初二数学 倍长中线

全等之倍长中线和截长补短

定 义

示例剖析

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．

E

D

A

B

C

其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．

【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．

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例题精讲

题型一：倍长中线

A

B

C

D

【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，

使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．

⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．

【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC

于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．

A

B

P

Q P

M

D

C

B

A

典题精练

E

D

C

B

A

F

E D C

B A M

E

D B

E

D C

B

A

定 义

示例剖析

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

D

C

B

A

在线段AB 上截取AD AC =

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

A

B C D

延长AC ，使得AD AB =

【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大

小．

D C

B A

【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．

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例题精讲

典题精练

题型二：截长补短

D C

B

A

求证：AB BD AC

+=．

【例7】已知：在ABC

△中，AB CD BD

=-，AD BC

⊥，求证：2

B C

∠=∠．

【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A

旋转到BM DN

≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

D C

B

A

⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

D C B A

训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于

F ．求证：BE CF EF +>．

F

E A

B D C

训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上

的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+

训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：

BC AC CD =+．

训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分

∠CDE ．

思维拓展训练(选讲)

F E D C

B A C

E

D B

A

题型一 倍长中线 课后演练

【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什

么？

【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足

90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

题型二 截长补短 课后演练

【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作

60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )

N

E

B M A D

【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：

AC CD AB +=．

复习巩固