对数及对数运算(2)讲解

(3) y ln(16 4x ) .
例2
已知函数
1 x f (x) log2 1 x
, 求函
数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.
作业： P73 练习： 2 P74 习题2.2A组：9，10.
2.2.2 对数函数及其性质 第二课时 对数函数的性质
问题提出
1.什么是对数函数？其大致图象如何？
思考2:设点P(m，n)为对数函数 y loga x 图象上任意一点，则 n loga m ，从而
有 m an.由此可知点Q（n，m）在哪个
函数的图象上？
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y loga x
的图象与指数函数 y ax 的图象有怎样
思考1:loga b 与 logb a 有什么关系？
思考2: logan N与 loga N 有什么关系？
思考3: (loga M )(loga N) 可变形为什么？
理论迁移
例1 计算：
(1) log 8 9 log 27 32 ;
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
理论迁移
例1 比较下列各组数中的两个值的大小： （1）log23.4，log28.5 ； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67.
例2 求下列函数的定义域、值域： (1) y＝ 1 log3(x 1) ； (2) y＝log2(x2＋2x＋5).
求m 的值.
ab
15
例4 20世纪30年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪 衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们 常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－ lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震
的震级（精确到0.1）； 4.3
20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量
地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
2
(2) log 1 81
27
(3) log4 8 log1 3 log
9
2
1 4
4 3
-2
(4)（lg5)2 lg 2lg50
1
(5) lg 27 lg8 3lg 10
3
lg1.2
2
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
已知 f (1) 2, 且对一切 x R,
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数的概念与图象
问题提出
t
p


1 2

5730
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.
2.由对数函数的图象可得到哪些基本性 质？
知识探究（一）：函数y loga x(a 1)的性质
y
思考1:函数图象分布
在哪些象限？与y轴的 相对位置关系如何？
1
0
1
x
思考2:由此可知函数的定义域、值域分别 是什么？
思考3:函数图象的升降情况如何？由此说 明什么性质？
思考4:图象在x轴上、下 y
知识探究（二）:幂的对数
思考1:log23与log281有什么关系？
思考2:将log281=4log23推广到一般情形 有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什 么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．
思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立 吗？
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则
思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0， 你能证明等式loga（M·N）＝logaM十 logaN成立吗？
思考4:将log232－log24=log28推广到一 般情形有什么结论？怎样证明？
思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…， Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？
;
(2) loga
x2
3
y z
.
例2 求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5 100
；
31log3 2
(3) log318 -log32 ；
3 (4) 1log3 2
.
例3 计算：
2log 52 log 53
log
5
10

1 2
log
5
0.36

1 3
log
5
8
小结作业: 性质①的等号左端是乘积的对数，右端是 对数的和，从左往右看是—个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数，右端是对 数的差，从左往右是一个降级运算，从右 往左是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算． 利用对数的性质①②可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和 差运算，大大的方便了对数式的化简和求 值.
两侧的分布情况如何？
由此说明函数值有那些
1
0
1
x
变化？
y
思考5:若a b 1 ，则
函数 y loga x与
0
1
y logb x的图象的相
对位置关系如何？
y logb x
y loga x
x
知识探究（二）:函数y loga x(0 a 1)的性质
y
思考1:函数的定义域、值
例3 溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH
的计算公式为pH＝－lg[H+]，其中[H+] 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩 尔／升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢 离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+ ＝10－7摩尔／升，计算纯净水的pH.
的位置关系？
yQ
P
o
x
思考4:一般地，对数函数的图象可分为
几类？其大致形状如何？ y a>1 y
0<a<1
1 1
01
x
01
x
思考5:函数 y | log2 x | 与 y log2 | x |
的图象分别如何？
理论迁移
例1 求下列函数的定义域：
(1) y＝log0.5|x+1| ; (2) y＝log2(4－x) ;
2.2.1
对数与对数运算
第二课时 对数的运算
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？
作业： P68 练习：4. P74 习题2.2A组： 6，11，12.
2.2.1 对数与对数运算 第四课时 对数运算习题课
知识回顾
1.指数与对数的换算:
ab N b loga N
2.对数运算的三个常用结论:
(1)
log .
a
a

1
(2) loga 1 0
(3) aloga N N
域、单调性、函数值分布
分别如何？
01
x
思考2:若0 b a 1， y
则函数 y loga x与
y logb x的图象的相 0 1
对位置关系如何？
x
y logb x y loga x
思考3:对数函数具有奇偶性吗？
思考4:对数函数存在最大值和最小值 吗？
思考5:设a 0, a 1，若 loga m loga n，则 m与n的大小关系如何？若loga m loga n ， 则m与n的大小关系如何？
作业：
P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
2.2.1 对数与对数运算 第三课时 换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质？
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N

loga
M N
（3）loga M n n loga M
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
思考5:对数函数的定义域、值域分别是 什么？
思考6:函数 y log3 x2 与 y 2log3 x 相同吗？ 为什么？
知识探究（二）：对数函数的图象
思考1:研究对数函数的基本特性应先研 究其图象.你有什么方法作对数函数的图 象？
7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅
的多少倍（精确到1）. 398
例5 生物机体内碳14的“半衰期” 为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7％，试推算马王堆古墓的年代.
2193
思考题:设函数 f (x) x2 (lg a 2)x lg b,
2.对数运算有哪.三个常用结论？
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
（3）aloga N N .
3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？
4.由 1.01x

18 得
13
x

log1.01
18 13
，但这只
是一种表示，如何求得x的值？
知识探究（一）：对数的换底公式
思考4:我们把
loga
b

logc logc
b a
（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）
叫做对数换底公式，该公式有什么特征？
思考5:通过查表可得任何一个正数的常用
对数，利用换底公式如何求
log1.01
18 13
的值？
思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？
知识探究（二）：换底公式的变式
作业： P73 练习：3 P74 习题2.2B组：1， 2，3.
2.2.2 对数函数及其性质 第三课时 指、对数函数与反函数
问题提出
设a＞0，且a≠1为常数，at s.若以
t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s 为自变量可得对数函数y＝logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释？
思考1:假设 log2 5 x ，则
log2
5

log2 3
x log2 3
log2
3x，从而有 3x

5.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；
logc b
c>0，且c≠1；b>0，那么 logc a 与哪个 对数相等？如何证明这个结论？
3.对数运算的三条基本性质:
(1) loga M loga N loga (M N)
M (2) loga M loga N loga N
(3) loga M n n loga M
4.对数换底公式:
loga
b

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logc logc
b a
理论迁移
例1 求下列各式的值:
(1) 2 log5 10 log 50.25
2. y log 1 x（x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 污垢为原来的 1 ，则要漂洗几次？
64
思考2:在关系式y log 1 x中，取 x a(a 0)
4
对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
loga n M 等于什么？
思考6:上述关于对数运算的三个基本性 质如何用文字语言描述？ ①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减去
除数的对数； ③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
理论迁移
例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式：
(1)
log a
xy z
知识探究（一）：反函数的概念
思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直 线运动，分别以位移s和时间t为自变量， 可以得到哪两个函数？这两个函数相同 吗？ 思考2:设 2x y，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
思考3:我们把具有上述特征的两个函数 互称为反函数，那么函数y＝ax（a＞0， 且a≠1）的反函数是什么？函数 y 2x 1 的反函数是什么？