最新高考数学易错题专题汇编(有详解)

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2023届高考复习数学易错题专题(集合)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(集合)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(集合)汇编1.若22{1,1,1}a a ∈++,则a =( )A .2B .1或-1C .1D .-12.若集合{1,1}A =-,{|1}B x mx ==,且A B A ⋃=,则m 的值为( )A .1或0B .1-或0C .1或1-或0D .1或1-或23.(多选题)已知集合{}22,4,A m=,{}2,B m =,A B A ⋃=,则实数m 的值可能为( ) A .0 B .1 C .2 D .44.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为( )A .[]3,3-B .(],2-∞C .(][),33,-∞-+∞D .(],3-∞ 5.下列集合中表示同一集合的是( )A .{(3,2)}M =,{(2,3)}N =B .{2,3}M =,{3,2}N =C .{(,)1}M x y x y =+=∣,{1}N y x y =+=∣ D .{2,3}M =,{(2,3)}N = 6.若集合{}2|1,{|1}A x x B x mx ====且B A ⊆,则实数m 的集合为( ) A .{1,0,1}- B .{1,1}- C .{1,0}- D .{0,1} 7.已知集合A ={x |y =log 2(x 3-1)},B ={y |y =x -2},则A ∩B =( )A .(1,+∞)B .(-1,2]C .[2,+∞)D .∅8.(多选题)已知集合{}23180A x R x x =∈--<,{}22270B x R x ax a =∈++-<,则下列命题中正确的是( )A .若AB =,则3a =-B .若A B ⊆,则3a =-C .若B =∅,则6a ≤-或6a ≥D .若3a =,则{}36A B x x ⋂=-<< 9.用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为( )A .{}1A =B .{}0A =C .{}0,1A =D .{}0A =或{}110.(多选题)已知集合2{|log 0}A x x =≤,集合1{|0}1y B y y +=≥-,集合1{|3}9z D z =≥,则( ) A .A D R ⋃=B .A B =∅C .()R A B ⋃ðD D .R D ð B11.已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈,则由a 的值构成的集合是( )A .∅B .31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ C .{}-1 D .32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12.已知集合A ={x |-1≤x ≤3},集合B ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若B ⊆A ,则m 的取值范围是( ) A .(-∞,2]B .[-1,3]C .[-3,1]D .[0,2]13.已知集合{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,则实数m 的值为 ( )A .3B .2C .0或3D .0或2或3 14.含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,又可表示成{}2,,0a a b +,则20192020+a b 的值是________.15.已知集合{1A x x =<-或}4x >,{}23B x a x a =≤≤+,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是________. 16.设集合A ={x ∣2x −3x +2=0},B ={x ∣2x +2(a +1)x +2a −5=0},若U =R ,A ∩(∁ B )=A ,求实数a 的取值范围.17.已知集合A ={x |0<ax +1≤5},集合B ={x |-12<x ≤2}.若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. 18.(1)设集合A ={a 2,a +1,-1},B ={2a -1,|a -2|,3a 2+4},A ∩B ={-1},求实数a 的值.(2)设集合{}2,21,4A x x =--,{}5,1,9B x x =--,若{}9A B ⋂=,求实数x 的值. 19.已知集合{}24A x x =<<,()(){}30B x x a x a =--<.(1)若A B =∅ ,求实数a 的取值范围;(2)若{}34A B x x ⋂=<<,求实数a 的取值范围. 20.设集合{}2|320A x x x =-+=,{}22|2(1)50B x x a x a =+++-=.(1)若{2}A B = ,求实数a 的值;(2)若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围;答案解析1.若22{1,1,1}a a ∈++,则a =( )A .2B .1或-1C .1D .-1 【参考答案】D【答案解析】当212a +=时,1a =±,当1a =时,2112a a +=+=,不满足互异性,舍去,当1a =-时,集合为{1,2,0},满足;当12a +=时,1a =,不满足互异性,舍去.综上1a =-. 2.若集合{1,1}A =-,{|1}B x mx ==,且A B A ⋃=,则m 的值为( )A .1或0B .1-或0C .1或1-或0D .1或1-或2 【参考答案】C【答案解析】,A B A B A ⋃=⊆ ∴,B ∴=∅;{1}B =-;{1}B =,当B =∅时,0m =;当{1}B =-时,1m =-,当{1}B =时,1m =,故m 的值是0;1;1-。

2024届高考数学易错题专项(圆锥曲线)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(圆锥曲线)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(圆锥曲线)练习 易错点一:求轨迹方程时忽略变量的取值范围(求动点轨迹方程)易错点二:忽略了给定条件对e范围的限定(离心率的求算)A.3B.2易错点三:易忽略判别式自身参数范围(求最值问题)易错点四:意义不明导致定点问题错误(有关直线与圆锥曲线的定点与定值问题)22x y参考答案易错点一:求轨迹方程时忽略变量的取值范围(求动点轨迹方程)2⎝⎭如图所示,过P作PB⊥准线,垂足为由抛物线定义可知PF=设直线AP为p y k x⎛⎫+=) 由已知可知24y x =,则()1,0F )()(11223,,,x y B x y C x 、、()11y x k=--,【答案详解】 )0QN PN +⋅= ,可得QN QP =4QP MP ==,所以NQ QM +的轨迹是以M ,N 为焦点,长轴长为 故||||DB DA =,则||||||||DC DB -=设()11,A x y ,()22,B x y .由题意,设直线l 的方程为6,x my =+则2164240m ∆=+⨯>,由韦达定理可得所以2412x x m +=+,36x x =,9.已知()2,0A -,()2,0B,对于平面内一动点M ,且2PM AM BM =.求点Р的轨迹C 的方程;【答案】当||2x <,22:2C x y +=;当||2x >,易错点二:忽略了给定条件对e范围的限定(离心率的求算)=,由切线长定理可知,PA PB=与双曲线6.已知直线y kxPA PB不同的一点,直线,线的离心率为()A.3B.2 【答案】D故选:A.9.已知F为双曲线C:2 2 x a的渐近线和右支于点A,B10.已知双曲线22 :xEa-右支交于B,C两点,且则双曲线E的离心率为(又因为0AF BF ⋅=,所以AF BF ⊥所以四边形1AF BF 为矩形, 设||BF t =,则||3CF t =,易错点三:易忽略判别式自身参数范围(求最值问题)故答案为:182.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若则ABC 面积的最大值为 . 【答案】22【详细分析】由余弦定理变形得出6AB AC +=,A 在以椭圆上,因此当A 是椭圆短轴顶点时,A 到BC 的距离最大,由此可求得三角形面积最设椭圆方程为22221x ya b+=,则所以2222b a c=-=,当A是椭圆短轴顶点时,A由椭圆的第二定义知:AO AH=【答案】(]4,7【详细分析】作点N 关于原点的对称点12EF F N =且M 、1F 、E 三点共线,故因为O 为EN 、12F F 的中点,所以,四边形1EF 所以,12//EF F N 且12EF F N =,因为12//MF F N ,故M 、1F 、E 三点共线,则MF 问题)) 当直线l 的斜率不为0时,设直线l :4x ny =+,联立得2242x ny x y =+⎧⎪⎨+⎪⎩3.已知椭圆2222:1(x yCa b+=23.因为椭圆的离心率为32,所以当直线AB 的斜率存在时,设直线将y kx m =+与2214x y +=联立,消去()(所以直线CM 的斜率为00CM y n k x m-=-可得直线CM 交x 轴于点0my nx P ⎛-设()()1122,,,,:AB A x y B x y l x =因为1F 在椭圆内部,则直线22x y ⎧设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=)当直线L与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为当直线L与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为设()00,P x y ,且000,0x y >>; 易知直线PA 的斜率002PA y k x =+,所以1y +0,0.∴直线CD恒过定点()【名师点评】关键点名师点评:本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解,解题关键是能够利用中点坐标公式表示出,A B坐标,利用点在椭圆上可构造方程组整理得到,C D所满足的直线方程,根据直线CD方程可确定定点坐标.。

高中数学易错题大汇总及其解析

高中数学易错题大汇总及其解析

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科,对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段,数学的难度也相应提升,很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总,并给出详细的解析,希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用(1)易错题案例:已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2),且在点(2,1)处的切线斜率为3,求a、b、c的值。

解析:首先利用已知条件列方程,得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质,得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

(2)易错题案例:已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c,求a、b、c的值。

解析:利用函数过定点的性质列方程,再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法(1)易错题案例:已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²,求an。

解析:利用等差数列的前n项和公式列方程,然后利用数学归纳法求得an的表达式。

(2)易错题案例:已知{an}是等比数列,且a₁=2,a₃=18,求通项公式。

解析:利用等比数列的通项公式列方程,再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用(1)易错题案例:已知向量a=3i+4j,b=5i-2j,求a与b的夹角。

解析:利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

(2)易错题案例:已知平面向量a=2i+j,b=i-2j,求2a-3b的模。

解析:利用向量的运算规则,先求出2a和3b,然后再求它们的差向量,最后求出差向量的模。

2023届高考复习数学易错题专题(数列)汇编(附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(数列)汇编(附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(数列)汇编1.已知数列{a n }是等比数列,a 5=4,a 9=16,则a 7=( )A .8B .±8C .-8D .12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,1n n a a n ++=,则( )A. 22S =B. 24144S =C. 31243S =D. 60660S =3.已知在等比数列{a n }中,a 3=7,前三项之和S 3=21,则公比q 的值是( )A .1B .-12C .1或-12D .-1或124. 设数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=,求{}n na 的前n 项和( ) A. ()121n n -- B. ()121n n -+ C. ()1121n n ++- D. ()1121n n +++ 5. 1232482n n n S =++++= ( ) A. 22n n n - B. 1222n n n +-- C. 1212n n n +-+ D. 1222n n n +-+ 6. 已知数列{}n a 满足112a =,213a =,()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈L ,记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则2021S =( ) A. 202120212⋅ B. 202220212⋅ C. 202120222⋅ D. 202220222⋅7.已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 2ꞏa 6ꞏa 10=33,b 1+b 6+b 11=7π,则tan b 2+b 101-a 3ꞏa 9的值是( ) A .1 B .2 C .-2 D .- 38.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)( )A .300米B .299米C .199米D .166米9. 已知数列{}n a ,{}n b ,{}n c 满足:1*112233(1)22()n n n a b a b a b a b n n N ++++⋯+=-⋅+∈,若{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列,11()3n n c -=-,则数列n n a c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是( )A. 1(41)(3)16nn -+- B. 13(41)16n n ++ C. 1(32)(3)16n n -+- D. 13(32)16n n ++ 10.数列{a n }的通项公式为a n =n 2+tn (n ≤2 020),若数列{a n }为递减数列,则t 的取值范围是________.11.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-16n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 11|=________.12.设S n ,T n 分别是等差数列{a n },{b n }的前n 项和,已知S n T n=2n +14n -2(n ∈N *),则a 10b 3+b 17=______. 13.数列{a n }满足1a n +2=2a n +1-1a n ,a 1=1,a 5=19,b n =2na n ,则数列{b n }的前n 项和为S n =________. 14. 已知数列{}n a 满足11a =,()*13n n a a n n ++=-∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若192n S =-,则n =__________.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =4n -3,则数列{a n }的通项公式为________. 16. 若数列{}n a 的前n 项和1n n S n-=,则其通项公式为_______. 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,求这个数列的通项公式.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若13a =,15n n a S +=+,则5S =______. 19. 已知等比数列{}n a 中,12a =,36S =,求3a 和q .20. 数列{}n a 是首项14a =的等比数列,且324,,S S S 成等差数列,求数列{}n a 的通项公式. 21. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,满足关系()lg 1n S n -=(n ∈N ,1n ≥),求{}n a 的通项公式.22. 已知数列{}n a 中,满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立,数列{}n a 的前n 项和为n S .若1a b ==,且{}1n n a a ++是等比数列,求k 的值,并求n S .。

