高中数学,空间角的计算(2)
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空间角的计算 (2)
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2
l2
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
.
(2)若 e1, e2的夹角 （0,2 ] ,则两直线的所成角
例题: 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1 的大小.
z
D1 A1
D
O
A
x
C1 B1
C
y
B
例题:
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BC,CD的 中点. (1)A1D和EF所成角的大小
(2)A1F和平面BB1C1C所成角的余弦z 值.
(3)求二面角C-B1D1-B的余弦值.D1
C1
A1
B1
D
O
A
x
F
C
Ey
B
练习:
1.已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为a,侧棱
长为 2a ,求A1C和侧面ABB1A1所成角.
z
B1 C1
A1
B
A
y
x
C
2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形,PD⊥面ABCD, PD=DC=a,E是棱PC的中点. (1)求证:PA∥平面BED;
P
D
A
x
E
C
y
B
(2)求BE和面ABCD所成角的余弦值;
(3)求PB和面BDE所成角的余弦值;
z
(4)求二面角A-BD-E的余弦值;P
E
D
A
x
C
y
B
3. PD⊥正方形ABCD所在的平面, AB=2,E是 PB的中点, cosDP, AE 3 .
3
(1)建立适当的空间坐标系,写出E的坐标;
(2)在平面ABCD内求一点F,使得EF⊥面PCB. (43)求在面直P线ADP和A上面求PB一D所点成M,二使面得角EM的⊥C余Bz .弦值.
.
2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2Fra Baidu bibliotek
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
别为 n1, n2 ,设二面角 l 的大小为 1
n1, n2的夹角为 2, 则 ,2有什么关系?
n21
2 n2
n2
1
l
法向量 n1, n2的夹角 2与二面角 l 的大
小1 的关系: 2 1 或 2 1 ,具体关系
要结合图形判定.
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2
l2
(1)若 e1, e2的夹角 是钝角,则两直线的所成角
.
(2)若 e1, e2的夹角 （0,2 ] ,则两直线的所成角
例题: 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1 的大小.
z
D1 A1
D
O
A
x
C1 B1
C
y
B
例题:
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BC,CD的 中点. (1)A1D和EF所成角的大小
(2)A1F和平面BB1C1C所成角的余弦z 值.
(3)求二面角C-B1D1-B的余弦值.D1
C1
A1
B1
D
O
A
x
F
C
Ey
B
练习:
1.已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为a,侧棱
长为 2a ,求A1C和侧面ABB1A1所成角.
z
B1 C1
A1
B
A
y
x
C
2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形,PD⊥面ABCD, PD=DC=a,E是棱PC的中点. (1)求证:PA∥平面BED;
P
D
A
x
E
C
y
B
(2)求BE和面ABCD所成角的余弦值;
(3)求PB和面BDE所成角的余弦值;
z
(4)求二面角A-BD-E的余弦值;P
E
D
A
x
C
y
B
3. PD⊥正方形ABCD所在的平面, AB=2,E是 PB的中点, cosDP, AE 3 .
3
(1)建立适当的空间坐标系,写出E的坐标;
(2)在平面ABCD内求一点F,使得EF⊥面PCB. (43)求在面直P线ADP和A上面求PB一D所点成M,二使面得角EM的⊥C余Bz .弦值.
.
2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2Fra Baidu bibliotek
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
别为 n1, n2 ,设二面角 l 的大小为 1
n1, n2的夹角为 2, 则 ,2有什么关系?
n21
2 n2
n2
1
l
法向量 n1, n2的夹角 2与二面角 l 的大
小1 的关系: 2 1 或 2 1 ,具体关系
要结合图形判定.