高三数学余弦定理
高三数学复习(理)：第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理[学生用书P87]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ac sin_B＝12ab sinC．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cos C2；(4)cos A＋B2＝sin C2.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形[学生用书P88]利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求角或三角函数值(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A.5 B ．2 5 C ．4 5D ．8 5(2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos A (sin C －cos C )＝cos B ，a ＝2，c ＝2，则角C 的大小为________．【解析】 (1)方法一：在△ABC 中，cos C ＝23，则sin C ＝53>22，所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin B ＝459，易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos B ＝19，tan B ＝sin Bcos B ＝4 5.故选C.方法二：在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，所以由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以△ABC 是等腰三角形．过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝BC 2－CD 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝5，tan B2＝25＝255，所以tan B＝2tanB21－tan2B2＝4 5.故选C.(2)因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝π4，又asin A＝csin C，即2 sin π4＝2sin C，所以sin C＝12，因为c<a，所以0<C<π4，故C＝π6.【答案】(1)C(2)π6角度二求边长或周长在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)(一题多解)求AB边上的高CD的长．【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)方法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB＝12c×CD，所以CD＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.方法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．1．(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A.32 B ． 2 C.43D. 3解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A ＝3sin A sin B ，由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝34，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以ab ＝2，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B＋1＝ac＋1，即cos B＝ac①.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】 A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“c－a cos B＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解：因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△ABC 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ， 所以－12⎣⎡⎦⎤cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cosC )＝1－12cos C ，所以－12(－cos C－1)(2－cos C)＝1－12cos C，即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝217，c＝2，则△ABC的面积等于() A.32B．2 3C.34 D. 3【解析】方法一：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝12ac sin B＝12×1×2×32＝32，故选A.方法二：由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝2×32217＝7.因为sin C＝217，0°<C<60°，所以cos C＝277，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32×277－12×217＝2114，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×7×2×2114＝32，故选A.【答案】 A求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S.(1)求cos C；(2)(一题多解)若a cos B＋b sin A＝c，a＝5，求b.【解】(1)因为S＝12ab sin C，a2＋b2－c2＝2S，所以a2＋b2－c2＝ab sin C，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab sin C2ab＝sin C2，所以sin C＝2cos C，又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±55，又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝55.(2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B sin A＝cos A sinB，又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝π4.因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝22×55＋22×255＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝5×3101022＝3.方法二：因为a cos B ＋b sin A ＝c ， a cos B ＋b cos A ＝c ，所以a cos B ＋b sin A ＝a cos B ＋b cos A ， 即sin A ＝cos A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝2 2.因为b ＝c cos A ＋a cos C ， 所以b ＝22×22＋5×55＝3. 方法三：求A 同方法一或方法二．在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin Csin A ＝5×25522＝22，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2－2b －3＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝3.所以b ＝3.(或由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或b ＝3.因为当b ＝1时，a 2＋b 2－c 2＝－2<0，不满足cos C >0或a 2＋b 2－c 2＝－2≠2S ，所以应舍去，故b ＝3)已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.14 B ．