2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习易错点一:相邻与不相邻问题处理方法不当致误(相邻问题)1.2023年杭州亚运会期间,甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念,若甲与乙相邻、丙不A.12C.1 4易错点二:“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”(不相邻问题) 1.4名男生和3名女生排队(排成一排)照相,下列说法正确的是( ) A .若女生必须站在一起,那么一共有5335A A 种排法B .若女生互不相邻,那么一共有3434A A 种排法C .若甲不站最中间,那么一共有1666C A 种排法D .若甲不站最左边,乙不站最右边,那么一共有7676A 2A 种排法2.某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )A .若以歌唱类节目开场,则有360种不同的出场顺序B .若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序C .若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序D .从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节,则有11种不同的选法3.现将8把椅子排成一排,4位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )A .4个空位全都相邻的坐法有120种B .4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C .4个空位均不相邻的坐法有120种D .4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学,下列说法正确的是( ).A .若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻,则不同的排法有12种B .若五位同学排队最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种C .若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队,则不同的排法有20种D .若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动,每个社区至少一位同学,则不同的分配方案有36种5.现将9把椅子排成一排,5位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )A .4个空位全都相邻的坐法有720种B .4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C .4个空位均不相邻的坐法有1800种D .4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6.现有3位歌手和4名粉丝站成一排,要求任意两位歌手都不相邻,则不同的排法种数可以表示为( )A .731424735454A A A A A A -- B .4343A AC .7314222473543254A A A A C A A A -- D .4345A A7.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是( )A .某学生从中选2门课程学习,共有15种选法B .课程“乐”“射”排在不相邻的两周,共有240种排法C .课程“御”“书”“数”排在相邻的三周,共有144种排法D .课程“礼”不排在第一周,也不排在最后一周,共有480种排法8.有甲、乙、丙等6名同学,则说法正确的是( )A .6人站成一排,甲、乙两人不相邻,则不同的排法种数为480B .6人站成一排,甲、乙、丙按从左到右的顺序站位,则不同的站法种数为240C .6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观(每个工厂都有人),则有90种不同的安排方法D .6名同学分成三组参加不同的活动,甲、乙、丙在一起,则不同的分组方法有6种9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学,下列说法正确的是( )A .若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻,则不同的排法有12种B .若五位同学排队最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种C .若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队,则不同的排法有20种D .若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动,每个社区至少一位同学,则不同的分配方案有72种10.4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相邻,女生与女生也互不相邻,则不同的排法种数是( )A .36B .72C .81D .14411.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题,全长8公里.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段线路由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有( )A .288种B .360种C .480种D .504种12.A ,B ,C ,D ,E 五名学生按任意次序站成一排,其中A 和B 不相邻,则不同的排法种数为( )A .72B .36C .18D .64易错点三:忽视排列数、组合数公式的隐含条件(排列组合综合) 1.()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为( )在车站的个数为( )A .15B .16C .17D .188.不等式2886x x A A -<⨯的解集为( )A .{2,8}B .{2,6}C .{7,12}D .{8}9.若24C P mm n n =,则m = . 10.已知()1111A A A N ,2n n n n n n x n n -+-+++=∈≥,求x 的值. 11.解关于正整数x 的不等式288P 6P x x -<. 12.解关于正整数n 的方程:4321A 140A n n +=.13.已知57A 56C n n =,且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+的值. 14.(1)解不等式266A 4A x x -<.(2)若2222345C C C C 55n ++++= ,求正整数n .15.(1)若32213A 2A 6A x x x +=+,则x = .(2)不等式46C C n n >的解集为 .易错点四:实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误(加法与乘法原理) 1.高考期间,为保证考生能够顺利进入考点,交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通,每个路口至少1人,至多2人,则不同的分配方染共有()A.81 B.48 C.36 D.245.从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会,要求每名学生至多被一学科选中,则每学科至少要选用一名学生的情况有()种A.24 B.36 C.48 D.606.将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有( )A.30种B.90种C.180种D.270种7.哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现在从中任选3人,要求这三人不能是同一个班级的学生,且在三班至多选1人,不同的选取法的种数为A.484B.472C.252D.2328.下列说法正确的是()A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有81种报名方法B.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每项限报一人,且每人至多报一项,共有24种报名方法C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有64种可能的结果D.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为12个9.如图,线路从A到B之间有五个连接点,若连接点断开,可能导致线路不通,现发现AB之间线路不通,则下列判断正确的是()A.至多三个断点的有19种B.至多三个断点的有22种C.共有25种D.共有28种10.某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目,计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法. (1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,每项都有人报名,且每人至多参加一项;(3)每人限报一项,人人参加了项目,且每个项目均有人参加.11.已知8件不同的产品中有3件次品,现对它们一一进行测试,直至找到所有次品.(1)若在第5次测试时找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法?(2)若至多测试5次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试方法?12.杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A、B项目,乙不能参加B、C项目,那么共有种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答)13.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开四个班.选课结束后,有四名同学要求改修数学,但每班至多可再接收2名同学,那么不同的分配方案有(用数字作答)14.某单位有A、B、C、D四个科室,为实现减负增效,每科室抽调2人,去参加再就业培训,培训后这8人中有2人返回原单位,但不回到原科室工作,且每科室至多安排1人,问共有种不同的安排方法?易错点五:均匀分组与不均匀分组混淆致误(相同元素与不同元素分配问题)1.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕,因工作需要,还需招募少量志愿者.甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目.若甲不能参加“莲花”场馆的项目,则不同的选择方案共有()A.6种B.12种C.18种D.24种2.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个,放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入一个球,且球色与袋色不同,那么不同的放法有()A.42种B.36种C.72种D.46种3.阳春三月,草长莺飞,三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,宝宝不排最前面也不排最后面,为了方便照顾孩子,每两位大人之间至多排2位宝宝,由于男宝宝喜欢打闹,由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为()A.216 B.288C.432 D.5124.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.50种D.60种5.杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A、B项目,乙不能参加B、C项目,那么共有()种不同的选拔志愿者的方案.A.36 B.40 C.48 D.526.现有甲、乙、丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲同学安排在另外两位前面,则不同的安排总数为()易错点六:由于重复计数致错(可重复与限制问题)1.2023年6月25日19时,随着最后一场比赛终场哨声响起,历时17天的.2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕,为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演,分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣且在游览过程中必须按先M后N的次序,则不同的游览线路有多少种?9.用0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个无重复数字的五位数?其中能被5整除的五位数有多少个?10.某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日,共有多少种不同的安排方法?参考答案易错点一:相邻与不相邻问题处理方法不当致误(相邻问题)1.2023年杭州亚运会期间,甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念,若甲与乙相邻、丙不A .18种B .36种C .72种D .144种【答案】C【详细分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【答案详解】由题意可得12331233A A A A 72=,故选:C7.甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩,其中甲家庭有2个大人和2个小孩,乙家庭有2个大人和3个小孩,他们9人在景区门口站成一排照相,要求每个家庭的成员要站在一起,且同一家庭的大人不能相邻,则所有不同站法的种数为( ) A .144 B .864 C .1728 D .2880【答案】C【详细分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【答案详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种,乙家庭的站法有3234A A 72=种,最后将两个家庭的整体全排列,有22A 2=种站法,则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=. 故选:C8.某驾校6名学员站成一排拍照留念,要求学员A 和B 不相邻,则不同的排法共有( ) A .120种 B .240种 C .360种 D .480种【答案】D【详细分析】正难则反,首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A ,然后求学员A 和B 相邻的排列数,两数相减即可.【答案详解】一方面:若要求学员A 和B 相邻,则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”,此时一共有5个元素,但注意到学员A 和B 可以互换位置,所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.另一方面:6名学员随机站成一排的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.结合以上两方面:学员A 和B 不相邻的不同的排法共有625625A A A 720240480-⋅=-=种排法.故选:D.9.某高铁动车检修基地库房内有A E ~共5条并行的停车轨道线,每条轨道线只能停一列车,现有动车01,02、A.12C.1 4【答案】B【详细分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【答案详解】先让甲站好中间位置,再让2名女生相邻有两种选法,最后再排剩余的2名男生,根据分步乘法原理得,有22222A A 8⨯⨯=种不同的排法.故选:B12.5名同学排成一排,其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( )A .70种B .72种C .36种D .12种【答案】C【详细分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【答案详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列,则共有3333A A 36=种排法.故选:C13.现有2名男生和3名女生,在下列不同条件下进行排列,则( )A .排成前后两排,前排3人后排2人的排法共有120种B .全体排成一排,女生必须站在一起的排法共有36种C .全体排成一排,男生互不相邻的排法共有72种D .全体排成一排,甲不站排头,乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC【详细分析】根据题意,利用排列数公式,以及捆绑法、插空法,以及分类讨论,结合分类计数原理,逐项判定,即可求解.【答案详解】由题意知,现有2名男生和3名女生,对于A 中,排成前后两排,前排3人后排2人,则有3252A A 120=种排法,所以A 正确;对于B 中,全体排成一排,女生必须站在一起,则有3333A A 36=种排法,所以B 正确;对于C 中,全体排成一排,男生互不相邻,则有3234A A 72=种排法,所以C 正确;对于D 中,全体排成一排,甲不站排头,乙不站排尾可分为两类:(1)当甲站在中间的三个位置中的一个位置时,有13A 3=种排法,此时乙有13A 3=种排法,共有113333A A A 54=种排法;C .如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有60种D .如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种 【答案】AC【详细分析】对于A ,根据社区A 必须有同学选择,由甲、乙、丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解;对于B ,根据同学甲必须选择社区A ,有乙丙都有5种选择求解;对于C ,根据三名同学选择的社区各不相同求解;对于D ,由甲、乙两名同学必须在同一个社区,捆绑再选择求解;【答案详解】对于A ,如果社区A 必须有同学选择,则不同的安排方法有335461-=(种),故A 正确; 对于B ,如果同学甲必须选择社区A ,则不同的安排方法有2525=(种),故B 错误;对于C ,如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有54360⨯⨯=(种),故C 正确; 对于D ,甲、乙两名同学必须在同一个社区,第一步,将甲、乙视作一个整体,第二步,两个整体挑选社区,则不同的安排方法共有2525=(种),故D 错误. 故选:AC.18.在树人中学举行的演讲比赛中,有3名男生,2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影,则( )A .3名男生排在一起,有6种不同排法B .2名女生排在一起,有48种不同排法C .3名男生均不相邻,有12种不同排法D .女生不站在两端,有108种不同排法 【答案】BC【详细分析】利用捆绑法可判断A 、B ;利用插空法可判断C ;利用分步计数法可判断D. 【答案详解】解:由题意得:对于选项A :3名男生排在一起,先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排,共有3333A A 36⋅=种,A 错误;对于选项B :2名女生排在一起,先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排,共有2424A A 48⋅=种,B 正确;对于选项C :3名男生均不相邻,先让3个男生全排后,中间留出两个空位让女生进行插空,共有2323A A 12⋅=种,C 正确;对于选项D :女生不站在两端,先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端,共有2232C A 6⋅=种,然后将剩下的3人进行全排后放中间,共有223323C A A 36⋅⋅=种,D 错误.故选:BC易错点二:“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”(不相邻问题)1.4名男生和3名女生排队(排成一排)照相,下列说法正确的是( )A .若女生必须站在一起,那么一共有5335A A 种排法B .若女生互不相邻,那么一共有3434A A 种排法C .若甲不站最中间,那么一共有1666C A 种排法D .若甲不站最左边,乙不站最右边,那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【详细分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【答案详解】选项A ,利用捆绑法,将3名女生看成一个整体,其排列方式有33A 种,加上4名男生一共有5个个体,则有55A 种排列方式,则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法,故A 正确;选项B ,利用插空法,4名男生排成一排形成5个空,其排列方式有44A 种,再将3名女生插入空中,有35A 种排列方式,则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法,故B 不正确;选项C ,利用优先安排特殊元素法,甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个,其选择方式有16C 种,再将剩余的6人全排列,有66A 种排列方式,则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法,故C 正确;选项D ,利用间接法,3人站成一排共有77A 种排法,若甲站最左边有66A 种排法,乙站最右边有66A 种排法,甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法,所以甲不站最左边,乙不站最右边,那么一共有765765A 2A A -+种排法,故D 不正确; 故选:AC.2.某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )A .若以歌唱类节目开场,则有360种不同的出场顺序B .若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序C .若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序D .从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节,则有11种不同的选法 【答案】AD【详细分析】根据全排列、捆绑法、插空法,结合分步与分类计数原理依次详细分析选项,即可判断. 【答案详解】A :从3个歌唱节目选1个作为开场,有13C =3种方法,后面的5个节目全排列,所以符合题意的方法共有553A 360=种,故A 正确;B :将2个舞蹈节目捆绑在一起,有22A 2=种方法,再与其余4个节目全排列,所以符合题意的方法共有552A 240=,故B 错误;C :除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列,有44A 24=种,再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目,所以符合题意的方法有2524A 480=种,故C 错误;D :符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言, 所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种,故D 正确. 故选:AD.3.现将8把椅子排成一排,4位同学随机就座,则下列说法中正确的是( ) A .4个空位全都相邻的坐法有120种 B .4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C .4个空位均不相邻的坐法有120种D .4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种 【答案】AC【详细分析】对于A ,用捆绑法即可;对于B ,先用捆绑法再用插空法即可;对于C ,用插空法即可;对于D ,用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A ,将四个空位当成一个整体,全部的坐法:55A 120=种,故A 对;对于B ,先排4个学生44A ,然后将三个相邻的空位当成一个整体,和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法,所以一共有4245480A A =种,故B 错;对于C ,先排4个学生44A ,4个空位是一样的,然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种,所以一共有4445A C 120=,故C 对;对于D ,至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻,由C 可知都不相邻的有120种,空位两个两个相邻的有:4245A C 240=,空位只有两个相邻的有412454A C C 720=,所以一共有1202407201080++=种,故D 错; 故选:AC.4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学,下列说法正确的是( ).A .若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻,则不同的排法有12种B .若五位同学排队最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种C .若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队,则不同的排法有20种D .若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动,每个社区至少一位同学,则不同的分配方案有36种 【答案】BCD【详细分析】根据相关的计数原理逐项详细分析.【答案详解】对于A ,将甲乙捆绑有22A 种方法,若戊在丙丁之间有22A 排法,丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙,有14A 种方法;若丙丁相邻,戊在左右两边有2122A A 种排法,但甲乙必须插在丙丁之间,一共有212222A A A 种排法,所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ,故A 错误;对于B ,若甲在最左端,有44A 24= 种排法,若乙在最左端,先排甲有13A 3= 种排法,再排剩下的3人有33A 6= ,所以总共有243642+⨯= 种排法,正确;对于C ,先将甲乙丙按照从左至右排好,采用插空法,先插丁有14A 种,再插戊有15A 种,总共有1145A A 20=种,正确;对于D ,先分组,将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法,再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法,共有2343C A 36= 种方法,正确;故选:BCD.5.现将9把椅子排成一排,5位同学随机就座,则下列说法中正确的是( ) A .4个空位全都相邻的坐法有720种 B .4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C .4个空位均不相邻的坐法有1800种D .4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 【答案】AC【详细分析】对于A ,用捆绑法即可;对于B ,先用捆绑法再用插空法即可;对于C ,用插空法即可;对于D ,用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A,将四个空位当成一个整体,全部的坐法:66A 720=,故A 对;对于B ,先排5个学生55A ,然后将三个相邻的空位当成一个整体,和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法,所以一共有5256A A 3600=种,故B 错;对于C ,先排5个学生55A ,4个空位是一样的,然后将4个空位插入5个学生中有46C 种,所以一共有5456A C 1800=,故C 对;对于D ,至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻,由C 可知都不相邻的有1800种,空位两个两个相邻的有: 5256A C 1800=,空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=,所以一共有18001800720010800++=种,故D 错;故选:AC6.现有3位歌手和4名粉丝站成一排,要求任意两位歌手都不相邻,则不同的排法种数可以表示为( )A .731424735454A A A A A A --B .4343A AC .7314222473543254A A A A C A A A -- D .4345A A【答案】CD【详细分析】第一种排法:先排4名粉丝,然后利用插空法将歌手排好;第二种排法:先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法,然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【答案详解】第一种排法:分2步进行:①将4名粉丝站成一排,有44A 种排法; ②4人排好后,有5个空位可选,在其中任选3个,安排三名歌手,有35A 种情况. 则有4345A A 种排法,第二种排法:先计算3位歌手站一起,此时3位歌手看做一个整体,有314354A A A 种排法,再计算恰好有2位歌手站一起,此时2位歌手看做一个整体,与另外一个歌手不相邻,有22243254C A A A 种排法, 则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法. 故选:CD7.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是( ) A .某学生从中选2门课程学习,共有15种选法故选:BC.10.4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相邻,女生与女生也互不相邻,则不同的排法种数是( )A .36B .72C .81D .144【答案】D【详细分析】先将3名女生全排列,然后利用插空法,将4名男生排到3名女生之间的4个空位上,根据分步乘法计数原理,即可求得答案.【答案详解】由题意先将3名女生全排列,然后利用插空法, 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上,故共有3434A A 624144=⨯=种不同的排法,故选:D11.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题,全长8公里.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段线路由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有( )A .288种B .360种C .480种D .504种【答案】C【详细分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【答案详解】先安排甲乙以外的4个人,然后插空安排甲乙两人,所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选:C12.A ,B ,C ,D ,E 五名学生按任意次序站成一排,其中A 和B 不相邻,则不同的排法种数为( )A .72B .36C .18D .64【答案】A【详细分析】先将其余三人全排列,利用插空法求解. 【答案详解】解:先将其余三人全排列,共有33A 种情况, 再将A 和B 插空,共有24A 种情况,所以共有2343A A 12672=⨯=种情况,故选:A.。

