新人教A版高考理科数学一轮总复习单元检测试题四三角函数解三角形A

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人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件第4章三角函数、解三角形解答题专项二三角函数与解三角形

令
1
− 2 cos
2x-
3
sin
4
2
π
+6
π
2x+6
∈
π
2
π
3
2 +
1
-2(cos
+
2x-1)=
3
sin
2
2
1
2x-2cos
2π
)
3
1-cos (2-
2x+1=-
2
1
-2cos
3
sin
4
−
1
cos
2
1
2x+2
1
2x+2
1
2x-4cos
2x+1
+1.
3π
2π, 2
+ 2π ,k∈Z,则 x∈
解答题
专项二
三角函数与解三角形
考情分析:高考对三角函数与解三角形的考查有较强的规律性,三角解答题
与数列解答题交替考查.只考小题的试卷有三道题目,共15分;考解答题时
有一大一小两个题目,共17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与
性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中,小题要么考查三角
π
6
+1,
,
1
≥-2,
结合正弦函数的图象与性质可知
π
−2
1
+1=- sin
2
π
2x-6
∈
7π
5π
− 6 ,− 6
∪
π 5π
−6, 6
,
,
即所求实数 x 的取值集合为 ∣
π
−
2

高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-6Word版含答案

真题操练集训1 ．将函数 y ＝sin 2x － π 图象上的点π， t 向左平移s ( s ＞0) 个单位长度获得点′.3 P 4P若 P ′位于函数 y ＝ sin 2 x 的图象上，则 ( )1π A ．t ＝ 2， s 的最小值为6B ．t ＝ 3 ，s 的最小值为π2 61π C ．t ＝ 2， s 的最小值为 3D ．t ＝ 3 ，s 的最小值为 π2 3答案： Aπππ π分析：因为点 P 4 ， t 在函数 y ＝sin 2x － 3 的图象上，因此 t ＝ sin 2× 4 － 3＝ sinπ16 ＝ 2.又 ′ π－ s ， 1 在函数y ＝ sin 2 x 的图象上，P421π －s ，因此 2＝ sin 2 4则 2 π － s ＝ 2 k π ＋π 或 2 π －s ＝ 2 π ＋5π ， ∈Z ，得 s ＝－ k π ＋ π或 s ＝－ π －π ，4 6 4 666k ∈ Z.π又 s >0，故 s 的最小值为 6 . 应选 A.2．若将函数 y ＝ 2sin2 的图象向左平移 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ()12k π πA ．x ＝ 2 － 6 ( k ∈ Z)k π π B ．x ＝ 2 ＋ 6 ( k ∈ Z) k π π C ．x ＝ 2 －12( k ∈ Z) D ．x ＝ k π2 ＋π ( k ∈ Z)12答案： B分析：函数y ＝ 2sin 2 x 的图象向左平移π12个单位长度，获得的图象对应的函数表达式为y ＝ 2sin 2 π ，x ＋12x ＋ ππ2( k ∈ Z) ，令 2 12 ＝ k π ＋k π π解得 x ＝ 2 ＋ 6 ( k ∈Z) ，k π π因此所求对称轴的方程为x ＝ 2 ＋6 ( k ∈ Z) ，应选 B.3．将函数f ( x ) ＝ sin 2 的图象向右平移π( x ) 的图象．若φ 0<φ < 个单位后获得函数x2g对知足 | f ( x 1) － g ( x 2 )| ＝ 2 的 x 1，x 2，有 | x 1－ x 2 | min ＝π ，则 φ ＝()35π π A. 12B. 3ππC.D.46答案： D分析：因为 ( ) ＝sin 2( x － φ ) ＝ sin(2 x － 2φ) ，因此 | f ( x 1)－ (x 2)| ＝ |sin 2 1－ sin(2x 2g xgx－ 2φ )| ＝ 2. 因为－ 1≤sin 2 x 1≤1，－ 1≤sin(2 x 2－ 2φ ) ≤1，因此 sin 2 x 1 和 sin(2 x 2－ 2φ ) 的值中，一个为 1，另一个为－ 1，不如取 sin 2x ＝ 1， sin(2 x － 2φ ) ＝－ 1，则 2x ＝ 2k π ＋1 2 1 1ππ2，k 1∈ Z, 2x 2－ 2φ ＝ 2k 2π － 2 ，k 2∈ Z, 2x 1－ 2x 2＋ 2φ ＝ 2( k 1－ k 2) π ＋π ，( k 1－ k 2) ∈ Z ，得 | x 1－ x 2| ＝ k 1－ k 2π ＋π－ φ .2ππ π因为 0<φ < 2 ，因此 0< 2 － φ < 2 ，故当 k 1－ k 2＝ 0 时， | x 1－ x 2| min ＝π － φ ＝ π，2 3π则 φ ＝ 6 ，应选 D.4．