一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用【1】摘要：微分方程在实际中应用广泛。
简单介绍了一阶微分方程的几种应用。
关键词：微分方程;应用;研究微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.一、在力学中的运用动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为F=mg-kv2由牛顿第二定律列出微分方程m■=mg-kv2因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.求解上述微分方程的特解即得：v=■当t→+∞时，有v1=■=■.据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.二、流体混合问题中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.因为c2=■，代入上式有dx=(c1v1-■)dt，或■=-■x+c1v1.这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.于是有4050dx=360(0.05-x)dt，即dx=■(0.05-x)dt，初始条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分，初值解满足■■=■■dt，求出x有x=0.05+0.15e-■t.t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.三、牛顿冷却定律的应用牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的'介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程■=-k(T-T0)，k>0.例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，解得T(t)=21+13e-0.167t.设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间t=■・ln■≈-1.25小时.由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.四、医学中的应用例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题■=-0.4SS(0)=0.3，通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为S(30)=0.3-0.4×30≈0，而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.参考文献：[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.一阶高次微分方程的求解【2】【摘要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。
一阶与二阶微分方程的解法与应用
一阶与二阶微分方程的解法与应用微分方程是数学中的重要内容，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将重点介绍一阶和二阶微分方程的解法以及其在实际应用中的重要性。
一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指涉及一阶导数的方程。
常见的一阶微分方程形式多种多样，例如求解形如dy/dx = f(x)的微分方程可以使用分离变量法。
具体步骤如下：1. 将方程表达式中的dy和dx分离，形成f(x)dx = dy；2. 对方程两边同时积分，得到∫f(x)dx = ∫dy；3. 求出右边的积分得到y的表达式，即可得到原方程的解。
除了分离变量法，还有其他一阶微分方程的求解方法，例如齐次微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法等。
齐次微分方程可以通过引入新的变量转化为分离变量的形式，而一阶线性微分方程可以利用积分因子法求解。
二、二阶微分方程的解法二阶微分方程涉及到二阶导数的方程。
解二阶微分方程的方法较为复杂，但常见的二阶线性齐次微分方程可以使用特征方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0转化为特征方程r² + pr + q = 0；2. 求解特征方程，得到两个特征根r₁和r₂；3. 根据特征根的情况，分为三种情况进行求解：a. 当r₁和r₂为不相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)；b. 当r₁和r₂为复数共轭时，方程的通解为y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx))；c. 当r₁和r₂为相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) +C₂xe^(r₁x)，其中C₁、C₂为常数。
三、微分方程在实际应用中的重要性微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个典型的应用领域：1. 物理学中的应用：微分方程可用于描述物理系统的运动规律，例如牛顿第二定律的微分方程形式为F = ma，其中a是加速度，F是力，m是质量。
1_8一阶微分方程的应用
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或 dx = 初值条件x(0) = 0.2，积分，得 ∫ x
0.2
4 (0.05 − x)dt 45 ∫
0
dx = 0.05 − x
t
4 dt 45
解得 x = 0.05 + 0.15e− 45 t
4
又t = 30min = 1800s，得x ≈ 0.05 四、课堂练习 例：质量为100kg 的物体，在和水平面成30◦ 的斜面上由静止下滑，如 果不计摩擦，试求 1、物体运动的微分方程 2、求5s后物体下滑的距离及此时的速度和加速度 解：设物体速度v = v (t)，下落距离x = x(t)，从而 { dv ◦ dt = g · sin 30 v (0) = 0 解得v (t) = g 2 t，又因为 { =v x(0) = 0
