2019-2020 学年高三第二学期三校联考理科数学试卷
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直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；（5 分）wk.baidu.com
（2）求线段 AB 中点的极坐标（ 0 ， 0 2π ）．（5 分）
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) 3 x a 3x 1 ， g(x) 4x 1 x 2 ．
v
460
4.20
12
2
ui u
i 1
31250
12
ui u yi y
i 1
12
2
vi v
i 1
215
3.08
12
xi x vi v
i 1
14
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（4 分）
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（4 分） （ⅱ）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？
（1）求不等式 g(x) 6 的解集；（5 分）
（2）若存在 x1 ， x2 R ，使得 f (x1) 和 g(x2 ) 互为相反数，求 a 的取值范围．（5 分）
D. 以上都不对
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知
，且
a0+a1+a2+…+an=126，那么
展开式中的常数项为______．
14.已知椭圆 x2 y2 1， A 、 B 是椭圆的左右顶点， P 是椭圆上不与 A 、 B 重合的一点， 4
PA
、
PB
的倾斜角分别为
2019—2020 学年高三第二学期三校联考
理科数学
注意事项： 1．答 题 前 ，先 将 自 己的 姓 名 、准 考 证 号填 写 在 试 题 卷 和 答题 卡 上 ，并 将 准 考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非 选 择 题的 作 答 ：用 签 字 笔直 接 答 在 答 题卡 上 对 应 的 答 题区 域 内 。写 在 试 题
11 ． 已 知 函 数 f x x 32 1 ， 则 平 面 图 形 D 内 的 点 m, n 满 足 条 件 ：
f m f n 0 ，且 f m f n 0 ，则 D 的面积为（ ）
A．
B． 3
C．
2
D．1
12.已知定义域为 R 的函数
，则此函数图
象上关于原点对称的点有（ ） A. 7 对 B. 8 对 C. 9 对
（1）求证： AD 平面 PCD；
（2）T 为 PB 中点，求二面角 T AC B 的大小
. 19.过抛物线 C：y2=2px（其中 p＞0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且 A、B 两点 的纵坐标之积为-16． （1）求抛物线 C 的方程；（3 分）
（2）当|AF|≠|BF|时，求
A．12
B13 C.16 D.17.
10.直线 a 、 b 是空间一组异面直线，长度确定的线段 AB 在直线 a 上滑动，长度确定的线
段 CD 在直线 b 上滑动，ACD 的面积记为 S ，四面体 ABCD 的体积记为V ，则（ ）
A． S 为常数.V 不确定 B． S 不确定.V 为常数 C． S 、V 均为常数 D． S 、V 均不确定
（4 分）
附：①相关系数 r
n
xi
x
yi
y
i 1
，
n
2n
2
xi x
yi y
i 1
i 1
n
回归直线 $y $a $bx 中公式分别为： b i1
xi x yi y
n
2
xi x
， $a y $b x ；
i 1
②参考数据： 308 4 77 ， 90 9.4868 ， e4.4998 90
，
，则
的取值范围是（ ）
A.
B. [0，2] C.
D.
9．10 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）.规定两人对局者胜者得 2 分，平
局各得1分，负者得 0 分，并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后，10 名选手的得分各
不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 4 ，则第二名选手的得分是（） 5
21．已知函数 f (x) sin x m ln(x 1) ，且 f x 在 x 0 处切线垂直于 y 轴． （1）求函数 f x 在 0,1 上的最小值；（7 分）
（2）若 x2 ax ln x esin x 1 0 恒成立，求满足条件的整数 a 的最大值． （参考数据 sin1 0.84 ， ln 2 0.693 ）（5 分）
去，第 n(n N* ) 行中白圈与黑圈的“坐标”为
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.一个创业青年租用一块边长为 4 百米的等边△ABC 田地 （如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路 MN， AP，其中 M，N 分别为 AC，BC 的中点，点 P 在 BC 上．规 划在小路 MN 与 AP 的交点 O（O 与 M、N 不重合）处设立 售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长 区，A，N 为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路 MO 段与 OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不 计．为车辆安全出入，小路 AO 段的建造费用为每百米 4 万 元，小路 ON 段的建造费用为每百米 3 万元．
的值；（4 分）
（3）对于 x 轴上给定的点 D（n，0）（其中 n＞2），若过点 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 准 线 P 点，求证：直线 AP 与 x 轴交于一定点．（5 分）
20．某公司为了了解年研发资金投人量 x （单位：亿元）对年销售额 y （单位：亿元）的影 响.对公司近12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，进行了对比分析，建立了两
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程是
x
y
3 cos 3 sin
2
（
为参数），以坐标原
点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( π) 0 ， 4
（1）若拟修的小路 AO 段长为 百米，求小路 ON 段的建造费用；（6 分） （2）设∠BAP=θ，求 cosθ的值，使得小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小（6 分）．
18.在四棱锥 P ABCD 中，平面 ABCD 平面 PCD，底面 ABCD 为梯形， AB / /CD ， AD PC ，M 为 PD 的中点，过 A，B，M 的平面与 PC 交于 N. DC 2 3 ，DA PD 2 ， AB 1， PDC 120 .