函数 f ( x ) ＝ cos( ωx ＋ φ ) 的部分图象以下图，则 f ( x ) 的单一递减区间为 ( )13A. k π － 4， k π ＋ 4 ，k ∈ Z13B. 2k π － 4，2k π ＋ 4 ， k ∈ Z13C. k － 4， k ＋4 ， k ∈Z13D. 2k － 4， 2k ＋4 ， k ∈ Z答案： D5 1分析：由图象知，周期 T ＝2× 4－ 4 ＝ 2，2π∴ ω ＝ 2，∴ ω ＝ π .1π π由 π × 4＋ φ＝ 2 ，得 φ ＝ 4 ，π∴f ( x ) ＝ cos π x ＋ 4 .π由 2k π ＜ πx ＋ 4 ＜ 2k π ＋ π ， k ∈ Z ，得2 －1＜ x ＜2 ＋3， k ∈ Z ，k 4 k 4∴f ( x ) 的单一递减区间为1 3， k ∈ Z. 应选 D.2k －， 2k ＋ 445．定义在区间上的函数 y ＝ sin 2 x 的图象与 y ＝ cos x 的图象的交点个数是 ________．答案： 71π3π 5π分析：由 sin 2 x ＝ cos x 可得 cos x ＝ 0 或 sin x ＝ 2，又 x ∈，则 x ＝ 2 ， 2 ，2 或 x＝ π， 5π ， 13π， 17π，故所求交点个数是 7.6 6 6 66．函数y ＝ sin － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ sin x ＋ 3cos x 的图象起码向右平移x________个单位长度获得．2π答案：3分析：函数 y＝sin x－3cos x＝2sin x －π的图象可由函数y＝sin x＋3cos x ＝3π2π2sin x＋3的图象起码向右平移3个单位长度获得．7．某同学用“五点法”画函数 f ( x)＝A sin(ω x＋φ)ω>0，|φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，以下2表．ω x＋φ0π3π2π2π2x π5π36A sin(ω x＋φ)05－ 50(1)请将上表数据增补完好，并直接写出函数f ( x)的分析式；(2) 将y＝f ( x) 图象上全部点向左平行挪动θ ( θ >0) 个单位长度，获得y＝g( x) 的图象．若y＝ g( x)图象的一个对称中心为5π， 0 ，求θ的最小值．12π解： (1) 依据表中已知数据，解得A＝5，ω ＝2，φ＝－6，数据补全以下表：ω x＋φ0ππ3π2π22x ππ7π5π13π12312612sin( ω＋φ )050－ 50A xf ( x)＝5sin 2x－π且函数分析式为 6.π(2) 由 (1) 知f ( x) ＝ 5sin2x－6，则 g( x)＝5sin 2x＋2θ－π.6因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为( kπ， 0) ，k∈Z,π令 2x＋ 2θ －6＝kπ，kππ解得 x＝2＋12－θ， k∈ Z.因为函数 y ＝g ( x ) 的图象对于点5π ， 0 成中心对称，12k π π 5π因此令 2 ＋12－ θ ＝ 12 ，解得 θ ＝ k π－ π， k ∈ Z .2 3π由 θ >0 可知，当 k ＝1 时， θ 获得最小值 6 .课外拓展阅读三角函数图象与性质的综合问题xπxπ已知函数f ( x ) ＝ 2 3sin 2＋4cos2＋ 4 － sin( x ＋ π ) ．(1) 求 f ( x ) 的最小正周期；(2) 若将 f ( x ) 的图象向右平移 π6 个单位，获得函数 g ( x ) 的图象，求函数 g ( x ) 在区间上的最大值和最小值．(1) 先将 f ( x ) 化成 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的形式，再求周期；(2) 将 f ( x ) 分析式中的 x 换成 x －π，获得 g ( x ) ，而后利用整体思想求最值．6(1) f ( x ) ＝2x π xπ－sin( x ＋ π) ＝ 3cos x ＋ sin x ＝ 2sin x ＋ π3sin 2＋4 cos 2＋4 3 ，于是 T ＝2π1 ＝ 2π .(2) 由已知，得 g ( x ) ＝fx － π＝ 2sin x ＋π，66 ∵x ∈，ππ ，7π∴x ＋ 6 ∈ 66 ，π1∴ s in x ＋ 6 ∈ － 2，1 ，π∴g ( x ) ＝ 2sin x ＋ 6 ∈．故函数 g ( x ) 在区间上的最大值为2，最小值为－ 1.解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将 f ( x ) 化为 a sin x ＋ b cos x 的形式；f ( x)＝a b第二步：结构a2＋ b2sin x·22＋ cos x·2 2 ；a＋b a ＋ b第三步：和角公式逆用 f ( x)＝ a2＋ b2sin(x＋φ)(此中φ为协助角)；第四步：利用 f ( x)＝a2＋ b2sin( x＋φ)研究三角函数的性质；第五步：反省回首，查察重点点、易错点和答题规范．温馨提示(1) 在第 (1)问的解法中，使用辅助角公式 a sinα＋ b cosα＝a2＋ b2sin(α＋φ ) 此中 tan φ＝b，或a sin α＋b cos α＝a2＋b2cos( α －φ )此中 tanφ ＝a，在历年a b高考取使用频次是相当高的，几乎年年使用到、考察到，应加以关注．(2)求 g( x)的最值必定要重视定义域，能够联合三角函数图象进行求解．。

