一阶微分方程的应用

一阶微分方程的应用

（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.

步骤:

利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.

),(y x M y x

o 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.

提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为

x

x y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '

=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用

2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.

mg

)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =

（2）热学

例3 发动机冷却系统设计

(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)

dt

T T k dt dT e )(-+=α.

之间的关系与试建立发动机温度t T ,

),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α

例4. 已知某车间的容积为

的新鲜空气

问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空

的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含

则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t

∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程

t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-5400

5400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为

t = 30时5406.05400100

06.0⨯=⨯=x 250

4ln 180≈=k 2500

5400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x

解定解问题因此每分钟应至少输入250 3

m 新鲜空气.初始条件

得k = ?

（3）电学

例5 ~R

L K

)(t i t

E E m ω=sin 0)(=--+iR dt

di L E ).

(t i R L 串联电路，求下图为一个-

（4）原子物理

例6 铀的衰变规律

M dt

dM λ-=.

,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===

3、其它例7 种群增长模型

2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02

N N t N ==>时死亡率ββ

小结

如何建立微分方程?

(1) 利用已知规律

(2) 微元法

(3) 导数积分的几何意义等