高考数学易错题专项突破__易错点8函数与方程的综合应用含解析

高考数学易错题专项突破__易错点8函数与方程的综合应用含解析

易错点8 函数与方程的综合应用一、单选题1.已知函数f(x)=sin(x−π6),若方程f(x)=45的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1+x2)=()A. −√32B. √32C. 12D. −122.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x),且当x∈(0,4]时,f(x)=ln(2x)x,关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解,则实数a的取值范围是()A. (−13ln6,ln2] B. (−ln2,−13ln6) C. (−ln2,−13ln6] D. (−13ln6,ln2)3.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0,使得f(−x0)=−f(x0)成立,则实数k的取值范围是()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]4.已知函数f(x)=(x−a)e x−alnx,若恰有三个正整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是()A. (3e3e3+ln3,4e4e4+2ln2] B. [14+ln22e4,13+ln33e3)C. (2e2e2+ln2,4e4e4+2ln2] D. [13+ln33e3,12+ln22e2)5.函数f(x)的定义域为D,若满足如下两个条件:(1)f(x)在D内是单调函数;(2)存在[m2,n2]⊆D,使得f(x)在[m2,n2]上的值域为[m,n],那么就称函数f(x)为“希望函数”,若函数f(x)=loga(a x+t)(a>0,π≠1)是“希望函数”,则t的取值范围是()A. (−14,0) B. [−14,0] C. (−12,0) D. [−12,0]6.已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2,则2x1+x2=()A. −1B. 0C. 1D. a7.设函数f(x)=cos(π2−x)−(x+2)2x2+4的最大值为M,最小值为m,则(M+m+1)2020的值是()A. 0B. 1C. 22019D. 220208.已知函数f(x)为定义在R上且图像连续的偶函数,满足xf′(x)>0(或xf′(x)<0)在恒成立.若把函数y=f(x)的图象向右平移4个单位可得函数y=g(x)的图象,则方程g(x)=g(2−1x+1)的所有根之和为()A. 4;B. 6;C. 10;D. 12.二、单空题9.已知函数f(x)={1−12|1−x|,x≤21 2f(x−2),2<π≤6,则方程xf(x)−1=0的解的个数是_________.10.已知f(x)=x2+2x+a,若函数y=f(f(x))−f(x)有且仅有3个零点,则实数a的取值集合是______.11.若x1是方程xe x=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2等于________.12.已知函数f(x)=x2+2ax+1,存在x0∈R,使得|f(x0)|≤1及|f(x0+1)|≤1同时成立,则实数a的取值范围是_______________.三、解答题13.若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(−x)=−k⋅f(x),k∈Z,则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”.(1)若函数f(x)=tanx−2sinx,判断f(x)是否为(0,π)上的“二阶局部奇函数”并说明理由;(2)若函数f(x)=lg(m−x)是[−2,2]上的“一阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;(3)对于任意的实数t∈(−∞,2],函数f(x)=x2−2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”,求k的取值集合.14.设f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,π>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f(310)<0的解集.15.对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a+x)⋅f(a−x)=b对定义域中的任意x都成立,则称函数f(x)是“(a,b)型函数”.(1)若函数f(x)=2x是“(a,b)型函数”且a+log12b=1,求出满足条件的实数对(a,b);(2)已知函数h(x)=4−2xx+1,函数g(x)是“(a,b)型函数’对应的实数对(a,b)为(1,4),当x∈[0,1]时,g(x)=x2−m(x−1)+1(m>0).若对任意x1∈[0,2]时,都存在x2∈[0,1],使得g(x1)=h(x2),试求m的取值范围.16.已知向量a⃗=(2sin(ωx+π4),−√3),b⃗=(sin(ωx+π4),cos(2ωx))(ω>0),函数f(x)=a⃗⋅b⃗−1,f(x)的最小正周期为π.(1)求f(x)的单调增区间;(2)方程f(x)−2n+1=0;在[0,7π12]上有且只有一个解,求实数n的取值范围;(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[−1,1],都存在x2∈R,使得4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+ 1>π(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由一、单选题1.已知函数f(x)=sin(x−π6),若方程f(x)=45的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1+x2)=()A. −√32B. √32C. 12D. −12【答案】A【解析】解:因为0<π<π,所以x−π6∈(−π6,5π6),又因为x1,x2是sin(x−π6)=45的两根,,所以,故选A.2.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x),且当x∈(0,4]时,f(x)=ln(2x)x,关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解,则实数a的取值范围是()A. (−13ln6,ln2] B. (−ln2,−13ln6) C. (−ln2,−13ln6] D. (−13ln6,ln2)【答案】C【解析】解:当0<π≤4时,f′(x)=1−ln2xx2,令f′(x)=0得x=e2,∴f(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,4)上单调递减,∵f(x)是偶函数,∴f(x+4)=f(4−x)=f(x−4),∴f(x)的周期为8,作出f(x)一个周期内的函数图象如图所示:∵f(x)是偶函数,且不等式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解, ∴不等式在(0,200)内有100个整数解,∵f(x)在(0,200)内有25个周期,∴f(x)在一个周期(0,8)内有4个整数解,(1)若a>0,由f2(x)+af(x)>0,可得f(x)>0或f(x)<−π,显然f(x)>0在一个周期(0,8)内有7个整数解,不符合题意;(2)若a<0,由f2(x)+af(x)>0,可得f(x)<0或f(x)>−π,显然f(x)<0在区间(0,8)上无解,∴f(x)>−π在(0,8)上有4个整数解,∵f(x)在(0,8)上关于直线x=4对称,∴f(x)在(0,4)上有2个整数解,∵f(1)=ln2,f(2)=ln42=ln2,f(3)=ln63,∴f(x)>−π在(0,4)上的整数解为x=1,x=2.∴ln63≤−a<ππ2,解得−ln2<π≤−ln63.故选:C.3.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0,使得f(−x0)=−f(x0)成立,则实数k的取值范围是()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]【答案】A【解析】解:∵f(x)=x3+x2−2|x|−k且f(−x0)=−f(x0),∴−x03+x02−2|x0|−k=−(x03+x02−2|x0|−k)整理得x02−2|x0|=k,∴原题转化为y=x2−2|x|与y=k的图象有交点,画出y=x2−2|x|的图象如下:x=1时y=−1,由图可知,k≥−1.故选A.4.已知函数f(x)=(x−a)e x−alnx,若恰有三个正整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是()A. (3e3e3+ln3,4e4e4+2ln2] B. [14+ln22e4,13+ln33e3)C. (2e2e2+ln2,4e4e4+2ln2] D. [13+ln33e3,12+ln22e2)【答案】A【解析】解:f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)<0可得x−a<alnxe x,(1)显然a=0时,不等式在(0,+∞)上无解,不符合题意;(2)当a<0时,不等式为1a x−1>lnxe x,令k(x)=1a x−1,g(x)=lnxe x,则当x≥1时,k(x)<−1,g(x)≥0,故不等式1a x−1>lnxe x没有正整数解,不符合题意;(3)当a >0时,不等式为1a x −1<lnx e x,显然k (x )=1a x −1为增函数, g′(x )=1−xlnx xe x ,令h (x )=1−xlnx ,则h′(x )=−(lnx +1),∴当x >1e 时,h′(x )<0,故h (x )在(1e ,+∞)上单调递减, 而h (1)=1>0,h (2)=1−2ln2=ln e4<0, ∴存在x 0∈(1,2)使得h (x 0)=0,∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )>0,当x >x 0时,h (x )<0, 即当x ∈[1,x 0)时,g′(x )>0,当x >x 0时,g′(x )<0, ∴g (x )在[1,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减, 又g (1)=0,且x >1时,g (x )>0, f (x ),g (x )大致图象如图,故不等式1a x −1<lnx e x的三个正整数解为1,2,3,∴{k (1)<π(1)k (3)<π(3)k (4)≥g (4)a >0,即{ 1a−1<03a −1<ln3e 34a −1≥ln4e 4a >0, 解得:3e 3e 3+ln3<π≤4e 4e 4+2ln2.故选:A .5. 函数f (x )的定义域为D,若满足如下两个条件:(1)f (x )在D 内是单调函数;(2)存在[m 2,n2]⊆D ,使得f (x )在[m 2,n2]上的值域为[m ,n ],那么就称函数f (x )为“希望函数”,若函数f (x )=log a (a x +t )(a >0,π≠1)是“希望函数”,则t 的取值范围是()A. (−14,0) B. [−14,0] C. (−12,0) D. [−12,0]【答案】A【解析】解:∵y=a x+t与的单调性相同,且a≠1)在定义域上是增函数,∵f(x)在区间[m2,n2]上的值域为[m,n],∴方程有两解,即方程a x=a x2+t有两解, 设a x2=m(m>0),则−t=m−m2,作出−t=m−m2(m>0)的函数图象如图所示:∵方程a x=a x2+t有两解,∴关于m的方程−t=m−m2有两解,∴0<−π<14,所以−14<π<0,故选A.6.已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2,则2x1+x2=()A. −1B. 0C. 1D. a【答案】B【解析】解:依题意得,直线y=ax+b(b>0)在点A(x1,y1)处与曲线y=x3相切,∴a=(x3)′|x=x1=3x12,直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),得{x 13=ax 1+b x 23=ax 2+b 两式作差得, x 13−x 23=a (x 1−x 2) (x 1−x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)=a (x 1−x 2) ∵x 1<π2∴x 12+x 1x 2+x 22=a ∵a =3x 12∴x 12+x 1x 2+x 22=3x 12 x 22+x 1x 2−2x 12=0 (x 2+2x 1)(x 2−x 1)=0 ∵x 1<π2∴2x 1+x 2=0, 故答案选B. 7. 设函数f (x )=cos (π2−x )−(x +2)2x 2+4的最大值为M,最小值为m,则(M +m +1)2020的值是()A. 0B. 1C. 22019D. 22020【答案】B 【解析】解:f (x )=cos (π2−x )−(x +2)2x 2+4=sinx −4x x 2+4−1,设g (x )=sinx −4x x 2+4,则g (x )为奇函数,所以g (x )max +g (x )min =0,则M +m =−2, 所以(M +m +1)2020=1, 故选B .8. 已知函数f (x )为定义在R 上且图像连续的偶函数,满足xf′(x )>0(或xf′(x )<0)在恒成立.若把函数y =f (x )的图象向右平移4个单位可得函数y =g (x )的图象,则方程g (x )=g (2−1x +1)的所有根之和为() A. 4; B. 6; C. 10; D. 12.【答案】B【解析】解:由题意,xf′(x )>0,则f (x )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 又函数f (x )为定义在R 上且图像连续的偶函数,即函数f (x )关于y 轴对称,所以函数y =g (x )关于x =4对称,且在(−∞,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增, 则方程g (x )=g (2−1x +1),等价于x =2−1x +1或x +2−1x +1=4×2, 即x 2−x −1=0或x 2−5x −7=0, 所以x 1+x 2=1或x 3+x 4=5,所以方程g (x )=g (2−1x +1)的所有根之和为x 1+x 2+x 3+x 4=1+5=6. 故选B . 二、单空题9. 已知函数f (x )={1−12|1−x |,x ≤212f (x −2),2<π≤6,则方程xf (x )−1=0的解的个数是_________.【答案】710. 已知f (x )=x 2+2x +a ,若函数y =f (f (x ))−f (x )有且仅有3个零点,则实数a 的取值集合是______. 【答案】{0}【解析】解:令f (x )=t ,则t 2+t +a =0有两个不等实数根t 1,t 2,则{1−4a >0t 1+t 2=−1t 1t 2=a,令g (x )=x 2+2x ,若使函数f (f (x ))=f (x )有且仅有3根,只需g (x )=x 2+2x的图象与直线y =t 1−a ,y =t 2−a恰有3个公共点,所以必有一条直线经过g (x )=x 2+2x的顶点,不妨设t 1−a =−1,而t 2−a >−1, 故有t 1=a −1,t 2=−a , 所以t 1t 2=(a −1)(−a )=a , 解得a =0. 故答案为:{0}11. 若x 1是方程xe x =1的解,x 2是方程xln x =1的解,则x 1x 2等于________. 【答案】1【解析】因为x 1是方程xe x =1的解,x 2是方程xlnx =1的解; 所以x 1是方程e x =1x 的解,x 2是方程lnx =1x 的解, x 1是y =e x ,y =1x 图象交点的横坐标; x 2是y =lnx ,y =1x 图象交点的横坐标,因为y =lnx与y =e x 互为反函数,所以y =lnx与y =e x 的图象关于y =x对称, 又因为y =1x 的图象也关于y =x对称, 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于y =x对称; 可得x 2=y 1,x 1=y 2, x 1x 2=x 1y 1=x 1×1x 1=1.12. 已知函数f (x ) = x 2+ 2ax +1,存在x 0∈ R ,使得|f (x 0)|≤1及|f (x 0+1)|≤1同时成立,则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】[−32,−12]∪[12,32]【解析】解:令f (x )=x 2+2ax +1=1,则x 1=0,x 2=−2a ,则有|x 1−x 2|=|2a |, ∵存在x 0∈R ,使得|f (x 0)|≤1及|f (x 0+1)|≤1同时成立, ∵f (x )开口向上,故f (x )=1的两根间距不小于1, ∴|2a |≥1,解得a ≤−12或a ≥12.同理:令f (x )=x 2+2ax +1=−1,则x 2+2ax +2=0 则x =−2a ±√4a2−82,则有|x 1−x 2|=√4a 2−8,∵存在x 0∈R ,使得|f (x 0)|≤1及|f (x 0+1)|≤1同时成立, ∵f (x )开口向上,故f (x )=−1两根间距不大于1, ∴√4a 2−8≤1,即a 2≤94,解得−32≤a ≤32, 综上所述,a ∈[−32,−12]∪[12,32]. 故答案为[−32,−12]∪[12,32]. 三、解答题13. 若函数f (x )在定义域内存在实数x 满足f (−x )=−k ⋅f (x ),k ∈Z ,则称函数f (x )为定义域上的“k 阶局部奇函数”.(1)若函数f (x )=tanx −2sinx ,判断f (x )是否为(0,π)上的“二阶局部奇函数”并说明理由;(2)若函数f (x )=lg (m −x )是[−2,2]上的“一阶局部奇函数”,求实数m 的取值范围;(3)对于任意的实数t∈(−∞,2],函数f(x)=x2−2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”,求k的取值集合.【答案】解:(1)由题意得,f(−x)+2f(x)=0⇒tan(−x)−2sin(−x)=−2tanx+4sinx即tanx=2sinx,由∵x∈(0,π)∴sinx≠0且tanx=sinxcosx,得cosx=12,∵x∈(0,π)∴x=π3∴f(x)是(0,π)上的“二阶局部奇函数”(2)由题意得,f(−x)+f(x)=0⇒lg(m+x)+lg(m−x)=lg(m2−x2)=0即{m2=1+x2,x∈[−2,2]∀x∈[−2,2],m+x>0∀x∈[−2,2],m−x>0⇒{m2∈[1,5]m>(−x)max,x∈[−2,2]m>(x)max,x∈[−2,2]⇒m∈(2,√5](3)由题意得,f(−x)+k⋅f(x)=0在R上有解⇒(−x)2−2(−x)+t+k(x2−2x+t)= 0有解即(k+1)x2+(2−2k)x+(k+1)t=0有解当k=−1时,x=0∈R,满足题意当k≠−1时,对于任意的实数t∈(−∞,2],Δ=(2−2k)2−4(k+1)2t≥0,⇒4(k+1)2⋅2−(2−2k)2≤0⇒k2+6k+1≤0⇒k∈[−3−2√2,−3+2√2]由k∈Z,故k∈{−5,−4,−3,−2,−1}14.设f(x)=−2x+m2x+1+n(m>0,π>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f(310)<0的解集.【答案】(1)证明:当m =n =1时,f (x )=−2x +12x +1+1.由于f (1)=−2+122+1=−15,f (−1)=−12+11+1=14,所以f (−1)≠−f (1),f (x )不是奇函数. (2)解:f (x )是奇函数时,f (−x )=−f (x ), 即−2−x +m 2−x +1+n=−−2x +m2x +1+n,对定义域内任意实数x 成立.化简整理得(2m −n )⋅22x +(2mn −4)⋅2x +(2m −n )=0,这是关于x 的恒等式, 所以2mn −4=0,2m −n =0解得n =−2或n =2. 经检验m =1,n =2符合题意. (3)解:由(2)可知,f (x )=−2x +12x +1+2,易判断f (x )是R 上单调减函数. 由f (f (x ))+f (310)<0,得f (f (x ))<π(310),f (x )>−310,2x <4,得x <2 即f (x )>0的解集为(−∞,2).15. 对于函数f (x ),若存在实数对(a ,b ),使得等式f (a +x )⋅f (a −x )=b对定义域中的任意x都成立,则称函数f (x )是“(a ,b )型函数”.(1)若函数f (x )=2x 是“(a ,b )型函数”且a +log 12b =1,求出满足条件的实数对(a ,b );(2)已知函数h (x )=4−2x x +1,函数g (x )是“(a ,b )型函数’对应的实数对(a ,b )为(1,4),当x ∈[0,1]时,g (x )=x 2−m (x −1)+1(m >0).若对任意x 1∈[0,2]时,都存在x 2∈[0,1],使得g (x 1)=h (x 2),试求m 的取值范围.【答案】解:(1)由题意若函数f (x )=2x 是“(a ,b )型函数”则2a +x 2a −x =b .即4a =b .代入a +log 12b =1得a +log 124a=1,即a −2a =l得a =−1,b =14,所求实数对为(−1,14).(2)由题意得:g (x )的值域是h (x )值域的子集,易知h (x )在[0,1]内的值域为[1,4], 只需使当x ∈[0,2]时,1≤g (x )≤4恒成立即可, g (1+x )g (1−x )=4,即g (x )g (2−x )=4,而当x ∈[0,1]时,2−x ∈[1,2],故由题意得,要使当x ∈[0,2]时,都有1≤g (x )≤4,只需使当x ∈[0,1]时,1≤g (x )≤4恒成立即可, 即1≤x 2−m (x −1)+1≤4在[0,1]上恒成立, 若x =l ,显然不等式在[0,1]成立, 若x ≠l ,则可将不等式转化为{m ≥x 2x −1m ≤x 2−3x −1,显然当m >0时,不等式m ≥x 2x −1成立,令u (x )=x 2−3x −1=x −l −2x −1+2,x ∈[0,1]则u (x )在x ∈[0,1]上单调递增, 则u (x )的最小值为u (0)=3, ∴此时m ≤3, 综上0<π≤3,综上所述,所求m 的取值范围是(0,3].16. 已知向量a ⃗ =(2sin (ωx +π4),−√3),b ⃗ =(sin (ωx +π4),cos (2ωx ))(ω>0),函数f (x )=a ⃗ ⋅b ⃗ −1,f (x )的最小正周期为π. (1)求f (x )的单调增区间;(2)方程f (x )−2n +1=0;在[0,7π12]上有且只有一个解,求实数n 的取值范围;(3)是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1,1],都存在x 2∈R ,使得4x 1+4−x 1+m (2x 1−2−x 1)+1>π(x 2)成立.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)函数f (x )=a ⃗ ⋅b⃗ −1 =2sin 2(ωx +π4)−√3cos (2ωx )−1 =sin (2ωx )−√3cos (2ωx )=2sin (2ωx −π3) ∵f (x )的最小正周期为π,ω>0,∴2π2ω=π,∴ω=1.那么f (x )的解析式为f (x )=2sin (2x −π3);令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z ,得:kπ−π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z ,∴f (x )的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z.(2)方程f (x )−2n +1=0在[0,7π12]上有且只有一个解,转化为函数y =f (x )+1与函数y =2n只有一个交点.∵x在[0,7π12]上,∴−π3≤(2x −π3)≤5π6,那么函数y =f (x )+1=2sin (2x −π3)+1在[0,7π12]上先增后减,值域为[1−√3,3],且时,y =2,结合图象可知函数y =f (x )+1与函数y =2n只有一个交点. 那么1−√3⩽2n <2或2n =3,可得1−√32⩽n <1或n =32.(3)由(1)可知f (x )=2sin (2x −π3), ∴f (x 2)min =−2. 实数m 满足对任意x 1∈[−1,1],都存在x 2∈R , 使得4x 1+4−x 1+m (2x 1−2−x 1)+1>π(x 2)成立. 即4x 1+4−x 1+m (2x 1−2−x 1)+1>−2成立,设2x 1−2−x 1=t ,那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2=t 2+2∵x1∈[−1,1],∴t∈[−32,32],可得t2+mt+5>0在t∈[−32,32]上成立.令g(t)=t2+mt+5>0,其对称轴t=−m2,∵t∈[−32,32]上,∴①当−m2≤−32,即m≥3时,g(t)min=g(−32)=294−3m2>0,解得3≤m<296;②当−32<−m2<32,即−3<π<3时,g(t)min=g(−m2)=5−m24>0,则−3<π<3;③当32≤−m2,即m≤−3时,g(t)min=g(32)=294+3m2>0,解得−296<π≤−3;综上可得,存在m,可知m的取值范围是(−296,29 6 )。

