工程数学复习题与答案

试卷代号：1008
中央广播电视大学2005～2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2006年1月
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1. 设B A ,均为3阶可逆矩阵，且k>0，则下式（ ）成立． A. B A B A +=+ B. AB A B '= C. 1AB A B -=
D. kA k A =
2. 下列命题正确的是（ ）．
A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；
B ．向量组s ααα,,,21Λ是线性相关的充分必要条件是以s ααα,,,21Λ为系数的齐次线性方程组
02211=+++s s k k k αααΛ有解
C ．向量组Λ,,21αα,s α,0的秩至多是s
D ．设A 是n m ⨯矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关 3．设1551A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则A 的特征值为（ ）。

A ．1，1
B ．5，5
C ．1，5
D ．-4，6
4．掷两颗均匀的股子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。

A ．
1
36
B ．
118
C ．
112
D ．
111
5．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）。

A ． P A B P A P B ()()()+=+ B ． ()1()P B P A =- C ． ()(|)P A P A B =
D ． P AB P A P B ()()()=
6．设1234,,,x x x x 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，其中μ已知，2
σ未知，则下列（ ）不是
统计量．
A ．4
1
14i i x =∑
B ．142x x μ+-
C ．
4
2
2
1
1
()
i
i x x σ
=-∑；
D ．421
1()4i i x x =-∑
7. 对正态总体),(2
σμN 的假设检验问题中，τ检验解决的问题是（ ）． A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差 D. 未知均值，检验方差
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．已知矩阵A ，B ，C=()ij m n c ⨯满足AC = CB ，则A 与B 分别是__________________矩阵。

2．线性方程组12341234134
3
324623x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=⎨⎪+-=⎩一般解的自由未知量的个数为__________________。

3．设A ，B 为两个事件，若P (AB)=P(A)P(B)，.则称A 与B__________________。

4. 设随机变量0
12~0.40.30.3X ⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦
，则E(X)= __________________。

5．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为12345,,,,x x x x x (百分数)，设铜含量服从2
2
(,),N μσσ未知，检验0μμ=，则区统计量__________________。

三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵120111211421,020*********A B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求（1） A ；（2）()I A B -
2. 设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经过初等行变换，得
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-→→000023200102ΛA
求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．
3．用配方法将二次型22
12313121323(,,)3226f x x x x x x x x x x x =----化为标准型，并求出所作的满秩
变换。

4．假设B A ,是两个随机事件，已知()0.4,()0.5,()0.45P A P B P B A ===，求⑴()P AB ；⑵
()P A B +
5. 设随机变量X 的密度函数为2
12()0
kx x f x ⎧-≤≤=⎨
⎩其它
，求⑴k ；⑵E X D X (),()。

