小升初数论知识点余数问题练习及答案1.数11…1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007÷6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461×135×6047÷11(2)2123÷6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4……):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4……因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的'两位数.分析:1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .7.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.。
小升初数学试卷：数论之带余除法
小升初数学试卷：数论之带余除法一、求被除数1.同余加余，同差减差例 1.某数被 7 除余 6，被 5 除余 3，被 3 除余 3，求此数最小是多少？解：因“被 5 除余 3，被 3 除余 3”中余数同样，即都是 3(同余)，因此要先求足 5 和 3 的最小数， [5 、 3]=15 ，15+3=18 ，18÷ 7=2⋯⋯4不余 6， (不 )15×2=30(30+3) ÷ 7=4⋯⋯5不余 6(不 )(15 × 3+3) ÷ 7=6⋯⋯6()因此足条件的最小数是48。
例 2.某数被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 5，个数最小是多少？解：因“被 3 除余 2，被 5 除余 4”中都差 1 便可整除，即同差，因此要先足 5 和 3 的最小数， [5 、3]=15 ，15-1=14，14÷ 7=2⋯⋯0不余 5(不 )(15 ×6-1) ÷ 7=12⋯⋯5因此足条件的最小数是89。
例 3.一个四位数，它被131 除余 112，被 132 除余 98，求第1页/共6页个四位数？解：除数相差132-131=1 ，余数相差 112-98=14，明个四位数中有 14 个 131 余 112。
因此 131×14+112=1946 。
二、求除数1.若 a÷ c=⋯⋯r； b÷ c=⋯⋯ r. c (a-b) 。
例 1.一个数去除 551，745， 1133 3 个数，余数都同样。
个数最大可能是几？解： 745-551=194 ， 1133-745=388。
(194， 388)=194 ，因此个数最大是194。
2.若 a÷ c=⋯⋯ r1；b÷ c=⋯⋯ r2， r1+ r2=d. c (a+b-d)。
例 2.有一个整数，用它分去除157，234 和 324，获得的三个余数之和是100。
小升初数论重点考查内容————余数问题——中国剩余定理
大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你面前有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果你每步跨6级，最后剩下5级；这条电梯最少有______级。
【举一反三】大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你面前有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下1级；如果你每步跨5级，最后剩下1级；如果你每步跨6级，最后剩下1级；这条电梯最少有______级。
有连续的三个自然数a 、a ＋1、a ＋2，它们恰好分别为9、8、7的倍数。
求这三个自然数中最小的数至少是多少？小升初数论重点考查内容（七）余数问题——中国剩余定理三个连续自然数从小到大依次分别为13、15、17的倍数，求三数和最小为______。
一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的最小自然数为______。
一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得三个商的和为758，这个数是______。
【本讲重要内容回顾】拿到一个“物不知数”问题上来3招：1．看是不是“去同余、补同缺”问题；2．看是不是“去同余、补同缺”在跟咱们躲猫猫；3．实在不行，动用中国剩余定理之逐级满足法，找到一个线头，你就找到了整个春天。
在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．★★有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本。
那么这批图书共有( )本。
A．760B．670C．540D．9602．★★★三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是( )。
A．160B．586C．483D．1623．★★★有三个连续的自然数，其中，最小的能被9整除，中间的能被11整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是( )？A．648；649；650B．630；631；632C．639；640；641D．621；622；6234．★★★一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，符合条件的数有( )个。
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小升初数学试卷及答案：数论之带余除法
一、求被除数类
1. 同余加余，同差减差
例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少?
解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，(不对)
15×2=30
(30+3)÷7=4……5不余6(不对)
(15×3+3)÷7=6……6(对)
所以满足条件的最小数是48。
例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少?
解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5(不对)
(15×6-1)÷7=12 (5)
所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数?
解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。
所以131×14+112=1946。
二、求除数类
1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。
问这个数可能是几?
解：745-551=194，1133-745=388。
(194，388)=194，所以这个数是194。
2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。
求这个整数?
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。
100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。
所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知准确答案为41。
三、求余数类
例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数?
解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。
所以，n除以21的余数为12。
例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。
问：这个相同的余数是多少?
解：因为
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然数理应是这两个差的公约数，即38。
又因为
1200÷38=31(余22)
1314÷38=34(余22)。
所以，这个相同的余数是22。
例3.求19901990除以3所得的余数?
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余数为1。
例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少?
解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12(余5)，
11111÷7=1587(余2)。
所以，这个数除以7的余数是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。
那么，这90个数的和除以5的余数是多少?
解：这个列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。
90÷20=4(余10)
这列数中前10个数的余数和为
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(余3)
所以，这90个数的和除以5的余数为3。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少?
2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数?
3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是
多少?
4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员实行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。
那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘?
5. 求21000除以13的余数是多少?
6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1到9的一位数为止(例如：468→18→9)。
问在1到1992这1992个自然数经过上述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多?多几个?
7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几?。