沈阳化工学院
化简，得曲线族C 满足的微分方程F (x, y, y ′ ) = 0 从而，α ̸= π 2 时的等角轨线方程： F (x, y1 , 当α = π 2 时的正交轨线方程： F (x, y1 , − 1 ′ )=0 y1
′ −k y1 ′ )=0 1 + ky1
例：求直线束y = Cx的等角轨线和正交轨线 解：首先求直线束满足的微分方程 将y = Cx两端求导，得y ′ = C ，则 { y = Cx y′ = C 从而，得直线束的微分方程 dy y = dx x 1、当φ ̸= π 2 时，等角轨线的方程： y′ − k y = ′ 1 + ky x 或 xdx + ydy = 即 xdx + ydy 1 xdy − ydx = 2 2 x +y k x2 + y 2 积分，得 1 1 y ln(x2 + y 2 ) = arctan + lnC 2 k x 或 √ x2 + y 2 = Ce k arctan x 2 email:teacherxi@
常微分方程课件--一阶微分方程的应用
样的曲线族（2.7.2）是已知曲线族（2.7.1）的
等角轨线族（2.7.1）的
正交轨线族。
y kx 0是曲线族 x 2 y 2 C 2 0 例如：曲线族
的正交轨线族。
y Cx 2的正交轨线族。 例2.7.1求抛物线族
解：对方程两边关于x求导得 dy 2Cx dx y Cx 2解出C代入上式得曲线族 y Cx 2 由
2.我国人口的发展预测 设 N (t ) 为t时刻我国人口的总数，且设N (t )是连 续可微函数，在 [t , t t ] 区间内人口的改变有
Nt t Nt bNt t dNt t
上式同除以 t 令 t 0得
r bd
dN rN , N (t0 ) N 0 （2.7.9） dt b为生育率，d为死亡率
（2.7.9）称为人口增长的Malthus模型
求解初始值问题（2.7.9）得
N (t ) N0e
r ( t t0 )
模型的优缺点： 优点：可以做大体预测，经济有效。
r 缺点：作为长期预测不合理， 0 时人口按指数
N 级增长，当 t t0 充分大时， (t ) 就大得令
人难以置信，故需要对模型修改。
在点( x, y )处切线斜率为 dy 2 y dx x
y Cx 2 中的曲线在( x, y ) 由于所求曲线族的曲线与
正交，故满足方程
dy x dx 2y y Cx 2的正交 这是一个变量可分离方程求解得
曲线族为
x 2y k
2 2
2
y
这是一个椭圆，如右图
x
放大此图 图2.16
y
x
图 2.16
§2.7一阶微分方程的应用 1.曲线族的等角轨线
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
xx工程学院理学院
四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
xx工程学院理学院
2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
6-4-一阶线性微分方程的应用举例
由（4）式可以看出，随着时间 t 的增大，速度 v 逐
渐接近于常数 mg , 且不会超过mg ，也就是说，跳伞后开
k
k
始阶段是加速度运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例 3 一曲线过点（3，4），在该曲线上任意点处的 切线在 y 轴上的截距恰等于原点（0，0）到该点的距离.
解 i）列方程并确定初始条件
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（其中 a 为加速度），得3)
dt
按题意，处始条件为
ii）求通解
v 0 t0
方程（3）是可分离变量后，得
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件；
(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解；
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
作业
P231 1, 3
Qdp
已知该商品的最大需求量为1200，故得初始条件Q p0 1200.
(ii) 求通解.
dQ Q
ln
3
dp,
ln Q p ln 3 C1
即所求通解为
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究一阶线性常微分方程是微积分中的重要内容，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍一阶线性常微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下什么是一阶线性常微分方程。
一阶线性常微分方程是指形如dy/dt + p(t)y = q(t)的微分方程，其中p(t)和q(t)是给定的连续函数。
解一阶线性常微分方程的方法之一是分离变量法。
首先将方程变形为dy/y = -p(t)dt，然后对两边同时积分，得到ln|y| = -∫p(t)dt + C，其中C为常数。
再通过对数的性质，得到y = Ce^(-∫p(t)dt)，其中C为任意常数。
另一种解一阶线性常微分方程的方法是常数变易法。
假设方程的解为y =u(t)e^(∫p(t)dt)，将其代入原方程后化简可以得到对于函数u(t)的一个关系式，通过求解这个函数关系式可以得到原方程的解。
除了以上两种方法外，还有一种更一般的解法，即利用积分因子法。
积分因子的定义为μ(t) = e^∫p(t)dt，将方程两边同时乘以积分因子，可以将原方程化为d(μ(t)y)/dt = μ(t)q(t)，然后对方程两边同时积分，最后可以得到y =(1/μ(t))(∫μ(t)q(t)dt + C)，其中C为常数。
除了以上介绍的解法，还有一些特殊类型的一阶线性常微分方程可以通过其他方法解决，比如可分离变量、恰当微分方程等。
在具体问题中，我们可以根据方程的形式选择适当的解法。
一阶线性常微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，一阶线性常微分方程经常被用于描述一些物理过程，比如弹簧振动、电路中的电流变化等。
在经济学中，一阶线性常微分方程也被广泛用于建模，比如描述投资增长、人口增长等经济现象。