(完整版)高中数学易错题

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高中数学易错题数学概念的理解不透必修一(1)若不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,则实数a 的取值范围( ) A.a ≤-21或a ≥21 B.a <21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意,方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21,所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件,则a 0≠;要不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点,所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一(2)判断函数f(x)=(x -1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===,所以()()f x f x -===,所以f (x )为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为:(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二(4)1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) (A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ (B )12l l ⊥,3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面 (D )1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面 【错解】错解一:选A.根据垂直的传递性命题A 正确; 错解二:选C.平行就共面;【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面,所以它们不一定共面.必修五(5)x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时,a 、x 、b 成等比数列成立;当a 、x 、b 成等比数列时,x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0,x=ab 成立,但a 、x 、b 不成等比数列, 所以充分性不成立;反之,若a 、x 、b成等比数列,则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立,必要性不成立.所以选D.排列组合(6)(1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率. 分析:(1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果,故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果:正、正、反,正、反、正,反、正、正,因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准(7)若1,0,0=+>>y x y x ,则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ,错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x(8)函数y=sin 4x+cos 4x -43的相位____________,初相为__________ .周期为_________,单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x -43=1cos 44x ,所以相位为4x ,初相为0,周期为2π,增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x -43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+,初相为2π,周期为2π,单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 (1)读题不清必修五(9)已知()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1()()12x f x =+,则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减,且1()()12x f x =+过点(0,2),所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B 、C ;又根据原函数在0x >时递减,所以选A. 排列组合(10)一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带,而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-,一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-,一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.(2)忽视隐含条件必修一(11)设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根,则22)1()1(-+-βα的最小值是( )不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、,∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时,22)1()1(-+-βα的最小值是8;当2-≤k 时,22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=-4x 2-16x -12,因此 x 2+y 2=-3x 2-16x -12=-3(x+38)2+328, ∴当x=-83 时,x 2+y 2有最大值283 ,即x 2+y 2的取值范围是(-∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=-4x 2-16x -12,因此 x 2+y 2=-3x 2-16x -12=-3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1- y 24≤1 ⇒ -3≤x ≤-1,从而当x=-1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].(此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解)必修一(13) 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1,2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清(14)若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54,则两条渐近线的方程为( )A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=,选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=,与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误(1)数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ,且(b a ρρλ+)b ρ⊥,则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ,则(b a ρρλ+)()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r,(ba ρρλ+)19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A (3,3)和B (5,2)的距离相等,且过二直线1l :3x -y -1=0和2l:x+y-3=0的交点,则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2),设所求直线的点斜式,再利用A、B到12k=⇔=-,所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l:3x-y-1=0和2l:x+y-3=0的方程得它们的交点坐标为(1,2),令过点(1,2)的直线l为:y-2=k(x-1)(由图形可看出直线l的斜率必然存在),11,62k k=⇔==-,所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.(2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P,Q两点,O为坐标原点,则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x-3)2+y2=4消y,得关于x的方程22(1)650m x x+-+=,令1122(,),(,)P x y Q x y,则12122265,11x x x xm m+=⋅=++,则221212251my y m x xm==+,由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同,即它们的夹角为0,所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理,设过点O的圆的切线为OT(切点为T),由勾股定理,则222325OP OQ OT⋅==-=.(3)忽视数学运算的精确性,凭经验猜想得结果而出错曲线x2-122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,且4=AB,则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线,与双曲线右支交于A、B时,满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称);与双曲线的左、右分别两交于A、B两点,满足条件的有上、下各一条(关于x 轴对称),所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB (即通径)为222241b a ⨯==,所以过右焦点的直线,与双曲线右支交于A 、B 时,满足条件的仅一条;与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点,满足条件的有上、下各一条(关于x 轴对称),所以共3条. 5.数学思维不严谨(1)数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=,所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-,令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=,由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.(2)以偏概全,重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x -1)≥0的解集为____________解析:(1)【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立,所以原不等式转化为2x-1≥0,所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0,所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩(3)解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ,求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时,113a S ==,n 2≥时,1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时,圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立,消去y , 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a , 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时,得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之,得.11<<-a因此,当817=a 或11<<-a 时,圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+,求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131, .012(363)=整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ,则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ,即得,2963S S S ≠+与题设矛盾,故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363)=--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ,所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α-l -β的棱l 上有一点A ,在平面α、β内各有一条射线AB ,AC 与l 成450,AB βα⊂⊂AC ,,则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理,12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时,由最小角定理,时,12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=;当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

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高中数学易错题一.选择题(共6小题)1.已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,P是AB上一点,则点P到AC,BC的距离乘积的最大值是()A.2B.3C.4D.52.在△ABC中,边AB=,它所对的角为15°,则此三角形的外接圆直径为()A.缺条件,不能求出B.C.D.3.在△ABC中,边a,b,c分别为3、4、5,P为△ABC内任一点,点P到三边距离之和为d,则d的取值范围是()A.3<d<4 B.C.D.4.在平面直角坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A(﹣6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线的左支上,则等于()A.B.C.D.5.(2009•闸北区二模)过点A(1,﹣2),且与向量平行的直线的方程是()A.4x﹣3y﹣10=0 B.4x+3y+10=0 C.3x+4y+5=0 D.3x﹣4y+5=06.(2011•江西模拟)下面命题:①当x>0时,的最小值为2;②过定点P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为13,这样的直线有四条;③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin(2x﹣)的图象;④已知△ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为12.其中正确的命题是()A.①②④B.②④C.②③D.③④二.填空题(共10小题)7.Rt△ABC中,AB为斜边,•=9,S△ABC=6,设P是△ABC(含边界)内一点,P到三边AB,BC,AC的距离分别为x,y,z,则x+y+z的取值范围是_________.8.(2011•武进区模拟)在△ABC中,,且△ABC的面积S=asinC,则a+c的值=_________.9.锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.边长a,b是方程的两个根,且,则c边的长是_________.10.已知在△ABC中,,M为BC边的中点,则|AM|的取值范围是_________.11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为_________.12.三角形ABC中,若2,且b=2,一个内角为300,则△ABC的面积为_________.13.△ABC中,AB=AC,,则cosA的值是_________.14.(2010•湖南模拟)已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x、y、z,则x、y、z 所满足的关系式为_________.15.(2013•东莞二模)如图,已知△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,AD切⊙O于A,若∠ABC=30°,AC=2,则AD的长为_________.16.三角形ABC中,三个内角B,A,C成等差数列,∠B=30°,三角形面积为,则b=_________.三.解答题(共12小题)17.在△ABC中,AC=b,BC=a,a<b,D是△ABC内一点,且AD=a,∠ADB+∠C=π,问∠C为何值时,四边形ABCD的面积最大,并求出最大值.18.(2010•福建模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.(1)求sinC;(2)若c=2,sinB=2sinA,求△ABC的面积.19.已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c,角B、C和面积S满足条件:S=a2﹣(b﹣c)2和sinB+sinC=(a,b,c为角A,B,C所对的边)(1)求sinA;(2)求△ABC面积的最大值.20.(2010•东城区模拟)在△ABC中,A,B,C是三角形的三个内角,a,b,c是三个内角对应的三边,已知b2+c2﹣a2=bc.(1)求角A的大小;(2)若sin2B+sin2C=2sin2A,且a=1,求△ABC的面积.21.小迪身高1.6m,一天晚上回家走到两路灯之间,如图所示,他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部,他又向前走了5m,又发现身影的顶部正好在B路灯的底部,已知两路灯之间的距离为10m,(两路灯的高度是一样的)求:(1)路灯的高度.(2)当小迪走到B路灯下,他在A路灯下的身影有多长?22.(2008•徐汇区二模)在△ABC中,已知.(1)求AB;(2)求△ABC的面积.23.在△ABC中,已知.(1)求出角C和A;(2)求△ABC的面积S;(3)将以上结果填入下表.C A S情况①情况②24.(2007•上海)通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB 的长;(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC 不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.25.(2010•郑州二模)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,=(2b﹣c,cosC),=(a,cosA),且∥.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求2cos2B+sin(A﹣2B)的最小值.26.在△ABC中,A、B、C是三角形的内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知,.(1)求∠A;(2)求△ABC的面积S.27.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.28.已知△ABC的外接圆半径,a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边,向量,,且.(1)求∠C的大小;(2)求△ABC面积的最大值.高中数学易错题参考答案与试题解析一.选择题(共6小题)1.已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,P是AB上一点,则点P到AC,BC的距离乘积的最大值是()A.2B.3C.4D.5考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:设点P到AC,BC的距离分别是x和y,最上方小三角形和最大的那个三角形相似,它们对应的边有此比例关系,进而求得x和y的关系式,进而表示出xy的表达式,利用二次函数的性质求得xy的最大值.解答:解:如图,设点P到AC,BC的距离分别是x和y,最上方小三角形和最大的那个三角形相似,它们对应的边有此比例关系,即=4,所以4x=12﹣3y,y=,求xy最大,也就是那个矩形面积最大.xy=x•=﹣•(x2﹣3x),∴当x=时,xy有最大值3故选B.点评:本题主要考查了三角函数的几何计算.解题的关键是通过题意建立数学模型,利用二次函数的性质求得问题的答案.2.在△ABC中,边AB=,它所对的角为15°,则此三角形的外接圆直径为()A.缺条件,不能求出B.C.D.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:直接利用正弦定理,两角差的正弦函数,即可求出三角形的外接圆的直径即可.解答:解:由正弦定理可知:====.故选D.点评:本题是基础题,考查三角形的外接圆的直径的求法,正弦定理与两角差的正弦函数的应用,考查计算能力.3.在△ABC中,边a,b,c分别为3、4、5,P为△ABC内任一点,点P到三边距离之和为d,则d的取值范围是()A.3<d<4 B.C.D.考点:三角形中的几何计算.专题:数形结合;转化思想.分析:画出图形,利用点到直线的距离之间的转化,三角形两边之和大于第三边,求出最小值与最大值.解答:解:由题意△ABC中,边a,b,c分别为3、4、5,P为△ABC内任一点,点P到三边距离之和为d,在图(1)中,d=CE+PE+PF>CD==,在图(2)中,d=CE+EP+FP<CE+EG<AC=4;∴d的取值范围是;故选D.点评:本题是中档题,考查不等式的应用,转化思想,数形结合,逻辑推理能力,注意,P为△ABC内任一点,不包含边界.4.在平面直角坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A(﹣6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线的左支上,则等于()A.B.C.D.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案.解答:解:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10,c=6,===;故选D.点评:本题是基础题,考查双曲线的定义,正弦定理的应用,考查计算能力,常考题型.5.(2009•闸北区二模)过点A(1,﹣2),且与向量平行的直线的方程是()A.4x﹣3y﹣10=0 B.4x+3y+10=0 C.3x+4y+5=0 D.3x﹣4y+5=0考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:通过向量求出直线的斜率,利用点斜式方程求出最新的方程即可.解答:解:过点A(1,﹣2),且与向量平行的直线的斜率为﹣,所以所求直线的方程为:y+2=﹣(x﹣1),即:3x+4y+5=0.故选C.点评:本题是基础题,考查直线方程的求法,注意直线的方向向量与直线的斜率的关系,考查计算能力.6.(2011•江西模拟)下面命题:①当x>0时,的最小值为2;②过定点P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为13,这样的直线有四条;③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin(2x﹣)的图象;④已知△ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为12.其中正确的命题是()A.①②④B.②④C.②③D.③④考点:三角形中的几何计算;恒过定点的直线.专题:应用题.分析:①由于基本不等式等号成立的条件不具备,故的最小值大于2,故①不正确.②设过定点P(2,3)的直线的方程,求出它与两坐标轴的交点,根据条件可得4k2+14k+9=0,或4k2﹣38k+9=0.而这两个方程的判别式都大于0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条.③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y﹣sin(2x﹣)的图象,故③不正确.④若△ABC中,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为12,此时,三角形是等边三角形.解答:解:①∵≥2=2,(当且仅当x=0时,等号成立),故当x>0时,的最小值大于2,故①不正确.②设过定点P(2,3)的直线的方程为y﹣3=k(x﹣2),它与两坐标轴的交点分别为(2﹣,0),(0,3﹣2k),根据直线与两坐标轴围成的面积为13=,化简可得4k2+14k+9=0,或4k2﹣38k+9=0.而这两个方程的判别式都大于0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条,故②正确.③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=cos2(x﹣)=sin[﹣(2x﹣)]=sin()=﹣sin(2x﹣)的图象,故③不正确.④已知△ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为12,此时,三角形是等边三角形,故④正确.故选B.点评:本题基本不等式取等号的条件,过定点的直线,三角函数的图象变换,诱导公式的应用,检验基本不等式等号成立的条件,是解题的易错点.二.填空题(共10小题)7.Rt△ABC中,AB为斜边,•=9,S△ABC=6,设P是△ABC(含边界)内一点,P到三边AB,BC,AC的距离分别为x,y,z,则x+y+z的取值范围是[,4].考点:向量在几何中的应用;三角形中的几何计算.专题:综合题.分析:设三边分别为a,b,c,利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长.欲求x+y+z的取值范围,利用坐标法,将三角形ABC放置在直角坐标系中,通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为,然后结合线性规划的思想方法求出范围即可.解答:解:△ABC为Rt△ABC,且∠C=90°,设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a,b,c,∵(1)÷(2),得,令a=4k,b=3k(k>0)则∴三边长分别为3,4,5.以C为坐标原点,射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系,则A、B坐标为(3,0),(0,4),直线AB方程为4x+3y﹣12=0.设P点坐标为(m,n),则由P到三边AB、BC、AB的距离为x,y,z.可知,且,故,令d=m+2n,由线性规划知识可知,如图:当直线分别经过点A、O时,x+y+z取得最大、最小值.故0≤d≤8,故x+y+z的取值范围是.故答案为:[].点评:本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用,综合性强,难度大,易出错.8.(2011•武进区模拟)在△ABC中,,且△ABC的面积S=asinC,则a+c的值=4.考点:二倍角的余弦;三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:首先根据三角形的面积公式求出b的值,然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6,再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2,即可求出答案.解答:解:∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a(cosC+1)+c(cosA+1)=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为:4.点评:本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算,解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式,属于中档题.9.锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.边长a,b是方程的两个根,且,则c边的长是.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:先根据求得sin(A+B)的值,进而求得sinC的值,根据同角三角函数的基本关系求得cosC,根据韦达定理求得a+b和ab的值,进而求得a2+b2,最后利用余弦定理求得c的值.解答:解:∵,∴sin(A+B)=∴sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=∴cosC==∵a,b是方程的两根∴a+b=2,ab=2,∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=8∴c===故答案为:点评:本题主要考查了三角形中的几何计算,余弦定理的应用,韦达定理的应用.考查了考生综合运用基础知识的能力.10.已知在△ABC中,,M为BC边的中点,则|AM|的取值范围是.考点:三角形中的几何计算;正弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:构造以BC为正三角形的外接圆,如图满足,即可观察推出|AM|的取值范围.解答:解:构造以BC为正三角形的外接圆,如图,显然满足题意,由图可知红A处,|AM|值最大为,A与B(C)接近时|AM|最小,所以|AM|∈.故答案为:.点评:本题考查三角形中的几何计算,构造法的应用,也可以利用A的轨迹方程,两点减距离公式求解.11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.考点:棱柱的结构特征;三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.解答:解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.点评:本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识,考查空间想象力.属于基础题.12.三角形ABC中,若2,且b=2,一个内角为300,则△ABC的面积为1或.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:先利用2,转化得到2acosB=c;再借助于余弦定理得a=b=2;再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积.解答:解:因为2,转化为边长和角所以有2acosB=c可得:cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2.当∠A=30°=∠B时,∠C=120°,此时S△ABC=×2×2×sinC=;当∠C=30°时,∠A=∠B=75°,此时S△ABC=×2×2×sinC=1.故答案为:或1.点评:本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算.解决本题的关键在于利用2,转化得到2acosB=c;再借助于余弦定理得a=b=2.13.△ABC中,AB=AC,,则cosA的值是.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:根据AB=AC可推断出B=C,进而利用三角形内角和可知cosA=cos(π﹣2B)利用诱导公式和二倍角公式化简整理,把cosB的值代入即可.解答:解:∵AB=AC,∴B=C∴cosA=cos(π﹣2B)=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为:﹣点评:本题主要考查了三角形中的几何计算,二倍角公式的应用.考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力.14.(2010•湖南模拟)已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x、y、z,则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:设等边三角形的边长为a,高为h将P与三角形的各顶点连接,进而分别表示出三角形三部分的面积,相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值.解答:解:设等边三角形的边长为a,高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么:ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2,所以高为h=3所以x.y.z所满足的关系是为:x+y+z=3故答案为:3点评:本题主要考查了三角形中的几何计算.考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想.15.(2013•东莞二模)如图,已知△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,AD切⊙O于A,若∠ABC=30°,AC=2,则AD的长为.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:根据已知可得△AOC是等边三角形,从而得到OA=AC=2,则可以利用勾股定理求得AD的长.解答:解:(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=2,∵∠OAD=90°,∠D=30°,∴AD=•AO=.故答案为:.点评:本题考查和圆有关的比例线段,考查同弧所对的圆周角等于弦切角,本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质,本题是一个基础题.16.三角形ABC中,三个内角B,A,C成等差数列,∠B=30°,三角形面积为,则b=.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:先利用三个内角成等差数列求得A,根据,∠B=30°求得C,然后利用tan30°=表示出a,代入三角形面积公式求得b.解答:解:三角形ABC中,三个内角A,B,C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°,∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为:点评:本题主要考查了三角形的几何计算.考查了学生基础知识综合运用的能力.三.解答题(共12小题)17.在△ABC中,AC=b,BC=a,a<b,D是△ABC内一点,且AD=a,∠ADB+∠C=π,问∠C为何值时,四边形ABCD的面积最大,并求出最大值.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:设出BD,利用余弦定理分别在△ABC,△ABD中表示出AB,进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中,利用正弦函数的性质求得问题的答案.解答:解:设BD=x,则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC.∵S=(absinC)﹣(axsinC)=a(b﹣x)sinC=a2•sin2C,∴当C=时,S有最大值.点评:本题主要考查了三角形的几何计算.注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式.18.(2010•福建模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.(1)求sinC;(2)若c=2,sinB=2sinA,求△ABC的面积.考点:三角形中的几何计算;二倍角的正弦.专题:计算题.分析:(1)利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求;(2)利用正弦定理可知b=2a,再利用余弦定理,从而求出a、b的值,进而可求面积.解答:解:(1)由题意,,∴(2)由sinB=2sinA可知b=2a,又22=a2+b2﹣2abcosC,∴a=1,b=2,∴点评:此题考查学生灵活运用三角形的面积公式,灵活运用正弦、余弦定理求值,是一道基础题题.19.已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c,角B、C和面积S满足条件:S=a2﹣(b﹣c)2和sinB+sinC=(a,b,c为角A,B,C所对的边)(1)求sinA;(2)求△ABC面积的最大值.考点:三角形中的几何计算;正弦定理的应用;余弦定理的应用.专题:计算题;综合题.分析:(1)由三角形的面积公式,结合余弦定理求出的值,进而有sinA=.(2)利用,结合正弦定理,求出b+c的值,利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值.解答:解:(1)得进而有(2)∵,∴即所以故当b=c=8时,S最大=.点评:本题是中档题,考查三角函数的化简,正弦定理、余弦定理的应用,三角形的面积公式以及基本不等式的应用,考查计算能力,逻辑推理能力.20.(2010•东城区模拟)在△ABC中,A,B,C是三角形的三个内角,a,b,c是三个内角对应的三边,已知b2+c2﹣a2=bc.(1)求角A的大小;(2)若sin2B+sin2C=2sin2A,且a=1,求△ABC的面积.考点:三角形中的几何计算;正弦定理.专题:计算题.分析:(1)利用余弦定理和题设等式求得cosA的值,进而求得A.(2)利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系,进而求得bc的值,最后利用三角形面积公式求得答案.解答:解:(1)因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以(2)因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.注意挖掘题设中关于边,角问题的联系.21.小迪身高1.6m,一天晚上回家走到两路灯之间,如图所示,他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部,他又向前走了5m,又发现身影的顶部正好在B路灯的底部,已知两路灯之间的距离为10m,(两路灯的高度是一样的)求:(1)路灯的高度.(2)当小迪走到B路灯下,他在A路灯下的身影有多长?考点:三角形中的几何计算.专题:综合题.分析:(1)由题意画出简图,设CN=x,则QD=5﹣x,路灯高BD为h,利用三角形相似建立方程解德;(2)由题意当小迪移到BD所在线上(设为DH),连接AH交地面于E,则DE长即为所求的影长,利用三角形相似建立方程求解即可.解答:解:如图所示,设A、B为两路灯,小迪从MN移到PQ,并设C、D分别为A、B灯的底部.由题中已知得MN=PQ=1.6m,NQ=5m,CD=10m(1)设CN=x,则QD=5﹣x,路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD,即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m,h=6.4m,即路灯高为6.4m.(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH),连接AH交地面于E.则DE长即为所求的影长.∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m,即他在A路灯下的身影长为m.点评:此题考查了学生理解题意的能力,还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力.22.(2008•徐汇区二模)在△ABC中,已知.(1)求AB;(2)求△ABC的面积.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:(1)求AB长,关键是求sinB,sinC,利用已知条件可求;(2)根据三角形的面积公式,故关键是求sinA的值,利用sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC可求解答:解:(1)设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,,∴,∴.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(2)因为.∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)点评:本题的考点是三角形的几何计算,主要考查正弦定理得应用,考查三角形的面积公式,关键是正确记忆公式,合理化简.23.在△ABC中,已知.(1)求出角C和A;(2)求△ABC的面积S;(3)将以上结果填入下表.C A S情况①情况②考点:三角形中的几何计算.专题:计算题;分类讨论.分析:(1)先根据正弦定理以及大角对大边求出角C,再根据三角形内角和为180°即可求出角A.(2)分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案;(3)直接根据前两问的结论填写即可.解答:解:(1)∵,…(2分)∵c>b,C>B,∴C=60°,此时A=90°,或者C=120°,此时A=30°…(2分)(2)∵S=bcsinA∴A=90°,S=bcsinA=;A=30°,S=bcsinA=.…(2分)(3)点评:本题主要考查三角形中的几何计算.解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C.24.(2007•上海)通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB 的长;(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC 不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.考点:三角形中的几何计算;解三角形.专题:计算题;数形结合.分析:(1)由正弦定理知===2R,根据题目中所给的条件,不难得出弦AB的长;(2)若∠C是钝角,故其余弦值小于0,由余弦定理得到a2+b2<c2<(2R)2,即可证得结果;(3)根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a,b的关系,以及与直径的大小的比较,分成三类讨论即可.解答:解:(1)在△ABC中,BC=2,∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°,B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=;(2)∠C为钝角,∴cosC<0,且cosC≠1cosC=<0∴a2+b2<c2<(2R)2即a2+b2<4R2(8分)(3)a>2R或a=b=2R时,△ABC不存在当时,A=90,△ABC存在且只有一个∴c=当时,∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时,△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时,∠B总是锐角,∠A可以是钝角,可是锐角∴△ABC存在两个∠A<90°时,c=∠A>90°时,c=点评:本题考查三角形中的几何计算,综合考查了三角形形状的判断,解三角形,三角形的外接圆等知识,综合性很强,尤其是第三问需要根据a,b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状.再在这种情况下求第三边的表达式,本解法主观性较强.难度较大.25.(2010•郑州二模)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,=(2b﹣c,cosC),=(a,cosA),且∥.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求2cos2B+sin(A﹣2B)的最小值.考点:三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:(Ⅰ)根据∥和两向量的坐标可求得,利用正弦定理把边转化成角的正弦,然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值,进而求得A(Ⅱ)把A的值代入,利用两角和公式整理后,利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin(A﹣2B)的最小值.解答:解:(Ⅰ)由得.由正弦定理得,.∴.∵A,B∈(0,π),∴sinB≠0,,∴.(Ⅱ)解:∵∴2cos2B+sin(A﹣2B)==,.2cos2B+sin(A﹣2B)的最小值为点评:本题主要考查了三角形中的几何计算,正弦定理的应用和两角和公式的化简求值.注意综合运用三角函数的基础公式,灵活解决三角形的计算问题.26.在△ABC中,A、B、C是三角形的内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知,.(1)求∠A;(2)求△ABC的面积S.考点:正弦定理的应用;三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:(1)由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b,由余弦定理可得,cosA=代入可求cosA,及A(2)代入三角形的面积公式可求解答:解:(1)∵∵∴=化简可得,b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得,cosA==∴;(2)==点评:本题主要考查了解三角形的基本工具:正弦定理与余弦定理的应用,解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.考点:三角函数中的恒等变换应用;三角形中的几何计算.专题:计算题.分析:(Ⅰ)利用正弦定理化简(2a+c)cosB+bcosC=0,得到三角形的角的关系,通过两角和与三角形的内角和,求出B的值;(Ⅱ)通过S=,利用B=以及a+c=4,推出△ABC面积S的表达式,通过平方法结合a的范围求出面积的最大值.解答:解(Ⅰ)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin(C+B)=0,因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0,因为sinA≠0,所以cosB=﹣,又B为三角形的内角,所以B=.(Ⅱ)因为S=,由B=及a+c=4得S===,又0<a<4,所以当a=2时,S取最大值…(3分)点评:本题是中档题,考查三角形面积的最值,三角形的边角关系,三角函数的公式的灵活应用,考查计算能力.28.已知△ABC的外接圆半径,a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边,向量,,且.(1)求∠C的大小;(2)求△ABC面积的最大值.考点:三角函数的恒等变换及化简求值;三角形中的几何计算.专题:综合题.分析:(1)由,推出,利用坐标表示化简表达式,结合余弦定理求角C;(2)利用(1)中c2=a2+b2﹣ab,应用正弦定理和基本不等式,求三角形ABC的面积S的最大值.解答:解答:解:(1)∵∴且,由正弦定理得:化简得:c2=a2+b2﹣ab由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC∴,∵0<C<π,∴(2)∵a2+b2﹣ab=c2=(2RsinC)2=6,∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab(当且仅当a=b时取“=”),所以,.点评:本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,正弦定理,余弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题的能力,是中档题.。

