第十章 含有耦合电感的电路10
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10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
《电路理论教学课件》第10章 含有耦合电感的电路
L2
2M
) di dt
Ri
L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M 0
M
1 2
( L1
L2
)
互感不大于两个自感的算术平均值。
在正弦激励下：反串
•
- jM I
•
j M
I R1 • j L1 R2
+
•
U1
+
消互感
–+ •
U
j L2 •
•
U2
–
–
•
U
•
•
Lc = －M La =L1 ＋ M Lb = L2 ＋ M
j La
•
U
R1
–
I2
j Lb R2
三、一般分析法(采用支路法、回路法直接列方程) 支路法、回路法：因为互感电压可以直接计入KVL方程中。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。 关键：正确考虑互感电压作用（要注意正负号，不要漏项。）
例 10-3. I1
4
* 全耦合 M L1L2
L L1 L2 2M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )2
当 L1=L2 时 , M=L
4M L=
0
顺接 反接
二、互感线圈的并联
a. 同侧并联
•
•
•
U （R1 jL1）I 1 jM I 2
•
•
•
U （R2 jL2）I 2 jM I 1
已知：R1=3， R2=5
L1 7.5, L2 12.5, M 6
R1
求K闭合后各支路电流
U 500
jM
I2
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路
2019年6月23日星期日
1
2
结
i1
L1 L2
i2
1'
2'
1 、2 是同名端
1'、2' 也是同名端
1 i1
i2 2
+ M+
u1
-
L1
1'
L2
u2
-
2'
14
两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)， 1 i1
若产生的磁通方向相 同，则i1、i2的
流入端为同名端。
1'
结
L1
当有两个以上的电感彼此耦合时，同 2 i2
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相
反，互感起削弱作用。
2019年6月23日星期日
11
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
则
u11 =
dY11
dt
=
L1
di1 dt
以上是熟悉的情况。
2019年6月23日星期日
8
两个线圈的情况 若L1邻近有一线圈L2，则F11的
一部分会穿过L2。
F21称为互感磁通。
F12
L1
N1
磁通链为Y21。
结
L2 N2 F21
同理：
F11
i2通过L2时也产生
磁通F22 ，F22的一
部分F12也穿过L2。
F11 =F21+F1s
1
2
结
i1
L1 L2
i2
1'
2'
1 、2 是同名端
1'、2' 也是同名端
1 i1
i2 2
+ M+
u1
-
L1
1'
L2
u2
-
2'
14
两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)， 1 i1
若产生的磁通方向相 同，则i1、i2的
流入端为同名端。
1'
结
L1
当有两个以上的电感彼此耦合时，同 2 i2
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相
反，互感起削弱作用。
2019年6月23日星期日
11
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
则
u11 =
dY11
dt
=
L1
di1 dt
以上是熟悉的情况。
2019年6月23日星期日
8
两个线圈的情况 若L1邻近有一线圈L2，则F11的
一部分会穿过L2。
F21称为互感磁通。
F12
L1
N1
磁通链为Y21。
结
L2 N2 F21
同理：
F11
i2通过L2时也产生
磁通F22 ，F22的一
部分F12也穿过L2。
F11 =F21+F1s
第10章含有耦合电感的电路
L1
M * * L3 2'
结束
L1
L2
L2
1
i1
+
M
i2
+ L2
2
u1
M 1'
M
-
L1
u2
2'
知道了同名端，在列写耦合线圈的VCR时， 就不必关心线圈的具体绕向了。
2013年7月5日星期五 15
4. 互感电压 若两耦合电感线圈的电压、电流都取关 联的参考方向，则当电流变化时有： i1 i2 di1 di2 dY 1 M 1 2 u1 = + = L1 ±M + + dt dt dt u2 u1 L L2 di2 di1 dY 2 1 + u2 = = L2 ±M 1' 2' dt dt dt 同名端与互感电压的参考极性 若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互 感电压参考 “+”极在L2的同名端。 同样，若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起 的互感电压参考 “+”极在L1的同名端。
1
结束
. U -
R2
jw (L2-M)
. U2
-
式中 Z2 = R2+ jw (L2- M) . . . . . 由KVL： = U1 + U2 = (Z1+ Z2) I = Z I U Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M)
