第四章习题解

第四章 习题解 设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，1=0，1=2，2=2，2=2，p(x) N(,)，窗函数P(ω1)= P(ω2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。

解： 已知211(|)exp()822x p x ωπ=-2

21(2)(|)exp[]822x p x ωπ-=-

1(|)p x ω 2(|)p x ω

由Bayes 最小损失判决准则： 如果1221221212211211(|)()()()(|)()()p x P l x p x P ωωλλθωωλλ-=

>=-，则判1x ω∈，否则判2x ω∈。

221212(2)1()exp[]exp()1882x x x l x θ--=-+=->=

1211ln[exp()]ln ln1022x x θ---=>==

如果1x <，则判

1x ω∈，否则判2x ω∈。 -3，-2属于ω1；1，3，5属于ω2。

在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用ω1和ω2表示，它们的先验概率分别为和，损失函数如表所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下：

)/(1ωx p ：，，，

)/(2ωx p ：，，，

（1）

试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型； （2）

假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型； （3） 将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。

表

类型

损失

判决

ω1 ω2 1

(判为ω

1) 2 (判为ω

2) 3

(拒绝判决)

解：

（1）两类问题的Bayes 最小误判概率准则为

如果

12121221(|)()()(|)()p x P l x p x P ωωθωω=

>=，则判1x ω∈，否则判2x ω∈。 由已知数据，12==3/7，

样本x 1：∵ l 12（x 1）=<

12=3/7 x 1ω2 样本x 2：∵ l 12（x 2）=<

12=3/7 x 2ω2 样本x 3：∵ l 12（x 3）=>

12=3/7 x 3ω1 样本x 4：∵ l 12（x 4）=>12

=3/7 x 4ω1

（2）不含拒绝判决的两类问题的Bayes 最小风险判决准则为

如果

1221221212211211(|)()()()(|)()()p x P l x p x P ωωλλθωωλλ-=

>=-，则判1x ω∈，否则判2x ω∈。 由已知数据，12=（2 - 1）/[（4 - ）]=3/，

样本x 1：∵ l 12（x 1）=1/8>

12=6/49 x 1ω1

1 x

x 1 x 2 x 3 4

样本x 2：∵ l 12（x 2）=3/14>

12=6/49 x 2ω1 样本x 3：∵ l 12（x 3）=6/11>

12=6/49 x 3ω1 样本x 4：∵ l 12（x 4）=6/3>12=6/49 x 4ω1

（3）含拒绝判决的两类问题的Bayes 最小风险判决准则为

1,2,3if (|)min[(|)] then , 3i j i j R x R x x i ααω==∈=时为拒绝判决

其中条件风险：

21(|)(|)(|),1,2,3j j i i i R x P x j αλαωω===∑

后验概率： 21(|)(|)()/()(|)()/[(|)()]

i i i i i i i i P x p x P p x p x P p x P ωωωωωωω===∑

2

11(|)(|)(|)(),1,2,3()j j i i i i R x p x P j p x αλαωωω===∑

记21(|)(|)(|)(),1,2,3

j j i i i i r x p x P j αλαωωω===∑

则，含拒绝判决的两类问题的Bayes 最小风险判决准则为 1,2,3

if r(|)min[(|)] then , 3i j i j x r x x i ααω==∈=时为拒绝判决 对四个样本逐一列写下表，用式计算r (j |x )。

样本x 1：

(j |ωi ) 类型 损失 判决 ω1 p (x |ω1)P (ω1)= = ω2

p (x |ω

2)P (ω2)=

=

r (j |x ) 1

(判为ω

1) *+2*= 2 (判为ω

2) 4*+1*= 3

(拒绝判决)

*+*= 因为r (3|x 1)=最小，所以拒绝判决；

样本x 2：

(j |ωi ) 类型 损失 判决 ω1 p (x |ω1)P (ω1)= = ω2

p (x |

ω2)P (ω2)=

=

r (j |x ) 1

(判为ω

1) *+2*= 2 (判为ω

2) 4*+1*= 3

(拒绝判决)

*+*= 因为r (1|x 2)=最小，所以判x 2ω1，即灌木丛，或拒绝判决；

(j |ωi ) 类型 损失 判决 ω1 p (x |ω1)P (ω1)= = ω2 p (x |ω2)P (ω2)=

=

r (j |x )

1

(判为ω

1) *+2*= 2 (判为ω

2) 4*+1*= 3

(拒绝判决)

*+*= 1331(j |ωi ) 类型 损失 判决 ω1 p (x |ω1)P (ω1)= = ω2 p (x |ω

2)P (ω2)=

=

r (j |x ) 1

(判为ω

1) *+2*= 2

(判为ω2)

4*+1*=