高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形(A)(文含解析)新人教A版

单元质检卷四三角函数、解三角形(A )(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是( ) A.y=sin x B.y=cos 12xC.y=tan 2xD.y=|sin x|2.若f (x )=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π23.(2020河南洛阳一中测试)在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过点P (3,4),则sin α2017π2=( )A.45 B.35C.35D.454.(2020天津和平一模,6)已知函数f (x )=sin 2x 2sin 2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.函数f (x )在区间π8,5π8上单调递减C.函数f (x )的图象关于x=π16对称D.函数f (x )的图象可由函数y=√2sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到 5.(2020河南高三质检,11)已知函数f (x )=√3sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,当f (x 1)f (x 2)=3时,|x 1x 2|min =π,f (0)=32,则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )的图象的一个对称中心为π6,0C.函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x=π3D.函数f (x )的图象可以由函数y=√3cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 6.(2021北京朝阳期中,10)已知奇函数f (x )的定义域为π2,π2,且f'(x )是f (x )的导函数.若对任意x ∈π2,0,都有f'(x )cos x+f (x )sin x<0,则满足f (θ)<2cos θ·fπ3的θ的取值范围是( )A.π2,π3B.π2,π3∪π3,π2C.π3,π3 D.π3,π2二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 7.(2020山东烟台一模,13)已知tan α=2,则cos 2α+π2= .8.(2020河北邢台模拟,理15)设a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边.已知A=π3,b=1,且(sin 2A+4sin 2B )c=8(sin 2B+sin 2C sin 2A ),则a= .三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(12分)已知函数f (x )=cos 2x+√3sin(πx )cos(π+x )12. (1)求函数f (x )在区间[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=1,a=2,b sin C=a sin A ,求△ABC 的面积.10.(12分)(2020福建福州模拟,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设√3b sin A=a (2+cos B ). (1)求B ;(2)若△ABC 的面积等于√3,求△ABC 的周长的最小值. 11.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A ,B 分别在射线CM ,CN (不含端点C )上运动,∠MCN=2π3,在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,求c 的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC 的周长,并求周长的最大值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A )1.D A 选项的最小正周期为T=2π1=2π;B 选项的最小正周期为T=2π12=4π;C 选项的最小正周期为T=π2;D 选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D . 2.A 由于函数f (x )=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f 4π3=0,即2×4π3+φ=k π+π2,φ=k π13π6(k ∈Z ).所以|φ|min =π6.3.B 由三角函数的定义可知tan α=43,由题可知α为第一象限角,∴cos α=35,sin α20172π=sin απ2=cos α=35.4.B 函数f (x )=sin2x 2sin 2x+1=sin2x+cos2x=√2sin 2x+π4,T=2π2=π,故A 不正确;由π2+2k π≤2x+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π8+k π≤x ≤5π8+k π,k ∈Z ,令k=0,则π8≤x ≤5π8,故函数f (x )在区间π8,5π8上单调递减,故B 正确;x=π16时,y=√2sin 2×π16+π4≠±√2,故C 不正确;由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数f (x )=√2sin 2x+π2,所以D 不正确.故选B .5.D 因为f (x )=√3sin(ωx+φ),所以f (x )max =√3,又f (x 1)f (x 2)=3,所以f (x 1)=f (x 2)=√3或f (x 1)=f (x 2)=√3,因为|x 1x 2|min =π,所以f (x )的最小正周期为π,所以ω=2,故A 错误;又f (0)=32,所以sin φ=√32,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f (x )=√3sin 2x+π3,令2x+π3=k π(k ∈Z ),得x=π6+kπ2(k ∈Z ),所以函数f (x )图象的对称中心为π6+kπ2,0(k ∈Z ),所以B 错误;由2x+π3=π2+k π(k ∈Z ),解得x=π12+kπ2(k ∈Z ),故C 错误;y=√3cos2x=√3sin 2x+π2,向右平移π12个来单位长度得y=√3sin 2x π12+π2=√3sin 2x+π3=f (x ),故D 正确,故选D . 6.D 构造函数g (x )=f (x )cosx , 则g'(x )=f '(x )cosx+f (x )sinxcos 2x ,因对任意x ∈π2,0,都有f'(x )cos x+f (x )sin x<0,所以g'(x )<0,即函数g (x )在π2,0上单调递减.由f (θ)<2cos θ·fπ3,得f (θ)cosθ<f(π3)cosπ3,所以θ>π3,又f (x )的定义域为π2,π2,则θ∈π3,π2.7.45 cos 2α+π2=sin2α =2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tanαtan 2α+1=44+1=45.8.2 因为(sin 2A+4sin 2B )c=8(sin 2B+sin 2C sin 2A ),所以(a 2+4b 2)c=8(b 2+c 2a 2). 又因为b=1,所以(a 2+4b 2)bc=8(b 2+c 2a 2),a 2+4b 22=8×b 2+c 2-a 22bc=8cos A=4,即a 2+4b 22=4,解得a=2.9.解(1)f (x )=cos 2x √3sin x cos x 12 =1+cos2x2−√32sin2x 12=sin 2x π6,令2k ππ2≤2x π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k ππ6≤x ≤k π+π3,k ∈Z ,∵x ∈[0,π],∴函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.(2)由(1)知f (x )=sin 2x π6,∴f (A )=sin 2Aπ6=1,∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A<π2,∴π6<2A π6<5π6,∴2A π6=π2,即A=π3. ∵b sin C=a sin A ,∴bc=a 2=4, ∴S △ABC =12bc sin A=√3.10.解(1)因为√3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得√3sin B sin A=sin A (2+cos B ). 因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以√3sin B cos B=2, 所以2sin B π6=2.因为B ∈(0,π),所以B π6=π2,即B=2π3. (2)依题意√3ac 4=√3,即ac=4.所以a+c ≥2√ac =4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b 2=a 2+c 22ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥2√3,当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC 的周长的最小值为4+2√3.11.解(1)∵a ,b ,c 依次成等差数列,且公差为2,∴a=c 4,b=c 2,又∠MCN=2π3,即cos C=12,由余弦定理可得a 2+b 2-c 22ab=12,将a=c 4,b=c 2代入,得c 29c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC 中,由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC =ABsin∠ACB , ∴AC sinθ=BCsin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin (π3-θ).∴△ABC 的周长f (θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sin θ+2sin (π3-θ)+√3 =212sin θ+√32cos θ+√3 =2sin θ+π3+√3. 又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f (θ)取得最大值2+√3.。

2019届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题：单

单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C.D.2.已知θ∈,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则tan θ的可能取值是()A.-3B.3或C.-D.-3或-3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.C.D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017安徽合肥一模)已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=.8.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.10.(15分)(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c= a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.答案：1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α==-,故选A.2.C解析由sin θ+cos θ=a,两边平方可得2sin θcos θ=a2-1.由a∈(0,1)及θ∈,得sin θcos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.故θ∈,从而tan θ∈(-1,0),故选C.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin 2x+(1+cos 2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sin φ=.因为|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,故选B.5.C解析由正弦定理,得2R(sin A cos B+sin B cos A)=2R sin C sin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.D解析由题中图象可得A=1,,解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).由题图可知在函数f(x)的图象上,故sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,即f(x)=sin.∵x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=×2=.∴f(x1+x2)=sin,故选D.7.0或解析∵sin 2α=2-2cos 2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,∴2sin αcos α=4sin2α,∴sin α=0或cos α=2sin α,即tan α=0或tan α=.8.解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.∴sin A=.由余弦定理,得cos A==,故=2=sin A+2cos A=sin(A+α),其中sin α=,cos α=.当sin(A+α)=1时,取到最大值.9.解(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B==.由正弦定理知,所以AB==5.(2)因为在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin.因为cos B=,sin B=,所以cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.10.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=×8×3×=6.11.解(1)f(x)=sin 2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.。