6. 某一批零件重量2
~(,0.2)X N μ，随机抽取4个测得长度（单位：cm ）为
14.7, 15.1, 14.8, 15.2
可否认为这批零件的平均长度为15cm (.)α=005(已知96.1975.0=u )？
四、证明题（本题4分）
设n 阶矩阵A 满足O I A I A =+-))((，则A 为可逆矩阵
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．B 2．C
3．D
4．B
5．A
6．C
7．D
二、填空题(每小题3分，共15分) 1． ,s s n n ⨯⨯ 2．2 3．相互独立 4．0.9 5
．x τ=
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．解：（1）13
1
7
102
0411*******
4
1
102041121021
----=
----=
A
=2513
1
7
12000113
1
7
120
121
-=--=--
（2）因为 )(A I -=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-------03411
12041221020 所以 B A I )(-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------⋅0341112041221020=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--21101211⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----09355245．
2
．解：
因为 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000012/31002/101000023200102 得一般解： ⎪⎩
⎪⎨
⎧-=-=4
3231
23
21x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,243==x x ，得[]'
-=02311X ；
令1,043==x x ，得[]'
-=10102X ．
所以，{}2
1,X X 是方程组的一个基础解系．
方程组的通解为：=X 2211X k X k +，其中21,k k 是任意常数．
3．解：
4．解：（1）)(AB P =)()(A P A B P =4.045.0⨯=18.0 （2） )(1)(B A P B A P +-=+
)]()()([1AB P B P A P -+-=
28.0]18.05.04.0[1=-+-=
5．解：（1）因为 1=
⎰
∞
+∞
-x x f d )(=⎰-2
12d x kx =2
1
3
3
-x k
= 3 k
所以 k =
3
1
(2) E (X ) =⎰-⋅2
12d 31x x x =2
1
4
121-x
=
4
5 E (2X ) =
⎰-⋅2
12
2d 31x x x =5
11 D (X ) = E (2X ) - )(2X E =80
51
6．解：零假设H 015:μ=．由于已知σ2
，故选取样本函数
U x n
N =
-μ
σ~(,)01
0.1
=
经计算得14.9x =14.915
10.1-==
已知u 0975196..=0.9751 1.96u =≤=
故接受零假设，即可以认为这批零件的平均长度为15cm ．
四、证明题（本题6分）
证明： 因为 0))((2
=-=+-I A I A I A ，即I A =2
所以，A 为可逆矩阵．
试卷代号：1080
中央广播电视大学2011～2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2012年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ ）成立． A ． A B A B +=+
B ．AB A B '=
C ． 1AB A B -=
D ．kA k A =
2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．
3．设矩阵1111A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）。

A ．0，2 B ．0，6 C ．0，0
D ．2，6
4．若随机变量(0,1)X N :，则随机变量32Y X =-: ( )．
5． 对正态总体方差的检验用( )．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则1
11
O
A B O ---⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
．
8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ． 9．若随机变量[0,2]X U :，则()D X = ．
10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。

三、计算题(每小题16分，共64分)
11． 设矩阵234123231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111111230B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1
()A B --．
12．在线性方程组
123121
232332351
x x x x x x x x λ
λ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=⎩ 中λ取何值时，此方程组有解。

在有解的情况下，求出通解。

13. 设随机变量(8,4)X N :,求(81)P X -<和(12)P X ≤。

(已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=)
14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为
0.15cm 。

从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4, 10.6, 10.1, 10.4
问：该机工作是否正常（0.9750.05, 1.96u α==）？ 四、证明题（本题6分）
15. 设n 阶矩阵A 满足2
,A I AA I '==,试证A 为对称矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、B
2、A
3、B
4、D
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分)
三、计算题(每小题16分，共64分)
试卷代号：1008
中央广播电视大学2005～2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2006年7月
一、单项选择题(每小题3分，共21分)
1．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A ．1
1
()AB BA
-=
B ．1
11()
A B A B ---+=+
C ．1
11()
AB A B ---=
D ．1111A B A B ----+=+
2．方程组12123213
3x x a x x a x x a
-=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩相容的充分必要条件是（ ），其中0,(1,2,3)i a i ≠=
A ．1230a a a ++=
B ．1230a a a +-=
C ．1230a a a -+=
D ．1230a a a -++=
3．设矩阵1111A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）
A ．0，2
B ．0，6
C ．0，0
D ．2，6
4. 设A B ,是两个事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. ()()()P AB P A P B =，其中A ，B 相互独立 B. ()()()P AB P B P A B =，其中()0P B ≠ C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. ()()()P AB P A P B A =，其中()0P A ≠
5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D -
D ．)(9)(4Y D X D +
6. 设123,,x x x 是来自正态总体2
2
,)(,(σμσμN 均未知），那么下列（ ）不是统计量．
A ．3
113i i x =∑； B ．3
1
i i x =∑；
C ．12323x x x +-；
D ．3
1
1()3i i x μ=-∑
7．对正态总体方差的检验用( )
A ．U 检验法
B ．t 检验法
C ．2
x 检验法
D ．F 检验法
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．设221
12
()1
1
2214
f x x x =-+，则f(x)=0的根是______________________。