此外，在工程学、生物学等领域中，一阶线性常微分方程也有许多应用。
例如，在电路中，根据基尔霍夫定律可以得到电路中的电流满足一阶线性常微分方程。
通过解这个微分方程，可以得到电路中电流的变化规律，进而帮助工程师设计电路、解决电路中的问题。
一阶微分方程应用举例
t i1
?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
研究解的性质
模型4
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
SIR模型
消去dt
/
1 di 1 s ds i i0 ss
0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
1 s s0
P2
im
s 1 / , i im
P1 P3
s 满足 s 0 i 0 s
ln
0
0
s
S0 1 /
s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
一阶微分方程的应用
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
例1混合溶液问题
问题 设有一容器，内有100升盐水，其中含盐50 克。要将浓度为2克/升的盐水以流速3升/分 钟注入容器内，同时将搅拌均匀的混合物 以流速2 升/分从容器内流出。试求30分钟 后容器内所含的盐量。
di i (1 i ) i dt i (0 ) i 0
一阶微分方程的应用
正交，故满足方程 dy x dx 2 y
这是一个变量可分离方程求解得 y C x 2的正交
曲线族为
x2 2y2 k2
y
这是一个椭圆，如右图
放大此图
•第一章一阶微分方程的应用
x
图2.16
y
x
•第一章一阶微分方程的应用
应用二： 雨滴的下落
考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速 度的变化
三种不同的假设 (1) 自由落体运动 (2) 小阻力的情况 (3) 大阻力的情况
Solution: exponential growth):
•第一章一阶微分方程的应用
Model 3: Population dynamics Logistic Growth
• An exponential model y' = ry, with solution y = e^{rt}, predicts unlimited growth, with rate r > 0 independent of population.
•第一章一阶微分方程的应用
Qualitative analysis of the logistic equation
• To better understand the nature of solutions to autonomous equations y’= f(y), we start by graphing f (y) vs. y. • In the case of logistic growth, that means graphing the following function and analyzing its graph using calculus.
常微分方程一阶常微分方程的解法和应用
常微分方程一阶常微分方程的解法和应用常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
一阶常微分方程是其中最基础的一类方程，本文将讨论一阶常微分方程的解法以及应用。
一、解法1. 可分离变量法可分离变量法适用于一阶常微分方程可以分离为两个只含有自变量和因变量的函数之积的情况。
具体步骤如下：（1）对方程两边进行化简，将自变量和因变量分离；（2）对两边分别求积分，得到两个方程；（3）将两个方程合并，并对其求解得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于一阶常微分方程可以化为形如dy/dx=f(y/x)的方程。
具体步骤如下：（1）令y=vx，将原方程转化为v和x的方程；（2）对新方程进行求导，并将结果代入原方程中同样的位置，化简得到一个关于v和x的常微分方程；（3）求解新方程，得到v和x的关系；（4）将v和x的关系代入y=vx，得到解。
3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的方程。
具体步骤如下：（1）根据线性方程的特点，先求解对应的齐次线性方程；（2）利用待定系数法，设待求特解的形式，并代入原方程，确定待定系数；（3）将特解和齐次线性方程的通解相加，得到原方程的整体通解。
二、应用1. 自然增长和衰减模型在生物学领域中，许多生物种群的增长或衰减遵循一阶常微分方程。
例如，自然增长模型可以表示为dy/dt=k*y，其中y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
通过求解这一方程，可以得到种群数量随时间的变化规律。
2. RC电路的充电和放电模型在电工学领域中，一阶常微分方程被广泛用于描述电容器和电阻器组成的RC电路中的充电和放电过程。
例如，对于一个充电电路，方程可以表示为dQ/dt=(V-Vc)/RC，其中Q表示电荷量，V为电压，Vc为电容器上的电压，R为电阻，C为电容。
通过求解这一方程，可以了解电容器上电压的变化。
一阶微分方程的解法及应用
x
由初始条件 y(0) 0, y(0) 3 , 得
2
C1 1, C2 1
故所求初值问题的解为
y ex ex 1 sin x 2
二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律
建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件
v0 2R g 2 63105 9.81 11.2 103 (m s)
这说明第二宇宙速度为 11.2 km s
例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
提示: 设每分钟应输入
t 时刻车间空气中含
则在 [t , t t ]内车间内 的改变量为
x
k
0.04 t 100
k
x t 5400
两端除以 t , 并令 t 0
得微分方程
初始条件
解定解问题
dx k x k d t 5400 2500 x t 0 0.12 54
得
k= ?
t = 30 时 x 0.06 5400 0.06 54 100
2
x
,
x
2
例2.