新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形函数y=Asinω+φ的图象及应用教案理解析版

基础知识整合１．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念２．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．１．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin２x的图象上的所有点（）Ａ．向左平行移动错误!个单位长度Ｂ．向右平行移动错误!个单位长度Ｃ．向左平行移动错误!个单位长度Ｄ．向右平行移动错误!个单位长度答案D解析∵y＝sin错误!＝sin２错误!，∴只需将函数y＝sin２x图象上的所有点向右平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．故选Ｄ．２．函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!答案A解析由图可知，错误!T＝错误!＋错误!＝错误!，T＝π，ω＝错误!＝２．因为点错误!在图象上，所以２×错误!＋φ＝错误!＋２kπ，φ＝—错误!＋２kπ，k∈Z.又—错误!<φ<错误!，所以φ＝—错误!.故选Ａ．３．（２0１8·西安模拟）已知函数f（x）＝cos错误!（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）Ａ．关于点错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于直线x＝错误!对称答案D解析错误!＝π得ω＝２，函数f（x）的对称轴满足２x＋错误!＝kπ（k∈Z），解得x＝错误!—错误!（k ∈Z），当k＝１时，x＝错误!.选Ｄ．４．（２0１9·河北五校联盟摸底）把函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ａ．x＝0 Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝错误!Ｄ．x＝—错误!答案C解析５．（２0１8·天津高考）将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数（）Ａ．在区间错误!上单调递增Ｂ．在区间错误!上单调递减Ｃ．在区间错误!上单调递增Ｄ．在区间错误!上单调递减答案A解析将y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin错误!＝sin２x，当２kπ—错误!≤２x≤２kπ＋错误!（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，y＝sin２x单调递增，令k＝0，则x∈错误!，所以y＝sin２x在错误!上单调递增，故选Ａ．核心考向突破考向一三角函数的图象变换例１将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）Ａ．y＝sin错误!Ｂ．y＝sin错误!Ｃ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!答案C解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 错误!；再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y＝sin错误!.故选Ｃ．触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是错误!（ω>0）个单位长度．即时训练１．将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）Ａ．x＝错误!Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝πＤ．x＝错误!答案D解析y＝cos错误!错误!y＝cos错误!y＝cos错误!，即y＝cos错误!.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝错误!时，y＝cos错误!＝１．故选Ｄ．考向二求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例２已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，—π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.答案错误!解析由图象可知ω＝错误!，当x＝２π时，y＝１，∴错误!×２π＋φ＝错误!＋２kπ，k∈Z.∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.触类旁通确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的解析式的步骤（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!.错误!３求φ，常用方法有：１代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练２．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，则f错误!＝________.答案错误!解析由图象可知，错误!＝错误!—错误!，即错误!＝错误!，所以ω＝２，再结合图象，可得２×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即|φ|＝错误!<错误!，所以—错误!<k<错误!，只有k＝0，所以φ＝错误!，又图象过点（0,１），代入得Atan错误!＝１，所以A＝１，函数的解析式为f（x）＝tan错误!，则f错误!＝tan错误!＝错误!.考向三函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质角度错误!函数图象与性质的综合应用例３（２0１9·山西模拟）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈Z答案D解析由图象可知错误!＋φ＝错误!＋２mπ，错误!＋φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以函数f（x）＝cos错误!＝cos错误!的单调递减区间为２kπ<πx＋错误!<２kπ＋π，k ∈Z，即２k—错误!<x<２k＋错误!，k∈Z.故选Ｄ．角度错误!图象变换与性质的综合应用例４（２0１8·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）错误!的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）Ａ．关于直线x＝错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于点错误!对称答案B解析∵f（x）的最小正周期为π，∴错误!＝π，ω＝２，∴f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到g（x）＝sin错误!＝sin错误!的图象，又g（x）的图象关于原点对称，∴—错误!＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝错误!＋kπ，k∈Z，又|φ|＜错误!，∴φ＝—错误!，∴f（x）＝sin错误!.当x＝错误!时，２x—错误!＝—错误!，∴A，C错误；当x＝错误!时，２x—错误!＝错误!，∴B正确，D错误．角度错误!三角函数模型的简单应用例５某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝１0—错误!cos错误!t—sin错误!t，t∈[0,２４）．（１）求实验室这一天的最大温差；（２）若要求实验室温度不高于１１℃，则在哪段时间实验室需要降温？解（１）f（t）＝１0—２错误!＝１0—２sin错误!，因为0≤t<２４，所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，—１≤sin错误!≤１．当t＝２时，sin错误!＝１；当t＝１４时，sin错误!＝—１．于是f（t）在[0,２４）上取得最大值１２，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为１２℃，最低温度为8 ℃，最大温差为４℃.（２）依题意，当f（t）>１１时实验室需要降温．由（１）得f（t）＝１0—２sin错误!，故有１0—２sin错误!>１１，即sin错误!<—错误!.又0≤t<２４，因此错误!<错误!t＋错误!<错误!，即１0<t<１8．在１0时至１8时实验室需要降温．触类旁通１解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.２研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第4章 §4.6 函数y=Asin(ωx+φ)

1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
A 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x－π6＝cos12x－1π2＝－sin12x－71π2的图象，故 A 错误； B 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x＋π6＝cos12x＋1π2＝sin12x＋71π2的图象，故 B 错误；
A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度
B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
π 6
个单位长度
√C.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
D.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
五个特征点
ωx＋φ x
0
0－φ __ω___
π 2
π2－φ __ω___
π
π－φ __ω___
3π 2
32π－φ ___ω___
2π
2π－φ ___ω___
y＝Asinபைடு நூலகம்0
(ωx＋φ)
A
0
－A
0
知识梳理
3.函数y＝sin x的图象经变换得到 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， ω>0)的图象的两种途径
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测理新人教A版

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测20理新人教A 版1．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：D解析：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B ．23C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 3．[xx·河南六市联考]设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案：D解析：由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b .4．[xx ·安徽师大附中学高三上学期期中]设当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( )A ．－55B ．55 C ．－255D ．255答案：C解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝ 5sin(x －α)，其中sin α＝255，cos α＝55，因为当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，所以sin(θ－α)＝1，即sin θ－2cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，联立方程组可得cos θ＝－255，故选C.5．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23答案：D解析：依题意，得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 6．[xx·广西柳州、北海、钦州三市模拟]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α，则sin 2α的值可以为( )A ．－12或1B ．12C ．34D ．－34答案：A解析：解法一：由已知得22(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2α，∴sin α＋cos α＝22或sin α－cos α＝0，解得sin 2α＝－12或1.解法二：由已知得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝0，则sin 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×14－1＝－12或sin 2α＝1.7．[xx·四川成都一诊]若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4答案：A解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.8．计算2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.答案：3 解析：原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.9．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案：17250解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. 10．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．答案：12解析：解法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.11．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．答案：13解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β ＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.[冲刺名校能力提升练]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45C ．35D ．－35答案：C解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得，sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得，cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，②由①②可得，cos α＋sin α＝－15，③由①③可得，sin α＝35.2．[xx·江西九校联考]已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4＜βB ．β<π4<αC ．π4<α<β D ．π4<β<α 答案：B解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.3．[xx·河北衡水中学二调]3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案：D解析：3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin10°－30°12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.4.[xx·山东菏泽二模]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.答案：－3π4解析：因为tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13<1，所以0<α<π4.又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34<1，所以0<2α<π4，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<π4，所以2α－β＝－3π4.5．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314⎝ ⎛⎭⎪⎫0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.6．[xx·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，实用文档即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：三角函数