备战2024年高考数学考试易错题专题14 二项式定理、复数(5大易错点分析)(原卷版)

备战2024年高考数学考试易错题专题14 二项式定理、复数(5大易错点分析)(原卷版)

专题14二项式定理、复数易错点一:忽略了二项式中的负号而致错((a-b )n 化解问题)Ⅰ:二项式定理一般地,对于任意正整数n ,都有:011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N ,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式.式中的r n r r n C a b 做二项展开式的通项,用1r T 表示,即通项为展开式的第1r 项:1r n r r r n T C a b ,其中的系数r n C (r =0,1,2,…,n )叫做二项式系数,Ⅱ:二项式()n a b 的展开式的特点:①项数:共有1n 项,比二项式的次数大1;②二项式系数:第1r 项的二项式系数为r n C ,最大二项式系数项居中;③次数:各项的次数都等于二项式的幂指数n .字母a 降幂排列,次数由n 到0;字母b 升幂排列,次数从0到n ,每一项中,a ,b 次数和均为n ;④项的系数:二项式系数依次是012r n n n n n nC C C C C ,,,,,,,项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数).Ⅲ:两个常用的二项展开式:①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b (*N n )②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x xⅣ:二项展开式的通项公式二项展开式的通项:1r n r rr n T C a b0,1,2,3,,r n 公式特点:①它表示二项展开式的第1r 项,该项的二项式系数是r n C ;②字母b 的次数和组合数的上标相同;③a 与b 的次数之和为n .注意:①二项式()n a b 的二项展开式的第r +1项rn rr n C ab 和()n b a 的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a 是有区别的,应用二项式定理时,其中的a 和b 是不能随便交换位置的.②通项是针对在()n a b 这个标准形式下而言的,如()n a b 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b (只需把b 看成b 代入二项式定理).易错提醒:在二项式定理()n a b 的问题要注意b 的系数为1 ,在展开求解时不要忽略.例、已知5的展开式中含32x 的项的系数为30,则 a ()AB .C .6D .6变式1:在5223x x的展开式中,x 的系数是.变式2:621x x展开式的常数项为.变式3:612x x的展开式中4x 的系数为.1.712x x的二项式展开式中x 的系数为()易错点二:三项式转化不合理导致计算麻烦失误(三项展开式的问题)求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步:通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解第二步:两次利用二项式定理的通项公式求解第三步:由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒:对于三项式的展开问题,一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解,但在转化为二项式的时候,又有不同的处理策略:一是如果三项式能够化为完全平方的形式,或者能够进行因式分解,则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析,进而解决问题(如本例中的解法二);二是不能化为完全平方的形式,也不能进行因式分解时,可直接将三项式加括号变为二项式,套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解,但要结合要求解的问题进行合理的变形,以利于求解.例、 5232x x 的展开式中,x 的一次项的系数为()A .120B .240C .320D .480变式1:在 523a b c 的展开式中,含22a b c 的系数为.变式2: 521x y 展开式中24x y 的系数为(用数字作答).变式3:在5(2)x y z 的展开式中,形如3(,)m n x y z m n N 的所有项系数之和是.1.811x 的展开式中的常数项为()易错点三:混淆项的系数与二项式系数致误(系数与二项式系数问题)Ⅰ:二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1,即0n n n C C ;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,即11m m mn n n C C C .②对称性每一行中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即m n m n nC C .③二项式系数和令1a b ,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ,变形式1221r n n n n n n C C C C .④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令11a b ,,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C ,从而得到:0242132111222r r nn nn n n n n n C C C C C C C .⑤最大值:如果二项式的幂指数n 是偶数,则中间一项12n T 的二项式系数2nnC 最大;如果二项式的幂指数n 是奇数,则中间两项12n T ,112n T 的二项式系数12n nC,12n nC相等且最大.2.系数的最大项求()n a bx 展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121n A A A ,,,,设第1r 项系数最大,应有112r rr r A A A A ,从而解出r 来.Ⅱ:二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例:(1)设 011222nn n n r n r r n n n nn n n a b C a C a b C a b C a b C b ,二项式定理是一个恒等式,即对a ,b 的一切值都成立,我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ,b 的值.①令1a b ,可得:012n nn n nC C C ②令11a b ,,可得: 012301nn n n n n n C C C C C ,即:02131n n n n n n n n C C C C C C (假设n 为偶数),再结合①可得:0213112n n n n n n n n n C C C C C C .(2)若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ,则①常数项:令0x ,得0(0)a f .②各项系数和:令1x ,得0121(1)n n f a a a a a .注意:常见的赋值为令0x ,1x 或1x ,然后通过加减运算即可得到相应的结果.易错提醒:二项式定理()n a b 的问题要注意:项的系数与二项式系数的区别与联系(求所有项的系数只要令字母值为1).例、设(n x 的展开式中,第三项的系数为36,试求含2x 的项.变式1:求5的展开式中第3项的系数和二项式系数.变式2:计算 92x y 的展开式中第5项的系数和二项式系数.变式3:求6的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.1.在二项式612x 的展开式中,二项式系数最大的是()Ⅰ:复数的概念①复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫做复数,a ,b 分别是它的实部和虚部,i 叫虚数单位,满足21i (1)当且仅当b =0时,a +b i为实数;(2)当b ≠0时,a +b i 为虚数;(3)当a =0且b ≠0时,a +b i 为纯虚数.其中,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数.②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R 相等a c b d(两复数对应同一点)③复数的模:复数(,)a bi a b R 的模,其计算公式||||z a bi Ⅱ:复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算(1)()()()()i a bi c di a c b d (2)()()()()a bi c di ac bd ad bc i 22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a(注意其中||z z 的模;z a bi 是z a bi 的共轭复数(,)a b R .(3)2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d.实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都适用于复数.2、复数的几何意义(1)复数(,)z a bi a b R 对应平面内的点(,)z a b ;(2)复数(,)z a bi a b R 对应平面向量OZ;(3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.(4)复数(,)z a bi a b R 的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离.易错提醒:1、求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z =a +b i(a ,b ∈R ),则该复数的实部为a ,虚部为b .2、复数是实数的条件:①z =a +b i ∈R ⇔b =0(a ,b ∈R );②z例、复数113i的虚部是()A.110iB.110C.310D.310i 变式1:已知复数1i2i z(i 为虚数单位),则z 的虚部为()A .35-B .3i5C .35D .35i变式2:已知i 是虚数单位,则复数12i1i的虚部是()A .12B .12C .32D .32变式3:已知复数 2i 1i z ,则复数z 的虚部为,z.1.5(2i)(12i)i的虚部为()复数的模:复数(,)a bi a b R 的模,其计算公式||||z a bi 易错提醒:复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系,两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若z C ,且22i 1z ,则22i z 的最小值为()A .2B .3C .4D .5变式1:已知复数z 满足1i z ,z 为z 的共轭复数,则z z 的最大值为.变式2:已知i 为虚数单位,且2i 1z ,则z 的最大值是.变式3:已知复数z 满足|2|2|2i |z z ,则||z 的最大值为.1.设复数z 满足|2i |z z 在复平面内对应的点为(,)x y ,则()。

