大学物理绪论课件

f uc （ u( xi )) 2 xi
(公式1) 适用于和差形式的函数
uc y
ln f 2 2 [ ] [ u ( x )] i xi i 1
n
(公式2) 适用于积商形式的函数
合成标准不确定度举例
例： 设有一圆环，其外径为外=9.8000.005mm，
内径为内=4.5000.005mm，高度h=5.0000.005mm， 求环的体积V和不确定度。 解：环的体积为
二。测量不确定度与误差
•◆ 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值
不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限 值。
• ◆不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即
随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。
• ◆由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，
它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是 不为零的正值，是可以具体评定的。
x 代替了真值，因此上述计算的
已经不是误差了，而是可用随机计算的不确定度的部分。
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量 结果如下（单位mm）： 250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10 则：测得值的最佳估计值为
L L 250.09mm
V

4
2 2 (外 内 )h

4 2.976 10 2 mm 3
根据（公式2）有：
(9.800 2 4.500 2 ) 5.000
2外 ln f 2 9.800 2 2 外 外 内 9.800 2 4.500 2 2内 ln f 2 4.500 2 2 内 外 内 9.800 2 4.500 2 ln f 1 1 h h 5.000
随机误差：对同一量的多次重复测量中，每次测量值相对于
真值有一个无规律的涨落（大小、方向）的误差 分量。
造成随机误差的原因是多样的，实验条件和环境的无规则 涨落变化，被测量对象本身的不确定性等。
随机误差的特点： 1。小误差出现的概率比大误差出现的概率大；
2。多次测量时分布对称，具有抵偿性——
因此取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。
2 2 2内内 2 h 2 V ( 2外 外 ) ( 2 ) ( ) 2 2 V 外 内 外 内 h
2 9.800 0.005 2 2 4.500 0.005 2 0.005 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 9.800 4.500 9.800 4.500 5.000 0.0017 0.17%
假定对一个量进行了有限的n次测量，
测得的值为xi (i =1, 2，…，n)，可以用多次测量的算术平均值
作为被测量的最佳估计值(假定无系统误差)
1 n x xk n k 1
用标准偏差 s 表示测得值在 x s按贝塞耳公式求出： 的分散性
1 n s ( x) [ ( xk x )]2 n 1 k 1
B类评定是：要用其他方法（非统计方法）评定的
不确定度部分
直接测量量不确定度估算过程
●
求测量数据列的平均值
1 n x xi n i 1
n 1 s( x ) [ (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx k x ) 2 ] n 1 k 1
●
用贝塞耳公式求标准偏差s
●
平均值的标准偏差是上式一列测量中单次测量的标准偏差S的 1 即有：
V=VV/V=2.9761020.17%0.5mm3 因此，环的体积为
V=(2.9760.005)102 mm3
三. 有效数字表示法及运算规则
在实验中我们所测的被测量都是含有不确定度 的数值，对这些数值不能任意取舍，要正确地反映 出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书 写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确 定度来确定究竟应取几位有效位数。
1)直接测量的标准不确定度u (standard uncertainty)
2)间接测量的合成标准不确定度uc (combined standard uncertainty) 3)扩展不确定度U (expanded uncertainty)
2-2.标准不确定度u—
直接测量量的不确定度估算
标准不确定度的计算是分成A类评定和B类评定两部分 A类评定是：可用统计方法评定的不确定度部分
教学基本要点
1. 掌握测量误差与不确定度的概念。 掌握直接测量和间接测量的不确 定度的计算。 2.掌握对测量数据的正确处理和有效 数字的取舍。
物理实验课程的目的
物理实验是探索性的科学实验研究的浓缩与提 炼，但又不同于一般的探索性的科学实验研究，实 验结果比较有定论，每个实验题目都经过精心设计、 安排，它是对学生进行基础训练的一门重要课程。 它不仅可以加深大家对理论的理解，更重要的 是可使同学获得基本的实验知识，在实验方法和实 验技能诸方面得到较为系统、严格的训练，是大学 里从事科学实验的起步，同时在培养科学工作者的 良好素质及科学世界观方面，物理实验课程也起着 潜移默化的作用。 希望同学们能重视这门课程的学习，真正能学 有所得。
测量列的标准偏差
SL
(L L)
i 1 i
n
2
平均值的标准偏差：
2 ( L L ) i i 1 n
n1
0.03mm
SL
n( n 1)
0.02mm
误差表示分为：绝对误差 相对误差 绝对误差：测量结果-被测量的真值
相对误差：
测量的绝对误差 E 被测量的真值
（用百分数表示）
3-1.有效数字的表示法
(1)作为一个通用规定，测量值只能写到也应该写到开始有 误差的那一位。其后的数字按“四舍六入五单双” 法则 （即后面的数字是四及以下就舍掉，是六及以上就进一，
遇五若前面是奇数就进一，最后一位就变成是偶数，若前
面已是偶数，则舍掉）取舍。 (2)有效数字的位数多少直接反映测量的准确度。有效位数
例如： 12.4+0.571=13.0; 36008.0=2.9104
3-2.数值书写的要求
1). 有效数字的位数是由合成不确定度来确定。测量值的 最后一位应与不确定度的最后一位对齐。一般地，总不确 定度只取一位或二位（首位小等于3时），不可多取。例 如： S=(2.350.04)cm2 ； S= (2.3530.022)cm2 。 2). 为方便起见，对较大或较小的数值，常采用科学记数 法，即使用10n的形式，例如重力加速度可写成9.80103km/s2；阿伏加德罗常数6.022141991023/mol等等。 3).结果是由间接测量得到，其有效数字由算出结果的不确 定 度来确定。在没有给出各数值的不确定度时，由有效数 字运算法则确定。
则：测量结果为
X=0.246±0.004mm
2-3.合成标准不确定度
间接测量
是指利用某种已知的函数关系从直接测量量
来得到待测量量的测量 。设间接被测量量y与诸直接测量量 Xi(i=1,2,,n)由函数f 来确定：
y f ( x1 , x2 , x3 ,)
用诸不确定度u (xi)代替微分d xi , 有：
2-1.测量不确定度的组成部分划分
•总不确定度分为两类不确定度： A 类分量 uA —— 多次重复测量时 与随机误差有关的分量； B 类分量 uB ——与未定系统误差有关的分量。这两类分量 在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：
u u u
2 A
2 B
在具体使用中，测量不确定度又有三种不同的表述：
随机变量的统计规律—正态分布
正态分布(又称Gauss分布)：
物理实验中多次独立测量得到的 数据一般可以近似看作服从正态 分布。
1 n xi 消除系统误差后， lim n n i 1
称为数学期望值。 μ表示 x 出现 概率最大的值，通常就可以得到 x 的近似真值。
1 n 2 lim ( x ) σ称为标准差，决定了线型的宽窄。 i n n i 1 σ越大， 正态曲线就越平坦 它表征了测量值的分散程度
越多，表明测量的准确度越高。
(3)有效数值书写时应注意：有效数值的位数与小数点位置 无关。也不因使用的单位不同而改变。
例如重力加速度某人测量值为980cm/s2, 改写单位为m/s2, 仍为三位有效数字，即9.80m/s2(9.8m/s2 注意0不可随意 添减)。
在运算过程中的有效数字取舍，一般遵循：加减运算 的结果以参与运算的末位最高的数为准；乘除则以有 效数字最少的数为准。
任何测量都可能存在误差（注意误差是指与真值比较）
误差的定义：
误差 ＝ 测量值－真值
误差特点：普遍存在； 是小量。 由于真值常常未知，无法
得到误差值。
误差分类： 系统误差 随机误差 过失误差
系统误差：在对同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符
号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的 分量。 原因：测量仪器、测量方法、环境等
解：测得值的最佳估计值为
x x x0 0.250 0.004 0.246mm
测量列的标准偏差 平均值的标准偏差
s( x )
6 1 s( x ) [ ( xk x )2 ] 0.002mm 6 1 k 1
s( x ) 0.001mm n
2 2 u uA uB s( x )2 2仪 0.0012 0.0042 0.004mm
一.物理实验和测量误差
(physical experiments and error of measurement)
物理实验是以测量为基础的研究。因此，最后应给出一个 完整的测量结果表达式： x x u (单位) 以钢丝的杨氏模量为例：
测量结果为： E=(1.89±0.08)1011 (N/m2) 或 E=1.891011(1±4.3%) (N/m2)
曲线与x轴之间所包围的面积等于1。随机误差落 在区域[-σ， σ]之内的概率为P