且满足方程
x
f ( x) sin x 0 ( x t) f (t)dt
求 f (x) .
提示: f (x) sin x x 0x f (t) dt 0xt f (t) dt, 则
f
(x)
cos
x
x
0
f
(t)dt
x
f
(x)
x
f
(x)
f (x) sin x f (x)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x) g2(x) f 2(x) [g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x) (2ex )2 2F(x)
一阶常微分方程的解法与应用
一阶常微分方程的解法与应用一阶常微分方程是微积分中的重要概念，它描述了变量的变化率与其本身的函数关系。
在物理学、工程学和经济学等领域中，一阶常微分方程的解法与应用广泛存在。
本文将介绍一阶常微分方程的解法和一些典型的应用案例。
一阶常微分方程的解法有多种方法。
其中最基本的方法是分离变量法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分开，使得左边只包含自变量的函数，右边只包含因变量的函数。
然后对两边分别进行积分，得到方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = x^2。
我们可以将方程中的变量分离，得到dy = x^2 dx。
然后对两边分别进行积分，得到y = x^3/3 + C，其中C为积分常数。
这个解表示了方程的通解，含有一个未知常数C。
除了分离变量法，还有一些其他的解法，例如常系数线性微分方程的解法。
常系数线性微分方程具有形式dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数。
对于这种形式的微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是先猜测方程的一个特解，然后将特解代入原方程中，得到一个关于未知常数的方程。
通过求解这个方程，可以得到特解，并加上通解的形式，得到方程的整体解。
一阶常微分方程的应用广泛存在于各个领域。
以下将介绍一些常见的应用案例。
首先，一阶常微分方程在物理学中具有广泛的应用。
例如，在牛顿第二定律中，物体的加速度与其所受的力和质量之间存在着一阶常微分方程的关系。
通过解这个方程，可以得到物体的运动轨迹和速度等相关信息。
其次，在生物学中，一阶常微分方程也起到重要的作用。
例如，在人口增长模型中，人口的增长率与人口数量之间存在一阶常微分方程的关系。
通过解这个方程，可以预测未来的人口数量及其增长趋势。
此外，一阶常微分方程还在经济学中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，季节性变动、经济增长和投资回报等现象都可以用一阶常微分方程来描述。
通过解这些方程，可以分析经济趋势和制定相应的政策。
一阶线性微分方程的解与应用
一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。
它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。
我们的目标是找到其解y(x)。
首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。
接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。
将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。
一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。
这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。
对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。
最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。
至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。
通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。
二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。
比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。
2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。
对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。
3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。
一阶微分方程的意义
一阶微分方程的意义摘要：1.一阶微分方程的定义和基本概念2.一阶微分方程的意义和应用领域3.常见的一阶微分方程类型及求解方法4.一阶微分方程在实际问题中的作用和价值5.总结与展望正文：一、一阶微分方程的定义和基本概念二阶及以下微分方程称为一阶微分方程。
在一阶微分方程中，未知函数的阶数为1，且其导数与未知函数本身之间存在某种关系。
一阶微分方程是微积分学中的基本概念，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
二、一阶微分方程的意义和应用领域1.意义：一阶微分方程是研究函数变化规律的重要工具，它可以描述许多实际问题中的动态过程。
通过求解一阶微分方程，我们可以了解函数在某一段时间内的变化趋势，为预测和控制实际问题提供理论依据。
2.应用领域：一阶微分方程在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律和动量守恒定律都可以表示为一阶微分方程；在经济学中，一阶微分方程可以用来描述货币供应量、物价水平等经济指标的变化；在生物学中，一阶微分方程可以用来模拟生物种群的数量变化等。
