最新高考数学易错题专题汇编(有详解)

（ 2）设 Q为椭圆 E 上的一个动点， 求 AP AQ 的取
F1
OC
Q
P
A F2 x
值范围． 【错解分析】 本题易错点（ 1）在于计算椭圆的方程的量本身就大，方法和 计算技巧的运用很重要。
解：（ 1）点 A 代入圆 C 方程，得 (3 m) 2 1 5 ．
∵m＜ 3，∴ m＝ 1．圆 C： ( x 1)2 y2 5 ． 设直线 PF1 的斜率为 k，则 PF1： y k( x 4) 4 ，
【练习 1】已知集合 A ( x, y) y sin x ，集合 B ( x, y) y tan x ，则
AB（
）
A． (0,0)
B ． ( ,0), (0,0)
C ． (k ,0)
D．
【范例 2】 若 A、 B均是非空集合，则 A∩ B≠ φ 是 A B的（
）
A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
判
断不了圆的位置，在花函数图像是产生了偏差。
【解题指导】 对
【练习 10】 已知直线 x y a 与圆 x2 y 2 4 交于 A、 B 两点， O是坐标
原点，向量 O→A、 O→B满足 |O→A+→OB|=|O→A →OB| ，则实数 a 的值是
.
【范例 11】 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为
B． a 1；
D． a 3 ；
）
C．
a1
；
【范例 3】定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 1) f (x) ，且在 [-1 ，0]
上单调递增，设 a f (3) ， b f ( 2 ) ， c f (2) ，则 a,b, c 大小关系
是（
）
A． a b c B ． a c b C ． b c a
2
的最小值
mn
为
.
【范例 13】 已知点 P（ 4， 4），圆 C： ( x m) 2 y 2 5 (m 3) 与椭圆 E：
x2 y2
a2 b2 1 (a b 0) 有一个公共点 A（ 3， 1），F1、
y
F2 分别是椭圆的左、 右焦点， 直线 PF1 与圆 C相切．
（ 1）求 m的值与椭圆 E 的方程；
如下规则表上数字标签：
原点处标 0，点（ 1， 0）处标 1，点（ 1， -1 ）处
y
标 2，点（ 0， -1 ）处标 3，点（ -1 ， -1 ）处标 4，
点（ -1 ， 0）标 5，点（ -1 ，1）处标 6，点（ 0， 1）
处标 7，以此类推，则标签 2009 2 的格点的坐标
678
为( )
50 1
1 的正方
体和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是
．
【范例 12】 已知过点 P(1,2) 的直线 l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于
A 、 B 两点，则 AOB 的面积最小为
.
答案： 4【错解分析】 本题考查均值不等式和数形结合，也是考生容易错误
的地方， 例如不会利用均值不等式， 或者没有看出均值不等式中隐含的 “面
即 kx y 4k 4 0 ．∵直线 PF1 与圆 C相切，∴ | k 0 4k 4 | k2 1
5 ．解
得k
11 ,或k
1 ．
2
2
当 k ＝ 11 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ，不合题意，舍去．
2
11
当 k ＝ 1 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为－ 2
F2（ 4， 0）．
积”。
【 解 题指 导】 设直线 方程为 x y 1 , 代 点得: 1 2 1 . 由 于
ab
ab
12
2
2
2
, 所以
1 , 即 ab 8 , 所以 S AOB
1 ab
4
a b ab
ab 4
2
【练习 12】 函数 y log a ( x 3) 1 (a 0, 且a 1) 的图象恒过定点 A ，
若 点 A 在 直 线 mx ny 2 0 上 ， 其 中 mn 0 ， 则 1
【练习 13】已知圆 M : ( x 5) 2 y 2 36, 定点 N ( 5,0),点P为圆 M 上
个．
A． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
【范例 6】已知∠ AOB=lrad ，点 Al ，A2，, 在 OA上，
B1， B2，, 在 OB上，其中的每一个实线段和
y=8-x 与 y=lgx
虚线段氏均为 1 个单位，一个动点 M从 O点
出发，沿着实线段和以 O为圆心的圆弧匀速
运动，速度为 l 单位／秒，则质点 M到达 A10
【解题指导】 由绝对值的几何意义知 | x 2 | | x 1 |的最小值为 3.
【练习 9】 不等式｜ x＋ 1｜ (2x － 1) ≥ 0 的解集为
.
【范例
10】 圆 x
2
1
y2
1 被直线 x
y
0 分成两段圆弧，则较短弧长与
较长弧长之比为
.
答案： 1∶3
【错解分析】 圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心，
点处所需要的时间为 ( )
秒。
A． 62 B ． 63 C ． 65 D ． 66
答案： C
【错解分析】 本题常见错误 B 、D，这样的错误常常由于是信息图片信息把
握力不强。
【解题指导】 本题综合考察等差数列求和，及扇形的弧长公式。要细读题，
理解动点的运动规律。
【练习 6】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按
高考数学易错题解题方法
一 . 选择题
【范例 1】已知集合 A={x|x=2n — l ，n∈ Z} ，B={x|x 2 一 4x<0} ，则 A∩ B（=
）
A． {1} B ． { x1 x 4} C ． 1,3 D ． {1 ， 2， 3， 4}
答案： C 【错解分析】 此题容易错选为 B，错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】 集合 A 表示奇数集，集合 B={1， 2， 3， 4}.
ab
a
b
ab
a
b
【练习 8】△ ABC中， C
的最小值是
.
