17-成像系统4-光学传递函数

第一项是像强度的直流分量（均值）
第二项中的积分是
h x I
fxf0
而 {hI(x)}= {|h(x)|2}= HC★HC
HC =
第三项积分是[ {hI(x)}]* = [HC★HC]*
Ii xi h ~x2d xm 2ej2f0xiH c★ H cC .C .
传递函数
§3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
实际上我们并不关心像的总强度(包括零频分量在内),而是关心其变 化程度(即携带信息的那部分光强相对于零频分量的比值）所以可 以对以上各个频谱函数,用各自的零频分量进行归一化处理.
令零频处取值为1, 而变化部分(非零频分量)取值即为相对零

对于光瞳函数只有1和0两个值的情况，分母中的P2可以写成P。
上式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数。
§ 3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF: 几何解释
fx,fyP x,yP x P x d ,iy fx d ,y xd d ify y dxdy
l l
(fx,fy)s(fs x0 ,fy) 2ffx cu t 2ffx cu t fcut: 相干截止频率
OTF的截止频率是CTF的两倍
§ 3.6 衍射受限系统的非相干传递函数
3 、衍射受限的OTF
例2: 出瞳是直径为D的圆形孔径
fx,fy 两个错 光开 瞳光 总 s0积 瞳 面 sf的 积 x,fy 重叠面
两个错开光瞳的相对位置, 与指定空频分量相对应.
光瞳为简单函数时,OTF可以直接计 算,复杂情况时要用面积仪或计算机.
#
§ 3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF
例1.出瞳为边长l 的正方形: P(x,y)recxtrecty
是评价像质的定量方法之一。
像的调制度V的定义: V IM Im IM Im
IM : 最大光强 Im : 最小光强
0, 即IM= Im，像面光强无变化; V=
1, 即Im=0，对比度最高, 条纹结构最清晰。 0<V<1
#
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数
调制传递函数（MTF）
例如：光强分布为余弦型 Ix B A c2 o fx x s (B A )
相干成像系统是光场复振幅的线性空不变系统 非相干成像系统是光强度的线性空不变系统
1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）

I ix i,y i kI g ~ x 0 ,~ y 0 h Ix i ~ x 0 ,y i ~ y 0 d ~ x 0 d ~ y 0 k g x I i,y i h Ix i,y i 非相干成像系统是强度变换的线性空不变系统. 物像关系满足卷积积分. 像强度分布是物体上所有的点源产生的像斑按强度叠加的结果

h~ ( xi , yi ) 2
~
2
h ( xi , yi ) dx idy i


自相关定理
Hc(,)Hc( ,)dd

帕色伐定理



Hc
(,
)
2
dd 这一结论对有
光学传递函数等于同一 系统相干传递函数的归 一化自相关函数。
φ φ φ 描述了系统对各频 (fx ,fy ) i(fx ,fy ) g (fx ,fy ) 率分量施加的相移
对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数), OTF是实函数, 故OTF=MTF.
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数
调制传递函数（MTF）
MTF的重要性
调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度
像强度 实 物强度 分布 常 分布 数 (几何像)
强度脉 冲响应
也称为非相干脉冲响应、 强度点扩展函数，是点物 产生的衍射斑的强度分布
光强脉冲响应hI(xi,yi)与复振幅点扩展函数的关系:hIxi,yih~xi,yi2
在相干照明时,复振幅变换 的脉冲响应可写为
h x i,y i;~ x 0 ,~ y 0 h ~ x i ~ x 0 ;y i ~ y 0
其中 m(fx, fy)(即OTF的模) 称为调制传递函数MTF （Modulation Transfer Function）
相应地, f(fx, fy)称为相位传递函数。
m(fx,fy)H HII((f0x,,0fy))
i(fx,fy) g(fx,fy)
描写了系统对各频率分 量对比度的传递特性
非相干成像系统是光强度的线性空不变系统 在非相干照明下物像关系可以表示为（空域）:

I ix i,y i kI g ~ x 0 ,~ y 0 h Ix i ~ x 0 ,y i ~ y 0 d ~ x 0 d ~ y 0 k g x I i,y i h Ix i,y i
沿fx轴计co算s: =difx/D
(fx,fy)s(fsx0 ,fy)2(sin co )s
()2co1s2020
0
1202,其 20它
fx2 fy2
以上两例都可以
看出,OTF的截止
D
频率是相同光瞳
的CTF截止频率
的二倍
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF: OTF的一般性质
1． (0,0)=1 由于 (fx, fy) 是光瞳函数的归一化自相关函数， 定义本身保证了这一性质的成立。
2．| (fx, fy)| ≤ | (0, 0)| 这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重

