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空间直角坐标系》教案(人教A版必修
空间直角坐标系》教案(人教A版必修)第一章：空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的定义与分类让学生理解坐标系的概念，掌握坐标系的分类及特点通过实例让学生了解坐标系在几何图形中的应用1.2 空间直角坐标系的定义与结构让学生理解空间直角坐标系的定义，掌握其结构特点通过实例让学生了解空间直角坐标系在空间几何中的应用第二章：点的坐标2.1 坐标的概念与表示方法让学生理解坐标的概念，掌握坐标的表示方法通过实例让学生了解坐标在空间几何中的应用2.2 点的坐标与坐标轴的关系让学生了解点的坐标与坐标轴的关系，掌握坐标轴上点的坐标特点通过实例让学生了解坐标轴上点的坐标在空间几何中的应用第三章：直线的方程3.1 直线方程的概念与表示方法让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法通过实例让学生了解直线方程在空间几何中的应用3.2 直线方程的求解方法让学生掌握直线方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解直线方程通过实例让学生了解直线方程的求解方法在空间几何中的应用第四章：平面的方程4.1 平面方程的概念与表示方法让学生理解平面方程的概念，掌握平面方程的表示方法通过实例让学生了解平面方程在空间几何中的应用4.2 平面方程的求解方法让学生掌握平面方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解平面方程通过实例让学生了解平面方程的求解方法在空间几何中的应用第五章：空间几何图形与坐标系5.1 空间几何图形在坐标系中的表示让学生了解空间几何图形在坐标系中的表示方法，掌握坐标系中几何图形的性质通过实例让学生了解空间几何图形在坐标系中的应用5.2 空间几何图形的位置关系与坐标系的变换让学生了解空间几何图形的位置关系，掌握坐标系变换的方法通过实例让学生了解坐标系变换在空间几何中的应用第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离让学生理解空间两点间的距离公式，掌握如何计算空间两点间的距离通过实例让学生了解空间两点间距离在几何中的应用6.2 空间角度的计算让学生理解空间角度的计算方法，掌握如何计算空间角度通过实例让学生了解空间角度在几何中的应用第七章：向量及其应用7.1 向量的概念与表示方法让学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法通过实例让学生了解向量在空间几何中的应用7.2 向量的运算让学生掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘通过实例让学生了解向量运算在空间几何中的应用第八章：空间解析几何8.1 解析几何的基本概念让学生理解解析几何的基本概念，如参数方程、极坐标方程等通过实例让学生了解解析几何在空间几何中的应用8.2 解析几何与坐标系的转换让学生掌握如何将解析几何问题转换为坐标系问题，以及如何利用坐标系解决解析几何问题通过实例让学生了解解析几何与坐标系的转换在空间几何中的应用第九章：空间几何体的性质与判定9.1 空间几何体的性质让学生了解空间几何体的基本性质，如表面积、体积、对称性等通过实例让学生了解空间几何体的性质在几何中的应用9.2 空间几何体的判定让学生掌握如何判定空间几何体的类型，如球、圆柱、锥体等通过实例让学生了解空间几何体的判定在几何中的应用第十章：空间几何的综合应用10.1 空间几何问题的一般解决方法让学生掌握解决空间几何问题的基本方法，如分割、投影、对称等通过实例让学生了解空间几何问题的一般解决方法10.2 空间几何在实际问题中的应用让学生了解空间几何在实际问题中的应用，如建筑设计、物理学中的力学问题等通过实例让学生了解空间几何在实际问题中的应用重点和难点解析重点环节一：坐标系的概念与分类补充和说明：本环节需要重点关注坐标系的定义、各种坐标系的结构特点以及坐标系在几何图形中的应用。
空间直角坐标系课件
contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
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向量的模和向量的数量积
人教A版高中数学必修二4.3空间直角坐标系学案含教学反思
4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.预习课本P134～137，思考并完成以下问题(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手](2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－22＋02＋22＝2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝3－12＋2－02＋1－52＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －32＋y －22＋z －12＝x －12＋y －02＋z －52，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点， 所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝2－22＋2－02＋2－42＝2 2.空间中点的对称[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)．其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝1＋32＋1＋32＋1＋32＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－12＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)． 10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋2－42＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝0－42＋2－02＋3－02＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝0－02＋4－52＋3＋72＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)． 由题意，得|P 0P |＝x －42＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)． 则|MN |＝x 0－62＋1－x 0－52＋0－12＝2x 0－12＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y－a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。
空间直角坐标系教案
【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。
空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。