2013年7月5日星期五
24
Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M)
6
结束
2013年7月5日星期五
M * * L3 2'
结束
L1
L2
L2
1
i1
+
M
i2
+ L2
2
u1
M 1'
M
-
L1
u2
2'
知道了同名端，在列写耦合线圈的VCR时， 就不必关心线圈的具体绕向了。
2013年7月5日星期五 15
4. 互感电压 若两耦合电感线圈的电压、电流都取关 联的参考方向，则当电流变化时有： i1 i2 di1 di2 dY 1 M 1 2 u1 = + = L1 ±M + + dt dt dt u2 u1 L L2 di2 di1 dY 2 1 + u2 = = L2 ±M 1' 2' dt dt dt 同名端与互感电压的参考极性 若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互 感电压参考 “+”极在L2的同名端。 同样，若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起 的互感电压参考 “+”极在L1的同名端。
1
结束
. U -
R2
jw (L2-M)
. U2
-
式中 Z2 = R2+ jw (L2- M) . . . . . 由KVL： = U1 + U2 = (Z1+ Z2) I = Z I U Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M)
2013年7月5日星期五
24
Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M)
6
结束
2013年7月5日星期五
10第十章 含有耦合电感的电路PPT课件
1212111222LM 1i121i1M 1L2i22i2
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
电路PPT课件第10章含有耦合电感的电路
由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画 出同名端及参考方向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
M
*
*
i1
– u21 +
u21
M
di1 dt
u21
M
di1 dt
例
i1
M
i2
+*
*+
u1 L1 _
L2 u2 _
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u
L1
L2
–
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2
u
–
–
•
I
jM
j(L1－M)
•
•
I1 I2
j(L2－M)
•
I1
j(L1－M)
•
I2
j(L2－M)
jM
4. 受控源等效电路
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2 u
–
–
•
I1
+
j L1
•
U1
+
•
jM
–
I–2
•
I2
+
j L2
•
+
U2
•
jMI 1
–
–
•
•
•
U 1 jL1 I 1 jM I 2
US
j (L1 L3 2M31)
第10章 含有耦合电感的电路
•
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
章目录 返回 上一页 下一页
五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
章目录 返回 上一页 下一页
10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
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五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
电路邱关源第五版10第十章
di1 di2 u1 L1 M dt dt 0 1 t M i1 (t ) 0 u1 ( )d i2 (t ) L1 L1
理想变压器模型
考虑理想化条件： k 1 M L1 L2
L1 , L1 L2 N1 N 2 n
M L2 1 L1 L1 n
1 i1 (t ) i2 (t ) n
大小，不改变阻抗的性质。
n2Z
注意 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的
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已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为 例1 使RL获得最大功率，求理想变压器的变比n。 RS RS n:1 + + * * uS RL uS n2RL _ – 解 应用变阻抗性质 当 n2RL=RS 时匹配，即
M k 1 L1L2
def
F11= F21 ，F22 =F12
M M2 ( Mi1 )( Mi2 ) 12 21 k 1 L1L2 L1i1L2i2 11 22 L1L2
注意 耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、
空间磁介质有关。
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例