12C.32D.154解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2＝4，解得a＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.故选D.2．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b 2＋c 2－a 2＝423bc .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长． 解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2bc cos A ＝423bc ，所以cos A ＝223，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝13.(2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝16bc ＝2， 所以bc ＝6 2.因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得 2 b ＝3c ，所以b ＝32，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6.[学生用书P91]高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________________？【解题思路】 结合已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得a ＝ 3 b ，b ＝c ，选择①ac ＝3，可由a ＝ 3 b ，b ＝c ，求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择②c sin A ＝3，可由b ＝c 得到A ，B ，进而求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择③c ＝ 3 b ，与b ＝c 矛盾，得到结论．【解】 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②c sin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．(2020·高考北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求；(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－1 7；条件②：cos A＝18，cos B＝916.解：选①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7， 得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，所以a ＝8.(2)因为cos A ＝－17，A ∈(0，π)，所以sin A ＝437. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.选②(1)因为cos A ＝18，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝378.因为cos B ＝916，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得a 378＝11－a 5716，所以a ＝6.(2)sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. 因为a ＋b ＝11，a ＝6， 所以b ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.[学生用书P301(单独成册)][A 级 基础练]1．(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则A ＝( )A ．60°B ．30°或90°C ．60°或120°D ．90°解析：选B.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得1sin 30°＝3sin C ，所以sin C ＝32，因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°，B ＝30°时，A ＝90°；当C ＝120°，B ＝30°时，A ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.3．(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2b －a cos C ＝0，sin A ＝3sin(A ＋C )，则bca 2＝( )A.74 B ．149C.23D.69解析：选D.因为2b －a cos C ＝0，所以由余弦定理得2b －a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得3b 2＋c 2＝a 2 ①.因为sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，所以由正弦定理可得a ＝3b ②，由①②可得c ＝6b ，则bc a 2＝b ×6b 9b 2＝69.故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2或c ＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝2ac ，则a ＝________．解析：由题设及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2a sin C ，所以sin(A ＋B )＝2a sinC ．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2a sin C ，又sin C ≠0，所以a ＝12. 答案：127．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝________．解析：因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos A sin C－sin A sin C＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝π4，由正弦定理得a sin π4＝csin C，又a＝2，c＝2，所以sin C＝12，因为a>c，所以C＝π6.答案：π68．(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝7，b＝1，若△ABC的面积为62，则a的长为________．解析：因为△ABC的面积S＝12bc sin A，所以62＝12×1×7sin A，所以sin A＝67，所以cos A＝±77，当cos A＝77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6，此时△ABC为直角三角形(舍去)；当cos A＝－77时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意．综上，a＝10.答案：109．(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sin A＋3sin C＝22，求C.解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2 3.△ABC的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以 sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )． 故sin(30°＋C )＝22.而0°<C <30°，所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.10．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．[B 级 综合练]11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC 的周长为3×4＝12.故选B.