2．若向量β可由向量组12,,,n αααL 线性表示，则表示方法惟一的充分必要条件是
12,,,n αααL ______________________。

3．若事件A,B 满足A ⊃B ，则P(A-B)= ______________________。

4．设随机变量的概率密度函数为2,01()10,k
x f x x ⎧≤≤⎪
=+⎨⎪⎩其它
，则常数k= ______________________。

5．设1021,,,x x x Λ是来自总体~(0,1)X N ，且1
1n
i i x x n ==∑，则~x _________ ．
三、计算题(每小题10分，共60分)
1．设矩阵231011001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123112012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求：⑴AB ；⑵1
A -
2．求齐次线性方一程组12345123451
2353320
2695303320
x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
++++=⎨⎪--++=⎩的通解。

3．用配方法将二次型222
1231231223(,,)2424f x x x x x x x x x x =++++化为标准型，并求出所作的满秩
变换。

4．假设B A ,为两个随机事件，已知()0.5,()0.6,()0.2P A P B P AB ===，求：⑴P(AB)；⑵)(B A P +． 5．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．
6．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。

从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4 10.6 10.1 10.4
问该机工作是否正常（α=0.05，u 975.0 =1.96）？
四、证明题（本题6分）
设向量组321,,ααα线性无关，令1122233312,32,4βααβααβαα=+=+=-，证明向量组123
,,βββ线性无关。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共21分) 1．A 2．B
3．B
4．C
5．D
6．D
7．C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1，-1，2，-2 2．线性无关 3．()()P A P B - 4．
4π
5．1(0,)N n
三、计算题(每小题10分，共60分) 1．解：
2．解：
3．解：
4．解：⑴因为,AB B AB B AB =-⊃ 所以，
()()()()
0.60.20.4
P AB P B AB P A P AB =-=-=-=
⑵()()()()P A B P A P B P AB +=+-
=0.5+0.6-0.4=0.7
5．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P
= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P
＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk 即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．
6．解：令假设0:10.5H μ=，由于已知0.15σ=，故选取样本函数
(0,1)
x U N =
:
经计算得
x ==
10.37510.5
1.670.075-==
由已知条件112
2
1.96, 1.67 1.96σ
σμ
μ-
-==<=
故接受令假设，即该机工作正常。

四、证明题（本题6分）
试卷代号：1008
中央广播电视大学2006～2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2007年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( ) ． A ．B A AB = B ．2
2
2
2)(B AB A B A +-=-
C ．BA AB =
D ．若0=AB ，则0=A 或0=B
2．已知2维向量1234,,,αααα，则1234(,,,)r αααα至多是（ ）。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.设AX =0是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解． A. 秩n A <)( B. A 的行向量线性相关 C. 0=A
D. A 是行满秩矩阵
4.袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．
A.
25
6
B.
10
3 C.
20
3 D.
25
9 5.设123,,x x x 是来自正态总体2
~(,)X N μσ的样本，则（ ）是μ无偏估计． A.
32151
5151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 3215
3
5151x x x ++
D.
3215
2
5252x x x ++
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．设B A ,是3阶矩阵，其中136,3,()_________A B A B -'=-=-=．
2．设A 为n 阶方阵，若存放在数λ和非零n 维向量x ，使得Ax x λ=，则称λ为A 的 。

3．若()0.8,()0.2P A P BA ==，则=-)(B A P ． 4．设离散随机变量0
12~0.20.5X a ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
，则a = ．
5. 若参数θ的估计量ˆθ
满足ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的 ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
2．求解线性方程组
1234234
123412343234329523810
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=-⎪⎨
-+--=-⎪⎪-++=⎩
的全部解。