i1
M
i2
i1 + * u1 L1 _
返 回 上 页 下 页
②反接串联 R1 L1 i
+ + u1 * M – + u
L2 R2 *u – 2 –
+ i R
u
–
L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2M ) di Ri L di dt dt
10n2=1000
第10章 含有耦合电感的电路
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
u11、u22称自感电压； u12、u21称互感电压
互感的VAR为:
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
或正弦稳态下，用相量形式表示为
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
4) 耦合电感的含受控源的等效
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
i1
L1 di2 M dt
L2 di1 M dt
i2
u1
+ u21 – + u11 – i1 + – i2 + u22 – u u11 u12 + u112 – + u – 2 N2 11 N1 ψ1
12
21 22
ψ2
u2 u22 u21
21 22
12
ψ2
u1 u11 u12
+ u11 – i1 – u12 + + u1 –
L2 u
+
u11 u21 L 1
-
u2 u 12 22
_ 1
- 2
_
①自感电压正极性位于产 生该电压电流的流入端 钮；(关联参考方向）
②互感电压正极性位于产生 该电压的电流流入端钮的同 名端。（正极性在同名端）
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
Circuit Theory Teaching and Research Group
u11、u22称自感电压； u12、u21称互感电压
互感的VAR为:
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt
或正弦稳态下，用相量形式表示为
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
4) 耦合电感的含受控源的等效
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
i1
L1 di2 M dt
L2 di1 M dt
i2
u1
+ u21 – + u11 – i1 + – i2 + u22 – u u11 u12 + u112 – + u – 2 N2 11 N1 ψ1
12
21 22
ψ2
u2 u22 u21
21 22
12
ψ2
u1 u11 u12
+ u11 – i1 – u12 + + u1 –
L2 u
+
u11 u21 L 1
-
u2 u 12 22
_ 1
- 2
_
①自感电压正极性位于产 生该电压电流的流入端 钮；(关联参考方向）
②互感电压正极性位于产生 该电压的电流流入端钮的同 名端。（正极性在同名端）
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
电路邱关源版第十章含有耦合电感的电路课件.ppt
M
i2
+*
u_1 L1
+
L2
*
_u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
10.1.3、互感线圈的特性方程
即互感线圈 特性方程的 时域形式：
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
耦合电感的电压是自感电 压和互感电压的叠加。
耦合电感可以看作是一个 具有4个端子的电路元件。
N1
N2
1) 磁耦合 ：
同 样 ， L2 中 的 电 流 i2 产 生
的 磁 通 设 为 22 ， 在 穿 越
自身的线圈时，所产生的
i111
21 i2 11
磁通链设为22，，这是自 感磁通链， 22中的部分
N1
N2
或全部交链线圈1时产生
磁 通 链 12 ， 为 互 感 磁 通
链。这就是彼此耦合的情
解： 令 U 500 V 可得电流 I U 500 5.59 - 26.57 A Z 8.9426.57
各支路吸收的复功率为：
S1 I 2Z1 93.75 - j15.63V A S 2 I 2Z2 156.25 j140.63V A 电源发出的复功率为： S UI* 250 j125V A
2. 互感电压
11
21
N1 i1
+ u11 –
N2 + u21 –
对于有耦合的两个线圈，当i1为时变电流时， 磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电
压。在L1中产生的电压为自感电压u11，在L2中产 生的电压为互感电压u21。感应电压的大小和方向 由同名端及电压电流参考方向共同确定。
第十章 含有耦合电感的电路-文档资料
正弦稳态电路的相量表示
U 1 R 1 jL 1 M I Z 1 I U 2 R 2 jL 2 M I Z 2 I
U R 1 R 2 j L 1 L 2 2 M I Z I
-
1'
L2 u2
-
2'
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
一、反向串联
i R1
L1
u1R1iL1ddtiMddti
R1iL1Mddti
i R1 L1- M
++
u
-
u1
-
+
M R2
u2
L2
-
++
u1
-+
R2
u2R2iL2d dtiMd dti