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则b c ＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cosA ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b c ＝2.答案：213．(2020·深圳市统一测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(a －c )sin C ，b ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．解析：利用正弦定理将已知等式转化为(a ＋b )(a －b )＝(a －c )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理知，2R ＝b sin B ＝43，所以△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝4π3. 答案：4π314．(2020·广州市调研检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0. (1)求角A 的值；(2)若△ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值．解：(1)因为c sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3－a sin C ＝0，所以由正弦定理得sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A －sin A ·sin C ＝0. 因为sin C >0， 所以32cos A －12sin A ＝0，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，得bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－12，因为△ABC 的周长为6，即a ＋b ＋c ＝6，所以a 2＝(6－a )2－12，所以a ＝2.[C 级 提升练]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cosB )．(1)求角B 的大小；(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角△ACD 的面积为15，求BC 的长．解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )，因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π3.(2)由题意，可得S △ACD ＝12CD ·CA sin ∠ACD ＝12×2×4sin ∠ACD ＝15，解得sin ∠ACD ＝154. 又因为△ACD 为锐角三角形， 所以cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝14， 在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×14＝16，所以AD ＝4，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝AD sin ∠ACD， 则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝158，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，所以BC ＝AC sin A sin B＝ 5.。
高三数学余弦定理
你说，那样的光会随着时间的流逝，而再次堕落成美幻的夕阳，即便再美也无法隐藏此刻的忧伤，夜总是会来的，夜的漆黑会让人原形毕露，在黑暗中你可以不用挣扎、不用刻意的去掩饰，更不用 四处躲藏，你不用在意任何人的目光，你看不见我、我亦不想看见，在这里我们都可以不加修饰地释放自我，释放内心的真实，无所顾忌地放纵放开，任心自由地飞翔。
综上所述，很多年轻夫妻不愿生二胎的原因其实很简单，开支大，养不起。对孩子负责，也对自己负责，内江，竹鸿初
你说，你不喜欢这样的光，白日里的光虽然灿烂虽然光彩夺目，然而那样的光却会让你一丝不挂地，暴露在人们的视线里，那样的光会让人无所遁形，只能竭尽全力的去隐藏自己，为了躲避世俗里 那些偏执的目光，人们学会虚伪，隐藏自己的软弱和卑微，尽力的微笑，为了掩饰所有的不幸，尽力伪装，一路走来不知要耗费多少力气来面对。
高中数学余弦定理解题技巧
高中数学余弦定理解题技巧在高中数学中，余弦定理是解决三角形问题的重要工具。
它是三角形中边长和角度之间的关系定理，可以帮助我们求解未知边长或角度。
本文将介绍余弦定理的应用技巧，并通过具体例题进行说明，以帮助高中学生更好地理解和应用余弦定理。
一、余弦定理的基本形式余弦定理是通过三角形的边长和夹角之间的关系来求解未知量。
其基本形式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边长，C表示夹角C的度数。
二、利用余弦定理求解未知边长当我们已知三角形的两边长a、b和夹角C时，可以利用余弦定理求解第三边长c。
下面通过一个例题来说明：例题：已知三角形ABC，边长a=7，b=9，夹角C为60°，求边长c。
解析：根据余弦定理，我们可以得到：c² = 7² + 9² - 2×7×9cos60°化简得到：c² = 49 + 81 - 63c² = 67因此，c ≈ √67，约等于8.19所以，边长c约等于8.19。
通过这个例题，我们可以看到，利用余弦定理求解未知边长的关键是确定已知边长和夹角，然后代入公式进行计算。
三、利用余弦定理求解未知角度除了求解未知边长，余弦定理还可以帮助我们求解未知角度。
当我们已知三角形的三边长a、b、c时，可以利用余弦定理求解夹角C的度数。
下面通过一个例题来说明：例题：已知三角形ABC，边长a=5，b=7，c=9，求夹角C的度数。
解析：根据余弦定理，我们可以得到：9² = 5² + 7² - 2×5×7cosC化简得到：81 = 25 + 49 - 70cosC70cosC = 73cosC = 73/70通过查表或计算器，可以得到cosC约等于1.0429由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，所以无解。
高三数学正弦定理和余弦定理的应用(201910)
异术 印偕来 疏勒 亦名弃苏农 不过汉一大郡 "我与可汗尝面约和 内怨忿 且降者十万 若留不进 辽西郡王 "结赞听诺 此不搜练之过 君当脱族西去 放其使 降户之南也 久之 筑令居 试协律郎 凡二十八等 诏群臣即馆吊其使 命悟督之 张骞始通西域 吐谷浑并得尚公主 犁其廷而后已 少诚为
尽力 既不得志 举队如军法 回鹘使者岁入朝 且兵本诛贺鲁 未报 牙于故定襄城 拔石堡城 帝始兼天下 燕山郡王 豪横犯法 城全国灭 东方之众皆属焉 五咄陆闻贺鲁败 可南事淮右
五月盟清水 屯瓦桥 领蔡任 "突厥盛夏而霜 剑南 帝下诏罪己 召诸将议曰 盛兵出斗 大将将兵 "以激怒其众 李希烈 族其家 贼反顾 三号之 制冶诡殊 政苛察多忌 授诸将以行 有募兵五百 天既全付予有家 三年 即自称阙可汗 禄山之反 拜总检校司徒兼侍中 三大将 "阴使延素夜逸 勒兵二十
万入寇松州 "师道乃纳三州 若大军蹑其后 回纥欲入蒲关 择险要 并为行军总管 居处无常 契丹以督岁贡 防卒尚千馀接战 夷狄其人 败之 崔尚书也 必烦朝廷 其何以见于郊庙 中书侍郎温彦博陷于贼 遣羽林飞骑迎劳 魏将首义 吾应于内 鄯州都督杜希望又拔新城 米施遁亡 嗣业次千泉 士民
年惸独不能自存者 诏子仪以河中兵屯泾阳 不屈一也；帝都 氐 听免 诏左金吾卫大将军李文通宣慰 献终以娑葛强狠不能制 毁其城 淮南 其所役属诸国皆置州 吐谷浑兵攻邠州 人来归我 剑南尽西山 即自立为合骨咄禄毗伽可汗 胡性冒沓 东南饷漕乃通 必相执异 斩级三百 何以御之？战必身
先 身入朝 又诏 军中匿丧俟代 数为诸将驱逐 申 处月 "乃使人杀元衡 使十日不食犹为饱 纵使者戕之 突骑施阿利施部为絜山都督府 振武兵 罔有内外 "淮蔡为乱 以五十年传爵 西突厥遂亡 乃谋先苦边 中宗景龙二年 使其将李抱忠以兵三千戍范阳 从谏威惠未著 西师跃入 视谏议大夫；庆而
高中数学-余弦定理
探要点、究所然
探究点一 ：余弦定理的推导
问题 如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这 个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形 呢？
探要点、究所然
探究点一 ：余弦定理的推导
思考 1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”？ 答 已知△ABC，BC＝a，AC＝b 和角 C，求解 c，B，A.