三、常见的一阶微分方程类型及求解方法常见的一阶微分方程类型有：线性微分方程、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程等。
求解一阶微分方程的方法有：分离变量法、常数变易法、线性代数法等。
根据具体问题选择合适的求解方法，可以有效地解决实际问题。
四、一阶微分方程在实际问题中的作用和价值一阶微分方程在实际问题中具有重要作用。
通过求解一阶微分方程，我们可以了解动态过程的规律，为实际问题的解决提供理论依据。
例如，在控制系统中，一阶微分方程可以用来分析系统的稳定性和动态性能；在经济学中，一阶微分方程可以帮助我们预测和调控经济指标的变化，为政策制定提供参考。
五、总结与展望总之，一阶微分方程作为微积分学的基本概念，在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
掌握一阶微分方程的定义、求解方法和实际应用，对于解决实际问题具有重要意义。
经济数学微积分一阶微分方程在经济学中的综合应用
而储蓄函数和投资函数为
S
I
1
3t
e10
2
４．关于国民收入与国民债务问题
例 8 某地区在一个已知的时期内国民收入 y 的增长
率为 1 ，国民债务 D 的增长率为国民收入的 1 ，若
10
20
t = 0 时，国民收入为 5(亿元)，国民债务为 0.1(亿
２．分析产量、收入、成本及利润之间的函 数关系
例4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000
条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化
率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养
鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘
内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？
分 离 变 量 :x(t)(d x( t)x(t))kdt
1x1 (t)1 x(t)dx(t)kdt
lna x(xt()t)αktC1(C1为任意)常数
x(x t)(t)ek tC1C2ek(tC2为任意 ) 常
从而可得通解为
x(t)1C C 2e2ek ktt1C ekt(C为 任 意 ) 常
L A (A L 0)e kx
例6 某商场销售成本y 和存储费用s 均是时间t 的函数，随时间t 的增长,销售成本的变化率等于 存储费用的倒数与常数5 的和；而存储费用的变
化率为存储费用的1，若当t=0 时，销售成本 3
y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时间t 的函 数关系及存储费用与时间t 的函数关系.
解：
由 已 知 d y k y ( 1 0 0 0 y ) ,y 1 0 0 ,y 2 5 0
一阶微分方程求解与几何应用
一阶微分方程求解与几何应用一阶微分方程是微分方程中最简单的一类方程，它包含一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶微分方程是微积分学中一个基本的问题，同时也是很多实际问题的描述方式，具有广泛的应用价值。
本文将介绍如何求解一阶微分方程，并探讨其在几何学中的应用。
一阶微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
求解该方程的目标是找到一个或一类函数 y(x)，使得当 x 变化时，y 的导数与 f(x, y) 之间的关系成立。
求解一阶微分方程的常用方法有分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
将方程中的 dy 和 dx 分别移到方程两边，整理后通过变量的代换和积分求解出 y(x)。
2. 齐次方程法：适用于满足齐次性质的一阶微分方程。
通过引入新的变量和代换，将方程化简为可分离变量的形式，再通过分离变量法求解。
3. 线性方程法：适用于一阶线性微分方程。
通过利用线性微分方程的性质，将方程转化为一个更简单的形式，并求解得到 y(x)。
在几何学中，微分方程也有重要的应用。
1. 曲线的切线与法线：对于给定的曲线方程 y = f(x)，可以通过求解方程 dy/dx = f'(x) 来得到曲线上每个点的切线斜率。
切线的斜率即为微分方程右侧的函数 f(x) 的导数。
同样地，法线的斜率为切线斜率的负倒数。
2. 曲线的弧长与曲率：通过一阶微分方程 dy/dx = f'(x) 可以求解曲线的弧长。
利用微分的概念，将微小的曲线段表示为ds = √(dx² + dy²)，然后将 dx 和 dy 用 f'(x)表示，进行积分即可得到曲线的弧长。
曲率则是曲线上某一点的切线与曲线的夹角，在微积分中可以通过求解方程 d²y/dx² = f''(x)/[1+(f'(x))²]^(3/2) 来计算。
一阶微分方程解法与应用
一阶微分方程解法与应用在数学领域中，微分方程是一种描述变量之间关系的数学方程。
一阶微分方程是其中一种常见的形式，它可用来描述一个未知函数的导数与该函数自身之间的关系。
解一阶微分方程是一项重要的数学技巧，它在多个学科领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一阶微分方程的解法以及其在实际应用中的例子。
1. 分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将方程中的变量分开，使得等式两边可以分别关于各自的变量进行积分。
以下是分离变量法的步骤：步骤1：将方程中的未知函数和其导数项分离。
步骤2：将两边的表达式分别关于各自的变量进行积分。
步骤3：解出方程中的未知函数。
步骤4：确定解的范围和常数。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = x^2。
按照分离变量法，我们可以进行如下操作：dy = x^2 dx （将未知函数和导数项分离）∫dy = ∫x^2 dx （两边分别积分）y = (1/3)x^3 + C （解出未知函数，C为常数）2. 齐次微分方程对于形如dy/dx = f(x)/g(y)的齐次微分方程，可通过变量代换来化简求解。