fx,fy
H H IIf0 x,,0fy

ห้องสมุดไป่ตู้
hIxi,yiexpj2fxxi fyyi

hIxi,yidid xiy
did xiy

这些归一化频谱仍然满足关系式:
i(fx,fy) = g(fx,fy) . (fx,fy)
OTF是比CTF 用得更为广泛的函数,描述非相干成像系统在频域 的效应，已成为光学仪器业评价镜头质量的重要手段.
相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为光__瞳__函__数__的__傅__里__叶变换
相干传递函数记作__C_T__F_, 在反射坐标系下它就等于_光__瞳__函__数__
出 沿出瞳边瞳为长为边方直长向径的aD的截的正止圆方频形形率孔, 其为径相_, _f沿c干_ut_各传__个2_递_a方_d函_i向数的:_截H _c_止_fx_,频_fy_率__r为_e___c__fd _a tc_iu_f_tx___r___2e__D_c_d_d _tia _i_f_y
h I x 1m 2ej2f0xixej2f0xix d
进一步展开 x 积分式:
1 2 3 h I xd x m 2 e j2 f0 x i h I xe j2 f0 x d x m 2 e j2 f0 x i h I (x )e j2 f0 x d
叠面积得出。
3. (fx, fy)有一截止频率。当fx, fy足够大，两光瞳完全分离时， 重叠面积为零。此时 (fx, fy) =0，即在截止频率所规定的范 围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分。
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数
调制传递函数（MTF）
(fx, fy)一般为复函数, 可写为 (fx, fy) = m(fx, fy)exp[jf(fx, fy)]
为了考察衍射受限系统在非相干照明下成像的频率响应特性, 可以对空域关系式作F.T.求像的频谱.(忽略常系数)
Ii(xi,yi) = Ig(xi,yi) * hI(xi,yi)
F.T.
F.T.
F.T.
Ai(fx,fy) = Ag(fx,fy) . HI(fx,fy)
实际像(输出) 强度频谱
理想像(输入) 强度频谱
通过衍射受限的非相干光学成像系统成像，放大率 为1，则
Ii x i I0x i h Ix i 1 + mcos2f0x0 hI(xi) Ii(xi)
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数
调制传递函数（MTF）
Iix i I0 x i h Ix i
展开卷积式:
为中心的两个分布也相干. 应将其干涉 有确定的位相关系。观察到的强度是多
图样求出后,再作模方求强度。
个像点强度的叠加，即非相干叠加。
本节的目的：确定在非相干照明下，某一给定的物强度分布 通过衍射受限系统后，在像平面上形成的像强度分布。
§3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
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衍射受限的相干成像系统
物通过衍射受限系统后的像的复振幅分布是___理__想__像___和
_点__扩__散__函__数_的卷积
H c(fx,fy)P (d ifx,d ify)
VB B A A B B A A2 2B AB A为余弦振幅与均值之比
所以均值为1(B=1) 的余弦型光强变化幅度A就是调制度。
可以证明：
输出像的调制度
MTF 输入像的调制度
设：考虑一维情形, 物上光强分布 I0 x 0 1 m c2 o f0 x s 0
Igxi,yiexpj2fxxifyyi did xiy


Igxi,yidid xiy

§3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
归一化频谱
Ai(fx,fy) = Ag(fx,fy) . HI(fx,fy)
定义: 光强点扩展函数的归一化频谱为光学传递函数 Optical Transfer Function, OTF
§3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
照明光源的相干性问题: 物理图像
相干照明:
非相干照明:
x0 A B
y0
Black Box
xi
x0
A
B B’
yi
A’ y0
xi
Black Box
B’
yi
A’
A, B两点光振动相干, 则引起的以A’, B’ A.B 两点在像面上某点引起的复振幅没
H cH (c, (),★ )H ★ cH (c, (), )0,0
像差的系统和 没有像差的系 统都完全成立
§ 3.6 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF
对于衍射受限系统，已知 ：H cfx ,fy P d ifx ,d ify是光瞳函数
频值的大小， 即获得归一化频谱:

i
fx, fy
AA i if0 x,,0fy

Iixi,yiexpj2fxxi fyyi

Iixi,yidid xiy
did xiy


g
fx,fy AA ggf0 x,,0fy
§3.6 衍射受限系统的非相干传递函数
2、OTF与CTF 的关系
光学传递函数与相干传递函数分别描述同一系统采用非相干和相干 照明时的传递函数，它们都决定于系统本身的物理性质。
(,) H I(,)/H I(0 ,0 ) hI xi , yi
hI (xi , yi )dxidyi
把它代入前式，得到：

P(di,di)P[ (di(fx) ,di(fy)d ]d
fx,fy

P2(di,di)dd

xλdi, yλdi

P(x,y)P(xλdi fx,yλdi fy)dxd
(fx, fy)

PP2((xx,,yy))ddxxddyy