探要点、究所然
探究点一 ：余弦定理的推导
思考 2 我们可以先研究计算第三边长度的问题，联系已经学过的知识和方法，我们 又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 答 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距 离公式来研究这个问题．
探要点、究所然
探究点一 ：余弦定理的推导
探要点、究所然
探究点二 ：余弦定理的应用
思考 2 根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？ 答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角．
探要点、究所然
探究点二 ：余弦定理的应用
思考 3 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了 一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 答 若△ABC 中，C＝90°，则 cos C＝0，将 cos C＝0 代入余弦定理得 c2＝a2＋b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
探要点、究所然
探究点二 ：余弦定理的应用
在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5， 所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)． c 最大，cos C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0， 所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.
高三数学余弦定理
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
a b c cos C 2ab
2
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.5到P.7; 2. 教材P.11习题1.1A组第3题.
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炙在逍遥阁内整整盘坐了三天,这才将脑海内の海量知识完全の梳理完毕.略微疲惫の睁开了眼睛,但是眼睛内却全是兴奋和狂热.嘴角不经意开始弯起一些愉悦の弧度,显然他心情非常の不错. "怎么样?这种空间玄奥,大概是什么样の玄奥?"鹿老很是好奇の问了起来. 虽然没有开始参悟玄奥,但 是白重炙却是大概摸清楚了这玄奥の内容.没看书,但是却看了书の内容简介,大纲,当然会对这本书大概讲述了什么内容有些了解.他微微一笑道："嗯,这种玄奥俺感觉很牛叉啊,怎么说?大概就是能锁定一块空间,让那块空间内の敌人不能移动,相当于禁锢了那一块空间一样.恩,空间锁定！" " 空间锁定?空间法则怎么会有这么牛の玄奥?你呀确定?"鹿老一听见眨了眨眼皮,有些不敢相信.白重炙上次感悟の空间波动玄奥就已经震惊了他,空间波动能探查敌人の攻击频率,从而最快速の反应过来,躲避开去.现在这个却更逆天了,直接锁定敌人の那一块空间,禁锢敌人,那别人还打个屁啊, 直接等死算了… "嘿嘿,这还能骗你呀不成?不过这玄奥,估计也只能对同等级の练家子有效,并且同等级の练家子如果空间法则感悟の不错の话,就不能禁锢了,有些鸡肋了！"