的弧长为
A.3 cm
B.6 cm
√C.9 cm
D.12 cm
设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则rl＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇形的弧长为9 cm.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－35 ，则 tan α等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
三、填空题 13.已知对任意x∈R，有cos
x＝sin(x＋φ)，则φ＝_π2_(_填__写__符__合__φ_＝__2_k_π_＋__π2_，_
_k_∈__Z__的__一__个__值__即__可__) _.(填写符合要求的一个值)
√A.π4
π B.2
C.π
7π D. 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
由已知，g(x)＝2sin4x＋π3，而 g(x2)－g(x1)＝4，则 x1，x2 分别是函数 g(x)的最小值点和最大值点，而函数的最小正周期 T＝24π＝π2，则|x1 －x2|的最小值为T2＝π4.
3 A.±4
√B.34
C.－34
4 D.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为角 α 的终边经过点(－1，m)，且 sin α＝－35，所以 1＋m m2＝－35，所以1＋m2m2＝295，且 m<0，解得 m＝－34，所以 tan α＝－m1＝－m＝34.
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高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测23 理新人教A版-新人教A版高三全册数

课时跟踪检测(二十三)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．[2017·某某某某模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.12和π6 B ．12和－π3 C ．2和π6D ．2和－π3答案：D解析：由图可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入解析式可得，2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，∴5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π3， ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.4. [2017·某某荆荆襄宜四地七校联盟高三上联考]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象向左平移π6个单位后的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin 2xC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3答案：B解析：由题意得，最小正周期为T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3×43＝π，∴ω＝2ππ＝2，由五点法，2×5π12＋φ＝π2，得φ＝－π3，符合题意，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将f (x )的图象向左平移π6个单位后得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x .故选B.5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关答案：C解析：由题意，π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2015·某某卷]如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案：C解析：根据图象得，函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，则k ＝5，故最大值为3＋k ＝8.7．[2017·某某某某一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值X 围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．[2017·某某某某模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 答案：22解析：y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________. 答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析：据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.11．[2015·某某卷]已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.答案：π2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增； ④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3； ⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．答案：①③④解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3不与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3关于x 轴对称．⑤不正确．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·某某某某模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错． 2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案：A解析：∵由于f (x )的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4.又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 5．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1. ∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1,2]． 6．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12，即2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10.。

2021版新高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数、解三角形(A)新人教A版

∴|x1+x2|=2
kπ+π
3
,当 k=0 时,可得|x1+x2|=2π3 .
9.(1)解因为 f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x= 2sin 2x-π +1,所以函数 f(x)的最
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小正周期为π.
(2)证明由(1)可知,f(x)= 2sin 2x-π +1.当 x∈ 0, π 时,2x-π ∈ - π , 3π ,
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的解析式为 f(x)=sin 4x+π .
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故选 C.
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4.C 设∠ABC=α,∠ACB=β,则 AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcosα=4-2 3cosα.由正弦定理 AC = AB 得
7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验
公式为弧田面积=1(弦×矢+矢 2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆
2
弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为4π米,半径等于 2 米的弧田,
3
则弧所对的弦Байду номын сангаасAB 的长是
2
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ωπ+φ 的图象;
6
∵所得图象关于 y 轴对称,
∴-ωπ+φ=kπ+π,k∈Z.
6
2
∵f π =-1=sin(π+φ)=-sinφ,即 sinφ=1,|φ|<π,φ=π .

