高等代数(第三版)10.4 辛空间
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第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
结论１ 辛空间(V，f )中一定能找到一组基
1， -1 ，ｎ, -ｎ满足
1 in f ( i , i ) 1 f ( , ) 0 n i , j n , i j 0 i j 这样的基称为(V，f )的辛正交基
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理１1 设 是２ｎ维辛空间中的 则它的特征多项式f ( ) | I K | 满足 f ( ) f ( ).若设
2n
辛变换，Ｋ是 在某辛正交基下的矩阵， 1
f ( ) a0
2n
a1
2 n 1
a2 n 1 a2 n
则ai a2 n i , i 0,1,
,n
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理１2 设i , j 是数域P上辛空间(V , f ) 上的辛变换 在P中的特征值，且i j 1， 设Vi ,V j 是V中对应于特征值i 及 j的特征 子空间，则u Vi , v V j , 有f (u , v) 0, 即Vi 与V j 是辛正交的特别地，当 . i 1时， Vi 是迷向子空间.
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义 两个辛空间(V1 , f1 )及(V ２, f ２)，若 有V1到V2的作为线性空间的同构，满足 f1 ( , ) f 2 ( , ), 则称 是(V1 , f1 )到(V ２, f ２)的辛同构
两个辛空间是辛同构当且仅当 它们有相同的维数
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理８ 设Ｌ是辛空间(V，f )的拉格 朗日子空间，1， ，ｎ是Ｌ的一组基， 则它可扩充为(V，f )的辛正交基
推论 W是辛空间(V，f )的迷向子空间，
1， ，ｎ是Ｗ的一组基，则它可扩充为
(V，f )的辛正交基
第十章 双线性函数Leabharlann Baidu辛空间 10.4 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
结论２ 任一２ｎ级非退化反对称矩阵 Ｋ可把一个数域Ｐ上２ｎ维空间Ｖ化成 一个辛空间，且使Ｋ为Ｖ的某基e1 , e2 , en , e1 , , e n下的度量矩阵．辛空间在某 ，ｎ, -1 , , -ｎ下的 辛正交基基1，２ ,
E 0 度量矩阵为J E 0 故Ｋ合同于Ｊ，即任一２ｎ级非退化反对 称矩阵皆合同于Ｊ．
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义 辛空间(V, f )到自身的，辛同构 称为(V, f )上的辛变换 定义 设(V, f )辛空间，u, v V满足 f (u, v) 0, 则称u, v为辛正交的
定义 W 是V的子空间，令 U {u V|f (u, w) 0, w W } 则U称为W的辛正交补空间．
定理９ 辛空间(V，f )的辛子空间 （Ｕ，｜Ｕ）的一组辛正交基可扩充 f 为(V，f )的辛正交基 定理10 令(V，f )为辛空间，U和W是两 个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子 空间，则有(V，f )的辛变换把U变成W.
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
Ｗitt定理 辛空间(V，f )的两个子空间 Ｕ，Ｗ之间若有等距，则此等距可扩充 为(V，f )的一个辛变换
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理７ (V, f )是辛空间，W 是V的子空间， Ｕ是Ｗ的辛正交补空间，则 dim U= dim V dim W
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义９ (V, f )是辛空间，W 是V的子空间， Ｕ是Ｗ的辛正交补空间，若W Ｕ，则称W 为(V, f )的迷向子空间；若W＝Ｕ，即W 是极 大的迷向子空间，也称为拉格朗日子空间；
若W Ｕ＝｛０｝，则称W 为(V, f )的辛子空间．
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛空间(V,f)的子空间U,W具有下性质：
(1)(W
)
W
(2)U W W U
(3)若Ｕ是辛子空间，则V=U U
1 (4)若Ｕ是迷向子空间，则dimU dim V 2 1 (5)若Ｕ是拉格朗日子空间，则dimU＝ dim V 2
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
小 结
辛空间的概念及性质
作业：P423：15，17
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛子空间的概念及性质
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛子空间的概念
定义8 设V为数域Ｐ上线性空间,在Ｖ 上定义了一个非退化双线性函数，则 Ｖ称为一个双线性度量空间． 当f 是非退化对称双线性函数时，Ｖ称 为Ｐ上的正交空间；当Ｖ是ｎ维实线性 空间时，f 是非退化对称双线性函数时， Ｖ称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称 双线性函数时，Ｖ称为辛空间．
结论１ 辛空间(V，f )中一定能找到一组基
1， -1 ，ｎ, -ｎ满足
1 in f ( i , i ) 1 f ( , ) 0 n i , j n , i j 0 i j 这样的基称为(V，f )的辛正交基
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理１1 设 是２ｎ维辛空间中的 则它的特征多项式f ( ) | I K | 满足 f ( ) f ( ).若设
2n
辛变换，Ｋ是 在某辛正交基下的矩阵， 1
f ( ) a0
2n
a1
2 n 1
a2 n 1 a2 n
则ai a2 n i , i 0,1,
,n
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理１2 设i , j 是数域P上辛空间(V , f ) 上的辛变换 在P中的特征值，且i j 1， 设Vi ,V j 是V中对应于特征值i 及 j的特征 子空间，则u Vi , v V j , 有f (u , v) 0, 即Vi 与V j 是辛正交的特别地，当 . i 1时， Vi 是迷向子空间.