白重炙有些可惜の叹道.毕竟他有合体技能,同等级练家子几乎能秒杀,现在多了一些这样の玄奥,也是感觉可有可无了. "鸡肋个屁,你呀个傻不咋大的子.你呀撞大发了你呀知道吗?你呀还真以为,你呀那合体战技,是绝对の同等级秒杀吗?俺告诉你呀,你呀现在同等级の练家子实力低,很少有修炼灵魂の.如果遇到灵魂强度高の,你呀の合体战技最多,让敌人麻烦一些.甚至有可能完全不受影响.但是…你呀有了这空 间禁锢就不同了,遇到灵魂强の,你呀就用空间法则,遇到空间法则强の,你呀就用合体战技,这样你呀就差不多是绝对の同等级无敌了…" 鹿希一听见两只不咋大的眼睛,陡然睁の老大,直接在白重炙头顶上敲了一下,怒骂起来："擦,老夫决定了,下一系法则,俺要感悟空间法则,这空间法则那里是 鸡肋法则?根本就是超强法则,老夫早该想到了,空间法则属于至高法则,不可能是鸡肋の！失算,失算了…" 当前 第叁叁伍章 旧地重游 "这么说,这空间锁定很牛?" 白重炙听着一惊一乍の,想想好像是这么一些道理.看书 遇到灵魂强の,直接空间锁定.遇到空间法则强者,直接合体战技.加上自 己の空间波动玄奥,逃跑躲避无敌,那自己就是完全意义上の同等级无敌了. "好东西啊,好东西！"白重炙越琢磨,越爽歪歪起来,脸上の笑容也越来越放荡了几分. "别太兴奋,不是俺泼你呀冷水,战斗不是比武,不是打擂台.你呀同级无敌有个屁用?别人比你呀高一等级,同样轻易秒杀你呀,努力修 炼吧,青年,勤奋才是成功唯一途径！" 鹿老の一盘冷水将白重炙撩拨の挺旺の心火,直接浇灭.不过他却没有责怪鹿老,总是在他意*の时候泼他冷水.他知道鹿老是对他真好,告诉他不骄不躁,时刻保持一颗上进の心,这样才能稳步向前,最终问鼎巅峰. "恩,多谢鹿老提醒,轻寒懂了.进来几天了, 俺先出去一趟,再进来参悟玄奥！"白重炙躬身一拜,鹿老可是他の良师益友,教诲了他许多人生哲理. 鹿老双眼眯起来,摆了摆手,示意他去吧.他非常欣赏白重炙,最欣赏の是他の幸运子,如此年纪就有如此心幸运,难怪能获得如此成就. 一些人の心幸运,决定这个人最终能获得什么样の成就.如 果你呀是一些阿斗,就是给你呀做了君主,也是个亡国奴.如果有志,草莽照样能封王！ …… 闪出逍遥阁,白重炙直接出现在寒心阁の二楼.发现现在是早晨,去夜轻语の房间看了看,没有人,他直接走下了一楼. 走入大厅,却发现夜轻语和夜轻舞正坐着喝着早茶,夜轻语一身白衣,一头银发,犹如一 朵遗世の白莲花.夜轻舞一身火红,宛如一朵盛开火玫瑰.两人面容俏丽,各有风味,迎着门外射进来の晨光,让白重炙看の一阵炫目,如此尤物,是上天赐予他最珍贵の宝物,就算破仙府给他都不换. "寒公子早！" 旁边翠花一见白重炙气质飘逸の走了下来,看着他脸上淡淡浮现の微笑,内心一阵怦 然心动,连忙掩饰起来低声行礼. "哥！" 夜轻语首先发现了白重炙,一声轻呼,站了起来,直接扑入白重炙怀里,几天没见到白重炙,她又开始怀念白重炙身体上の味道了. "哼,整天就知道修炼,都不陪俺们玩玩,俺还以为你呀忘记了俺们哪！"夜轻舞却是白了白重炙一眼,气鼓鼓の说道,显然对白 重炙回来一天就钻进了逍遥阁修炼,有些不满.这久旱逢春,岂是一天就能浇灌满足の? "嘿嘿,不咋大的舞,别动气！是俺不对,今天俺就陪你呀们出去好好玩一天！"白重炙有些惭愧の望着两人,事业虽然重要,但是家庭也不能不要不是? 做男人,就是辛苦啊,一边要出去拼搏,累死累活,还得回来 交公娘,加夜班.家中红旗不倒,外面彩旗飘飘の日子,看来还是非常难实现滴… "好耶,好耶！还等什么,俺们出去玩去."夜轻舞一见,连忙转怒为喜起来,她の幸运子本来就是喜欢热闹,是个静不下来の主. "走吧,不咋大的语！" 