2020年高考高三理科数学一轮复习单元训练AB卷第4单元三角函数 A卷 Word版含解析答案

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元三角函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（） A ．8B ．6C ．4D ．162．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．12-C ．12D ．23．已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．sin15cos15︒-︒的值等于（）A B ． C ．2D ．25．若π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-6．函数()sin()0,0,|π|2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．B ．12-C D 7．已知曲线πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点1π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数()y g x =在11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y g x =关于直线π6x =对称 8．关于x 的方程sin 26πx m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（）A ．12⎤⎥⎣⎦B ．12⎫⎪⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的ϕ的一个值为（） A ．π3-B ．2π3C ．5π6-D ．π610．在[0,2π]内，不等式1cos 2x <的解集是（） A ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，则（） A ．41()k k ω=+∈NB ．43()k k ω=+∈NC ．21()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N12．已知函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．tan570︒=__________． 14．函数的最小正周期是_________．15．若21cos 32m x m -=+，且，则实数的取值范围是________．16．已知函数，若当y 取最大值时，；当y 取最小值时，，且ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R ．（1）若60α=︒，，求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是30cm ，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？18．（12分）已知函数()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）填写下表，用“五点法”画()324πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象．（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．19．（12分）如图，以Ox 为始边作角α与(0π)ββα<<<，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3cos 5sin sin cos αααα+-的值；（2）若OP OQ ⊥，求3cos 4sin ββ-的值．20．（12分）已知函数π()4sin cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3()3m f x m -<<+对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数)2()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知向量33cos ,sin 22OA x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22OB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（1）若()f x OA OB =⋅，求函数()f x 关于x 的解析式；（2）求()f x 的值域；（3）设()2t f x a =+的值域为D ，且函数()2122g t t t =+-在D 上的最小值为2，求a 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第4单元三角函数答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】扇形的弧长8l =，半径2r =，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积182S rl ==．故选A ． 2．【答案】B【解析】∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aaα==，则π1tan 1tan 41tan 2ααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 3．【答案】A【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，故选A ． 4．【答案】C【解析】sin(4530sin15co )cos(45s1)530=︒-︒-︒-︒-︒︒，sin 45cos30cos45sin30(cos45cos30sin 45sin30sin15cos1)5⇒=︒︒-︒︒-︒︒+︒︒-︒︒，1122sin15c 22212o 2s 5︒-⇒=-⨯-=︒，故本题选C ． 5．【答案】B【解析】∵π4sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ327sin 2cos 212sin 16362525x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 6．【答案】C【解析】由题意和图像可得，2A =，2πππ236ω⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ω=， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点2π,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭可得π2sin 226ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合2ϕπ<，可得π6ϕ=-，故函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5ππ2π2sin 22sin 2121263f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．7．【答案】C【解析】由题意知：()()ππsin 2sin 2266g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则πsin 2112g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，π22π2k ϕ∴=+，k ∈Z ，()πcos 26g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()g x 最小正周期2ππ2T ==，可知A 错误；当11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π22π,3π6x +∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误；当2π3x =时，3π26π2x +=且3πcos 02=，所以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确；当π6x =时，(π)(2)(3)f f f >->-且πcos 02=，所以π,02⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误．本题正确选项C ． 8．【答案】C【解析】方程有两个相异实根等价于2y m =与πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，当0πx ≤≤时，ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由sin x 图象可知1212m ≤<，解得11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．本题正确选项C ． 9．【答案】C【解析】因为函数()sin())2si 3πn f x x x x j j j 骣琪=++=++琪桫为偶函数，所以π2π3k ϕ+=（k 为奇数），排除A 和B ，当6ϕ5π=-时，()2sin π2f x x 骣琪=-琪桫，函数()f x 在区间[]()2π,π2πk k k Z +?上是增函数，故()f x 在区间0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，故选C ．10．【答案】C【解析】在[0,2π]内，当1cos 2x =时，π3x =或5π3x =，因为1cos 2x <，所以由函数()cos [0,2π]y x x =∈的图像可知，不等式的解集是π5π,33骣琪琪桫，故选C ． 11．【答案】C 【解析】因为4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，所以πππ()42m m ωϕ-+=+∈Z ①，又因为π,04⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以ππ()4n n ωϕ+=∈Z ②，②-①得，2()1(,)n m m n ω=--∈Z ，,m n ∈Z ，()n m ∴-∈Z ，所以ω可以表示为21()k k ω=-∈Z ，已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C ． 12．【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2π2πω==，又对任意的x ，都使得()π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π3x =上取得最小值，则2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π,3k k ϕ=+∈Z ，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,3k x k k ≤+≤+∈Z ，解得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z ，则函数()y f x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是π3．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案【解析】由题意可得()tan570tan 180330tan30︒=︒⨯+︒=︒．14．【答案】2π3【解析】函数的最小正周期是2π2π33T ==，故填2π3． 15．【答案】(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由，可得，所以211132m m --≤≤+，即2113221132m m m m -≥-+-≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即510323032m m m m +≥++≥+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得或15m ≥-．所以实数的取值范围为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为(]1,3,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．16．【答案【解析】由题得函数2213sin sin 1sin 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,,22αβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，，，当取最大值时，，即，可得2πα=-；当取最小值时，，即1sin 2β=，可得π6β=，那么()2πsin sin 3βα-==．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）()10πcm 3，()2π50cm 3⎛ ⎝⎭；（2）当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时，面积最大，为2225cm 4．【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为，∵π603α=︒=，，∴()10πcm 3l R α==弧长．()2110π1πππ10210sin 10cos 50cm 232663S S S ∆⎛=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎝⎭弓扇．（2）由，∴()302015l R R =-<<，从而()221115225302152224S l R R R R R R ⎛⎫=⋅⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．∴当半径15cm 2R =时，()1530315cm 2l =-⨯=，扇形面积的最大值是2225cm 4，这时12rad Rα==． ∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为15cm 2时，面积最大，为2225cm 4． 18．【答案】（1）见解析；（2）π，π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（1）填表和作图如下．（2）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令2π224ππππ22k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得3ππππ88k x k -+≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．19．【答案】（1）117；（2）0．【解析】（1）由题意知，3cos 5α=-，4sin 5α=，∴3cos 5sin 11sin cos 7αααα+=-．（2）由题意知，(cos ,sin )Q ββ，则(cos ,sin )OQ ββ=．∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=，∴34cos sin 055ββ-+=，即3cos 4sin 0ββ-=．20．【答案】（1）π；（2）(1,3-．【解析】（1）1()4cos sin 2f x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos sin 2x x x x x =-π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是π．（2）令π23t x =-，π2π,33t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，(2sin t ⎤∈⎦，即(()f x ⎤∈⎦．由题意知332m m ⎧-≤⎪⎨+>⎪⎩，解得13m -<≤，即实数m 的取值范围是(1,3-．21．【答案】（1）32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）40π9．【解析】（1）函数()22sin cos sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=++=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=， 32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+，故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）在（2）的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3，故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期， ()g x t -在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ，3x ，4x ，由函数()g x 的图象特征可得124π29x x +=，344π4π293x x +=+，123440π9x x x x ∴+++=． 22．【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）[]0,1；（3）2a =或6a =-．【解析】（1）()313131cos cos sin sin cos cos2222222f x OA OB x x x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+= ⎪⎝⎭．（2）由（1）知，()cos 2f x x =， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2,22x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]cos 20,1x ∴∈，即()f x 的值域为[]0,1．（3）由（2）知：()[]2,2f x a a a +∈+，即[],2D a a =+， ①当21a +≤-，即3a ≤-时，()()()()2min 1222222g t g a a a =+=+++-=，解得6a =-或0a =（舍）；②当12a a <-<+，即31a -<<-时，()()min 1511222g t g =-=--=-，不合题意； ③当1a ≥-时，()()2min 1222g t g a a a ==+-=，解得2a =或4a =-（舍），综上所述，2a =或6a =-．。

全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析

第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测24 理新人教A版(2021年最新整理)

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课时跟踪检测(二十四）[高考基础题型得分练]1．［2017·黑龙江哈尔滨模拟］在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为错误!，则C＝( )A．30°B．45°C．60°D．75°答案:C解析：解法一：∵S△ABC＝错误!｜AB｜|AC｜sin A＝错误!，即错误!×错误!×1×sin A＝错误!,∴sin A＝1，∴A＝90°，∴C＝60°,故选C。

解法二：由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°,S＝错误!≠错误!（舍去)．△ABC而当C＝60°时，A＝90°，S＝错误!，符合条件，故C＝60°。

