第四章4.4.3不同函数增长的差异
4.4.3不同函数增长的差异课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
x
视察图象比较三种函数的增长情况
直线 上升
y8 y=0.25x
7 6 5 4 3 2 1
指数爆炸
y 1.002x
y log 7 x 1
对数安稳
o 200 400 600 800 1000
x
7总结三种函数的增长的差异
(1).在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1) 和y=kx (k>0)都是增函数.
4.探究:在区间[0,+∞）函数 y
差异及对数函数的增长特点
x y lg x y 1 x 10
y
6
1 10
x,
y
y
lg x的增长
1x 10
0 不存在 0
5
4
10 1
1
3
2
20 1.301 2
1
y lg x
30 1.477 3
o 10 20 30 40 50 60
x
40 1.602 4
这两个函数在[0,+∞)上
(2).随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越 快，会远远大于y=kx (k>0)的增长速度.
(3).随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越来 越慢，会远远小于y=kx (k>0)的增长速度.
总存在一个x0，当x>x0时，就有
logax<kx<ax
8巩固练习
1).四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下
40 10×4
40 10×5
方案三 0.4 0.4×2 0.4×22 0.4×23 0.4×24
则方案一可以用函数_ y______4__0__(_x______N_____) 描述
4.4.3不同增长函数的差异课件(人教版)
y
1
x 比较，仍有
10
上面规律吗？先想象一下，仍然有.
y
14770
12660
10550
8440
6330
4220
2110
O
2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 16880 18990 21100 23210 25320 27430 29540 31650 33760 35870 37980 40090 42200 44310 46420 48530 50640 52750
1
1
1
1
10 1， 100 10， 1000 100， 10000 1000，
10
10
10
10
这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比 y
1
x 相比增长得就很慢了.
10
y
6
y
5
1
x
10
4
3
y=lgx
2
1
O
10
20 30 40
50 60
x
思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时,通常是视察函
数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函
数;图象趋于平缓的函数是对数函数;图象呈直线上升的函数是一次函数.
[例3] 某化工厂开发研制了一种新产品,前三个月的月产量依次为100 t,
坐标系内描点,根据点的变化趋势确定函数模型特征求解.
课堂达标
1.已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表所示:
第四章4.44.4.3不同函数增长的差异
不一样函数增添的差别课标要求修养要求1.理解函数模型是描绘客观世界中变量关系和规律的重要工具 .2.在实质情境中，会选择适合的函数类经过本节内容的学习，使学生领会常有型刻画现实问题的变化规律.函数的变化异同，提高学生数学抽象、3.比较对数函数、一元一次函数、指数数学建模等修养 .函数增添速度的差别，理解“ 对数增长” 、“直线上涨”、“ 指数爆炸”等术语的现实含义 .教材知识研究澳大利亚兔子数“爆炸”：1859 年，有人从欧洲带进澳洲几个兔子，因为澳洲有旺盛的牧草，并且没有兔子的天敌，兔子的数目在不到 100 年内达到 75 亿只，饲养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年月，科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人材算松了一口气 .兔子为何会这样快地从几个增添到 75 亿只呢？本来在理想的环境中，种群数目呈指数增添；在有限制的环境中，种群数目的增添为对数增添 .问题指数函数、对数函数底数大于 1 时增添快慢有什么规律？提示都是增函数，而 y＝ a x(a>1)增添速度愈来愈快； y＝log a x(a>1)在(0，＋∞) 上增添速度特别迟缓 .