解：u1L 1d d it1M d d it25s0i1 nt0 V u2M d d it1L 2d d it2 15 si1 0nt0 V
正弦稳态情况下：
U 1jL 1I1jM I2
U 2jM I1jL 2I2
互感抗：M
1 i1
M
i2 2
+
+
u1 L1
u
-
L2- M
u2
-
R2iL2
Mdi
dt
去耦等效电路
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
d i d i
d i d i
u u 1 u 2 R 1 i L 1 d t M d t R 2 i L 2d t M d t
U 1 R 1 jL 1 M I Z 1 I U 2 R 2 jL 2 M I Z 2 I
U R 1 R 2 j L 1 L 2 2 M I Z I
-
1'
L2 u2
-
2'
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
一、反向串联
i R1
L1
u1R1iL1ddtiMddti
R1iL1Mddti
i R1 L1- M
++
u
-
u1
-
+
M R2
u2
L2
-
++
u1
-+
R2
u2R2iL2d dtiMd dti
解：u1L 1d d it1M d d it25s0i1 nt0 V u2M d d it1L 2d d it2 15 si1 0nt0 V
正弦稳态情况下：
U 1jL 1I1jM I2
U 2jM I1jL 2I2
互感抗：M
1 i1
M
i2 2
+
+
u1 L1
u
-
L2- M
u2
-
R2iL2
Mdi
dt
去耦等效电路
制作群
主 页 总目录 章目录 上一页 下一页 退 出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
d i d i
d i d i
u u 1 u 2 R 1 i L 1 d t M d t R 2 i L 2d t M d t
第10章 含有耦合电感的电路
i
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
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第十章 含有耦合电感的电路
§ 10-1 互感 § 10- 2 含有耦合电感电路的计算 § 10- 3 耦合电感的功率 § 10- 4 变压器原理 § 10- 5 理想变压器
第十章 含有耦合电感的电路
知识要点:
1.掌握耦合电感同名端的判断； 2.掌握耦合电感的磁通链方程、电压电流关系 及其基本应用。
判断互感电压M前“+”、“-”的一般规律：
若两个线圈的施感电流均是从同名端流入，则两线 圈上的自感电压与互感电压方向一致，M前取“+”；
若两电流从异名端流入，则则两线圈上的自感电压 与互感电压方向相异，M前取“-”。
u1
L1
di1 dt
M di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1 M i2
11
s
N1 i1 + •* u11 –
0
N2 •△
N3 △
*
+ u21 – + u31 –
例10-1： 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H， L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的磁通链。
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
11 = L1 i1 =20Wb 12 = M i2 = 5cos(10t) Wb 22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb 21 = M i1 =10Wb
+
U2
jω
M
•
I
1
–
–
例10-2 ： 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H， L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。
2 = + M i1 + L2 i2 21
i1 M i2
+● u_1 L1
●
+
L2 _u2
耦合电感 两端口 电路元件
*
*
确定同名端的方法：
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
（1） 根据线圈具体绕向判别：理论依据——当两个线圈中电流
同时由同名端流入（或流出）时，两个电流产生的磁场相互增
强。
（2） 实验法判别：
M 恒大于零
1 = 11±12 2 = ± 21+22
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
M前为“+”说明磁耦合中，互感磁通链与自感磁通链方 向一致，自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同向 耦合；反之称为反向耦合，使自感方向的磁场被削弱， 可能令耦合电感之一的合成磁场为零，甚至为负，其绝 对值有可能超过原自感磁场。
i
理论依据：当随时间增大的时变电
1 *
流从一线圈的一端流入时，将会引
1'
起另一线圈相应同名端的电位升高。
*2 2'
如图电路，当闭合开关S时，i 增加，
di dt
0,
u22'
M
di dt
0
R S1i *
电压表正偏。
1'
*2
+
V –
2'
提示:
当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时， 同名端应一对一对地加以标记。每一对采用不 同的符号。如果每一电感都有电流时，则每一 电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感 磁通链的代数和。
§ 10-1 互感
1、单个载流线圈：
施感电流 右手螺旋法则
i
（自感）磁通 （自感）磁通链：
感应电压
+– ue –+
=N
N匝
感应电动势
u(t) dψ d(Li) L di dt dt dt
2、名词介绍：
磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象
当电路中含有两个或两个以上相互耦合的线圈时，若 在某一线圈中通以交变电流，则该电流所产生的交变 磁通，不仅在本线圈产生感应电动势，也会在其它线 圈产生感应电动势，这种现象称做耦合电感，简称互 感现象。
产生它的施感电流成正比，即：11、21与i1成正比，22、 12与i2成正比：
11 = L1 i1， 21 = M21 i1，
22 = L2 i2， 12 = M12 i2
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨( H)。
M 21
21 i1
，称M 21为线圈1对线圈2的互感系数，单位亨（H）。
M21 = M12 =M
工程上将同向耦合状态下的一对施感电流的入端（或出端） 定义为耦合电感的同名端。则反向耦合状态下的一对施感 电流的入端（或出端）定义为耦合电感的异名端。
同名端用相同的符号如“•”或“*”等符号加以标记
二、互感线圈的同名端判断11Fra bibliotekN1N2
i1 •
i2 •
+ u11 – + u21 –
同名端判断练习：
1 = L1 i1 + M i2
1 = L1 i1 + M i2 =[20+ 5cos(10t)] Wb 2 = M i1 + L2 i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb
三、互感线圈的伏安特性
i1 M i2
——耦合电感的电压电流关系
当两个线圈同时通以变动的电流时， 各电感的磁链将随电流的变动而变动，
++ *
u_1u12L1
－
* ++
L2 u2_u12 －
在每个线圈两端将产生感应电压（包含 自感电压和互感电压），设电压、电流
1 = L1 i1 ± M i2
为关联参考方向，则有 ：
u1
dΨ 1 dt
L1
di1 dt
2 = ± M i1 + L2 i2
+
M
di2 dt
u2
dΨ 2 dt
+M
di1 dt
L2
di2 dt
正确判断确定M前的正负号即互感电压的正负是列 写方程式的关键!
一、 互感
自感 磁通
1
11
自感磁通链11 =N1 11
2
互感
21 磁通
N1
i1
+ 施感电流
u11
–
自感电压
N2 + u21 – 互感电压
互感磁通链21： N2 21
双下标的含义：
第1个下标表示该磁通（链）所在线圈的编号，第2个下 标表示产生该磁通（链）的施感电流所在线圈的编号。
工程上称这样的耦合线圈为耦合电感（元件）。
互感磁通链12= N1 12 12
N1
+ u12 互感电压
N2 i2 – + u22 –
施感电流 自感电压
22
自感磁通链：
22 =N222
结论：每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互
感磁通链的代数和。即：
1 = 11±12 2 = ± 21+22
当线圈周围是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
在正弦稳态交流电路中，其相量形式的方程为：
•
•
•
U 1 jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U 2 jM I 1 jL2 I 2
可以用电流控制电压源来 表示互感电压的作用。
di dt
I(i
)
2
jI
•
•
I1
I2
+
+
j L1
•
U1
+
jω
M
•
I
2
–
–
j L2
•
§ 10-1 互感 § 10- 2 含有耦合电感电路的计算 § 10- 3 耦合电感的功率 § 10- 4 变压器原理 § 10- 5 理想变压器
第十章 含有耦合电感的电路
知识要点:
1.掌握耦合电感同名端的判断； 2.掌握耦合电感的磁通链方程、电压电流关系 及其基本应用。
判断互感电压M前“+”、“-”的一般规律：
若两个线圈的施感电流均是从同名端流入，则两线 圈上的自感电压与互感电压方向一致，M前取“+”；
若两电流从异名端流入，则则两线圈上的自感电压 与互感电压方向相异，M前取“-”。
u1
L1
di1 dt
M di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1 M i2
11
s
N1 i1 + •* u11 –
0
N2 •△
N3 △
*
+ u21 – + u31 –
例10-1： 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H， L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的磁通链。
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
11 = L1 i1 =20Wb 12 = M i2 = 5cos(10t) Wb 22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb 21 = M i1 =10Wb
+
U2
jω
M
•
I
1
–
–