其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。
二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。
✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。
情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。
（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。
（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。
三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。
教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。
四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。
空间直角坐标系 学案 导学案 课件
章节课题空间直角坐标系教学目标1.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义；2.掌握空间直角坐标系内由点确定其坐标或由坐标确定点的位置的方法；3.认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．教学重点空间直角坐标系的建立．教学难点确定点的坐标和由坐标确定点的位置．【复习回顾】我们知道，数轴Ox上的点M，可用与它对应的表示，直角坐标平面上的点M，可以用一对有序实数表示；当建立空间直角坐标系后，空间中的点M就可用表示.课前预习案【新知探究】一、空间直角坐标系的定义1.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴,y轴,z轴.这样就建立了，点O叫作，x轴、y轴、z轴叫作，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 , , .2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为。
我们建立的坐标系都是右手直角坐标系。
3.空间任意点A的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点A在此空间直角坐标系中的，记作。
其中x 叫做点A的，y叫做点A 的，z叫做点A的。
特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下点的位置原点x轴y轴z轴xOy平面yOz平面xOz平面坐标表示二、空间直角坐标系中点的坐标的确定5.垂线法：在x轴上取横坐标为6.垂面法：课堂探究案【典型例题】例1．（1）在平面直角坐标系中，点(,)P x y关于原点的对称点是1(,)P x y--，关于x轴的对称点是2(,)P x y-，关于y轴的对称点是3(,)P x y-.那么在空间直角坐标系内，点),,(zyxP①关于原点的对称点是（）②关于x轴的对称点是（）③关于y轴的对称点是（）④关于z轴的对称点是（）⑤关于坐标平面xoy，yoz，zox的对称点分别是（）（）（）（2）在平面直角坐标系中，点(x1，y1)与点(x2，y2)的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x1＋x22，y1＋y22；类比可知，在空间直角坐标系中，点P(x1，y1，z1)、Q(x2，y2，z2)的中点M的坐标为_______ _．规律总结：例2．长方体OABC—D/A/B/C/中，AB=8，BC=6，/CC=2，E为CC/的中点，OB/∩BD/=Q：（1）写出E、Q的坐标；（2）写出B/关于y轴、z轴的对称点的坐标；（3）写出B/关于x O y面、x O z面的对称点的坐标；（4）写出B/点关于O点、C点的对称点的坐标。
空间直角坐标系专题学案(含答案解析)
1第九讲 空间直角坐标系时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。
(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】E FBC DHGX YZ2,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC ABBC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HFGE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121cos ,,2||||2,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=即二面角B-DE-C 为60。
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
《空间直角坐标系》（人教）第一章：空间直角坐标系的引入1.1 学习目标(1) 了解空间直角坐标系的定义和意义。
(2) 学会在空间直角坐标系中确定一个点的坐标。
1.2 教学内容(1) 空间直角坐标系的定义：三维空间中的一个参照系统，由三个互相垂直的坐标轴组成。
(2) 坐标轴的表示：通常用x, y, z表示三个坐标轴。
(3) 坐标点表示：一个点在空间直角坐标系中的位置由一对有序实数(x, y, z)表示。
1.3 教学活动(1) 利用实际例子（如地图上的位置表示）引出空间直角坐标系的定义。
(2) 通过图形和模型展示坐标轴的互相垂直关系。
(3) 让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中表示一个点。
1.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括在给定的坐标系中表示不同点的坐标。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创造一个坐标系，并标出一些特定的点。
第二章：坐标系的转换2.1 学习目标(1) 学会在不同坐标系之间进行转换。
(2) 理解坐标系转换的原理和意义。
2.2 教学内容(1) 坐标系之间的转换：通过变换矩阵实现不同坐标系之间的转换。
(2) 变换矩阵的定义和性质：变换矩阵是一个方阵，用于描述坐标系的转换关系。
2.3 教学活动(1) 通过图形和实例解释坐标系转换的原理。
(2) 引导学生学习变换矩阵的定义和性质。
(3) 进行实际操作，让学生学会使用变换矩阵进行坐标系之间的转换。
2.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括使用变换矩阵进行坐标系转换。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创建一个坐标系转换问题，并给出解答。
第三章：坐标系的应用3.1 学习目标(1) 学会使用坐标系解决实际问题。
(2) 了解坐标系在各个领域中的应用。
3.2 教学内容(1) 坐标系在几何中的应用：通过坐标系解决几何问题，如计算距离、角度等。
(2) 坐标系在物理学中的应用：描述物体的运动轨迹和速度等。
3.3 教学活动(1) 通过实际例子展示坐标系在几何中的应用。
高一数学：4.3.1《空间直角坐标系》《空间两点间的距离公式》学案