三种常有函数模型的增添差别对照三类函数的增添速度，熟记图象变化规律函数xay ＝kx(k>0) 性质y ＝a (a>1)y ＝log x(a>1)在(0，＋∞ )上的增增函数增函数增函数减性随 x 的增大渐渐变随 x 的增大渐渐趋于图象的变化“陡”稳固增添速度不变形象描绘 指数爆炸对数增添直线上涨增添速度y ＝a x (a>1)的增添速度最后都会大大超出 y ＝ kx(k>0)的增添速度；总存在一个 x 0，当 x>x 0 时，恒有 alog x<kx 增添结果存在一个 x 0，当 x>x 0时，有 a x >kx>log a x教材拓展补遗[ 微判断 ]1.当 x 每增添一个单位时， y 增添或减少的量为定值，则y 是 x 的一次函数 .(√ )2.函数 y ＝log 2x 增添的速度愈来愈慢 .(√)3.不存在一个实数 m ，使适当 x>m 时， 1.1x >x 100.(×)提示依据指数函数和幂函数增添速度的比较可知存在一个实数 m ，使适当 x>m时， 1.1x >x 100.[ 微训练 ]1.某企业为了适应市场需求对产品构造进行了重要调整，调整后早期利润增添迅速，以后增添愈来愈慢， 若要成立适合的函数模型来反应该企业调整后利润 y 与时间 x 的关系，可采纳 ()A. 一次函数B.二次函数C.指数型函数D. 对数型函数分析 对数函数的增添速度是先快后慢，故 D 切合题意 . 答案 D函数 ＝ x 2与函数 y ＝ ln x 在区间 (0，＋∞ )上增添较快的是 ________.2. y分析作出 y ＝x 2与 y ＝ln x 的图象，经过比较图象可得 . 答案y ＝x 2[ 微思虑 ]函数 y 1＝ 3 与函数 2 x，当 x 从 1 增添到 m 时，函数的增量分别是y 11. log x y ＝3 与 y 2 ，则依据两类函数的增添差别， y 1 与 y 2 的大小关系怎样？提示因为对数函数在x>1 后的增添速度小于指数函数的增添速度，所以y 1< y 2.2.在区间 (0，＋∞ )上，当 a>1，n>0 时，能否总有 log a x<x n <a x 成立？ 提示 不是，但总存在 x 0，使适当 ， n>0 ， x>x 0 时， a n x 成立 .a>1 log x<x <a题型一 几类函数模型的增添差别【例 1】 (1)以下函数中，增添速度最快的是 () 指数函数增添呈 “爆炸性 ”增添趋向 A. y ＝2 019x B. y ＝x 2 019 C.y ＝log 2 019xD. y ＝2 019x(2)四个自变量 y 1，y 2，y 3， y 4 随变量 x 变化的数据以下表：x1 5 10 15 20 25 30 y226101226401626901 1y 2 2 32 1 024 32 768 1.05×1063.36× 1071.07× 109y 21020304050603 y2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.9074则对于 x 呈指数型函数变化的变量是 ________.分析(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增添速度最快，应选 A.(2)以爆炸式增添的变量呈指数函数变化 .从表格中能够看出，四个变量 y 1，y 2，y 3， y 4 均是从 2 开始变化，且都是愈来愈大，可是增添速度不一样，此中变量 y 2 的增添速度最快， 画出它们的图象 (图略 )，可知变量 y 2 对于 x 呈指数型函数变化 .答案(1)A (2)y 2规律方法 常有的函数模型及增添特色(1)线性函数模型：线性函数模型y ＝kx ＋ b(k>0)的增添特色是直线上涨，其增添速度不变 .(2)指数函数模型：能用指数型函数 f(x)＝ab x ＋ c(a ，b ，c 为常数， a>0，b>1)表达的函数模型，其增添特色是跟着自变量x 的增大，函数值增添的速度愈来愈快，常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlog a x＋n(m，n，a 为常数， m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增添的特色是开始阶段增添得较快，但跟着x 的渐渐增大，其函数值变化得愈来愈慢，常称之为“蜗牛式增添”.(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数， a≠ 0，α≠ 1)表达的函数模型，其增添状况由 a 和α的取值确立 .【训练 1】以下函数中随 x 的增大而增添速度最快的是 ()1 xB. y＝100 ln xA. y＝100eC.y＝x100D. y＝100·2x分析指数函数 y＝ a x，在 a>1 时呈爆炸式增添，并且 a 值越大，增添速度越快，应选 A.答案 A题型二指数函数、对数函数与幂函数模型的增添比较【例 2】函数 f(x)＝2x和 g(x)＝ x3的图象以下图 .设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2， y2 )，且 x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)联合函数图象，判断f(6)，g(6)， f(2 019)，g(2 019)的大小 .函数的图象是解决此问题的重点解(1)C1对应的函数为 g(x)＝ x3，C2对应的函数为 f(x)＝ 2x.