P
( x )dx 68.3%

这表示测量值落在[-，+]区间的概率是68.3%,
若把区间范围扩大到[-2，+2]，则测量值落到 此区域的概率为95.5%; 落到[-3，+3]区间的概 率为99.7%。
（1）已定系统误差：例如：电表、读数显微镜的零位误差等， 此项可以也必须修正。 （2）未定系统误差：已知存在于某个范围，而不知具体数值 的系统误差。例如：游标卡尺的允差 部分实验仪器的允差举例
仪器名称 钢板尺 游标卡尺 螺旋测微器 电表（0.5级) 量程 1m 125mm 0~25mm 分度值 1mm 0.02mm 0.01 允差 ±0.20mm ±0.02mm ±0.004mm 0.5%量程
n
n s( x ) 1 s( x ) [ ( x k x ) 2 ] n( n 1) k 1 n
当 5＜n≤10，置信概率为95%时，可简化认为uA s
●
根据使用仪器得出uB uB= 仪 由uA、 uB合成总不确定度u
●
u u u
2 A
2 B
●
给出直接测量的最后结果：y
注意这是对单次测量的标准偏差。对算术平均值作为结果 时， 平均值的标准偏差应为：
n s( x ) 1 s( x ) [ ( x k x ) 2 ] n( n 1) k 1 n
s大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽， 测量的精密度低； s小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄， 测量的精密度高； (s可由带统计功能的计算器直接求出)。 由于真值是未知的，无法得到误差。就要确定一个误差存在 的范围——不确定度。 注意到上述有限次测量已将
应包括：测量量（代表符号）、测量量值、不确定度、
测量值的单位。 表示测量的真值落在1.89-0.08---1.89+0.08)1011 N/m2 范围内的概率很大。不确定度的取值与一定的概率相 关联。
物理测量分为：直接测量和间接测量
直接测量：所要测量的量不必将实测的量经过任何函数 关系的计算而直接得到。 间接测量：通过欲测量的量与直接实测的量之间的已知 函数关系，经过计算间接得到欲测量的量。
y u(单位)
直接测量量不确定度估算举例
例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值yi分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时读得螺旋测微计的零位x0为： 0.004, 单位mm，已知螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm， 请给出完整的测量结果。