高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(精华版)

高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(精华版)
当 x=-
≤1,∴-3≤x≤-1 从而 x2+y2=-3x2-16x-12=
+
28 2 2 因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 3
8 28 28 2 2 2 2 时, x +y 有最大值 。 故 x +y 的取值范围是[1, ] 3 3 3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件
f x 的单调性和奇偶性即可。
2 x 1 2 x 1 2 x 1
解析:
f x log 2 2 x 1 log 2 2 x 1 log 2 2 x 1 f x ,故 f x 为奇函数从而 f 1 x 为 2x 1 2 1 1 t 1 在 , 和 , 上均为增函数且 y log 2 为增函数, 2x 1 2x 1 2 2
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性:

f x 4 x 2 x 2 4 ② f x x 1
1 x 1 x

f x
1 sin x cos x 1 sin x cos x
答案:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 (2)函数
f x 具有奇偶性,则 f x f x 或 f x f x 是对定义域内 x 的恒等式。常
A x | x 2 8 x 15 0 , B x | ax 1 0 ,若 A B B ,求实数 a 组成的集 A B B 易知 B A ,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易

高考数学复习易做易错题归纳汇总

高考数学复习易做易错题归纳汇总

高考数学复习易做易错题归纳汇总不等式部分(二)二填空题:1.设220,0,12b a b a ≥≥+=,则的最大值为 错解:有消元意识,但没注意到元的范围。

正解:由220,0,12b a b a ≥≥+=得:2212b a =-,且201b ≤≤,原式=求出最大值为1。

2.若,,x y R +∈a 的最小值是,2m n +≥≤≤a3.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 。

错解一、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4。

错解二、22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=,所以z 的最小值是1)。

错解分析:解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y====+=且即且与相矛盾。

解二等号成立的条件是2,xy xy xy==即104xy <≤相矛盾。

正解:z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy+-++=+-,令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=,由2()f t t t =+在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254。

4.若对于任意x ∈R ,都有(m -2)x 2-2(m -2)x -4<0恒成立,则实数m 的取值范围是 。

正确答案:(-2,2) 。

错误原因:容易忽视m =2。

5.不等式ax 2+ bx + c >0 ,解集区间(-21,2),对于系数a 、b 、c ,则有如下结论: ① a >0 ②b >0 ③ c >0 ④a + b + c >0 ⑤a – b + c >0,其中正确的结论的序号是________________________________. 正确答案 2 、3、 4错因:一元二次函数的理解6.不等式(x -2)x 2-2x -3 ≥0的解集是 . 正确答案:{}13x x x =-≥或 7.不等式1x a x 22+>+的解集为(-∞,0),则实数a 的取值范围是_____________________。

2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习 易错点一:忽略切点所在位置及求导简化形式(导数的概念及应用)易错点二:转化为恒成立后参变分离变号的前提条件(利用导数研究函数的单调性)1易错点三:误判最值与极值所在位置(利用导数研究函数的极值与最值)易错点四:零点不易求时忽略设零点建等式(利用导数研究函数零点问题)(2)讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的零点个数. 10.设函数2()(1)e x f x mx x -=++,其中m ∈R . (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点,设极大值点为a ,b 为()f x 的零点,求证:ln 2a b -≥. 11.已知函数()()ln f x x x =- (1)求()f x 的单调区间和极值;(2)讨论()()2g e x x xf ax -=-的零点个数.参考答案易错点一:忽略切点所在位置及求导简化形式(导数的概念及应用)1.已知函数()ln f x x =与()g x 的图象关于直线y x =对称,直线l 与()()1,e 1x g x h x +=-的图象均相切,则l的倾斜角为()8.已知函数()f x=(1)若12a=,求曲线(2)讨论()f x的单调性;的单调性)1易错点三:误判最值与极值所在位置(利用导数研究函数的极值与最值)1.已知函数()()2ln R x f x kx x kx k =--∈,在()20,e 有且只有一个极值点,则k 的取值范围是( )由图象知要使直线y a=与只需a<0或2e14a+ =,综上所述:易错点四:零点不易求时忽略设零点建等式(利用导数研究函数零点问题)1.已知函数()3296f x x x x a =-+-(R a ∈).。

2023届高考复习数学易错题专题(常用逻辑用语)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(常用逻辑用语)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(常用逻辑用语)汇编1.命题“∀a ,b >0,a +1b ≥2和b +1a ≥2至少有一个成立”的否定为( ) A .∀a ,b >0,a +1b<2和b +1a <2至少有一个成立 B .∀a ,b >0,a +1b≥2和b +1a ≥2都不成立 C .∃a ,b >0,a +1b<2和b +1a <2至少有一个成立 D .∃a ,b >0,a +1b≥2和b +1a ≥2都不成立 2.使“a b >”成立的一个充分不必要条件是()A.1a b >+ B.1a b > C.22a b > D.33a b >3.下列命题的否定是真命题的是( )A .a ∀∈R ,一元二次方程210x ax --=有实根B .每个正方形都是平行四边形C .m N N ∃∈D .存在一个四边形ABCD ,其内角和不等于360°4.“直线m 垂直于平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设x >0,y >0,则“x +y =1”是“xy ≤14”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.(多选)下列命题的否定中,真命题的是( )A .x R ∃∈,2104x x -+<B .所有正方形既是矩形也是菱形C .0a ∃>,2220x x a +++=D .所有三角形都有外接圆 7.(多选)下列选项中p 是q 的充分不必要条件的是( )A.:12p x <<,:12q x ≤≤B.:1p xy >,:1q x >,1y > C.1:1p x >,:1q x < D.p :两直线平行,q :内错角相等8.已知命题p :x 2-3x +2≤0,命题q :x 2-4x +4-m 2≤0.若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0]B .[1,+∞)C .{0}D .(-∞,-1]∪[1,+∞)9.已知:0p a ≥;:q x R ∀∈,20x ax a -+>,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.(多选)已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣,2532a a m -+<+,若p 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .a 0B .a 5C .a 0D .a 511.(多选)下列命题正确的是( )A .“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B .命题“∃x ∈(0,+∞),ln x =x -1”的否定是“∀x ∈(0,+∞),ln x ≠x -1”C .设x ,y ∈R,则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的必要不充分条件D .设a ,b ∈R,则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件12.命题“0x ∀>11x+≥”的否定是___________. 13.若f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0),∀x 1∈[-1,2],∃x 0∈[-1,2],使g (x 1)=f (x 0),则实数a 的取值范围是________.14.已知():210110p x q m x m m -≤≤-≤≤+>,:,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是____________.15.命题“x ∃∈R ,210x x ++≤”的否定是______.16.已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题,则实数a 的取值范围是__________.17.设:12m x m α-≤≤,:24x β≤≤,m R ∈,α是β的必要条件,但α不是β的充分条件,则实数m 的取值范围为___________.18.若“∃x ∈[4,6],x 2-ax -1>0”为假命题,则实数a 的取值范围为________.19.在①x ∃∈R ,2220x ax a ++-=,②存在区间()2,4A =,(),3B a a =,使得A B =∅ ,这2个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解问题中的实数a .问题:求解实数a ,使得命题[]:1,2p x ∀∈,20x a -≥,命题:q ______,都是真命题.(若选择两个条件都解答,只按第一个解答计分.)答案解析1.命题“∀a ,b >0,a +1b ≥2和b +1a ≥2至少有一个成立”的否定为( ) A .∀a ,b >0,a +1b<2和b +1a <2至少有一个成立 B .∀a ,b >0,a +1b≥2和b +1a ≥2都不成立 C .∃a ,b >0,a +1b<2和b +1a <2至少有一个成立 D .∃a ,b >0,a +1b≥2和b +1a ≥2都不成立 【参考答案】D【答案解析】 “∀a ,b >0,a +1b≥2和b +1a ≥2至少有一个成立”的否定为:∃a ,b >0, a +1b ≥2和b +1a ≥2都不成立.2.使“a b >”成立的一个充分不必要条件是()A.1a b >+ B.1a b > C.22a b > D.33a b >【参考答案】A【答案解析】对于A 选项,若1a b >+,则a b >成立,即充分性成立,反之,若a b >,则 1a b >+不一定成立,所以1a b >+是“a b >”成立的一个充分不必要条件,对于B 选项,当0b <时,由1a b >得a b <,则a b >不成立,即1a b>不是充分条件,不满足条件;对于C 选项,由22a b >,若2a =-,1b =,则a b <,则a b >不一定成立,所以22a b >不是a b >的充分条件,不满足条件,对于D 选项,由33a b >可得a b >,则33a b >是a b >成立的充要条件,不满足题意。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》易错题汇编及答案解析

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》易错题汇编及答案解析

新高考数学《数列》练习题一、选择题1.已知单调递增的等比数列{}n a 中,2616a a ⋅=,3510a a +=,则数列{}n a 的前n 项和n S =( )A .2124n -- B .1122n -- C .21n - D .122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质,可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根,求得1,a q ,再结合等比数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等比数列{}n a 中,2616a a ⋅=,3510a a +=, 根据等比数列的性质,可得3516a a ⋅=,3510a a +=,所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根,解得352,8a a ==或358,2a a ==, 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列,所以352,8a a ==, 设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩,解得11,22a q ==,所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选:B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算,以及等比数列的前n 项和公式的应用,着重考查了推理与运算能力.2.数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈.则“2c <”是“{}na 为递增数列”的( )条件. A .必要而不充分 B .充要C .充分而不必要D .即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->,解得12c n <+,由此得到若{}n a 是递增数列,则32c <,根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”,则110n n a a n c n c +-=+--->, 即()()221n c n c +->-,化简得:12c n <+, 又n *∈N ,1322n ∴+≥,32c ∴<, 则2c <¿{}n a 是递增数列,{}n a 是递增数列2c ⇒<,∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件.故选:A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.3.若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足2131n n A n B n -=+,则371159a a ab b +++的值为( )A .3944B .58C .1516D .1322【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质将371159a a ab b +++化简为7732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.数列{}n a :1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.即:21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列结论正确的是( )A .201920202S a =+B .201920212S a =+C .201920201S a =-D .201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系,即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-,所以201920211S a =-,选D. 【点睛】本题考查裂项相消法,考查基本分析判断能力,属中档题.5.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题:今有银一秤一斤十两(1秤15=斤,1斤16=两),令甲、乙、丙从上作折半差分之,问:各得几何?其意思是:现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变,按此法将银依次分给7个人,则得银最少的一个人得银( ) A .9两 B .266127两 C .26663两 D .250127两 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两,设分银最少的为a 两,由题意可知7人的分银量构成首项为a ,公比为2的等比数列,利用等比数列的求和公式可求得a 的值.【详解】共有银161610266⨯+=两,设分银最少的为a 两,则7人的分银量构成首项为a ,公比为2的等比数列, 故有()71226612a -=-,所以266127a =, 故选:B . 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景,贴近生活,考查了等比数列的求和问题,本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力,属中等题.6.已知数列{}n a 中,12a =,211n n n a a a +=-+,记12111n nA a a a =++⋯+,12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅,则( ) A .201920191A B +> B .201920191A B +< C .2019201912A B -> D .2019201912A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -;通过猜想归纳证明,即可求得n n A B +. 【详解】注意到12a =,23a =,37a =,不难发现{}n a 是递增数列. (1)21210n n n n a a a a +-=-+≥,所以1n n a a +≥.(2)因为12a =,故2n a ≥,所以1n n a a +>,即{}n a 是增函数. 于是,{}n A 递增,{}n B 递减, 所以20192121156A A a a >=+=,20192121116B A a a <=⋅=, 所以2019201912A B ->. 事实上,111,A B +=221,A B +=331A B +=, 不难猜想:1n n A B +=. 证明如下:(1)211121111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒=-⇒++⋅⋅⋅+=----. (2)211n n n a a a +=-+等价于21111n n na a a +=--, 所以1111n n n a a a +-=-, 故12111111n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-, 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭, 即有1n n A B +=. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的单调性,以及用递推公式求数列的性质,属综合中档题.7.设数列是公差的等差数列,为前项和,若,则取得最大值时,的值为A .B .C .或D .【答案】C 【解析】,进而得到,即,数列是公差的等差数列,所以前五项都是正数,或时,取最大值,故选C.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1231112a a a ++=,22a =,则3S =( ) A .10 B .7C .8D .4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==,解方程求得结果. 【详解】由题意得:13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项:C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用,关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程,属于基础题.9.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数取出.先取1;再取1后面两个偶数2,4;再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去,得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个新数列中,由1开始的第2 019个数是( ) A .3 971 B .3 972C .3 973D .3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2,则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数,运算即可得解.【详解】解:将新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,分组为(1),(2,4),(5,7,9,),(10,12,14,16),(17,19,21,23,25)… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2, 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数,设第2019个数在第n 组中,则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩<, 解得n =64,即第2019个数在第64组中,则第63组最后一个数为632=3969,前63组共1+2+3+…+63=2016个数,接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974, 故选:D . 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力,考查等差数列前n 项和公式,属中档题.10.已知数列{}n a 满足:()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ,若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立,则k 的最小整数值为( ) A .2 B .3C .4D .5【答案】A 【解析】 【分析】当1n ≥时,有条件可得()211n n n nS S S S +--=-,从而111n n nS S S +--=,故111111n n S S +-=--,得出 11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列,从而求出n S 【详解】当1n ≥时,有条件可得()211n n n nS S S S +--=-,从而111n n nS S S +--=,故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----,又1111121S ==--,11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列,11n n S ∴=-,1n n S n +=,由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L , 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭, 依题意知(1)()f n k f n +>, min 2k ∴=.故选:A 【点睛】本题考查数列的综合应用.属于中等题.11.已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2018S 的值为( ) A .20152016 B .20162017C .20172018D .20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数,得到()y f x =在1x =时的导数值,进一步求得m ,可得函数解析式,然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值. 【详解】由()2f x x mx =+,得()2f x x m '=+,()12f m '∴=+,因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直,()123f m '∴=+=,解得1m =,()2f x x x ∴=+,则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此,20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选:D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和,是中档题.12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23109a a a ++=,则9S =( ) A .3B .9C .18D .27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=,即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.13.在等差数列{}n a 中,3a ,15a 是方程2650x x -+=的根,则17S 的值是( ) A .41 B .51C .61D .68【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得3156a a +=,由等差数列的性质得117315a a a a +=+,再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中,3a ,15a 是方程2650x x -+=的根,3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式,属于基础题.14.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a 元一年定期,若年利率为r 保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为( ) A .17(1)a r + B .17[(1)(1)]ar r r +-+C .18(1)a r +D .18[(1)(1)]ar r r+-+【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得:孩子18岁生日时将所有存款(含利息)全部取回,可以看成是以(1)a r +为首项,(1)r +为公比的等比数列的前17项的和,再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解:根据题意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +, 同理:孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +, 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +,⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +,可以看成是以(1)a r +为首项,(1)r +为公比的等比数列的前17项的和, 此时将存款(含利息)全部取回, 则取回的钱的总数:17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r aS a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-;故选:D . 【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和,属中档题.15.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121n n S S n +=+-, 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列; ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-;③数列{}1n a +为等比数列;④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+,可得①正确,利用等比数列求出2nn S n =-,根据前n 项和求n a ,可判断②③,计算2n S ,并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-, 所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++,又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2,公比是2的等比数列,所以2nn S n +=, 则2nn S n =-.当2n ≥时,1121n n n n a S S --=-=-, 但11121a -≠-,所以①正确,②③错误,因为1222n n S n +=-,所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---, 所以④正确. 故选:B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式,等比数列的证明,由n S 求数列的通项公式,属于中档题.16.在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ,则下面结论错误的是( ) A .1(1)n n a a n n --=> B .20210a = C .1024是三角形数 D .123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=,323a a -=,434a a -=,…,由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>,故A 正确;将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=,∴20210a =,故B 正确; 令(1)10242n n +=,此方程没有正整数解,故C 错误; 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,故D 正确. 故选C【点睛】本题主要考查累加法求通项,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.执行下面程序框图输出S 的值为( )A .2542B .3764C .1730D .67【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图,依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立,发现当6i =,满足5i >,退出循环,输出运行的结果111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++,利用裂项相消法即可求出S .【详解】由题意可知,第1次循环时113S =⨯,2i =,否; 第2次循环111324S =+⨯⨯,3i =,否; 第3次循环时111132435S =++⨯⨯⨯,4i =,否;第4次循环时111113243546S =++⨯⨯⨯⨯+,5i =,否; 第5次循环时111111324354657S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+,6i =,是; 故输出111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1111251226742⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭ 故选:A.【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,同时考查裂项相消法求和,属于基础题.18.在等差数列{}n a 中,其前n 项和是n S ,若90S >,100S <,则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是( )A .11S aB .88S aC .55S aD .99S a 【答案】C【解析】【分析】由题意知5600a a >,< .由此可知569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ,,,>>><<,所以在912129...S S S a a a ,,,中最大的是55S a . 【详解】 由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+>,()< , 所以可得5600a a >,<. 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ,,,>>><<, 而125125S S S a a a ⋯⋯<<<,>>>>0, , 所以在912129...S S S a a a ,,,中最大的是55S a .故选C .【点睛】本题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.属中档题.19.已知数列{}n a的首项112,9n n a a a +==+,则27a =( )A .7268B .5068C .6398D .4028 【答案】C【解析】【分析】由19n n a a +=+得2123)n a ++=,所以构造数列为等差数列,算出22(31)n a n +=-,求出27a .【详解】易知0n a >,因为19n n a a +=+,所以2123)n a ++=,3,是以3为公差,以2为首项的等差数列.231,2(31)n n a n =-+=-,即2278026398a =-=.故选 :C【点睛】本题主要考查由递推公式求解通项公式,等差数列的通项公式,考查了学生的运算求解能力.20.已知等差数列{}n a 中,首项为1a (10a ≠),公差为d ,前n 项和为n S ,且满足15150a S +=,则实数d 的取值范围是( )A.[;B.(,-∞ C.)+∞D.(,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--,再根据10a >、10a <两种情况分类,利用基本不等式即可得解.【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列, ∴1515455102a d d S a ⨯=+=+,∴()151********a S a a d +++==,由10a ≠可得11322a d a =--, 当10a >时,1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立;当10a <时,11322a d a =--≥=1a =立; ∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选:D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用,考查了分类讨论思想,属于中档题.。