(2)因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以 1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 019>x2，从图象上能够看出，当 x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以 f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以 f(2 019)>g(2 019).又因为 g(2 019)>g(6)，所以 f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).【迁徙 1】(变换条件 )在例 2 中，若将“函数 f(x)＝2x”改为“ f(x)＝ 3x”，又如何求解第 (1)问呢？解由图象的变化趋向以及指数函数和幂函数的增添速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为 f(x)＝3x.【迁徙 2】(变换所求 )本例条件不变，例2(2)问中所求改为：试联合图象，判断f(8)，g(8)， f(2 020)，g(2 020)的大小 .解因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以 1<x1<2，9<x2<10，所以 x1<8<x2，2 020>x2，从图象上能够看出，当 x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以 f(8)<g(8)，当x>x2时， f(x)>g(x)，所以 f(2 020)>g(2 020)，又因为 g(2 020)>g(8)，所以 f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8).规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法依据图象判断增添型的指数函数、对数函数和幂函数时，往常是察看函数图象上涨的快慢，即跟着自变量的增添，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于缓和的函数是对数函数 .【训练 2】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象以下图.(1)指出曲线 C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增添差别(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较 ). 解(1)由题图知， C1对应的函数为 g(x)＝0.3x－ 1， C2对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 x∈(0， x1)时， g(x)>f(x)；当 x∈(x1， x2)时， g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时， g(x)>f(x).题型三函数模型的选择问题充分利用题目中给出的数进行推理考证【例 3】某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量挨次为100 t，120t，130 t.为了展望此后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依照，用一个函数来模拟月产量 y 与月序数 x 之间的关系 .对此模拟函数可采纳二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 均为待定系数， x∈N* )或函数 y＝g(x)＝pq x＋r(p，q，r 均为待定系数， x∈ N* )，此刻已知该厂这类新产品在第四个月的月产量为137t，则采纳这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？f（1）＝ a＋ b＋ c＝100，依据题意可列方程组f（2）＝4a＋2b＋c＝120，f（3）＝ 9a＋3b＋c＝ 130.a＝－ 5，解得b＝35，c＝ 70.所以 y＝f(x)＝－ 5x2＋ 35x＋ 70.①x同理 y＝g(x)＝－ 80×0.5 ＋140.②再将 x＝4 分别代入①式与②式得f(4)＝－ 5× 42＋35×4＋ 70＝130(t)，g(4)＝－ 80×0.54＋ 140＝135(t).与 f(4)对比， g(4)在数值上更加靠近第四个月的实质月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，应采纳函数 y＝ g(x)＝pq x＋r 作为模拟函数较好 .规律方法成立函数模型应按照的三个原则(1)简化原则：成立函数模型，原型必定要简化，抓主要要素，主要变量，尽量成立较低阶、较简易的模型.(2)可推演原则：成立模型，必定要存心义，既能作理论剖析，又能计算、推理，且能得出正确结论 .(3)反应性原则：成立模型，应与原型拥有“ 相像性”，所得模型的解应拥有说明问题的功能，能回到详细问题中解决问题.