一般而言，令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
将此代入齐次微分方程中可以得到一个只包含v和x的方程。
解出v之后，再通过v =y/x求得y的表达式。
例如，考虑一阶齐次微分方程dy/dx = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)。
按照变量代换的方法，我们进行如下步骤：令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
代入齐次微分方程中可得：dv/dx - v/x = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)整理方程，得到：x dv/dx = (3x^2 + 2xy)/(2 + v^2) - v将分子中的2xy转化为v^2x^2，整理可得：x dv/dx = (3v^2 - 1)/(2 + v^2)对方程进行分离变量和积分后，可得到v的表达式。
一阶微分方程的应用举例
dT 由牛顿冷却定律，得 k (T 20)， dt dT 分离变量，得 kdt， T 20
dT 两端积分，得 kdt， T 20
即 ln(T 20) lne
kt
ln C ln(Ce
kT
)
(C为任意常数)，
所求通解为 T 20 Ce kt .
(2)求水温自 100℃降至30℃所需的时间 在上式中，令T 30，代入得 30 ＝ 20 80e 0.138 6t，
3 ln 2 t 15(min). 0.1386
例2 设质量为m的降落伞从飞机上落下后，所受空气阻
力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时(t 0)速度为 零，求降落伞下落的速度与时间的函数关系 .
解 设降落伞下落速度为v(t )，
其所受力为 F mg-kv，
由牛顿第二定律得 F ma， dv 其中a为运动加速度 ， dt
dv dv dt ， m mg kv ， mg-kv m dt
k t (1 e m ).
mg 所求特解为v k
例3 把温度为100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃ 的环境中自然冷却，经5min时测得水温为60℃.试求 (1)水温T(℃)与时间t(min)之间的函数关系；
(2)问水温自100℃降至30℃所需的时间.
解 这是一个热力学中的冷却
问题.取t 0为沸水冷却开 始的时刻，设经t分钟时水 温为T℃，即T T (t ).此 dT 时水温下降的速度为 ， dt
第四节 一阶微分方程的应用举例
例1 一曲线通过点(1,2)，它在两坐标轴间的任意切线
线段均被切点所平分，求这曲线的方程.
解 (i)建立微分方程并确定初 值条件.
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一阶微分方程的应用
（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.
步骤:
利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.
),(y x M y x
o 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.
提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为
x
x y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '
=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用
2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.
mg
)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =
（2）热学
例3 发动机冷却系统设计
(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)
dt
T T k dt dT e )(-+=α.
之间的关系与试建立发动机温度t T ,
),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α
例4. 已知某车间的容积为
的新鲜空气
问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空
的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含
则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t
∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程
t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-5400
5400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为
t = 30时5406.05400100
06.0⨯=⨯=x 250
4ln 180≈=k 2500
5400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x
解定解问题因此每分钟应至少输入250 3
m 新鲜空气.初始条件
得k = ?
（3）电学
例5 ~R
L K
)(t i t
E E m ω=sin 0)(=--+iR dt
di L E ).
(t i R L 串联电路，求下图为一个-
（4）原子物理
例6 铀的衰变规律
M dt
dM λ-=.
,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===
3、其它例7 种群增长模型
2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02
N N t N ==>时死亡率ββ
小结
如何建立微分方程?
(1) 利用已知规律
(2) 微元法
(3) 导数积分的几何意义等。