矢量分析场论基础

A B C A CB A BC
嘉 兴 学 院 机 电 工 程 学 院
2020年3月8日星期日
工程电磁场
10
标量场
在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点M（x,y,z），
嘉 兴
对应一个数量函数 x, y, z
，则它在空间区域D就构成了
学
院 机
一个标量场
电
工
程 学
r
机 电
r 1
1
2z z
工
z 2 x2 y2 z2
r
程 学 院
r

xi r
y r
j
z r
k

ro
z
P(x, y, z)
o
y
x
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工程电磁场
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例2.若空间任一点P(x,y,z)到另一点Q(x’,y’,z’)的距离r，计算其梯度。
r (x x)2 ( y y)2 (z z)2
学 院
x y
由此定义矢量微分算符：
z
x y z
i j k x y z
*哈密顿微分算符▽的各个分量同样可以像普通矢量一样进行
点乘、叉乘等运算,具有矢量的性质。它也具有微分的性质。
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7.若已知某矢量存在，则必定有一标量函数取梯度与之相等； 8.其他坐标系下，梯度公式完全不同。
嘉 兴
定义梯度：grad i j k
x y z
学 院 机 电
显然方向导数：
l


grad l0

grad
l0
cos
工 梯度矢量的意义：
程 学
1.标量场在某点沿某方向的方向导数，等于该点的梯度矢
院 量的模乘以求导方向与梯度方向夹角的余弦；
2.标量场在某点处的梯度，等于该点的方向导数的最大值；
圆柱坐标
x r cos
er e ez
dr rd dz
y r sin
球面坐标
er e e
dr rd r sind
zz x r sin cos y r sin sin
z r cos
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工程电磁场
2
矢量分析和场论基础
• 电磁学中的各种物理量可分为两类 标量
lim
0
l0 l
嘉 兴
于是标量函数 (x, y, z)在P点处的方向导数：
学 院
cos cos cos
机
l x
y
z
电 工
考虑到：a
b

(axi

ay
j

azk
)

(bxi

by
j

bz k
)
程 学
axbx ayby azbz
标量场和函数密不可分
院
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ຫໍສະໝຸດ Baidu11
矢量场
在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点M(x,y,z)
对应一个矢量函数F(x,y,z), 则它在空间区域D就构成了
嘉
兴 学
一个矢量场，如电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)等若M的位置
院
机 电
用矢径r确定，则矢量F可以看成矢径r的 矢量函数F(t)。
首先，把Q点当做固定点，则其坐标为常数。
r 1
2(x x)
x x
嘉 x 2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2 r
兴
学 院
r y y y r
r z z z r
机 电 工
x x y y z z
y

Fz x, y, z dz
z
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矢量微分算子
哈密顿微分算子▽在直角坐标系中的表达式为
嘉 兴


x
ex

x
ey

x
ez
学
院
微分算子▽的各个分量同样可以像普通矢量一样进
机 电
行点乘、叉乘等运算。具有矢量的性质。它亦具有微分
工 的性质。
程 学
工
程
学
院
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工程电磁场
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标量函数的偏导数和全微分
在直角坐标系中，标量函数 x, y, z 的偏导数
x, y, z lim x x, y, z x, y, z
嘉
x
x0
x
兴 学 院 机 电
x, y, z lim x, y y, z x, y, z
程 学 院
dFx