1 1 ，4 B．1，8 C． − ，－4 2 2
D．－1，－8 ）
13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ A．
6 2
B． 3
C．
3 2
D．
6 3
14．在空间直角坐标系中, 点 P 的坐标为(1, 2 , 3 ),过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ, 则垂足 Q 的坐标是 ________________． 15．已知 A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x） ，当|AB|取最小值时 x 的值为_______________． 16．已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2)、B（2，4，1） 、C（p，3，q+2） ，若 A、B、C 三点共线，则 p =_________， q=__________． 17．已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为________________． 18．求下列两点间的距离: (1) A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1); (2) C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3). 延伸扩展： 延伸扩展 19．已知 A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ∆ ABC 是直角三角形. 20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件: (1) A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ; (2) A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2). 21．在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为 2a，棱 PD⊥底面 ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点 E， F，G，H，写出点 E，F，G，H 的坐标．
高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系
4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。
难点：空间直角坐标系的理解。
【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
空间直角坐标系》教案(人教A版必修
空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的坐标。
3. 掌握空间直角坐标系中线段、距离和角的计算方法。
二、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和建立。
2. 点的坐标及其表示方法。
3. 线段的坐标表示和计算。
4. 距离的计算。
5. 角的计算。
三、教学重点与难点1. 空间直角坐标系的建立和点的坐标表示。
2. 空间直角坐标系中线段、距离和角的计算。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间直角坐标系的相关概念和性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间直角坐标系及其相关几何图形。
3. 运用实例分析，让学生在实际问题中体验空间直角坐标系的应用价值。
五、教学过程1. 导入新课：通过简单的实例，引导学生思考如何在空间中确定一个点的位置。
2. 讲解空间直角坐标系的定义和建立，让学生理解坐标系的意义。
3. 教授点的坐标表示方法，让学生学会如何在坐标系中表示一个点。
4. 利用多媒体课件，展示线段在空间直角坐标系中的表示和计算方法。
5. 讲解距离和角的计算方法，让学生掌握空间直角坐标系中距离和角的计算。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
8. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间直角坐标系的相关知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对空间直角坐标系的掌握情况。
2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对知识的运用能力。
3. 课后作业：批改作业，检查学生对课堂内容的掌握情况。
七、教学反思1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，确保学生能够较好地掌握空间直角坐标系的知识。
2. 关注学生在课堂上的参与度，提高课堂教学效果。
3. 结合课后作业的完成情况，了解学生对重点知识的掌握，为后续教学提供参考。
八、教学拓展1. 空间直角坐标系在现实生活中的应用：如建筑设计、航空航天等领域。
4.3.1空间直角坐标系(学案)
4.3.1空间直角坐标系（学案）学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学习时间：2011年 月 日 学生姓名 一．学习目标1．知识与技能① 理解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程 ② 感受类比思想在探究新知识过程中的作用 2．过程与方法① 结合具体问题引入，诱导学生探究； ② 类比学习，循序渐进 3．情感态度与价值观通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法.通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间.二．学习重、难点重点：空间直角坐标系的理解难点：建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标四．学习过程 （一）创设情境【问题1】如何表示数轴上一个点的坐标？ 【问题2】如何表示平面上一个点的坐标？【问题3】如果将某房间内悬挂的电灯泡近似地看做一个点，利用那些数据确定其在空间的具体位置？（二）概念建立1.空间直角坐标系的概念（学习层次：理解、掌握）（如图4.3-1）OABC D A B C ''''-是单位正方体．以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD '的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD '的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．也就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，其中点O 叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.【深化理解】（Ⅰ）.空间直角坐标系的构成的元素．．．．．：点（ ）、线（x 、y 、z 轴）、面（ 平面、 平面、 平面）；（Ⅱ）.三个坐标平面的位置关系是： （Ⅲ）.在平面上如何画空间直角坐标系？2. 右手直角坐标系 （学习层次：了解）3．空间直角坐标系中的点的坐标 （学习层次：理解、掌握、应用） 定义：教材P 134；结论：空间直角坐标系中的点M 与有序数组(),,x y z 一一对应。
