高三数学课件-立体几何课件8 推荐

2．(选修 2－1 P104 练习 T2(3)改编)已知平面 α，β 的法向量分别为
n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( C )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β 相交但不垂直 D．以上均不对
解析：∵n1≠λn2，且 n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α， β 不平行，也不垂直，故选 C.
利用向量法证明平行问题
已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点．求证：FC1∥平面 ADE.
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)． F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ADE 的一个法向量，
解析：对于①，l 可能在平面 α 内，故①为假； 对于②，由 a∥b，即 l∥m，由 a∥u， 则有 l⊥α，∴m⊥α，故②为真； 对于③，由 u∥v，则以 u，v 为法向量的两平面 α，β 平行． 即 u∥v，且 u⊥α，v⊥β， ∴α∥β，故③为真； 对于④，由 a∥u，则 l⊥α，又由 u⊥v， 则 α⊥β，∴l∥β 或 l⊂β，故④为假， ∴②、③为真，故选 B.
3．(选修 2－1 P104 内文改编)已知直线 l，m 的方向向量分别为 a，
b，平面 α，β 的法向量为 u，v，有下列命题：
①若 a⊥u，则 l∥α；②若 a∥b，a∥u 则 m⊥α；
③若 u∥v，则 α∥β；④若 a∥u，u⊥v，则 l⊥β.
其中真命题的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
由 D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，即 2－2t＝0. ∴t＝1，即 E 为 BB1 的中点，故选 A.
5．(选修 2－1 P118A 组 T10 改编)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E、F、G 分别是 DD1，BD，AA1 的中点，求证 D1G∥平 面 EFC.
4．(选修 2－1 P107D-A1B1C1D1 的棱 CD 的中点．E 是 BB1 上一点，若 D1F⊥DE，则有( A ) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝12EB D．E 与 B 重合
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，设正方体棱 长为 2，则 D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)， 且设 E(2,2，t)．则D→1F＝(0,1，－2)，D→E＝(2,2，t)．
证明：取基底{D→A，D→C，D→D1}＝{a，b，c}，由题意有E→C＝E→D＋ D→C＝－12c＋b， E→F＝E→D＋D→F＝－12c＋12a＋12b. G→D1＝G→A1＋A→1D1＝－a＋12c， 设G→D1＝λE→C＋μE→F. 即(－a＋12c)＝λ(－12c＋b)＋μ(－12c＋12a＋12b)，
－1＝12μ， ∴0＝λ＋12μ，
12＝－12λ－12μ.
解得 λ＝1，μ＝－2.
即存在 λ＝1，μ＝－2，使G→D1＝E→C－2→EF， 即G→D1、E→C、E→F共面．又 GD1⊄平面 EFC.∴GD1∥平面 EFC. (提示：此题还有其他两种证明方法：①建立空间直角坐标系，求 出 EFC 的法向量 n，证明 n⊥D→1G；②连接 GB 与 BD1，证明平 面 GBD1∥平面 EFC.)
第八章 立体几何
第7讲 空间向量在证明空间位置关系中的应用
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线 向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为nn··ab＝ ＝00， .
则nn⊥⊥AD→→EA，， 即nn··DA→→EA＝＝22yx＋＝z0＝，0， 解得zx＝＝－0，2y， 令 z＝2，则 y＝－1.所以 n＝(0，－1,2)． 因为F→C1·n＝－2＋2＝0.所以F→C1⊥n. 因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
1．(选修 2－1 P118A 组 T7 改编)已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1， 0,1)．若 ka＋b 与 2a－b 垂直，则 k 的值为( D )
1
2
A.5
B.5
C.35
D.45
解析： ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,1)＝(k－1，k,1)， 2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,1)＝(3,2，－1)， 因为 ka＋b 与 2a－b 垂直． ∴(k－1，k,1)·(3,2，－1)＝0， 即 3k－3＋2k－1＝0， ∴k＝45，故选 D.
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合) ⇔ v1∥v2 .
(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量为 v1 和 v2，则 l∥α 或 l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2 . (3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α ⇔ v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔ u1∥u2 .
1．利用nn··ab＝ ＝00 ，列出关于 n＝(x，y，z)的方程组，即由 x，y， z 为未知数的两个三元一次方程组成的不定方程组，根据其特点令 其中一个为非零实数．即可求出其它两个．例如令 z＝z0(z0≠0)．可 求出 x＝x0，y＝y0，则法向量 n＝(x0，y0，z0)． 2．利用向量方法求解立体几何问题，最后将向量关系“翻译”成 几何元素关系．
3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥ v2⇔ v1·v2＝0 . (2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α ⇔ v∥u . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2 ⇔u1·u2＝0.