一阶微分方程的应用

一阶微分方程的应用
（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.
步骤:
利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.
),(y x M y x
o 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.
提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为
x
x y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '
=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用
2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.
mg
)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =
（2）热学
例3 发动机冷却系统设计
(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)
dt
T T k dt dT e )(-+=α.
之间的关系与试建立发动机温度t T ,
),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α
例4. 已知某车间的容积为
的新鲜空气
问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空
的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含
则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t
∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程
t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-5400
5400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为
t = 30时5406.05400100
06.0⨯=⨯=x 250
4ln 180≈=k 2500
5400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x
解定解问题因此每分钟应至少输入250 3
m 新鲜空气.初始条件
得k = ?
（3）电学
例5 ~R
L K
)(t i t
E E m ω=sin 0)(=--+iR dt
di L E ).
(t i R L 串联电路，求下图为一个-
（4）原子物理
例6 铀的衰变规律
M dt
dM λ-=.
,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===
3、其它例7 种群增长模型
2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02
N N t N ==>时死亡率ββ
小结
如何建立微分方程?
(1) 利用已知规律
(2) 微元法
(3) 导数积分的几何意义等。