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义 两个辛空间(V1 , f1 )及(V ２, f ２)，若 有V1到V2的作为线性空间的同构，满足 f1 ( , ) f 2 ( , ), 则称 是(V1 , f1 )到(V ２, f ２)的辛同构
两个辛空间是辛同构当且仅当 它们有相同的维数
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理８ 设Ｌ是辛空间(V，f )的拉格 朗日子空间，1， ，ｎ是Ｌ的一组基， 则它可扩充为(V，f )的辛正交基
推论 W是辛空间(V，f )的迷向子空间，
1， ，ｎ是Ｗ的一组基，则它可扩充为
(V，f )的辛正交基
第十章 双线性函数Leabharlann Baidu辛空间 10.4 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
结论２ 任一２ｎ级非退化反对称矩阵 Ｋ可把一个数域Ｐ上２ｎ维空间Ｖ化成 一个辛空间，且使Ｋ为Ｖ的某基e1 , e2 , en , e1 , , e n下的度量矩阵．辛空间在某 ，ｎ, -1 , , -ｎ下的 辛正交基基1，２ ,
E 0 度量矩阵为J E 0 故Ｋ合同于Ｊ，即任一２ｎ级非退化反对 称矩阵皆合同于Ｊ．
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义 辛空间(V, f )到自身的，辛同构 称为(V, f )上的辛变换 定义 设(V, f )辛空间，u, v V满足 f (u, v) 0, 则称u, v为辛正交的
定义 W 是V的子空间，令 U {u V|f (u, w) 0, w W } 则U称为W的辛正交补空间．
定理９ 辛空间(V，f )的辛子空间 （Ｕ，｜Ｕ）的一组辛正交基可扩充 f 为(V，f )的辛正交基 定理10 令(V，f )为辛空间，U和W是两 个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子 空间，则有(V，f )的辛变换把U变成W.
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
Ｗitt定理 辛空间(V，f )的两个子空间 Ｕ，Ｗ之间若有等距，则此等距可扩充 为(V，f )的一个辛变换
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定理７ (V, f )是辛空间，W 是V的子空间， Ｕ是Ｗ的辛正交补空间，则 dim U= dim V dim W
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
定义９ (V, f )是辛空间，W 是V的子空间， Ｕ是Ｗ的辛正交补空间，若W Ｕ，则称W 为(V, f )的迷向子空间；若W＝Ｕ，即W 是极 大的迷向子空间，也称为拉格朗日子空间；
若W Ｕ＝｛０｝，则称W 为(V, f )的辛子空间．
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛空间(V,f)的子空间U,W具有下性质：
(1)(W
)
W
(2)U W W U
(3)若Ｕ是辛子空间，则V=U U
1 (4)若Ｕ是迷向子空间，则dimU dim V 2 1 (5)若Ｕ是拉格朗日子空间，则dimU＝ dim V 2
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
小 结
辛空间的概念及性质
作业：P423：15，17
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛子空间的概念及性质
第十章 双线性函数与辛空间 10.4 辛空间
辛子空间的概念
定义8 设V为数域Ｐ上线性空间,在Ｖ 上定义了一个非退化双线性函数，则 Ｖ称为一个双线性度量空间． 当f 是非退化对称双线性函数时，Ｖ称 为Ｐ上的正交空间；当Ｖ是ｎ维实线性 空间时，f 是非退化对称双线性函数时， Ｖ称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称 双线性函数时，Ｖ称为辛空间．