空间直角坐标系课件5
z1 M1
P
O
Qy
与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|． x
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以M 1和M 2为对角线
z
顶点的长方体，使其三个相邻
M2
的面分别平行于三个坐标面． 与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，
M1
P
O y1
Qy
y2
x
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以M 1和M 2为对角线
z
z2
顶点的长方体，使其三个相邻
M2
的面分别平行于三个坐标面． 与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，
条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
O
y
面是 yOz 面和zOx面.
x
卦 限：
三个坐标面把 空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限．
x
z
第一卦限
O
y
卦 限：
x
z
第二卦限
O
y
卦 限：
z
第三卦限
O
y
x
z
卦 限：
第四卦限
O
y
x
卦 限：
空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
空间直角坐标系 坐标面、 卦限、点的坐标
二、空间两点间的距离
距离公式
一、空间点的直角坐标 z
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
【参考教案】《空间直角坐标系》（人教）一、教学目标：1. 让学生理解空间直角坐标系的定义和基本概念，掌握坐标轴和坐标点的表示方法。
2. 培养学生运用空间直角坐标系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 空间直角坐标系在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的表示方法。
2. 教学难点：空间直角坐标系在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，通过实物模型和图形展示空间直角坐标系的概念和应用。
2. 运用讲解法，引导学生理解坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 利用案例教学法，分析实际问题，培养学生运用空间直角坐标系解决问题的能力。
4. 组织小组讨论，激发学生思考，提高学生的合作能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示现实生活中的实例，引发学生对空间直角坐标系的兴趣。
2. 讲解空间直角坐标系的定义和基本概念，引导学生掌握坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 演示空间直角坐标系的应用，分析实际问题，培养学生运用空间直角坐标系解决问题的能力。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和应用体会。
6. 布置作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。
针对学生的不同需求，可以适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，激发学生对数学知识的兴趣。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和小组讨论，评估学生对空间直角坐标系的基本概念和表示方法的掌握程度。
2. 设计一些实际问题，让学生运用空间直角坐标系进行解答，以此评价学生的应用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和合作能力进行评价。
七、教学资源：1. 准备空间直角坐标系的实物模型或图形展示。
3.1 空间直角坐标系的建立-3.2 空间直角坐标系中点的坐标 学案(含答案)
3.1 空间直角坐标系的建立-3.2 空间直角坐标系中点的坐标学案（含答案）3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.知识点空间直角坐标系1.空间直角坐标系1建系方法过空间任意一点O作三条两两互相垂直的轴.有相同的长度单位.2建系原则伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.3构成要素O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面.yOz平面和xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组x，y，z来表示，有序实数组x，y，z叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作Px，y，z，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标.特别提醒1在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组x，y，z之间是一种一一对应关系.2对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是0，b，c的形式.2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是a,0，c的形式.3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标.竖坐标保持不变，横坐标相反.题型一求空间中点的坐标例11画一个正方体ABCDA1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴.y轴.z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则顶点A，C的坐标分别为________________；棱C1C中点的坐标为________；正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案0,0,0，1,1,02已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴.y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A2，2,0，B2,2,0，C2,2,0，D2，2,0，P0,0,2.反思感悟1建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.充分利用几何图形的对称性.2求某点M的坐标的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标x，y，z.跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG||CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标.y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNCD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知|FM|，|FN|，故F点坐标为.因为|CG||CD|，G，C均在y轴上，故G点坐标为.由H作HKCG，可得|DK|，|HK|，故H点坐标为.题型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系中作出点P5,4,6.考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置解方法一第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位.第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位.第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位如图所示，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法1利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.2构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.3通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点2,0,3在空间直角坐标系中的A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案C解析点2,0,3的纵坐标为0，此点是xOz平面上的点，故选C.题型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例31在空间直角坐标系中，点P2,1,4关于点M2，1，4对称的点P3的坐标是A.0,0,0B.2，1，4C.6，3，12D.2,3,12考点空间中点的对称问题题点关于点的对称问题2已知点A3,1，4，则点A关于x轴的对称点的坐标为A.3，1,4B.3，1，4C.3,1,4D.3，1，4考点空间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案1C2A解析1根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3x，y，z，由中点坐标公式，可得x2226，y2113，z24412，P36，3，12.故选C.2在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A3,1，4，点A关于x轴对称的点的坐标是3，1,4.故选A.反思感悟1利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题.2解决关于轴对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练3在空间直角坐标系中，P2,3,4，Q2,3，4两点关于________对称.考点空间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案y轴命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P1,3，5关于平面xOy对称的点的坐标是A.1,3，5B.1，3,5C.1,3,5D.1，3,5考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C解析两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，点P1,3，5关于平面xOy对称的点的坐标是1,3,5.故选C.反思感悟本类题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练4点1，a，b关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是1,2，c和d，2，3，则a，b，c，d的值分别是________________.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案2,3，3,11.点Q0,0,2019的位置是A.在x轴上B.在y轴上C.在z轴上D.在平面xOy上考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案C2.点2，1,5与点2，1，5A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于xOy平面对称D.关于z轴对称考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C3.点A1，，2在xOz平面的射影点的坐标为A.1，，2B.1,0,2C.1，，2D.0，，0答案B4.如图所示，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在xOz 平面内，且PP垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是________.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案2,0,15.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.1求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；2求点N的坐标.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标解1显然A0,0,0，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|4，所以B4,0,0.同理可得D0,3,0，A10,0,5.由于点C在坐标平面xOy内，BCAB，CDAD，则点C4,3,0.同理可得B14,0,5，D10,3,5，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有z坐标与点C不同，|CC1||AA1|5，则点C14,3,5.2由1知C4,3,0，C14,3,5，则C1C的中点坐标为，即N.1.空间中确定点M的坐标的三种方法1过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标.2构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.3若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标.2.求空间对称点的规律方法1空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.2对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.。