【训练3】某债券市场刊行三种债券， A 种面值为100 元，一年到期本息和为103 元； B 种面值为50 元，半年到期本息和为51.4 元； C 种面值为100 元，但买入价为 97 元，一年到期本息和为100 元.作为购置者，剖析这三种债券的利润，假如只好购置一种债券，你认为应购置哪一种？解 A 种债券的利润是每 100 元一年到期利润 3 元； B 种债券的半年利率为51.4－50 － 2，所以 100 元一年到期的本息和为100 ＋51.4 50 ≈105.68(元 )，收50 1 50益为 5.68 元； C 种债券的利率为100－97， 100 元一年到期的本息和为 97100 ＋100－97 ≈103.09(元)，利润为 3.09 元.经过以上剖析，应购置 B 种债券 .197一、修养落地1.经过选择适合的函数模型刻画现实问题的变化规律提高数学建模修养，经过三类函数增添速度的差别的比较及理解数学术语的含义提高数学抽象修养.2.几种函数模型的选用(1)当增添速度变化很快时，经常采纳指数函数模型.(2)当要求不停增添，但又不会增添过快，也不会增添到很大时，经常采纳对数函数模型 .(3)当要求增添速度比较均匀，经常采纳一次函数模型.(4)幂函数模型 y＝ x n(n>0)，则能够描绘增添幅度不一样的变化： n 值较小 (n≤ 1)时，增添较慢； n 值较大 (n>1)时，增添较快 .二、修养训练1.以下函数中随A.y＝e xC.y＝x1 000x 的增添而增添最快的是 ()B. y＝ln xxD. y＝2答案 A2.能使不等式 log2x<x2 <2x必定成立的 x 的取值区间是 ()A.(0 ，＋∞ )B.(2 ，＋∞ )C.(－∞， 2)D.(4 ，＋∞ )答案 D3.以下选项是四种买卖预期的利润y 对于时间 x 的函数，从足够长久的角度看，更加有前程的买卖是 ________(填序号 ).①y＝10×1.05x；② y＝20＋x1.5；③ y＝30＋ lg(x＋1)；④ y＝50.答案①4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地址出发，行程s 与时间 t 的函数关系如图所示，则以下说法正确的选项是________(填序号 ).①甲比乙先出发；②乙比甲跑的行程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先抵达终点 .分析 由图知，甲、乙两人 s 与 t 的关系均为直线上涨， 行程 s 的增添速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快 .又甲、乙的行程 s 取值范围相同，即跑了相同的行程，故甲用时少，先到终点 . 答案 ④5.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获取的利润分别是 p 万元和 q 万元，它们与投入资本 m(万元 )的关系式为 p ＝1 ， ＝3m. 今有 3 万元资本投入这两5m q5种商品 .若设甲商品投资 x 万元，投资两种商品所获取的总利润为 y 万元 .(1)写出 y 对于 x 的函数表达式；(2)怎样分派资本可使获取的总利润最大？并求最大利润的值.解 (1)由题意知，对甲种商品投资 x 万元，获总利润为 y 万元，则对乙种商品的投资为 (3－x)万元，13所以 y ＝5x ＋ 5· 3－ x(0≤ x ≤ 3).(2)令 t ＝ 3－x(0≤t ≤ 3)， 则 x ＝3－ t 2，13所以 y ＝5(3－t 2)＋ 5t13 221＝－ 5 t － 2 ＋20，所以当 t ＝3时， y max ＝21＝ 1.05(万元 ).220由 t ＝ 3－ x ＝3可求得 x ＝0.75(万元 )，3－x ＝2.25(万元 )，2所认为了获取最大利润， 对甲、乙两种商品的资本投入应分别为 0.75 万元和 2.25万元，此时获取最大利润为 1.05 万元 .基础达标一、选择题1.当 x 愈来愈大时，以下函数中，增添速度最快的应是( )A. y ＝5xB. y ＝log 5xC.y ＝x 5D. y ＝5x分析几种函数模型中，指数函数增添最快，应选 D.答案D2.如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x 4 5 6 7 8 9 10y15171921232527A. 一次函数模型B. 二次函数模型C.指数函数模型D. 对数函数模型分析 跟着自变量每增添 1 函数值增添 2，函数值的增量是均匀的，故为线性函 数即一次函数模型 .应选 A. 答案 A3.某林区的丛林积蓄量每年比上一年均匀增添 10.4%，要增添到本来的 x 倍，需 经过 y 年，则函数 y ＝f(x)的图象大概是 ()分析 设该林区的丛林原有积蓄量为 a ，由题意， ax ＝a(1＋0.104)y ，故 y ＝ log 1.104 ≥ 1) ，x(x∴ y ＝f(x)的图象大概为 D 中图象 . 答案 D4.