2023届高考复习数学易错题专题(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)汇编 (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)汇编  (附答案)

2023届高考复习数学易错题专题(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)汇编1.在同一直角坐标系中,函数f (x )=2-ax ,g (x )=log a (x +2)(a >0,且a ≠1)的图象大致为( )2.若函数f (x )=ax 2+2ax +1在[-1,2]上有最大值4,则a 的值为( )A.38 B .-3 C.38或-3 D .43.函数f (x )=|a x -a |(a >0且a ≠1)的图象可能为( )4.若函数y =log a (2-ax )在[0,1]上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(0,2)D .(1,+∞)5.已知lg x +lg y =2lg(x -2y ),则x y =( )A .4B .1C .4或1D .546.已知函数f (x )=ln(1+x )+ln(1-x ).若f (2a -1)<f (a ),则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,13∪(1,+∞) B.(0,1)C .(-∞,0)∪⎝⎛⎭⎫0,13 D.⎝⎛⎭⎫0,13 7、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+2,x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0,34 B.⎣⎡⎭⎫34,1 C.⎣⎡⎦⎤23,34 D.⎝⎛⎦⎤23,348.已知函数f (x )的定义域为R ,且在[0,+∞)上是增函数,g (x )=-f (|x |),若g (lg x )>g (1),则x 的取值范围是( )A .(0,10)B .(10,+∞)C .⎝⎛⎭⎫110,10D .⎝⎛⎭⎫0,110∪(10,+∞)9.若函数f (x )=12x 2+a |x |在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[4,6]B .[-6,-4]C .[2,3]D .[-3,-2]10.(多选)若实数a ,b 满足log a 2<log b 2,则下列关系中可能成立的有( )A .0<b <a <1B .0<a <1<bC .a >b >1D .0<b <1<a 11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,0≤x <1,log 2(x +1),x ≥1,g (x )=ax 2+2x +a -1,若对任意的实数x 1∈[0,+∞),总存在实数x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤-∞,74 B.⎣⎡⎭⎫74,+∞ C.⎣⎡⎭⎫0,74 D.⎣⎡⎦⎤0,74 12.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .[-1,4)C .[-1,+∞)D .[-1,6] 13.(多选)已知函数f (x )=3x 2-6x -1,则( )A .函数f (x )有两个不同的零点B .函数f (x )在(-1,+∞)上单调递增C .当a >1时,若f (a x )在x ∈[-1,1]上的最大值为8,则a =3D .当0<a <1时,若f (a x )在x ∈[-1,1]上的最大值为8,则a =1314.已知函数y =ax 2-2x +3在[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是________.15.若函数y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a =________.16.已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =_______.17.已知函数y =a 4-ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________.18、已知函数y =log 12(6-ax +x 2)在[1,2]上是增函数,则实数a 的取值范围为________.19.已知点P (a ,b )在函数y =e 2x 的图象上,且a >1,b >1,则a ln b 的最大值为________.20.已知函数f (x )=log a (x +3)在区间[-2,-1]上总有|f (x )|<2,则实数a 的取值范围为________.又x =0时,y =12,没有选项同时符合这3个条件.4.若函数y =log a (2-ax )在[0,1]上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(0,2)D .(1,+∞)【参考答案】B【答案解析】令u =2-ax ,因为a >0,所以u =2-ax 在定义域上是减函数,要使函数y =log a (2-ax )在[0,1]上单调递减,则函数y =log a u 在其定义域上必为增函数,故a >1.当x ∈[0,1]时,u min =2-a ×1=2-a .因为2-ax >0在x ∈[0,1]时恒成立,所以u min >0,即2-a >0,a <2.综上可知,a 的取值范围是(1,2).5.已知lg x +lg y =2lg(x -2y ),则x y =( )A .4B .1C .4或1D .54 【参考答案】A【答案解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ lg xy =lg (x -2y )2,x -2y >0,x >0,y >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧xy =(x -2y )2,①x >2y >0. ②由①得x 2-5xy +4y 2=0,∴⎝⎛⎭⎫x y 2-5x y+4=0,解得x y =4或x y =1(不满足②,舍去),∴x y 4. 6.已知函数f (x )=ln(1+x )+ln(1-x ).若f (2a -1)<f (a ),则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,13∪(1,+∞) B.(0,1) C .(-∞,0)∪⎝⎛⎭⎫0,13 D.⎝⎛⎭⎫0,13【参考答案】D【答案解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1+x >0,1-x >0可得-1<x <1,所以函数f (x )的定义域为(-1,1).因为f (x )=ln(1+x )+ln(1-x )=ln(1-x 2),所以f (-x )=ln [1-(-x )2]=ln(1-x 2)=f (x ),所以f (x )为偶函数.易知y =1-x 2在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且y =ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增.由f (2a -1)<f (a )可得f (|2a -1|)<f (|a |),所以⎩⎪⎨⎪⎧ -1<2a -1<1,-1<a <1,|2a -1|>|a |,解得0<a <13.故选D.7、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+2,x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的单调函数,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0,34B.⎣⎡⎭⎫34,1C.⎣⎡⎦⎤23,34D.⎝⎛⎦⎤23,34【参考答案】C 【答案解析】由题意,分段函数f (x )在R 上单调递减,可得对数的底数需满足0<a <1,根据二次函数图象开口向上,二次函数在⎝⎛⎭⎫-∞,-4a -32上单调递减,可得-4a -32≥0,解得a ≤34.又由[x 2+(4a -3)x +3a ]min ≥[log a (x +1)+2]max ,得3a ≥2,又a ∈(0,1),解得1>a ≥23.综上,a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤23,34.8.已知函数f (x )的定义域为R ,且在[0,+∞)上是增函数,g (x )=-f (|x |),若g (lg x )>g (1),则x 的取值范围是( )A .(0,10)B .(10,+∞)C .⎝⎛⎭⎫110,10 D .⎝⎛⎭⎫0,110∪(10,+∞) 【参考答案】C【答案解析】∵g (-x )=-f (|-x |)=g (x ),∴g (x )是偶函数,又f (x )在[0,+∞)上是增函数,∴g (x )在[0,+∞)上是减函数.∵g (lg x )>g (1),∴g (|lg x |)>g (1),∴|lg x |<1,解得110<x <10,选C.9.若函数f (x )=12x 2+a |x |在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[4,6]B .[-6,-4]C .[2,3]D .[-3,-2]【参考答案】D【答案解析】f (x )=12x 2+a |x |,∵f (-x )=12(-x )2+a |-x |=12x 2+a |x |=f (x ),∴f (x )为实数集上的偶函数,∵f (x )在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,∴f (x )在[3,4]上递增,在[1,2]上递减,∴函数f (x )=12x 2+a |x |,x >0的对称轴x =-a ∈[2,3],得a ∈[-3,-2],故选D.10.(多选)若实数a ,b 满足log a 2<log b 2,则下列关系中可能成立的有( )A .0<b <a <1B .0<a <1<bC .a >b >1D .0<b <1<a【参考答案】ABC【答案解析】当0<b <a <1时,log 2b <log 2a <0,即1log b 2<1log a 2<0,故log a 2<log b 2,A 正确;当0<a <1<b 时,log b 2>0,log a 2<0,故log a 2<log b 2,B 正确;当a >b >1时,log 2a >log 2b>0,即1log a 2>1log b 2>0,故log a 2<log b 2,C 正确;当0<b <1<a 时,log b 2<0,log a 2>0,故log a 2>log b 2,D 错误.11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,0≤x <1,log 2(x +1),x ≥1,g (x )=ax 2+2x +a -1,若对任意的实数x 1∈[0,+∞),总存在实数x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤-∞,74 B.⎣⎡⎭⎫74,+∞ C.⎣⎡⎭⎫0,74 D.⎣⎡⎦⎤0,74 【参考答案】D【答案解析】因为对任意的实数x 1∈[0,+∞),总存在实数x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)=g (x 2)成立,所以函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集.当0≤x <1时,f (x )=x 2-x +1,此时f (x )∈⎣⎡⎦⎤34,1;当x ≥1时,f (x )=log 2(x +1)单调递增,f (x )∈[1,+∞),所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫34,+∞.对于函数g (x )=ax 2+2x +a -1,当a =0时,函数g (x )=2x -1在[0,+∞)上单调递增,此时g (x )的值域为[-1,+∞),满足⎣⎡⎭⎫34,+∞⊆[-1,+∞); 当a ≠0时,要使函数f (x )的值域是函数g (x )的值域的子集,则二次函数的图象开口必须向上,即a >0,此时函数g (x )的对称轴为x =-1a <0,故函数g (x )在[0,+∞)上单调递增,此时g (x )的值域为[a -1,+∞),由⎣⎡⎭⎫34,+∞⊆[a -1,+∞)得,a -1≤340<a ≤74.综上可得:实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0,74. 12.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .[-1,4)C .[-1,+∞)D .[-1,6] 【参考答案】C【答案解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,等价于a ≥y x 2⎝⎛⎭⎫y x 2,对于x∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立.令t =y x ,则1≤t ≤3,∴a ≥t -2t 2在[1,3]上恒成立.∵y =-2t 2+t =-2⎝⎛⎭⎫t -142+18,∴t =1时,y max =-1,∴a ≥-1,故选C. 13.(多选)已知函数f (x )=3x 2-6x -1,则( )A .函数f (x )有两个不同的零点B .函数f (x )在(-1,+∞)上单调递增C .当a >1时,若f (a x )在x ∈[-1,1]上的最大值为8,则a =3D .当0<a <1时,若f (a x )在x ∈[-1,1]上的最大值为8,则a =13【参考答案】ACD【答案解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ=(-6)2-4×3×(-1)=48>0,所以函数f (x )有两个不同的零点,A 正确.因为二次函数f (x )图象的对称轴为x =1,且图象开口向上,所以f (x )在(1,+∞)上单调递增,B 不正确.令t =a x ,则f (a x )=g (t )=3t 2-6t -1=3(t -1)2-4.当a >1时,1a ≤t ≤a ,故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ,a 上先减后增,又a +1a 2>1,故最大值为g (a )=3a 2-6a -1=8,解得a =3(负值舍去).同理当0<a <1时,a ≤t ≤1a ,g (t )在⎣⎡⎦⎤a ,1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a =3a 2-6a -1=8,解得a =13(负值舍去).故C 、D 正确.14.已知函数y =ax 2-2x +3在[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是________.【参考答案】(-∞,0]【答案解析】当a =0时,y =-2x +3满足题意;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0,1a≤2,解得a <0.综上得a ≤0. 15.若函数y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a =________.【参考答案】2或12【答案解析】当a >1时,y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上单调递增,所以log a 4-log a 2=1,解得a=2;当0<a <1时,y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上单调递减,所以log a 2-log a 4=1,解得a =12.综上可得,a =2或12.16.已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =_______.【参考答案】-32【答案解析】当a >1时,f (x )在[-1,0]上是增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)=-1,f (0)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,1+b =0,无解. 当0<a <1时,f (x )在[-1,0]上是减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)=-1,f (-1)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 1+b =-1,a -1+b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =12,b =-2,∴a +b =-32.17.已知函数y =a4-ax (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________. 【参考答案】(1,2]【答案解析】令u =4-ax ,由于a >0且a ≠1,内层函数u =4-ax 在区间[1,2]上为减函数,所以外层函数y =a u 为增函数,则有a >1.由题意可知,不等式4-ax ≥0对任意的x ∈[1,2]恒成立,所以4-2a ≥0,解得a ≤2.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].18、已知函数y =log 12(6-ax +x 2)在[1,2]上是增函数,则实数a 的取值范围为________.【参考答案】[4,5)【答案解析】设u =6-ax +x 2,∵y =log 12u 是减函数,∴函数u 在[1,2]上是减函数.∵u =6-ax +x 2的对称轴为直线x =a 2,∴a 2≥2,且u >0在[1,2]上恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2,6-2a +4>0,解得4≤a <5,∴实数a 的取值范围为[4,5). 19.已知点P (a ,b )在函数y =e 2x 的图象上,且a >1,b >1,则a ln b 的最大值为________.【参考答案】e【答案解析】由题意知b =e 2a ,则a ln b =a ln e 2a ,令t =a 2-ln a (t >0), 则ln t =ln a 2-ln a =-(ln a )2+2ln a =-(ln a -1)2+1≤1,当ln a =1时,“=”成立, 此时ln t =1,所以t =e ,即a ln b 的最大值为e.20.已知函数f (x )=log a (x +3)在区间[-2,-1]上总有|f (x )|<2,则实数a 的取值范围为________.【参考答案】⎝⎛⎭⎫0,2∪(2,+∞). 【答案解析】∵x ∈[-2,-1],∴1≤x +3≤2.当a >1时,log a 1≤log a (x +3)≤log a 2,即0≤f (x )≤log a 2.∵对任意的x ∈[-2,-1],|f (x )|<2恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1,log a 2<2,解得a > 2. 当0<a <1时,log a 2≤log a (x +3)≤log a 1,即log a 2≤f (x )≤0.∵对任意的x ∈[-2,-1],|f (x )|<2恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,log a 2>-2,解得0<a <2. 综上可得,实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,2∪(2,+∞).。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附解析