（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛
肉方便面至少有（ ）
A. 8 桶 B. 9 桶 C. 10 桶 D. 11 桶
3．已知 x 0 ， y 0 ， z
0 ，且
y
9
z
1 x
1 ，则
x
y
z
的最小值为（
、
，则
cos cos
______．
15.方程 xln3 xln 4 xln5 正实数解为______．
16．图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示 的一个树形图．
我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标
表示黑圈的个数）．比如第一行记为 (0,1) ，第二行记为 (1, 2) ，第三行记为 (4, 5) ，照此下
个函数模型：① y x2 ，② y ext ，其中 、 、 、 t 均为常数， e 为自然对数
的底数.并得到一些统计量的值.令 ui xi2 ， vi ln yi i 1, 2,,12 ，经计算得如下数据：
x
y
12
2
xi x
i 1
20
66
77
12
2
yi y
i 1
2
u
2 小于 k （其中 k A ）的概率是 5 ，则 k ( )
A.4
B.7 C.4 或 7 D.5 或 6
6．设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 mx m2 m 0 的两个不相等的实数根，那么过两点
A(x1, x12 ) ， B(x2 , x22 ) 的直线与圆 x 12 y2 1的位置关系是（ ）
）
A． 8
B． 9
C．12
D． 16
4．将函数
f
x
2sin
2
x
6
的图象向左平移
6
个单位，再向上平移
1
个单位，得到
g x 的图象．若 g x1 g x2 9 ，且 x1 ，x2 2 , 2 ，则 x1 x2 的最大值为（ ）
A．
B． 2
C． 3 D． 4
5.从集合 A 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 中任取两个数，欲使取到的一个数大于 k ，另一个数
A. 相离. B. 相切. C. 相交. D. 随 m 的变化而变化.
7．2020 某国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等10 人中挑选 3 人参加比赛，其中甲乙丙丁 4
人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ）
种
A． 69 B． 84 C． 76 D． 96
8．若
，且
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知复数 z 满足 zi i m(m R) ，若 z 的虚部为1，则复数 z 在复平面内对应的点在
（1）求曲线 C 的极坐标方程；（5 分）wk.baidu.com
（2）求线段 AB 中点的极坐标（ 0 ， 0 2π ）．（5 分）
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) 3 x a 3x 1 ， g(x) 4x 1 x 2 ．
v
460
4.20
12
2
ui u
i 1
31250
12
ui u yi y
i 1
12
2
vi v
i 1
215
3.08
12
xi x vi v
i 1
14
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（4 分）
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（4 分） （ⅱ）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？
（1）求不等式 g(x) 6 的解集；（5 分）
（2）若存在 x1 ， x2 R ，使得 f (x1) 和 g(x2 ) 互为相反数，求 a 的取值范围．（5 分）
D. 以上都不对
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知
，且
a0+a1+a2+…+an=126，那么
展开式中的常数项为______．
14.已知椭圆 x2 y2 1， A 、 B 是椭圆的左右顶点， P 是椭圆上不与 A 、 B 重合的一点， 4
PA
、
PB
的倾斜角分别为
2019—2020 学年高三第二学期三校联考
理科数学
注意事项： 1．答 题 前 ，先 将 自 己的 姓 名 、准 考 证 号填 写 在 试 题 卷 和 答题 卡 上 ，并 将 准 考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非 选 择 题的 作 答 ：用 签 字 笔直 接 答 在 答 题卡 上 对 应 的 答 题区 域 内 。写 在 试 题
11 ． 已 知 函 数 f x x 32 1 ， 则 平 面 图 形 D 内 的 点 m, n 满 足 条 件 ：
f m f n 0 ，且 f m f n 0 ，则 D 的面积为（ ）
A．
B． 3
C．
2
D．1
12.已知定义域为 R 的函数
，则此函数图
象上关于原点对称的点有（ ） A. 7 对 B. 8 对 C. 9 对
（1）求证： AD 平面 PCD；
（2）T 为 PB 中点，求二面角 T AC B 的大小
. 19.过抛物线 C：y2=2px（其中 p＞0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且 A、B 两点 的纵坐标之积为-16． （1）求抛物线 C 的方程；（3 分）
（2）当|AF|≠|BF|时，求
A．12
B13 C.16 D.17.