当 x ， x 2，log 2 的大小关系是( )2<x<4 时， 2 xA.2x >x 2>log 2xB. x 2>2x >log 2xC.2x>log2x>x2D. x2>log2x>2x分析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝ x2，y＝2x的图象 (图略 )，在区间(2，4)上从上往下挨次是y＝ x2，y＝2x，y＝log2x 的图象，所以x2>2x>log2 x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，能够采纳特别值代入法 .可取 x＝3，经查验易知选 B.答案 B5.下边对函数f(x)＝log 1x，g(x)＝1 x2与1－2法正确的选项是( )A. f(x)衰减速度愈来愈慢， g(x)衰减速度愈来愈快， h(x)衰减速度愈来愈慢B.f(x)衰减速度愈来愈快， g(x)衰减速度愈来愈慢， h(x)衰减速度愈来愈快C.f(x)衰减速度愈来愈慢， g(x)衰减速度愈来愈慢， h(x)衰减速度愈来愈慢D.f(x)衰减速度愈来愈快， g(x)衰减速度愈来愈快， h(x)衰减速度愈来愈快1 x－1分析察看函数 f(x)＝log1x，g(x)＝2 与 h(x)＝x 2在区间 (0，＋∞ )上的大概图2象如图，可知：函数 f(x)的图象在区间 (0，1)上递减较快，但递减速度渐渐变慢；在区间 (1，＋∞)上，递减较慢，且愈来愈慢；相同，函数 g(x)的图象在区间 (0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度愈来愈慢；函数 h(x)的图象在区间 (0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间 (1，＋∞ )上，递减较慢，且愈来愈慢，应选 C.答案 C二、填空题＝ 2 与函数 y＝ xln x 在区间 (0，＋∞ )上增添较快的一个是 ________.6.函数 y x分析当 x 变大时， x 比 ln x 增添要快，∴ x2要比 xln x 增添的要快 .答案y＝x27.三个变量 y ，y ， y 随变量 x 的变化状况如表：1 2 3x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40此中对于x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.分析依据三种模型的变化特色，察看表中数据可知， y2跟着 x 的增大而快速增加，呈指数函数型变化， y3跟着 x 的增大而增大，但变化迟缓，呈对数函数型变化， y1相对于 y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.答案y3y2y18.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其行程f i(x)(i＝1，2，3，4)对于时间 x(x≥ 0)的函数关系式分别为f1 (x)＝ 2x－1，f2(x)＝x2， f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：①当 x>1 时，甲走在最前面；②当 x>1 时，乙走在最前面；③当 0<x<1 时，丁走在最前面，当 x>1 时，丁走在最后边；④丙不行能走在最前面，也不行能走在最后边；⑤假如它们向来运动下去，最后走在最前面的是甲 .此中，正确结论的序号为________.分析四个函数的大概图象以下图，依据图象易知，③④⑤正确.答案③④⑤三、解答题9.有一种树木栽种五年后可成材.在栽种后五年内，年增添 20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增添10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽种五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽种五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年内哪一个方案能够获取许多的木材？解设树林最先栽种量为 a，甲方案在 10 年后树木产量为 y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈ 4a.乙方案在 10 年后树木产量为：y2＝ 2a(1＋20%)5＝2a× 1.25≈4.98a.y1－ y2＝4a－ 4.98a<0，所以，乙方案能获取更多的木材(不考虑最先的树苗成本，只按成材的树木计算 ).10.我国的烟花名目众多，花色品种繁琐 .此中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是希望在它达到最高点时爆裂，经过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度 h(单位：米)与时间 t(单位：秒)存在函数关系，并获取有关数据以下表：1时间 t2 42高度 h102517(1)依据上表数据，从以下函数中，选用一个函数描绘该型烟花爆裂时距地面的高度 h 与时间 t 的变化关系； y1＝kt＋ b，y2＝ at2＋ bt＋c，y3＝ab t，确立此函数解析式，并简单说明原因；(2)利用你选用的函数，判断烟花爆裂的最正确时刻，并求出此时烟花距地面的高度.