例10-2 ： 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H， L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。
2 = + M i1 + L2 i2 21
i1 M i2
+● u_1 L1
●
+
L2 _u2
耦合电感 两端口 电路元件
*
*
确定同名端的方法：
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
（1） 根据线圈具体绕向判别：理论依据——当两个线圈中电流
同时由同名端流入（或流出）时，两个电流产生的磁场相互增
强。
（2） 实验法判别：
M 恒大于零
1 = 11±12 2 = ± 21+22
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
M前为“+”说明磁耦合中，互感磁通链与自感磁通链方 向一致，自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同向 耦合；反之称为反向耦合，使自感方向的磁场被削弱， 可能令耦合电感之一的合成磁场为零，甚至为负，其绝 对值有可能超过原自感磁场。
i
理论依据：当随时间增大的时变电
1 *
流从一线圈的一端流入时，将会引
1'
起另一线圈相应同名端的电位升高。
*2 2'
如图电路，当闭合开关S时，i 增加，
di dt
0,
u22'
M
di dt
0
R S1i *
电压表正偏。
1'
*2
+
V –
2'
提示:
当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时， 同名端应一对一对地加以标记。每一对采用不 同的符号。如果每一电感都有电流时，则每一 电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感 磁通链的代数和。
§ 10-1 互感
1、单个载流线圈：
施感电流 右手螺旋法则
i
（自感）磁通 （自感）磁通链：
感应电压
+– ue –+
=N
N匝
感应电动势
u(t) dψ d(Li) L di dt dt dt
2、名词介绍：
磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象
当电路中含有两个或两个以上相互耦合的线圈时，若 在某一线圈中通以交变电流，则该电流所产生的交变 磁通，不仅在本线圈产生感应电动势，也会在其它线 圈产生感应电动势，这种现象称做耦合电感，简称互 感现象。
产生它的施感电流成正比，即：11、21与i1成正比，22、 12与i2成正比：
11 = L1 i1， 21 = M21 i1，
22 = L2 i2， 12 = M12 i2
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨( H)。
M 21
21 i1
，称M 21为线圈1对线圈2的互感系数，单位亨（H）。
M21 = M12 =M
工程上将同向耦合状态下的一对施感电流的入端（或出端） 定义为耦合电感的同名端。则反向耦合状态下的一对施感 电流的入端（或出端）定义为耦合电感的异名端。
同名端用相同的符号如“•”或“*”等符号加以标记
二、互感线圈的同名端判断11Fra bibliotekN1N2
i1 •
i2 •
+ u11 – + u21 –
同名端判断练习：
1 = L1 i1 + M i2
1 = L1 i1 + M i2 =[20+ 5cos(10t)] Wb 2 = M i1 + L2 i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb
三、互感线圈的伏安特性
i1 M i2
——耦合电感的电压电流关系
当两个线圈同时通以变动的电流时， 各电感的磁链将随电流的变动而变动，
++ *
u_1u12L1
－
* ++
L2 u2_u12 －
在每个线圈两端将产生感应电压（包含 自感电压和互感电压），设电压、电流
1 = L1 i1 ± M i2
为关联参考方向，则有 ：
u1
dΨ 1 dt
L1
di1 dt
2 = ± M i1 + L2 i2
+
M
di2 dt
u2
dΨ 2 dt
+M
di1 dt
L2
di2 dt
正确判断确定M前的正负号即互感电压的正负是列 写方程式的关键!
一、 互感
自感 磁通
1
11
自感磁通链11 =N1 11
2
互感
21 磁通
N1
i1
+ 施感电流
u11
–
自感电压
N2 + u21 – 互感电压
互感磁通链21： N2 21
双下标的含义：
第1个下标表示该磁通（链）所在线圈的编号，第2个下 标表示产生该磁通（链）的施感电流所在线圈的编号。
工程上称这样的耦合线圈为耦合电感（元件）。
互感磁通链12= N1 12 12
N1
+ u12 互感电压
N2 i2 – + u22 –
施感电流 自感电压
22
自感磁通链：
22 =N222
结论：每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互
感磁通链的代数和。即：
1 = 11±12 2 = ± 21+22
当线圈周围是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
在正弦稳态交流电路中，其相量形式的方程为：
•
•
•
U 1 jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U 2 jM I 1 jL2 I 2
可以用电流控制电压源来 表示互感电压的作用。
di dt
I(i
)
2
jI
•
•
I1
I2
+
+
j L1
•
U1
+
jω
M
•
I
2
–
–
j L2
•