空间直角坐标系课件
04 空间直线与曲面的交点求法
CHAPTER
直线与平面的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和平面的法向量 来求解交点。
参数法
将直线和曲面的方程参数化，然后联 立方程求解。
直线与球体的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和球体的半径来 求解交点。
参数法
将直线的方程和球体的方程参数化， 然后联立方程求解。
空间直角坐标系课件
目录
CONTENTS
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间点的坐标表示 • 空间几何形状的表示
• 空间直线与曲面的交点求法 • 空间直角坐标系的应用
• 空间直角坐标系的扩展应用
01 空间直角坐标系的基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
空间直角坐标系是三维空间的笛 卡尔坐标系，用三个互相垂直的 坐标轴X、Y、Z分别表示东、南 、高，单位为米。
换。
在不同应用领域中，还可能涉及 到其他类型的坐标系，如柱坐标
系等。
在地理信息系统中的应用
地理信息系统（GIS）是一种用于处 理和分析地理信息的系统，空间直角 坐标系在GIS中发挥着重要作用。
空间分析：通过空间直角坐标系，可 以对地理数据进行空间分析，如计算 距离、确定位置、绘制地图等。
地图投影：将地球表面的经纬度坐标 转换为空间直角坐标系中的x、y、z 坐标，以便在计算机中进行处理和分方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离 ，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
空间直角坐标系教学设计课件.doc
《空间直角坐标系》教学设计（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想 .（二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示 .（三）教学手段多媒体（四）教学设计教学教学内容师生互动设计意图环节问题情景 1 师：启发学生联想思让学生体对于直线上的点，我们可以通过数考，会到点与轴来确定点的位置，数轴上的任意一生：感觉可以数（有序数复习点 M都可用对应一个实数x表示；对师：我们不能仅凭感组）的对应引入关系 . 培养于平面上的点，我们可以通过平面直觉，我们要对它的认角坐标系来确定点的位置，平面上任识从感性化提升到理学生类比意一点 M 都可用对应一对有序实数性化 . 的思想 .( x，y) 表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置 . 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题 .那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组 ( x，y，z) 表示出来呢？问题情景 2 师：引导学生看让学生通过空间直角坐标系该如何建立呢？图，单位正方体 OABC对一维坐O xX – D′A′B′C′，让标、二维坐一维坐标学生认识该空间直角标的认识，系 O –xyz中，什么是体会空间直二维坐标坐标原点，坐标轴以及角坐标系的坐标平面 . 建立过程 . 概念三维坐标（图）师：该空间直角坐形成标系我们称为右手直角坐标系 .问题情景 3 师：引导学生观察通过幻灯片建立了空间直角坐标系以后，空间中图，展示横坐任意一点 M如何用坐标表示呢？生：点 M对应着唯标、纵坐标、一确定的有序实数组竖坐标产生( x，y，z) ，x、y、z过程，让zM 分别是 P、Q、R在x、学生从图中y、z 轴上的坐标.由感性向理x OPx横坐标zMOyxM1纵坐标zRzMyM1Q y师：如果给定了有性过渡 .序实数组 ( x，y，z) ，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢 /生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组 ( x，y，z) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M(x，y，z) ，x 叫做点M的横坐标，O yx竖坐标zRMO Q y y 叫做点M的纵坐标，z 叫做点M的竖坐标.师：大家观察一下图，你能说出点 O，A，B，C的坐标吗？P xM1生：回答图例 1 如图，在长方体OABC–师：让学生思考例学生在教D′A′B′C′中，| OA| = 3，| OC| = 4，1一会，学生作答，师师的指导| OD′| = 2. 写出D′、C、A′、B′四讲评。
空间直角坐标系教案
空间直角坐标系教案一、引言空间直角坐标系是几何学中最基础的概念之一，也是学习空间解析几何的起点。
本教案将详细介绍空间直角坐标系的定义、性质和应用，并设计相关教学活动，帮助学生深入理解和掌握空间直角坐标系的知识。
二、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三条两两相交的坐标轴构成的，分别为x轴、y轴和z轴。
这三条坐标轴两两垂直，且它们的交点称为坐标原点O。
在空间直角坐标系中，任意一点的位置可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别代表该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
三、空间直角坐标系的性质1. 坐标轴的方向和正负- x轴的正方向是从原点O指向正半轴，负方向则相反。
- y轴的正方向是从原点O指向正半轴，负方向则相反。
- z轴的正方向是垂直于xoz平面向上的方向，负方向则相反。
2. 坐标轴间的关系- x轴与y轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oxy，它们确定了一个平面，称为水平面。
- x轴与z轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oxz，它们确定了一个平面，称为前方垂直面。
- y轴与z轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oyz，它们确定了一个平面，称为侧方垂直面。
3. 距离和中点公式- 已知空间直角坐标系中任意两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A和点B之间的距离d可以通过距离公式计算：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
- 已知空间直角坐标系中任意两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A和点B之间的中点M可以通过中点公式计算：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2, (z1+z2)/2)。
四、空间直角坐标系的应用1. 几何图形的表示- 在空间直角坐标系中，点、直线、平面等几何图形可以通过坐标方程来表示。
- 点：P(x, y, z)，其中x、y、z分别为点P在x轴、y轴和z轴上的坐标。