3. 设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<<X P ；⑵)7(>X P ．（已知,8413.0)1(=Φ
9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
4．某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=005.，t 00582306.().=）？
四、证明题（本题6分）
设321,,ααα是线性无关的，证明, 313221,,αααααα+++也线性无关。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 二、填空题(每小题3分，共15分)
1．8
2．特征值
3．0.6
4．0.3
5．无偏估计
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．解：
2．解：
此时其次线性方程组化为：
3．解：⑴)32
31()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=
⑵)2
3723()7(->-=>X P X P 33(
2)1(2)22
1(2)10.97720.0228X X P P --=>=-≤=-Φ=-=
4. 解：零假设H 0100:μ=．由于未知σ2，故选取样本函数
T x s n
t n =--μ~()1 已知x =999.，经计算得
s 90473016==..，x s n
-=-=μ9991000160625... 由已知条件t 00582306.().=，
x s n
t -=<=μ062523068005..(). 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的．
四、证明题（本题6分）
证明： 设有一组数321,,k k k ，使得
0)()()(313322211=+++++ααααααk k k
成立，即0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，由已知321,,ααα线性无关，故有
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00032
2131k k k k k k
该方程组只有零解，得0321===k k k ，故313221,,αααααα+++是线性无关的．
试卷代号：1008
中央广播电视大学2006～2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2007年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( ) ．
A ．BA A
B = B ．()AB A B '''=
C ．()AB AB '=
D ．()A B A B '''+=+
2. 向量组10001200123012341111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥,,,,的秩是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+0132
21x x x x 解的情况是（ ）． A. 只有零解 B. 有唯一非零解
C. 无解
D. 有无穷多解
4. 下列事件运算关系正确的是（ ）． A. BA A B B += B. A B BA B += C. BA A B A += D. B B -=1
5. 设123,,x x x 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知参数）的样本，则（ ）是统计量．
A. 2x σμ+
B. 1233x x x ++
C.
1x μσ- D. 1x μ
二、填空题(每小题3分，共15分)
1. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 。

2．设A 为n 阶方阵，若存放在数λ和非零n 维向量x ，使得Ax x λ=，则称x 为A 相应于特征值λ的 。

3．若()0.9,()0.8,()0.4P A B P A P B +===，则=)(AB P 。

4．设随机变量X
，若2()()5E X E X ==，则()D X = 。

5. 设12,,,n x x x L 是来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，则1
1~n
i i x n =∑ 。

三、计算题(每小题16分，共64分)
1．已知AX B =，其中12323357,58581001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求X ． 2．当λ取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-25323
4224321
4321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
3. 设随机变量X 具有概率密度
f x x x (),,
=≤≤⎧⎨⎪⎩⎪30102其它 求E X D X (),()．
4．已知某种零件重量(15,0.09)X N :，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg ）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（0.9750.05, 1.96u α==）？
四、证明题（本题6分）
设A ,B 是两个随机事件，试证：P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+．
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．D 2．B 3．D 4．A
5．B
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．12
2．特征向量
3．0.3
4．2
5．2
(,)N n σμ
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．解：
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥
⎥λλ
→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥110120113100003101210113100003λλ 由此可知当λ≠3时，方程组无解。

当λ=3时，方程组有解。

此方程组的一般解为：
1342
342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩
3．解：由期望的定义得 E X xf x x x x x ()()====-∞+∞⎰⎰d d 33434301
4
01 E X x f x x x x x ()()2240150133535
====-∞+∞⎰⎰d d 由方差的计算公式有 D X E X E X ()()()=-=-=2235916380
4．解：零假设0:15H μ=，由于已知20.09σ=，故选取样本函数
(0,1)x U N =: 已知14.9x =，经计算得
0.314.915130.1-==== 由已知条件0.975 1.96μ=，
0.9751 1.96μ=<= 故接受零假设，即零件平均重量仍为15
四、证明题（本题6分）
证明：由事件的关系可知
B A AB A A B BU B +=+==)( 而∅=))((B A AB ，故由加法公式和乘法公式可知
P B P AB P AB P A P B A P A P B A ()()()()()()()=+=+
证毕．
试卷代号：1008
中央广播电视大学2007～2008学年度第一学期“开放本科”期末考试
水利水电、土木工程专业 工程数学(本) 试题
2008年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( ) ．
A ．222
()2A B A AB B +=++ B ．若0=AB ，且0A ≠，则或0=B
C ．()A B A B '''-=-
D ．若AB AC =，且0A ≠，则B C = 2. 向量组11020,1,2,30037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的秩是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若线性方程组AX =0只有零解，则线性方程组AX b =（ ）．
A. 有唯一解
B. 无解
C. 有无穷多解
D. 接的情况不能断定
4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）． A. 256 B. 103 C. 203 D. 25
9 5．设f(x)和F(x)分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意a<b ，有()P a X b <≤=（ ）。