解(1)由表中数据剖析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上涨再降落的趋向，则在给定的三类函数中，只有 y2可能知足，应选用该函数 .1 110＝4a＋2b＋c，设h(t)＝at2＋bt＋c，有25＝4a＋2b＋c，17＝16a＋4b＋ca＝－ 4，b＝20，c＝1.∴h(t)＝－ 4t2＋20t＋1(t≥ 0).(2)h(t)＝－ 4t2＋20t ＋15 2＝－ 4(t2－5t)＋1＝－ 4 t－2 ＋26，∴ 当烟花冲出后2.5 s 时是爆裂的最正确时刻，此时烟花距地面的高度为26 米.能力提高11.有甲、乙两家健身中心，两家设施和服务都相当，但收费方式不一样.甲中心每小时 5 元；乙中心按月计费，一个月中30 小时之内 (含 30 小时 )90 元，超出 30 小时的部分每小时 2 元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间许多于15 小时，也不超出40 小时 .(1)设在甲中心健身活动x 小时的收费为 f(x)元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g(x)元，试求 f(x)和 g(x)；(2)选择哪家比较合算？为何？解(1)f(x)＝ 5x，15≤ x≤ 40，90，15≤ x≤30，g(x)＝30＋2x， 30<x≤40.(2)当 5x＝90 时， x＝18，即当 15≤x<18 时， f(x)<g(x)；当x＝18 时， f(x)＝g(x)，当18<x≤40 时， f(x)>g(x)；所以当 15≤x<18 时，选甲比较合算；当x＝18 时，两家相同合算；当18<x≤40 时，选乙比较合算 .12.已知函数 y＝f(x)是函数 y＝log2x 的反函数 .(1)求 y＝f(x)的分析式；(2)若 x∈(0，＋∞ )，试分别写出使不等式：①log2 x<2x<x2；② log2 x<x2<2x成立的自变量 x 的取值范围；(3)求不等式 log a(x－3)>log a(5－x)的解集 .解(1)∵函数 y＝ f(x)是函数 y＝ log2x 的反函数，∴ f(x)＝ 2x.x2 2 (2)作出函数 y＝2 ， y＝ x ，y＝ log2x 在同向来角坐标系中的图象，可得： 2 ＝4，①∵ log2x<2x<x2，∴ 2<x<4，解集为 (2， 4)；②∵ log2x<x2<2x，∴ 0<x<2 或 x>4，解集为 (0， 2)∪(4，＋∞).(3)由 log a(x－3)>log a(5－x)得，x－ 3>0，当 a>1 时，5－x>0，解得4<x<5，x－ 3>5－x，x－3>0，当0<a<1 时， 5－x>0，x－3<5－ x，解得 3<x<4，所以，当 a>1 时，原不等式的解集为 (4， 5)，当 0<a<1 时，原不等式的解集为 (3，4).。
20-21 第4章 4.4 第3课时 不同函数增长的差异
保持固定增长速 度
层 作 业
难
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7
课
情
堂
景
小
导 学
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度
结 提
探
新 知
增长速度
_越__来__越__快___，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y
素 养
＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ；
课
合 作 探
②存在一个x0，当x>x0时，有 ax>kx>logax
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
以下四种说法：
业
疑
难
返 首 页
12
课
情
堂
景
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度 小
导
结
学 探
越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不
提
新
素
知 变．
养
合
其中说法正确的序号是________．
课 时
作
分
探
层
究
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]
合 作 探
(2)下面对函数 f(x)＝log12x，g(x)＝12x与 h(x)＝－2x 在区间(0，＋
课 时 分 层
究 释
∞)上的递减情况说法正确的是(
)
作 业
疑
难
返 首 页
15
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速 课
情
景 度越来越慢
人教A版高中数学必修一《4.4.3不同函数增长的差异》精品课件(31页)
【对点练清】 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年) 的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符 合？并预测第8年的松树高度.