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附解析

数学《空间向量与立体几何》复习资料一、选择题1.已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ,AC 与BD 交于点O ,平面α过点E 且与直线1OC 垂直,若1AB =,则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A .64B .62C .32D .34【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ,进而1BD OC ⊥,可考虑平面BDE 是否为所求的平面,只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,1AB =,则2113122OC =+=,2113424OE =+=,2119244EC =+=,∴22211OC OE EC +=,1OE OC ∴⊥;又BD ⊥平面11ACC A ,1BD OC ∴⊥,且OE BD O =I ,1OC ∴⊥平面BDE ,且1136222BDE S BD OE ∆==⨯⨯=g , 即α截该正方体所得截面图形的面积为6. 故选:A .【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查三角形面积的计算,熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键,属于中档题.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.273B.276C.274D.272【答案】D【解析】【分析】先还原几何体,再根据锥体体积公式求结果.【详解】几何体为一个三棱锥,高为33,底为一个直角三角形,直角边分别为333,,所以体积为1127=33333=322V⨯⨯⨯⨯,选D.【点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形,则该几何体的表面积为()A.132πB.7πC.152πD.8π【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解表面积即可.【详解】由题意可知:几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体,球的半径为:1,圆柱的高为2, 可得:该几何体的表面积为:22141212274ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=.故选:B . 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.4.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )A .8(6623)+B .6(8823)+C .8(632)+D .6(8832)+ 【答案】A 【解析】 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,然后按照表面积公式计算即可. 【详解】由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为22,则该几何体的表面积为2116(222)42282322S ⎡⎤=⨯+-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦8(6623)=++.故选:A. 【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积,考查空间想象能力和运算求解能力.5.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上,AB BCD ⊥平面,BCD V 是边长为3的等边三角形,若2AB =,则球O 的表面积为( ) A .16π B .323π C .12π D .32π【答案】A 【解析】 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】BCD V 外接圆直径23sin 3CD d CBD ===∠ , 故球的直径平方222222(23)16D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选:A 【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径22D d h =+求解即可.属于中等题型.6.《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍(音meng ,底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示,则此刍甍的体积等于( )A .3B .5C .6D .12【答案】B 【解析】 【分析】首先由三视图还原几何体,再将刍甍分为三部分求解体积,最后计算求得刍甍的体积.【详解】由三视图换元为如图所示的几何体,该几何体分为三部分,中间一部分是直棱柱,两侧是相同的三棱锥,并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=, 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选:B 【点睛】本题考查组合体的体积,重点考查空间想象能力和计算能力,属于中档题型.7.如图,直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3,AB BC ⊥,3AB BC ==,点E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且AE BF =,当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,则异面直线A F '与AC 所成的角为( )A .2π B .3π C .4π D .6π 【答案】C 【解析】 【分析】设AE BF a ==,13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ,利用基本不等式,确定点 E ,F 的位置,然后根据//EF AC ,得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角,再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==,则()()23119333288B EBFa aV a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当3a a =-,即32a =时等号成立, 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,点E ,F 分别是棱AB ,BC 的中点, 方法一:连接A E ',AF ,则352A E '=,352AF =,2292A F AA AF ''=+=,13222EF AC ==, 因为//EF AC ,所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角,由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯, ∴4A FE π'∠=.方法二:以B 为坐标原点,以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则()0,3,0A ,()3,0,0C ,()0,3,3A ',3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ,()3,3,0AC =-u u u r ,所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ,所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π. 故选:C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角,余弦定理,基本不等式以及向量法求角,还考查了推理论证运算求解的能力,属于中档题.8.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,且ABC ∆为等边三角形,2AP AB ==,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A .272π B .283π C .263π D .252π 【答案】B 【解析】 【分析】计算出ABC ∆的外接圆半径r,利用公式R =可得出外接球的半径,进而可得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】ABC ∆的外接圆半径为2sin3AB r π==PA ⊥Q 底面ABC ,所以,三棱锥P ABC -的外接球半径为R === 因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,解题时要分析几何体的结构,选择合适的公式计算外接球的半径,考查计算能力,属于中等题.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD (不包括端点)上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A .124B .112C .16D .12【答案】A 【解析】由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点,且线段12PP 平行于平面11121,AADD PP B AD B ∆~∆, 设1,(0,1)PB x x =∈,即122,PP P =到平面11AA B B 的距离为x , 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-,当12x =时,体积取得最大值124,故选A .点睛:本题考查了空间几何体的结构特征,及几何体的体积的计算,其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,对于空间几何体的体积与表面积的计算时,要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用.10.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,123AA =,D ,F 分别是棱AB ,1AA 的中点,E 为棱AC 上的动点,则DEF ∆的周长的最小值为()A .222B .232C 62+D 72【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ,根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =;把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开,可知当,,D E F 三点共线时,DE EF +取得最小值;在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值,加和得到结果. 【详解】Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABCAD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开,如下图所示:当,,D E F 三点共线时,DE EF +取得最小值 又150FAD ∠=o ,3AF =,1AD =()22min32cos 42372DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫∴+=+-⋅∠=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭DEF ∴∆周长的最小值为:72+本题正确选项:D 【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题,关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题,利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.11.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M , N 分别为棱111,C D CC 的中点,以下四个结论:①直线DM 与1CC 是相交直线;②直线AM 与NB 是平行直线;③直线BN 与1MB 是异面直线;④直线AM 与1DD 是异面直线.其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何特征,可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面;如果共面,则可能是相交或者平行;若不共面,则是异面. 【详解】①:1CC 与DM 是共面的,且不平行,所以必定相交,故正确;②:若AM BN 、平行,又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=,所以平面BNC P 平面ADM ,明显不正确,故错误;③:1BN MB 、不共面,所以是异面直线,故正确; ④:1AM DD 、不共面,所以是异面直线,故正确; 故选C. 【点睛】异面直线的判断方法:一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面,那么两条直线异面;反之则为共面直线,可能是平行也可能是相交.12.在ABC ∆中,设BAC α∠=,CA 与CB 所成的角是β,绕直线AC 将AB 旋转至AB ',则在所有旋转过程中,关于AB '与BC 所成的角γ的说法正确的是( )A .当4παβ-≥时,[],γαβαβ∈-+B .当4παβ-<-时,[],γβααβ∈-+C .当4παβ+≥时,[],γαβαβ∈-+D .当4παβ+<时,,γαβαβ∈⎡-+⎤⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解异面直线所成的角的范围是0,2πγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,排除选项A,B,C,对于D 可根据 AB 绕AC 旋转,形成以AC 为轴的圆锥,AB '是母线,再将异面直线所成的角,转化为相交直线所成的角,判断最大值和最小值. 【详解】因为γ是异面直线所成的角,所以0,2πγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦A.当4παβ-≥时,αβ+的范围有可能超过2π,比如,3,46ππαβ==,所以不正确; B.当4παβ-<-时,当3,46ππβα==,此时[],γβααβ∈-+,也不正确; C.当4παβ+≥,当3,46ππαβ==,此时[],γαβαβ∈-+,故也不正确; D. 4παβ+<时,AB 绕AC 旋转,形成以AC 为轴的圆锥,AB '是母线,如图,过点A 作BC 的平行线AD ,且CAD β∠=,'AB 与BC 所成的角γ转化为AB '与AD 所成的角,由图象可知,当AB '是AB 时,角最大,为αβ+,当AB '在平面ABC 内时,不与AB 重合时,角最小,此时为αβ-故选:D【点睛】本题考查异面直线所成的角,重点考查轨迹,数形结合分析问题的能力,属于中档题型,本题的关键是判断,并画出AB 绕AC 旋转,形成以AC 为轴的圆锥.13.某学生到工厂实践,欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗,则得到的圆柱体的最大体积是( )A .169πB .89πC .1627πD .827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积,利用基本不等式研究函数的最值即可.【详解】解:设圆柱的半径为r ,高为x ,体积为V , 则由题意可得323r x -=, 332x r ∴=-, ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<, 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …. 当且仅当33342r r =-,即43r =时等号成立. ∴圆柱的最大体积为169π, 故选:A .【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用,利用条件建立体积函数是解决本题的关键,是中档题.14.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为A .1∶2B .1∶3C .1∶5D .3∶2【答案】C【解析】【分析】由已知,求出圆锥的母线长,进而求出圆锥的底面面积和侧面积,可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ,则高h =2r ,∴其母线长l =r .∴S 侧=πrl =πr 2,S 底=πr 故选C .【点睛】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的表面积公式,属于基础题.15.若a ,b 是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列四个命题:①若a P α,b β∥,a b ⊥r r ,则αβ⊥;②若a P α,b β∥,a b ∥,则αβ∥;③若a α⊥,b β⊥,a b ∥,则αβ∥;④若a P α,b β⊥,a b ⊥r r ,则αβ∥.正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .3 【答案】B【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】命题①中α与β还有可能平行或相交;命题②中α与β还有可能相交;命题④中α与β还有可能相交;∵a b P ,a α⊥,∴b α⊥,又b β⊥,∴αβP .故命题③正确.故选B .【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.16.设A ,B ,C ,D 是同一个球面上四点,ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形,若三棱锥D ABC -体积的最大值为27,则该球的表面积为( )A .36πB .64πC .100πD .144π【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形,求出三棱锥D ABC -的外接球的半径,代入表面积公式求解.【详解】解:如图,ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形,则当D 位于直径的端点时,三棱锥D ABC -体积取最大值为27,由AB AC =,AB AC ⊥,6BC =,可得斜边BC 上的高3AE =,32AB AC == 由1132322732DE ⨯⨯=,解得9DE =, 则21AE EF DE==. ∴球O 的直径为10DE EF +=,则球O 的半径为11052⨯=. ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=.故选C .【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.17.某四面体的三视图如图所示,正视图,俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为( )A .22B .23C .4D .26【答案】B【解析】 解:如图所示,该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ,其中面积最大的面为:1232232PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.点睛:三视图的长度特征:“长对正、宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.18.已知平面α⊥平面β,l αβ=I ,a α⊂,b β⊂,则“a l ⊥”是“a b ⊥r r ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 根据面面垂直的性质定理,以及充要条件的判定方法,即可作出判定,得到答案.【详解】由题意知,平面α⊥平面β,,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂, 当a l ⊥时,利用面面垂直的性质定理,可得a b ⊥r r 成立,反之当a b ⊥r r 时,此时a 与l 不一定是垂直的,所以a l ⊥是a b ⊥r r 的充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理,以及充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.19.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为( )A .2B .5C 13D 22【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原出几何体,找到最大面,再求面积.【详解】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,如图所示,将其放在一个长方体中,并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆=22PAC S ∆=,2ABC S ∆=22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别,复杂的三视图还原为几何体时,一般借助长方体来实现.20.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图,然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可.【详解】由三视图可得,该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分.其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形,所以其表面积为.故选B.【点睛】在由三视图还原空间几何体时,一般以主视图和俯视图为主,结合左视图进行综合考虑.热悉常见几何体的三视图,能由三视图得到几何体的直观图是解题关键.求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解,解题时注意分割等方法的运用,转化为规则的几何体的表面积或体积求解.。

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C. 充要条件
D.
即不充分也不必要条件
答案: B
【错解分析】 考生常常会选择 A,错误原因是混淆了充分性,与必要性。 【解题指导】 考查目的:充要条件的判定。
【练习 2】已知条件 p : | x 1 | 2 ,条件 q : x a ,且 p 是 q 的充分
不必要条件,则 a 的取值范围可以是(
A. a 1;
【解题指导】 由绝对值的几何意义知 | x 2 | | x 1 |的最小值为 3.
【练习 9】 不等式| x+ 1| (2x - 1) ≥ 0 的解集为
.
【范例
10】 圆 x
2
1
y2
1 被直线 x
y
0 分成两段圆弧,则较短弧长与
较长弧长之比为
.
答案: 1∶3
【错解分析】 圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心,
A. (1005,1004) B
.(1004.1003)
C . (2009,2008) D
. (2008,2007)
43 2
9
10
x
11
【范例 7】 如图,点 P是单位圆上的一个顶点,它从初始位置
P0 开
始沿单位圆按逆时针方向运动角
然后继续沿单位圆逆时针方向运动
坐标为 4 ,则 cos 的值等于 5
【范例 5】 设 x0 是方程 8 x lg x 的解,且 x0 (k, k 1)(k Z ) ,则 k


A. 4 B . 5 C . 7 D . 8
答案: C
【错解分析】 本题常见错误为 D,错误原因没有考虑到函数
图像的结合。
【解题指导】 考查零点的概念及学生的估算能力 . 【练习 5】 方程 xlg( x 2) 1 的实数根有 ( )
D. c b a
答案: D
【错解分析】 此题常见错误 A 、B ,错误原因对 f (x 1) f ( x) 这样的条
件认识不充分,忽略了函数的周期性。
【解题指导】 由 f ( x 1) f ( x) 可得, f ( x) 是周期为 2 的函数。利用
周期性 a ,b,c 转化为 [-1 ,0] 的函数值,再利用单调性比较 .
如下规则表上数字标签:
原点处标 0,点( 1, 0)处标 1,点( 1, -1 )处
y
标 2,点( 0, -1 )处标 3,点( -1 , -1 )处标 4,
点( -1 , 0)标 5,点( -1 ,1)处标 6,点( 0, 1)
处标 7,以此类推,则标签 2009 2 的格点的坐标
678
为( )
50 1
( 2)设 Q为椭圆 E 上的一个动点, 求 AP AQ 的取
F1
OC
Q
P
A F2 x
值范围. 【错解分析】 本题易错点( 1)在于计算椭圆的方程的量本身就大,方法和 计算技巧的运用很重要。
解:( 1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 m) 2 1 5 .
∵m< 3,∴ m= 1.圆 C: ( x 1)2 y2 5 . 设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: y k( x 4) 4 ,
即 kx y 4k 4 0 .∵直线 PF1 与圆 C相切,∴ | k 0 4k 4 | k2 1
5 .解
得k
11 ,或k
1 .
2
2
当 k = 11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ,不合题意,舍去.
2
11
当 k = 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为- 2
F2( 4, 0).
4,∴c= 4.F1( - 4,0),
2a =AF1+ AF2= 5 2 2 6 2 , a 3 2 , a2= 18, b2= 2.
椭圆 E 的方程为: x2
y2 1.
18 2
( 2 ) AP (1, 3) , 设 Q ( x , y ) , A Q ( x 3, y 1) ,
AP AQ ( x 3) 3( y 1) x 3y 6 .

断不了圆的位置,在花函数图像是产生了偏差。
【解题指导】 对
【练习 10】 已知直线 x y a 与圆 x2 y 2 4 交于 A、 B 两点, O是坐标
原点,向量 O→A、 O→B满足 |O→A+→OB|=|O→A →OB| ,则实数 a 的值是
.
【范例 11】 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为
ab
【范例 8】已知向量 p
,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p |的取
|a| |b|
值范围是
.
答案: [0, 2]
【错解分析】 本题常见错误五花八门, 错误原因是没有理解向量的模的不等 式的性质。
【 解 题 指 导 】 a,b 分 别 表 示 与 a 、 b 同 向 的 单 位 向 ab
量, a b ab
高考数学易错题解题方法
一 . 选择题
【范例 1】已知集合 A={x|x=2n — l ,n∈ Z} ,B={x|x 2 一 4x<0} ,则 A∩ B(=

A. {1} B . { x1 x 4} C . 1,3 D . {1 , 2, 3, 4}
答案: C 【错解分析】 此题容易错选为 B,错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】 集合 A 表示奇数集,集合 B={1, 2, 3, 4}.
【练习 1】已知集合 A ( x, y) y sin x ,集合 B ( x, y) y tan x ,则
AB(

A. (0,0)
B . ( ,0), (0,0)
C . (k ,0)
D.
【范例 2】 若 A、 B均是非空集合,则 A∩ B≠ φ 是 A B的(

A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
【练习 3】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数, 若 f ( 2) 1 ,
a3
f (2008)
,则 a 的取值范围是(

a3
A.( -∞ , 0) (3, + ∞)
B.(0, 3)
C.(0 , + ∞)
D.( -∞ , 0) ∪
【范例 4】 log 2 sin
log 2 cos 的值为(
ab
a
b
ab
a
b
【练习 8】△ ABC中, C
的最小值是
.
π2 , AC
1, BC
2 ,则 f ( )
2 CA (1
) CB
【范例 9】 若不等式 | x 2 | | x 1| a对 x R 恒成立,则实数 a 的取值
范围是
.
答案: ( ,3]
【错解分析】 解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的, 错误原因有解法 单一,比如只会运用去绝对值的方法,这样会导致计算量较多,易错。通常 简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。
,则球的
表面积为 __________.
答案: 8π
【错解分析】 球体是近年高考通常所设计的集合体,通常也是考生容易
出错的一个地方,通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏
导致,或者计算的时候计算不出球的半径等。
【解题指导】 过球心与小圆圆心做球的截面,转化为平面几何来解决
.
【练习 11】 如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为
个.
A. 0 B . 1 C . 2 D . 3
【范例 6】已知∠ AOB=lrad ,点 Al ,A2,, 在 OA上,
B1, B2,, 在 OB上,其中的每一个实线段和
y=8-x 与 y=lgx
虚线段氏均为 1 个单位,一个动点 M从 O点
出发,沿着实线段和以 O为圆心的圆弧匀速
运动,速度为 l 单位/秒,则质点 M到达 A10
点处所需要的时间为 ( )
秒。
A. 62 B . 63 C . 65 D . 66
答案: C
【错解分析】 本题常见错误 B 、D,这样的错误常常由于是信息图片信息把
握力不强。
【解题指导】 本题综合考察等差数列求和,及扇形的弧长公式。要细读题,
理解动点的运动规律。
【练习 6】如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按
积”。
【 解 题指 导】 设直线 方程为 x y 1 , 代 点得: 1 2 1 . 由 于
ab
ab
12
2
2
2
, 所以
1 , 即 ab 8 , 所以 S AOB
1 ab
4
a b ab
ab 4
2
【练习 12】 函数 y log a ( x 3) 1 (a 0, 且a 1) 的图象恒过定点 A ,
若 点 A 在 直 线 mx ny 2 0 上 , 其 中 mn 0 , 则 1

12
12
A.- 4 B . 4 C .2 D .- 2
答案: D
【错解分析】 此题常见错误 A 、C,错误原因是对两倍角公式或对对数运算
性质不熟悉。
【解题指导】 结合对数的运算性质及两倍角公式解决 .
3
4
【练习 4】 式子 log 2 log 3 值是(

A.- 4 B . 4 C .2 D .- 2
B. a 1;
D. a 3 ;
)பைடு நூலகம்
C.
a1

【范例 3】定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 1) f (x) ,且在 [-1 ,0]
上单调递增,设 a f (3) , b f ( 2 ) , c f (2) ,则 a,b, c 大小关系
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