A. ()()F a F b -
B. ()b a f x dx ⎰
C. ()b
a F x dx ⎰ D. ()()f
b f a -
二、填空题(每小题3分，共15分)
1. 设A 是2阶矩阵，其中9A =，13()A -'= 。

2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 ，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。

3．若P （A ）=0.8，()P AB =0.5，则()P AB ＝ 。

4. 设随机变量X ，若()3D X =，则(3)D X -+= ．
5. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1
ˆθ更 ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．设矩阵A =110121223-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B =200050005⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求1A B -。

2．求线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+-+-=---=---2
621
24204831234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．
3. 设~(2,9)X N ，试求⑴(11)P X <；⑵(58)P X <<．
（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,
5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2
）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α==0051960975.,..u ）
．
四、证明题（本题6分）
设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．1
2．Ax x λ=
3．0.3
4．3
5．有效
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．解：
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1321138410214211261213211012230580305803-----------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥
⎥⎥⎥→--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥⎥
→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥→---⎡⎣⎢
⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥132110122300210120000010015
160
108
9001560000
0 此时齐次方程组化为
x x x x x x 14
2434
1585===-⎧⎨⎪⎩⎪
令x 41=，得齐次方程组的一个基础解系 []X 115851=-' 令x 40=，得非齐次方程组的一个特解
[]X 016960=-'
由此得原方程组的全部解为
X X kX =+01 （其中k 为任意常数）
3．解：⑴
2
112
(11)()
332(3)(3)0.9987
3X P X P X P --<=<-=<=Φ=
⑵
522822
(58)(
)(2)
3333
(2)(1)0.97720.84130.1359
X X P X P P ----<<=<<=<=Φ-Φ=-=
4．解： 零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2
121=.，故选取样本函数 U x n
N =
-μ
σ~(,)01
已知x =3112.，经计算得
σ
9
113037=
=.
.，x n
-=-=μσ3112325037373.... 由已知条件u 0975196..=，
x n
u -=>=μ
σ3731960975...
故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

四、证明题（本题6分） 证明：由事件的关系可知
A A U A
B B AB AB A B AB ==+=+=-+Y Y ()() 而()A B AB -=∅I ，故由概率的性质可知 P A P A B P AB ()()()=-+
试卷代号：1080
中央广播电视大学2007～2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2008年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ． 111
)
(---+=+B A B A
B ． B A B A +=+
C ． B A AB n 22=-
D ． 111
)
(---=A B AB
2． 下列命题正确的是（ ）．
A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；
B ．向量组s ααα,,,21Λ是线性相关的充分必要条件是以s ααα,,,21Λ为系数的齐次线性方程组
02211=+++s s k k k αααΛ有解
C ．向量组Λ,,21αα,s α,0的秩至多是s
D ．设A 是n m ⨯矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关
3． 设线性方程组AX=B 的两个解为X 1，X 2，(12X X ≠)，则下列向量中( )一定是AX=B 的解。