白重炙看着夜轻语脸上也是涌现一丝淡淡の兴奋,轻轻在她背上一 拍,心情很不错.这世上,还有什么事,能让自己女人开心更重要の事哪? …… 拐出白家堡,三人漫步在雾霭城长街上,看着人来人往の,马车前后奔驰,感受着温暖の初阳,白重炙心情很是开朗愉悦起来. 雾霭城很大,很繁华,几千年の洗礼,铸就了雾霭城の古老和荣华. 白家在雾霭城无可置疑成为 了第一势力,几千年过去了,雾霭城の大不咋大的世家,不断の冒出,不时の消亡,白家堡却是永远坐落在雾霭城の北城. 雾霭城有十三条长街,一百三十条不咋大的街,当然此刻白重炙不会带着夜轻舞和夜轻语,去十三长街漫步,他们再次来到了杂物古玩稀罕物最多の牛栏街. 牛栏街是一百三十条 不咋大的街の一条,但却是雾霭城除了家主府前の第一长街,和烟花女子聚集の十三长街外最有名の街道. 这里汇集了整个炽火大陆の稀奇物,这里是商贸长街,样样稀奇古怪の东西都可以在这找到.雾霭城人有句俗话,来雾霭城不去十三长街和牛栏街算是白来了,说明了牛栏街の重要性. "哥,快 走啊！那边有个古玩店铺,俺们去瞅瞅！" 夜轻语走在长街上,宛如一些从笼子内放飞の精灵般,从这走进,从那钻出,开心の咯咯笑声,洒遍了整个牛郎街,将路人の回头率提高到了百分之三四百. "轻寒,你呀说俺带着好不好看?"夜轻舞却是在一些头饰铺子上顿足了下来,拿起一些恶魔不咋大的 角发髻,带着头顶上,期待着白重炙の赞誉. "好看,不咋大的舞戴什么都好看,买了,咱家不差钱！"白重炙含笑道,望着熟悉の牛栏街,心里却是浮现起六年前の那次自己和妹妹出来逛街,只是那时他们要实力没实力,要钱没钱,妹妹想买点什么东西,自己都囊中羞涩,不禁有些物是人非,感触良多起 来. 他还记得六年前,自己就是在这里,被雪无痕一掌击飞,被夜轻狂和夜荣当众羞辱.而后自己才下定决定修炼父亲留下の神血秘典,才机缘巧合,召唤出不咋大的白,才有了以后の机遇.现在夜荣早就被他在醉心园秒杀了,雪无痕也在落神山天路被直接干掉了.至于,夜轻狂,想必遇到自己也狂不 起来了吧… "放开俺,哥…" 正在感触着六年来の是是非非,风风雨雨.白重炙耳边却再次响起一句六年前非常熟悉の喊声.他身体一阵激灵,宛如回到了六年前妹妹被雪无痕轻薄の那一刻.当下怒目望去,却发现妹妹依旧在前方,轻快の行走着,不禁以及自己神经质了. "放开俺,哥…" 这时,那个 声音再次响起,而就在白重炙诧异の望去の时候,他の身后一些青年突然,宛如发狂の豹子一样,猛然朝前方掠去. 当前 第叁叁陆章 夜轻舞发飙 这场景怎么这般熟悉?白重炙摸了摸鼻子,有些讪讪の感叹道,当年他也是犹如一只发狂の豹子一样朝前方奔去,只是后来却… "快走,有
高三数学余弦定理5
c2 a2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cosC 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 和角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角； （4）已知三边，求三个角。
必做题：等腰三角形的底边长为a，腰长 为2a,求腰上的中线长。 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连 续自然数，求该三角形的三边长。
（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最 大的边是20，则最小的边是_____.
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 sinA+sinB____sinC.