故选C.△ABC2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案:D解析：由条件及题图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3．[2017·山西临汾五校联考]在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若b cos A＋a cos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为（）A．5 B．6C．7 D．7.5答案：A解析：由正弦定理得,sin B cos A＋sin A cos B＝c sin C,即sin(A＋B)＝sin C＝c sin C，又sin C>0，∴c＝1，故周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5，故选A。

2020届高考数学一轮复习单元检测四三角函数解三角形提升卷单元检测理含解析新人教A版

单元检测四三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共页．．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．．本次考试时间分钟，满分分．．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中正确的是( )．终边在轴正半轴上的角是零角．三角形的内角必是第一、二象限内的角．不相等的角的终边一定不相同．若β＝α＋·°(∈)，则角α与β的终边相同答案解析对于，因为终边在轴正半轴上的角可以表示为α＝π(∈)，错误；对于，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，错误；对于，例如°≠－°，但其终边相同，错误，故选.．已知角θ的终边经过点，则的值为( )答案解析因为点在角θ的终边上，所以θ＝－，则＝＝，故选.．(·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知＝，则等于( )．－．±．－答案解析∵＝＝＝，∴＝＝＝－＝×－＝－.．(·南充模拟)设()＝(π＋α)＋(π＋β)，其中，，α，β都是非零实数，若()＝－，则()等于( )．．．．－答案解析由题知，()＝(π＋α)＋(π＋β)，其中，，α，β都是非零实数，若()＝( π＋α)＋( π＋β)＝－α－β＝－，则α＋β＝，所以()＝(π＋α)＋(π＋β)＝α＋β＝，故选.．已知函数()＝ω(ω>)，若＝()在上为增函数，则ω的最大值为( )．．．．答案解析由已知，函数()包含坐标原点的单调递增区间是.若函数＝()在上为增函数，则⊆，只要≥，得ω≤.所以ω的最大值为.．设＝°，＝°，＝°，则( )．>>．>>．>>．>>答案解析由题可知＝°＝°，因为°>°，所以>，利用三角函数线比较°和°，易知°>°，所以>.综上，>>，故选.．若函数()＝(＋θ)＋(＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( )答案解析()＝(＋θ)＋(＋θ)＝·.因为()为偶函数，所以当＝时，＋θ＋＝θ＋＝π＋(∈)，解得θ＝π＋(∈)．当＝时，θ取得最小正实数值，故选.．若函数()＝(ω＋φ)的部分图象如图所示，则()等于( )答案解析由题图知，函数()的最小正周期＝＝π，＝，所以ω＝＝，()＝，由点在函数()的图象上，可知＝，又<φ<，所以φ＝－，所以()＝.．在△中，角，，所对的边分别为，，＝(＋)＋(＋)．则角的大小为( )答案解析由正弦定理得＝(＋)＋(＋)，化简得＋－＋＝，所以＝＝＝－，又∈(，π)，解得＝，故选.．已知函数()＝－，将()的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数()的图象，若()·()＝－，则－的值可能为( )．π答案解析由题意得()＝－－＝－，则()＝，故函数()的最小正周期＝＝.由()·()＝－，知()与()的值一个为，另一个为－，故－＝＝(∈)．当＝时，－＝，故选.．在△中，角，，，所对的边分别为，，，＋＝，＝，已知是上一点，且△＝，则等于( )答案解析设＝＝＝，则由·＋＝，得 (·＋)＝，即(＋)＝，所以＝，即＝.又＝，所以＝，所以△＝＝，所以＝＝－＝，故选.．已知()＝ω－ω(ω>)在区间上是增函数，且在区间[，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )答案解析()＝ω(＋ω)－ω＝ω，所以是含原点的单调递增区间，因为函数()在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>，所以<ω≤.因为函数()在区间[，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．已知锐角α满足＝α，则αα＝.答案解析由＝α，得(α＋α)＝α－α，因为α＋α≠，所以可化简得α－α＝，即(α－α)＝－αα＝，解得α·α＝.．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为，内圆半径为，则制作这样一面扇面需要的布料为.答案π解析由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为×××－×××＝π()．．在△中，角，，所对的边分别为，，，＝，△的面积为，且＋＝(－)，则＋＝.答案解析由＋＝(－)，得(＋)＝＝－，又，，为△的内角，所以＋＝，所以＝.由△＝＝，得＝.又＝＝＝，解得＋＝.．已知函数()＝－，若存在，，…，满足≤<<…<≤π，且()－()＋()－()＋…＋(－)－()＝(≥，∈*)，则的最小值为．答案解析()＝－＝＝．由＝的图象知，对，＋(＝，…，)有()－(＋)＝()－()＝，则要使取得最小值，应尽可能多的使(＝，…，)取得极值点，所以在区间[π]上，当的值分别为＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝π时，取得最小值.三、解答题(本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(分)已知α＝，(α－β)＝，且<β<α<.()求α的值；()求β.解()由α＝，<α<，得α＝＝＝，∴α＝＝×＝，∴α＝＝＝－.()由<β<α<，得<α－β<，又(α－β)＝，∴(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得β＝[α－(α－β)]＝α(α－β)＋α(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.．(分)已知函数()＝(ω＋φ)的图象关于直线＝－对称，且图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.()求ω和φ的值；()当∈时，求函数()的值域．解()因为函数()的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π，所以＝＝π，解得ω＝.因为函数()的图象关于直线＝－对称，所以×＋φ＝＋π(∈)，解得φ＝＋π(∈)．又－<φ<，所以φ＝－.()由()知()＝，因为≤≤，所以－≤－≤，所以－≤≤，则－≤()≤.所以当∈时，函数()的值域为.．(分)在△中，设边，，所对的角分别为，，，，都不是直角，且＋＝－＋.()若＝，求，的值；()若＝，求△面积的最大值．解()∵·＋·＝－＋，∴＋－＝，∴＝，∵≠，∴＝.又∵＝，由正弦定理，得＝，∴＝，＝.()＝＋－≥－，即≥－，∴≥，当且仅当＝时取等号．∴≤，∴＝≤，∴△面积的最大值为.．(分)已知函数()＝＋.()求函数()的最小正周期；()确定函数()在[，π]上的单调性；()在△中，，，分别是内角，，的对边，若＝，＋＝，△的面积为，求边的长．解()()＝＋＋－＝＋，∴()的最小正周期＝＝π.()令π＋≤－≤π＋(∈)，解得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调递减区间是(∈)．同理()的单调递增区间为，∈，故()在上为减函数，在和上为增函数．()∵()＝＋，＝，∴＝，又－<－<，∴＝.∵△的面积为，∴＝，解得＝∵＋＝，∴＝＋－＝(＋)－＝，∴＝.。