A ． X 1+X 2
B ． X 1-X 2
C ． X 1-2X 2
D ． 2X 2-X 1
4． 设X ～N(50,102
)，则随机变量( )～N(0，1)． A ．
50
100X - B ．
50
10X - C ． 100
50
X -
D ．
10
50
X - 5． 对正态总体2
(,)N μσ的假设检验问题中，U 检验解决的问题是( )． A ． 已知方差，检验均值 B ． 未知方差，检验均值 C ． 已知均值，检验方差
D ． 未知均值，检验方差
二、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A
B C ---1
11,,，则()CA B '=--11
．
2．线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是 ________ ． 3．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ．
4．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨
⎧≤≤=其它
103)(2
x x x f ，则=<
)2
1
(X P ． 5．设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体N (,)μσ2
的一个样本，则~11
∑=n
i i x n ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 已知B AX X +=，其中01011111,2010353A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
，求X ． 2．k 为何值时，线性方程组有解，并求出一般解．
3．已知2
1
)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ，求)(B A P +． 4．随机抽取某班28名学生的数学考试成绩，得平均分数为x =82分，样本标准差s = 8分，已知全年级的数学成绩服从正态分布，且平均分数为85分，试问在显著性水平α=005.下，能否认为该班的数学成绩为85分？（0.05(27) 2.052t =）
四、证明题（本题6分）
设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．
参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
DCDBA
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．11
()
B A C
--
'
2．()([])
r A r A b
=M
3．0.3
4．
1
8
5．
2
()
N
n
σ
μ，
三、计算题(每小题16分，共64分)
1．解：1
()
X I A B
-
=-
021
121
011
-
⎡⎤
⎢⎥
=--
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
-1
且(I-A)
由矩阵乘法得
0211113
1212024
0115333
B
---
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=--=-
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-1
X=(I-A)
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
当k=5时，方程组有解，且方程组的一般解为
3．解： 12
1
)()()(=
=A B P A P AB P 6
1
)()()(==
B A P AB P B P
于是 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 3
11216141=-+= 4．解： 假设0:85H μ=，1:85H μ≠ 选取统计量 0
x T s n
-=
四、证明题（本题6分）
证明： ))(1)(()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P B A P -=-=-= )()(B P A P = 所以B A ,也相互独立．
试卷代号：1080
中央广播电视大学2009～2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2010年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）． A ． AB A B =
B ． 2
2
2
()2A B A AB B -=-+
C ． AB BA =
D ． , AB O A O B O ===若则或
2． 向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，，，的秩是（ ）． A ．1 B ．3 C ． 2 D ．4
3． n 元线性方程组，AX b =有解的充分必要条件是（ ）。

A ． ()()r A r A b =M
B ．A 不是行满秩矩阵
C ． ()r A n <
D ．()r A n =
4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )．
A ．
6
25
B ．
310
C ．3
20
D ．
925
5． 设12,,,n x x x K 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，则 ( )是μ无偏估计．
A ．
123111
555x x x ++
B ．123x x x ++
C ．123113
555
x x x ++
D ．
123222
555
x x x ++
二、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设,A B 均为3阶方阵，且12,3,3A B A B -'==-= ．
2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 ___，则称λ为A 的特征值λ．
3．设随机变量0
120.20.5X a ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
:，则a = ．
4．设X 为随机变量，已知()3D X =，此时(32)D X -= ． 5．设θ)
是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 设矩阵112215235,011324A B -⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
，且有AX B '=，求X ． 2．求线性方程组12341234
1234123431
2722432124822
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩的全部解。

3. 设(3,4)X N :,试求（1）(59)P X <<；（2）(7)P X >。

(已知(1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，
(3)0.9987Φ=)
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度(32.5,1.21)X N :，今从这批砖中随机地抽取了9
块，测得抗断强度（单位：2
/kg cm ）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格
0.976(0.05, 1.96)u α==？
四、证明题（本题6分）
设A B 、是n 阶对称矩阵，试证：A B +也是对称矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、A
2、B
3、A
4、D
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．-18 2．Ax x λ= 3．0.3 4．27 5.()E θθ=)
三、计算题(每小题16分，共64分) 1．解：利用初等行变换得
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
试卷代号：1080
中央广播电视大学2009～2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2010年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）． A ． AB A B =
B ． 2
2
2
()2A B A AB B -=-+
C ． AB BA =
D ． , AB O A O B O ===若则或
2． 向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，，，的秩是（ ）． A ．1 B ．3 C ． 2 D ．4
3． n 元线性方程组，AX b =有解的充分必要条件是（ ）。