10.直线 a 、 b 是空间一组异面直线，长度确定的线段 AB 在直线 a 上滑动，长度确定的线
段 CD 在直线 b 上滑动，ACD 的面积记为 S ，四面体 ABCD 的体积记为V ，则（ ）
A． S 为常数.V 不确定 B． S 不确定.V 为常数 C． S 、V 均为常数 D． S 、V 均不确定
（4 分）
附：①相关系数 r
n
xi
x
yi
y
i 1
，
n
2n
2
xi x
yi y
i 1
i 1
n
回归直线 $y $a $bx 中公式分别为： b i1
xi x yi y
n
2
xi x
， $a y $b x ；
i 1
②参考数据： 308 4 77 ， 90 9.4868 ， e4.4998 90
，
，则
的取值范围是（ ）
A.
B. [0，2] C.
D.
9．10 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）.规定两人对局者胜者得 2 分，平
局各得1分，负者得 0 分，并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后，10 名选手的得分各
不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 4 ，则第二名选手的得分是（） 5
21．已知函数 f (x) sin x m ln(x 1) ，且 f x 在 x 0 处切线垂直于 y 轴． （1）求函数 f x 在 0,1 上的最小值；（7 分）
（2）若 x2 ax ln x esin x 1 0 恒成立，求满足条件的整数 a 的最大值． （参考数据 sin1 0.84 ， ln 2 0.693 ）（5 分）
去，第 n(n N* ) 行中白圈与黑圈的“坐标”为
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.一个创业青年租用一块边长为 4 百米的等边△ABC 田地 （如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路 MN， AP，其中 M，N 分别为 AC，BC 的中点，点 P 在 BC 上．规 划在小路 MN 与 AP 的交点 O（O 与 M、N 不重合）处设立 售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长 区，A，N 为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路 MO 段与 OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不 计．为车辆安全出入，小路 AO 段的建造费用为每百米 4 万 元，小路 ON 段的建造费用为每百米 3 万元．
的值；（4 分）
（3）对于 x 轴上给定的点 D（n，0）（其中 n＞2），若过点 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 准 线 P 点，求证：直线 AP 与 x 轴交于一定点．（5 分）
20．某公司为了了解年研发资金投人量 x （单位：亿元）对年销售额 y （单位：亿元）的影 响.对公司近12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，进行了对比分析，建立了两
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程是
x
y
3 cos 3 sin
2
（
为参数），以坐标原
点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( π) 0 ， 4
（1）若拟修的小路 AO 段长为 百米，求小路 ON 段的建造费用；（6 分） （2）设∠BAP=θ，求 cosθ的值，使得小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小（6 分）．
18.在四棱锥 P ABCD 中，平面 ABCD 平面 PCD，底面 ABCD 为梯形， AB / /CD ， AD PC ，M 为 PD 的中点，过 A，B，M 的平面与 PC 交于 N. DC 2 3 ，DA PD 2 ， AB 1， PDC 120 .
（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛
肉方便面至少有（ ）
A. 8 桶 B. 9 桶 C. 10 桶 D. 11 桶
3．已知 x 0 ， y 0 ， z
0 ，且
y
9
z
1 x
1 ，则
x
y
z
的最小值为（
、
，则
cos cos
______．
15.方程 xln3 xln 4 xln5 正实数解为______．
16．图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示 的一个树形图．
我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标
表示黑圈的个数）．比如第一行记为 (0,1) ，第二行记为 (1, 2) ，第三行记为 (4, 5) ，照此下
个函数模型：① y x2 ，② y ext ，其中 、 、 、 t 均为常数， e 为自然对数
的底数.并得到一些统计量的值.令 ui xi2 ， vi ln yi i 1, 2,,12 ，经计算得如下数据：
x
y
12
2
xi x
i 1
20
66
77
12
2
yi y
i 1
2
u
2 小于 k （其中 k A ）的概率是 5 ，则 k ( )
A.4
B.7 C.4 或 7 D.5 或 6
6．设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 mx m2 m 0 的两个不相等的实数根，那么过两点
A(x1, x12 ) ， B(x2 , x22 ) 的直线与圆 x 12 y2 1的位置关系是（ ）
）
A． 8
B． 9
C．12
D． 16
4．将函数
f
x
2sin
2
x
6
的图象向左平移
6
个单位，再向上平移
1
个单位，得到
g x 的图象．若 g x1 g x2 9 ，且 x1 ，x2 2 , 2 ，则 x1 x2 的最大值为（ ）
A．
B． 2
C． 3 D． 4
5.从集合 A 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 中任取两个数，欲使取到的一个数大于 k ，另一个数
A. 相离. B. 相切. C. 相交. D. 随 m 的变化而变化.
7．2020 某国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等10 人中挑选 3 人参加比赛，其中甲乙丙丁 4
人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ）
种
A． 69 B． 84 C． 76 D． 96
8．若
，且
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知复数 z 满足 zi i m(m R) ，若 z 的虚部为1，则复数 z 在复平面内对应的点在