2020高考专题3.5 导数与函数的零点(解析版)

第三篇导数及其应用

专题3.5导数与函数的零点

【考点聚焦突破】

考点一判断零点的个数

【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝f(x)

x－4ln x的零点个数．

【答案】见解析

【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.

∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3

x－4ln x＝x－3

x－4ln x－2，

∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3

x2－

4

x＝

(x－1)(x－3)

x2，令g′(x)＝0，得x1

＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：

X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋

g(x)极大值极小值

当0

当x>3时，g(e5)＝e5－3

e5－20－2>2

5－1－22＝9>0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)仅有1个零点．

【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….

(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；

(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．

【答案】见解析

【解析】(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，

所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，

所以h(1)h(2)<0，

所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．

(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.

由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，

而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．

又h(x)在(1，2)内有零点，

因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．

h′(x)＝e x－1

2x－1

2

－1，记φ(x)＝e x－

1

2

x－1

2

－1，

则φ′(x)＝e x＋1

4

x－3

2

.

当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，

即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，

则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，

所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.

考点二已知函数零点个数求参数的取值范围

【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

【答案】见解析

【解析】(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝a＋ln x＋1，

因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，

即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；

令f′(x)<0，解得0

所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．

(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．

由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，

由题意得，m＋1>－1，

即m>－2，①

当0e时，f(x)>0.

当x>0且x→0时，f(x)→0；

当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.

由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②

由①②可得－2

所以m的取值范围是(－2，－1)．

【规律方法】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

【训练2】已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．

(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；

(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．

【答案】见解析

【解析】(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，

又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，

所以f(x)＝e x－x＋1，求导得f′(x)＝e x－1.

易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，

所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.

(2)由(1)知f′(x)＝e x＋a，由于e x>0，

①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，

当x>1时，f(x)＝e x＋a(x－1)>0；

当x<0时，取x＝－1 a，

则＋－

1

a－a<0.

所以函数f(x)存在零点，不满足题意．

②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．

在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．

函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝e ln(－a)＋a ln(－a)－a＝－2a＋a ln(－a)>0，解得－e2