π2 ， AC
1, BC
2 ，则 f ( )
2 CA (1
) CB
【范例 9】 若不等式 | x 2 | | x 1| a对 x R 恒成立，则实数 a 的取值
范围是
.
答案： ( ,3]
【错解分析】 解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的， 错误原因有解法 单一，比如只会运用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。通常 简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。
C. 充要条件
D.
即不充分也不必要条件
答案： B
【错解分析】 考生常常会选择 A，错误原因是混淆了充分性，与必要性。 【解题指导】 考查目的：充要条件的判定。
【练习 2】已知条件 p ： | x 1 | 2 ，条件 q ： x a ，且 p 是 q 的充分
不必要条件，则 a 的取值范围可以是（
A． a 1；
答案： 3 3 4 10
（0
）到达点 P1，
2
到达点 P2 ，若点 P2 的横 3
.
13 12
y
P2
P1
P0
O
x
【错解分析】 本题常见错误写成 3 3 4 的相反数，这样的错误常常是忽略 10
角度所在的象限。 【解题指导】 本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。
【
练
习
7
】
已
知
s x s i c i ,nc xo ns o c s i ,则sc o 2xn o s . s
【范例 5】 设 x0 是方程 8 x lg x 的解，且 x0 (k, k 1)(k Z ) ，则 k
（
）
A． 4 B ． 5 C ． 7 D ． 8
答案： C
【错解分析】 本题常见错误为 D，错误原因没有考虑到函数
图像的结合。
【解题指导】 考查零点的概念及学生的估算能力 . 【练习 5】 方程 xlg( x 2) 1 的实数根有 ( )
4，∴c＝ 4．F1（ － 4，0），
2a ＝AF1＋ AF2＝ 5 2 2 6 2 ， a 3 2 ， a2＝ 18， b2＝ 2．
椭圆 E 的方程为： x2
y2 1．
18 2
（ 2 ） AP (1, 3) ， 设 Q （ x ， y ） ， A Q ( x 3, y 1) ，
AP AQ ( x 3) 3( y 1) x 3y 6 ．
D． c b a
答案： D
【错解分析】 此题常见错误 A 、B ，错误原因对 f (x 1) f ( x) 这样的条
件认识不充分，忽略了函数的周期性。
【解题指导】 由 f ( x 1) f ( x) 可得， f ( x) 是周期为 2 的函数。利用
周期性 a ,b,c 转化为 [-1 ，0] 的函数值，再利用单调性比较 .
A． (1005,1004) B
．(1004.1003)
C ． (2009,2008) D
． (2008,2007)
43 2
9
10
x
11
【范例 7】 如图，点 P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置
P0 开
始沿单位圆按逆时针方向运动角
然后继续沿单位圆逆时针方向运动
坐标为 4 ，则 cos 的值等于 5
，则球的
表面积为 __________.
答案： 8π
【错解分析】 球体是近年高考通常所设计的集合体，通常也是考生容易
出错的一个地方，通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏
导致，或者计算的时候计算不出球的半径等。
【解题指导】 过球心与小圆圆心做球的截面，转化为平面几何来解决
.
【练习 11】 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为
）
12
12
A．－ 4 B ． 4 C ．2 D ．－ 2
答案： D
【错解分析】 此题常见错误 A 、C，错误原因是对两倍角公式或对对数运算
性质不熟悉。
【解题指导】 结合对数的运算性质及两倍角公式解决 .
3
4
【练习 4】 式子 log 2 log 3 值是（
）
A．－ 4 B ． 4 C ．2 D ．－ 2
ab
【范例 8】已知向量 p
，其中 a 、 b 均为非零向量，则 | p |的取
|a| |b|
值范围是
.
答案： [0, 2]
【错解分析】 本题常见错误五花八门， 错误原因是没有理解向量的模的不等 式的性质。
【 解 题 指 导 】 a,b 分 别 表 示 与 a 、 b 同 向 的 单 位 向 ab
量, a b ab
∵ x2 18
y2 1 ，即 x 2 (3 y )2 18 2
而 x 2 (3 y)2 ≥ 2 | x | | 3 y | ，∴－ 18≤ 6xy ≤ 18．
∴ (x
2
3y)
2
x
2
(3 y)
6xy 18 6 xy 的取值范围是 [0 ， 36] ，
即 x 3y 的取值范围是 [ － 6，6] ．
∴ AP AQ x 3 y 6 的取值范围是 [ － 12， 0] ．
【练习 3】设函数 f ( x) 是定义在 Ｒ 上的以 5 为周期的奇函数， 若 f ( 2) 1 ，
a3
f (2008)
，则 a 的取值范围是（
）
a3ห้องสมุดไป่ตู้
A.( －∞ , 0) (3, + ∞）
B.(0, 3)
C.(0 , + ∞）
D.( －∞ , 0) ∪
【范例 4】 log 2 sin
log 2 cos 的值为（