t/年 1 2 3 4 5 6 h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示． 由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型 拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理． 不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3. 故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第8年松树的高度为2米．
[方法技巧] 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数 模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此 时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此 时的函数模型是对数函数模型．
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：D
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ________________．
答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)题型一 三类函数模型增长差异来自比较(一)教材梳理填空
函数
在(0，＋∞) 上的增减性 随x的增大 函数图象
y＝kx(k＞0)
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞ 1)
人教A版高中数学必修第一册第四章4-4-3不同函数增长的差异课件
[学以致用] 1．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2， 3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝ log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有 的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 C．f 3(x)＝log2x
探究建构
探究1 几个函数模型增长差异的比较 探究问题1 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
22
24
26
28
210
212
214
216
2
4
8
16
32
64
128
256
y＝log2x
2
4
6
8
10
12
14
16
探究问题2 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
20
24
28
210
214
220
y＝2x
2
216
2256
21 024
216 384
21 048 576
y＝x100
1
2400
2800
21 000
21 400
22 000
提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，
而且快很多．
[新知生成] 三种函数模型的增长差异
函数 在(0，＋∞) 上的增减性 图象的变化 趋势
反思领悟 常见的函数增长特点
一次函数
一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长特点是随着自变量的增 大，函数值保持固定的增长速度，即增长速度不变
指数函数
第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
4．4.3不同函数增长的差异学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝a x的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝log a x的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x思考在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a x成立？答案不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(√) 2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(√)3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>2x(a>1)．(×)一、几个函数模型增长差异的比较例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x答案 A解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x答案 B解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．二、函数模型的选择问题例2某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝100，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝120，f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝35，c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70.① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x ＋140.② 再将x ＝4分别代入①式与②式得 f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x ＋r 作为模拟函数较好． 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．跟踪训练2 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( ) A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x答案 C解析对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 020>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)．又因为g(2 020)>g(6)，所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)．反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练3甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．答案③④⑤解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案 D2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x －2.0－1.00 1.00 2.00 3.00y 0.240.511 2.02 3.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx答案 B解析 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．甲从A 地到B 地，途中前一半路程的行驶速度是v 1，后一半路程的行驶速度是v 2(v 1<v 2)，则下图中能正确反映甲从A 地到B 地走过的路程s 与时间t 的关系的是( )答案 B4．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 把x ＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位) (附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59) 答案 4 500解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067≈4 500.1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有()A．指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值增长越快B．指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值增长越快C．对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值增长越快D．对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值增长越快答案AD解析结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y1525456585105y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案 C解析通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律．3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是( )答案 B解析 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B 图象相吻合．5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t (分)满足的函数关系式为h (t )＝m ·a t .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)( ) A ．33分钟 B ．40分钟 C ．43分钟 D ．50分钟答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h (10)＝ma 10＝0.1，h (20)＝ma 20＝0.2，解得a ＝1102，m ＝0.05，故h (t )＝0.05×1102t⎛⎫⎪⎝⎭，令h (t )＝0.05×1102t⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，得1102t⎛⎫⎪⎝⎭＝20，故t＝110lg 20lg 2＝1＋lg 2110lg 2≈10(1＋0.3)0.3≈43(分钟)．