A ． ()()r A r A b =M
B ．A 不是行满秩矩阵
C ． ()r A n <
D ．()r A n =
4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )．
A ．
6
25
B ．
310
C ．3
20
D ．
925
5． 设12,,,n x x x K 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，则 ( )是μ无偏估计．
A ．
123111
555x x x ++
B ．123x x x ++
C ．123113
555
x x x ++
D ．
123222
555
x x x ++
二、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设,A B 均为3阶方阵，且1
2,3,3A B A B
-'==-= ．
2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 ___，则称λ为A 的特征值λ．
3．设随机变量0
120.20.5X a ⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦
:，则a = ．
4．设X 为随机变量，已知()3D X =，此时(32)D X -= ． 5．设θ)
是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 设矩阵112215235,011324A B -⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
，且有AX B '=，求X ． 2．求线性方程组12341234
1234123431
2722432124822
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩的全部解。

3. 设(3,4)X N :,试求（1）(59)P X <<；（2）(7)P X >。

(已知(1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，
(3)0.9987Φ=)
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度(32.5,1.21)X N :，今从这批砖中随机地抽取了9
块，测得抗断强度（单位：2
/kg cm ）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格
0.976(0.05, 1.96)u α==？
四、证明题（本题6分）
设A B 、是n 阶对称矩阵，试证：A B +也是对称矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、A
2、B
3、A
4、D
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．-18 2．Ax x λ= 3．0.3 4．27 5.()E θθ=)
三、计算题(每小题16分，共64分) 1．解：利用初等行变换得
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
试卷代号：1080
中央广播电视大学2010～2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试题
2011年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则下列等式成立的是（ ）． A ． AB A B =
B ． A B A B +=+
C ． 1
11()
A B A B ---+=+ D ． 111()AB A B ---=
2． 方程组121
2321
33 x x a x x a x x a
-=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩相容的充分必要条件是（ ），其中0,(1,2,3)i a i ≠=．
3．下列命题中不正确的是（ ）。

A ．A A '与有相同的特征多项式
B ．若λ是 A 的特征值，则-0I A X λ=（）的非零解向量必是 A 对应于λ的特征向量
C ．若0λ=是A 的一个特征值，则AX=O 必有非零解
D ．A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量
4．若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是( )．
5． 设12,,,n x x x K 是来自正态总体(51)N ，的样本，则检验假设0=5H μ：采用统计量=U ( )．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设221
12
=1
1
2214
A x x -+，则0A =的根是 ．
7．设 4 元钱性方程提 AX=B 有解且()1r A =，那么AX B =的相应齐次方程程的基础解系含有 ________个解向量。

8． 设 A ， B 互不相容，且 P(A)>O ，则 (|)P B A = ． 9．设随机变量(,)X B n p :，则()E X = ．
10．若样本12,,n x x x L 来自总体(0,1)X N :，且1
1n
i i x x n ==∑，则x %: ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
11． 设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，求1
()AA -'．
12．求下列线性方程组的通解。

123412341
23424535
3652548151115
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩ 13. 设随机变量(3,4)X N :,试求(1)(17)P X <<；（2）使()0.9P X a <=成立的常数a 。

(已知(1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，(3)0.9987Φ=)
14. 从正态总体(,4)N μ中抽取容量为625的样本，计算样本均值得 2.5x =，求μ的置信区间度为，
99%的置信区间。

（已知0.995 2.576u =） 四、证明题（本题6分）
15. 设n 阶矩阵A 满足()()A I A I O -+=,则A 为可逆矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、A
2、B
3、D
4、A
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．1,-1,2.,-2
2．3
3．0
4．np
5.
1 (0,) N
n
三、计算题(每小题16分，共64分)
试卷代号：1080
中央广播电视大学2010～2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）。