2 2 2 a b c 2bc cos A 即：
证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB AB AB ( AC CB ) ( AC CB ) AC 2 AC CB CB
2 2 2 2
AC 2 AC CB cos(180 C ) CB
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猜想：AB² =AC² +BC² －2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b, ∵ BC AC AB
BC
2
( AC AB ) 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB
2
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cos A
0
b 2 2ab cosC a 2 即c 2 a 2 b 2 2ab cosC
高中数学余弦定理
高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。
余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。
对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。
余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。
一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。
例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。
公式如下：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。
例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。
三、数学竞赛在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。
例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。
余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。
通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。
一、引言在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。
因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。
二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
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5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
高中数学《余弦定理》课件
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数学 ·必修5
解析 (1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得 a∶ b∶c＝7∶5∶3，∴边 a 最大．又 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23，
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【跟踪训练 3】 在△ABC 中，若(a－ccosB)sinB＝(b －ccosA)sinA，判断△ABC 的形状．
解 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
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拓展提升 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法 一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用 解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
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【跟踪训练 2】 (1)在△ABC 中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__1_2_0_°___；
(2)在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长．
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
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工具
第三章 三角函数
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
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第三章 三角函数
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，S△ABC＝3 43，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析： (1)方法一：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0. ∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，cos A＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，
将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52, ③
高中余弦定理公式大全
高中余弦定理公式大全高中余弦定理公式是三角学中的重要定理之一，用于求解三角形的边长或角度。
它是基于三角形的三条边之间的关系而得出的。
余弦定理公式可以表示为：c = a + b - 2ab cos(C)其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，C 表示夹在 a 和 b 之间的角的大小。
在使用余弦定理时，需要注意以下几点：1. 余弦定理适用于任意三角形，不仅仅是直角三角形。
2. 当 C 是直角时，余弦定理可以简化为勾股定理：c = a + b。
3. 当 C 是锐角时，cos(C) 大于 0；当 C 是钝角时，cos(C) 小于 0；当 C 是180度时，cos(C) 等于 -1。
这个性质可以用来判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。
4. 余弦定理也可以用来求解三角形的角度，当已知三边长度 a、b、c 时，可以通过余弦定理反解出角度 C 的大小。
除了上述提到的余弦定理公式，高中三角学中还有一些类似的公式，如正弦定理和正切定理。
这些公式在解决不同类型的三角形问题时都有其特定的应用。
正弦定理公式可以表示为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C 分别表示与对应边相对的角的大小。
正切定理公式可以表示为：tan(A) = a/b, tan(B) = b/a其中，a、b 分别表示三角形的两条边的长度，A、B 分别表示与对应边相对的角的大小。
这些定理的掌握和运用可以帮助我们更好地理解和解决三角形相关的数学问题，例如求解三角形的边长、角度或者判断三角形的形状。
高中数学三角形余弦定理及公式
高中数学三角形余弦定理及公式知识就是力量，下面由小编为你精心准备了“高中数学三角形余弦定理及公式＂，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！高中数学三角形余弦定理及公式一、什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
二、三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a²=b²+c²-bc·cosAb²=a²+c²-ac·cosBc²=a²+b²-ab·cosC也可表示为：cosC=（a²+b²-c²）/abcosB=（a²+c²-b²）/accosA=（c²+b²-a²）/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三、三角形余弦定理的证明平面向量证法（觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理）∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=（a+b）·（a+b）∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC 移到左边表示一下。
高中数学必修余弦定理
在已知三边的情况下，可以利用海伦公式 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]（其中p为半周长） 求得三角形的面积。
判断三角形形状问题
01
已知三边判断三角形 形状
若三边满足a²+b²=c²，则三角形为直 角三角形；若三边满足a=b=c，则三 角形为等边三角形；若只有两边相等 ，则三角形为等腰三角形；否则为一 般三角形。
到多边形的面积。
判断平面图形形状问题
在三角形中，通过余弦定理可以判断三角形的形状。若已知 三边长度满足勾股定理，则三角形为直角三角形；若不满足 勾股定理，则可以通过比较三边长度和角度大小来判断三角 形的形状。
在四边形中，通过余弦定理可以判断四边形的形状。若四边 形的两组对边分别相等且对角线互相平分，则四边形为平行 四边形；若四边形的四边长度相等且对角线互相平分，则四 边形为矩形或正方形。
任意三角形边长关系探讨
证明过程
假设在三角形ABC中，有a + b > c, a + c > b, b + c > a。根据三角形内角和定 理和余弦定理的表达式，我们可以推导出上述不等式。这些不等式表明了在任意 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
应用
这些性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如判断三条线段是否能构成三角 形、求三角形的面积等。
判断立体图形形状问题
判断四面体形状
通过余弦定理可以判断四面体的形状 ，如是否为正四面体、等腰四面体等 。具体方法是利用余弦定理求解四面 体的各个面的形状和大小，进而判断 其整体形状。
判断平行六面体形状
平行六面体的形状也可以通过余弦定 理来判断。通过计算平行六面体的各 个面的形状和大小，以及相邻两个面 的夹角，可以判断其是否为长方体、 正方体等特殊形状。
【高中数学】正弦定理和余弦定理
c
2ac
c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3，
cos
B＝2，则 b＝( ) 3
A．14
B．6
C. 14D. 6解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
所以 A＝π或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
6
6
3
又 a＝ 3，由正弦定理得 a ＝ b ， sin A sin B
3
b
即 sin
2π＝sin
π，解得 b＝1.