Fx x, y, z dx
x

Fx x, y, z dy
y

Fx x, y, z dz
z
dFy

Fy x, y, z dx
x

Fy x, y, z dy
y

Fy x, y, z dz
z
dFz

Fz x, y, z dx
x

Fz x, y, z dy
13
矢量函数的偏导数和全微分
偏导数
F x

Fx x
ex

Fy x
ey

Fz x
ez
嘉 兴
F y

Fx y
ex

Fy y
ey

Fz y
ez
学 院 机
F z

Fx z
ex

Fy z
ey

Fz z
ez
电
工 全微分
dF dFxex dFye y dFzez
院
Bx By Bz
矢量叉乘服从分配律和反交换律
A(B C) A B AC
A B B A
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矢量的三重标积
矢量的三重标积 A B C 是一个标量，其解析表达式为
嘉
Ax Ay
兴
学A B C
院
Bx
By
机 电
Cx Cy
y
y 0
y
x, y, z lim x, y, z z x, y, z
z
z 0
z
工
程 标量函数的全微分
学
院
d x, y, z dx x, y, z dy x, y, z dz
x
y
z
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工程电磁场
工程电磁场
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矢量的标积
矢量的标乘又称点乘
嘉
A B A B cos ABcos
兴
学 院
在直角坐标系中，其解析式为
机
电 工
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
程
学
矢量点乘服从交换律和分配律
院
AB B A
A(B C) A B AC
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x cos, y cos , z cos
l
l
l
l 0 时：
lim cos cos cos lim o(l)
l0 l l x
y
z
l0 l
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式中： o(l)
矢量分析和场论基础
机电工程学院电气工程系 孙红贵
嘉 兴
坐标系
学
院
机 电
直角坐标系
工 程
• 三种正交坐 圆柱坐标系
学 院
标系
球面坐标系
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直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系
嘉
兴
学
院
机 电
工
坐标系
向量单位
长度元
和直角坐标系的关系
程
直角坐标
学 院
ex ey ez
dx dy dz
例1. 在直角坐标系中，空间任一点P(x,y,z)到原点的距离r，计算其梯度。
解：在直角坐标系中，空间任一点P(x,y,z)到原点的距离：
r x2 y2 z2
r 1
1
2x x
嘉
x 2 x2 y2 z2
r
兴 学
r 1
1
2y y
院
y 2 x2 y2 z2
(Q) (P) x y z o(l)
嘉
x y z
兴 学
两边除以 l：
院
机 电 工
(Q) (P) x z o(l)
l
l x l y l z l l
程
学 院
由图可见：
x y z
Fx Fy Fz
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标量场的梯度
l
嘉
兴 学 院
z

Q(x, y, z)
机 电 工

程
P(x, y, z)
学
院
o
y
x
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若标量函数(x, y, z) 在P(x, y, z)点可微，则其全增量：
嘉
矢量
兴 学
标量（Scalar） ：选定单位后仅用一个数值就可以表示
院 机
其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等
电 工
矢量（Vector） ：不仅有大小，还有方向的物理量，称
程
为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等
学
院
矢量在印刷体中常用黑体字，如A
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3
矢量表示法
院
cos cos cos
l x
y
z
( i j k) (cosi j cos cosk)
x y z
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工程电磁场
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式中：l0 cosi j cos cosk 是沿l方向的单位矢量 α、β、γ 为其方向角
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工程电磁场
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3. 梯度本身并不依赖于坐标系，如果场值变化最快方向的单 位矢量为n，则梯度的矢量定义式为：
grad n
嘉
n
兴 学
4.梯度场是源于标量场的一个矢量场，这个场全面刻画了该
院 标量场的空间变化率变；
机 电
5.梯度矢量与等值面垂直。
工 程
6.特别地：grad i j k ( i j k)


x
ex

y
e
y

z
ez


Fx e x
Fye y
Fzez
兴 学
Fx Fy Fz
院
x y z
机 电 工 程
F


x
ex

y e y

z
e
z


Fx e x
Fye y
Fzez
学
院
ex ey ez
工
程
B×C
学
院
A
Az
Bz Ax ByCz BzCy Ay BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Cz
V=A(B×C)
三重标积的结果是以A、B和C
为棱的平行六面体的体积V
C
B
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矢量的三重矢积
矢量的三重矢积 A B C 是一个矢量
嘉
兴
梯度运算的基本法则
学
院
, 为常数,是标量函数
机
电 工

具有线性性
程 学

满足莱布尼兹律
院
f f
1 2

21 12 22
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22
cos cos cos
Ax Ax2 Ay2 Az2
Ay Ax2 Ay2 Az2
Az Ax2 Ay2 Az2
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矢量加、减法
C
嘉 兴
B
学
院
A
机
电 0
工
程
学
C AB
院
B C A
0
C A B A (B)
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院
矢量A的模
A A Ax2 Ay2 Az2
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矢量的方向余弦
A与x、y、z三个坐标轴正向的夹角α、β、γ
嘉
Ax Acos
兴 学
Ay Acos
院 机
Az Acos
电
工
程 直角坐标系中
学
院
cosα,cos β,cosγ 称为A的方向余弦
工程电磁场
7
矢量的矢积
A×B
矢量的矢积又称叉乘 两矢量的叉乘，其结果仍是一个矢量
嘉
A B A B sin eAB ABsin eAB
兴 学
B 在直角坐标系中，其解析式为
院

机
电
A
工
ex ey ez
程 学
A B Ax Ay Az ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )ey ( Ax By Ay Bx )ez
长度为一个单位的矢量称为单位矢量。如矢量A
的单位矢量指的是方向与A一致，大小为一个单位
的矢量，可以用a0表示。
嘉 兴 学
A AA0
在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可以用坐标
院 机
来表示。则从O指向终点P的矢量A可以表示为
电 工
Ax,y,z Axex Aye y Azez
程 学
ex 、 e y 、 ez 表示x、y、z三个坐标轴方向上的单位矢量
微分算子▽叫劈形算符，因为长得像竖琴(nabla)，
院 所以也叫纳布拉。又由于是Δ(delta)的倒转，故反其序而
读之，念做atled；也是为了与delta的读音相区别，有人
则将其读作del（代儿）。
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工程电磁场
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x
ex


y
ey


z
ez
嘉
F