新人教A版高考数学一轮总复习单元检测卷四三角函数解三角形A

单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos 2α=()A.25B.-35C.35D.2√552.已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=()A.43B.34C.-34D.-433.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且fπω=-12,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin2x+π6B.f(x)=sin2x-π6C.f(x)=sin4x+π6D.f(x)=sin4x-π64.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD 中,AB=1,BC=√3,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为()A.3B.4C.√6+1D.√二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sin x+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点-π12,0对称B.函数g(x)的周期是π2C.函数g(x)在0,π6上单调递增D.函数g(x)在0,π6上最大值是16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是()A.△ABC的边长可以组成等差数列B.ωω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ωω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0C.ω7=ω5=ω3D.若b+c=8,则△ABC的面积是15√34三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=12(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为4π3米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是平方米.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=a sin x-2√3cos x的一条对称轴为x=-π6,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[0,π2]时,f(x)≥0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+√3sin x+π2+sin x+π3,x∈R.(1)求f(2 019π)的值;(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=4√3S.(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;(2)当ωω=2+√3时,求∠A的大小.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.B因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sinα=√12+(-2)2=-2√55.所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-2√552=-35.故选B.2.C ∵sin α+2cos α=√102, ∴sin 2α+4sin α·cos α+4cos 2α=52.用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α=sin2ωcos2ω=-34.故选C .3.C 将函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,可得y=sin ωx-ωπ6+φ的图象;∵所得图象关于y 轴对称, ∴-ωπ6+φ=k π+π2,k ∈Z .∵f πω=-12=sin(π+φ)=-sin φ,即sin φ=12,|φ|<π2,φ=π6.∴-ωπ6=k π+π3,k ∈Z ,得ω=-6k-2>0,k ∈Z .则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,∴函数f (x )的解析式为f (x )=sin 4x+π6.故选C .4.C 设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC 2=AB 2+BC 2-2·AB ·BC cos α=4-2√3cos α.由正弦定理ωωsin ω=ωωsin ω得sin β=√所以由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD ·cos β+π2=3+4-2√3cos α+2·√3·√4-2√3cos ω·√4-2√3cos ω=7+2√3sin α-2√3cos α=7+2√6sin α-π4,故当α=3π4时,取得最大值为√6+1.故选C .5.ABD 将函数f (x )=2sin x+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g (x )=2sin 2x+π6-1的图象,由于当x=-π12时,f (x )=-1,故函数g (x )的图象关于点-π12,-1对称,故A 错误;函数g (x )的周期为2π2=π,故B 错误;在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g (x )单调递增,故C 正确;在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g (x )的最大值趋向于1,故D 错误.故选ABD .6.AD 由已知可设b+c=4k ,c+a=5k ,a+b=6k (k>0),则a=72k ,b=52k ,c=32k ,∵a ∶b ∶c=7∶5∶3,∴2b=a+c ,即△ABC 的边长可以组成等差数列,故A 正确;∴sin A ∶sin B ∶sin C=7∶5∶3,C 错误;又cos A=ω2+ω2-ω22ωω=25ω24+9ω24-49ω242×52×32×ω2=-12<0,∴△ABC 为钝角三角形,∴ωω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ωω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bc cos A<0,B 错误; 若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3, 又A=120°,∴S △ABC =12bc sin A=15√34,D 正确.故选AD.7.2√3 √3+12由弧长为4π3米,半径等于2米,可得圆心角为2π3,∴OD=1米,则AB=2BD=2√3米;∴弧田面积S=12(弦×矢十矢2)=12[2√3×(2-1)+(2-1)2]=√3+12.8.2π3函数f (x )=a sin x-2√3cos x=√ω2+12sin(x+θ),其中tan θ=-2√3ω,函数f (x )的一条对称轴为x=-π6,可得f -π6=-12a-2√3×√32=-12a-3,所以|-12ω-3|=√ω2+12,解得a=2.∴θ=-π3;对称中心横坐标由x-π3=k π(k ∈Z ),可得x=k π+π3(k ∈Z );又f (x 1)+f (x 2)=0,且函数f (x )在(x 1,x 2)上具有单调性,∴|x 1+x 2|=2k π+π3,当k=0时,可得|x 1+x 2|=2π3.9.(1)解因为f (x )=sin 2x+cos 2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=√2sin 2x-π4+1,所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)证明由(1)可知,f (x )=√2sin 2x-π4+1.当x ∈[0,π2]时,2x-π4∈[-π4,3π4],sin (2ω-π4)∈[-√22,1],√2sin (2ω-π4)+1∈[0,√2+1].当2x-π4=-π4,即x=0时,f (x )取得最小值0. 所以当x ∈[0,π2]时,f (x )≥0.10.解(1)由题得f (x )=sin x+√3cos x+12sin x+√32cos x=3sin x+π3,所以f (2019π)=3sin 2019π+π3=3sin π+π3=-3sin π3=-3√32.(2)由(1)知f (x )=3sin x+π3.由f (α)=1得sin α+π3=13<12,又因为0<α<π,故π2<α<2π3,所以cos α+π3=-2√23,所以cos α=cosα+π3-π3=-2√23×12+13×√32=√3-2√26. 11.解(1)由a 2=4√3S ,a 2=4√3×12ab sin C ,∴a=2√3b ·sin C ,∵C=60°且b=1,∴a=2√3×√32=3.(2)当ωω=2+√3时,ωω==2-√3,∵a 2=4√3S=b 2+c 2-2bc cos A ,∴4√3×12bc sin A=b 2+c 2-2bc cos A ,即2bc(√3sin A+cos A)=b2+c2,∴4sin A+π6=ω2+ω2ωω=ωω+ωω=4,得sin A+π6=1.∵A∈(0,π),∴A+π6∈π6,7π6,则A+π6=π2,得A=π3.。