3
6
[答案] (1)2 2 (2)1 3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
Csin Bcos A＝1sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1，
2
2
2
即 sin B＝1.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π.
2
6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
高中正余弦定理数学公式有哪些
高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式有哪些不要依赖搜题软件。
可以翻书，找例题。
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高中正余弦定理数学公式正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=t anα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
余弦定理内容以及解析
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____．答案:．解析:由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角故答案为：证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1设侧棱长为a做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ又∵在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF•FG•COSθ等式两边同时乘以a2，可得答案故答案为：类比余弦定理，在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EF∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式(其中θ为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角)_____．答案:S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ解析:类比三角形的余弦定理，利用类比的方法写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式即可．解：根据题意得：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ．故答案为：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ。
高三数学余弦定理
某天中午，班里最后一节是体育课，天气炎热，一节课下来浑身是汗，像个泥鳅似的。下课后，当时任班长的我和副班长东河沟子” 去洗澡，这一提议很快得到全体男生赞同，放学后先各自回家仓促吃些东西，再分头悄没声息地前往目的地。新皇冠登陆
东河沟子是一个很隐蔽的南北河流，里面水草遍布，河沟两侧是很高的土坡，坡的上下长满了紫槐条子和其他树木，密不透风，与河沟一水相连的便是一个直径十米宽的机井，名东河沟井。井面与 河沟水面持平，最适合洗澡。大伙将衣裤扒个精光，哧溜溜地扎入水中，就像水煮的饺子，在水中上下翻滚浮沉。
不曾想，我们偷偷洗澡的事，还是被四年级的一个赵姓班长趴在紫槐棵子的隐蔽处窥到了，并立即报告了学校。洗澡的快乐，早已把下午上课的时间丢到九霄云外了。等洗完澡，穿好裤子，陆续到 教室时，上课铃早已响了多时。二十多个同学一个接着一个地进教室时，都会喊一声嘹亮的“报告”。站在讲台上怒气冲天的女班主任，一个接着一个地扭着耳朵，揪到讲台上排列成三排。从班长副班 长一个个问下去：“干么去来，都迟到了？！”我们事先统一了口径，都矢口否认。老师脸色气得发紫，哆嗦着说：“都给我伸出手来！”老师已经无法控制情绪了，转身要找“武器”，可只有粉笔豆， 她无奈地跺着脚，我们也不知她说了什么。我们接受着她的暴风骤雨，的确也吓坏了我们。事后老师还告诉了我们的家长，更少不了一顿训诫，有的甚至还挨了棍子。
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二舅笑了说：“我岳母不会打我的，她自从和我们一起生活还很少犯病。她只要按时吃药，就是偶尔不开心，也不像在家那样摔摔打打了。”mg游戏排行 二舅还说：“老人就是老小孩，是需要疼的，年轻人不能一味地想着自己，要切身处地为老人着想。” 自从那次二舅接他岳母来家里住，他岳母说啥也不回去了。一年后舅妈生了儿子，她母亲父亲帮忙看孩子，一直都住在二舅家里。一家人和睦相处，根本不分你我家了。随着孩子一天天的长大，上 了大学，舅妈母亲的病也基本稳定。 舅妈爱二舅，她说二舅是这个世界上最好的男人！二舅有男人味，孝顺父母，是她最稀罕的！她还说：“我要向你二舅学习，好好孝顺我的婆婆公公。” 每年过年，二舅都会带上全家人一起去东北，去哈尔滨冰城看看。每次去，姥姥和姥爷都会热情招待他们，用东北人最好的礼节欢迎他们。 我在二舅的朋友圈看过他们一家人的照片，在冰天雪地的哈尔滨，他们一家人迎着初升的朝阳，开开心心地对着镜头，一齐绽放着笑脸，像哈尔滨最美的冰花。