6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案y＝x 2解析 当x 增加时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快．7．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 答案 f (x )>g (x )解析 在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝x 的图象，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图象在函数g (x )＝x 图象的上方，则f (x )>g (x )．8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．答案 (4) (1) (3) (2)解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 9．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5(x ≥0)和y ＝2x (x ≥0)的图象，并比较当x ≥0时，x ＋5与2x 的大小．解 函数图象如图所示，根据函数y ＝x ＋5与y ＝2x 的图象增长差异得： 当0≤x <3时，x ＋5>2x ， 当x ＝3时，x ＋5＝2x ， 当x >3时，x ＋5<2x .10．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解 A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B 种债券．11．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 分别画出y ＝2x ，y ＝x 2的图象， 由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y ＝2x －x 2的图象与x 轴有3个交点，故排除B ，C ； 当x <－1时，y <0，故排除D.12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是______________．答案 y ＝180(1＋x )10解析 1年后的价格为180＋180·x ＝180(1＋x )(万元)，2年后的价格为180(1＋x )＋180(1＋x )·x ＝180(1＋x )·(1＋x )＝180(1＋x )2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x )10万元．13．若已知16<x <20，利用图象可判断出12x 和log 2x 的大小关系为________．答案 12x >log 2x解析 作出f (x )＝12x 和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，12x >log 2x ；x ＝4或x ＝16时，12x ＝log 2x ；在(4,16)内，12x <log 2x ；在(16,20)内，12x >log 2x .14．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n ＝________；若再过m 秒甲桶中的水量只有a 4升，则m ＝________.答案 －15ln 2 5 解析 ∵5秒后两桶的水量相等，则a e 5n ＝a 2⇒e 5n ＝12⇒n ＝15ln 12＝－15ln 2， 若k 秒后甲桶水量为a 4， 则a e nk ＝a 4，e nk ＝14⇒nk ＝ln 14⇒－15ln 2·k ＝－2ln 2， ∴k ＝10，∴m ＝10－5＝5.15．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．16．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围：①log2x<2x<x2；②log2x<x2<2x.解(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4,24＝42＝16，下面借助图象解决问题．①∵log2x<2x<x2，∴2<x<4，即x的取值范围为(2,4)；②∵log2x<x2<2x，∴0<x<2或x>4，即x的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．。
第4章4.4.3不同函数增长的差异(课件)
精彩课堂
画出函数y=2x和y=2x在区间[0,+∞)上的图象,说明在不同区间内, 这两个函数的增长差异.
增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增大而增大,但不同 函数在同一区间内的增长快慢是否相同?
在更大的范围内观察这两个函数的增长情况.
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列表,画图如下.
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【小结】 虽然函数y=2x和y=2x在区间[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长 速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大, y=2x的增长速 度越来越快,会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定变 化范围内,2x会小于2x,但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长,因 此,总会存在一个x0,当x>x0时,恒有2x>2x.
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2.结论形成1 一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都 与上述情况类似.即使k 的值远远大于a 的值, y=ax (a>1)的增长速度 最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
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4.结论形成2 一般地,虽然对数函数y=loga x(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区 间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次 函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=loga x(a>1)的增 长速度越来越慢.即使k的值很小,在一定范围内,loga x可能会大于kx, 但由于loga x的增长最终会慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,当x> x0时,恒有loga x<kx.
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5.问题探究3 (1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象, 并比较它们的增长差异; 随着x的增大, ①y=2x在(0,+∞)上保持固定的增长速度; ②y=2x在(0,+∞)上增长速度越来越快; ③y=lg x在(0,+∞)上增长速度越来越慢.
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
数学 必修 第一册 A
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谢谢观看！
增长速 度固定
随x增大逐渐与 _____x_轴__平__行____
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度__越__来__越__快______，会远远大于y
＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度__越__来__越__慢______； ②存在一个x0，当x>x0时，有_a_x_>_x_n_>_lo_g_a_x_____
返回导航Βιβλιοθήκη 第四章 指数函数与对数函数探究二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小 洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象 是( )
答案 B 解析 由图得水深h越大，水 的 体 积 v 就 越 大 ， 故 v ＝ f(h) 是 增 函 数，且曲线的斜率应该是先变大后 变小．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓．
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第四章 指数函数与对数函数
[跟踪训练 1] 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1
5
10
15
20
25
30
y1 2 26
课件4：4.4.3 不同函数增长的差异
[答案] (1)函数 f(x)，g(x)，h(x)随着 x 的增大，函数 值增大. (2)各函数增长的速度不同，其中 f(x)＝2x 增长得最快， 其次是 g(x)＝2x，最慢的是 h(x)＝log2x.
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝3x 比 y＝2x 增长的速度更快些．( ) (2)当 x>100 时，函数 y＝10x－1 比 y＝lgx 增长的速 度快．( ) (3)能用指数型函数 f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a>0， b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常 称为“爆炸型”函数．( )
本课结束
名师提醒 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时， 通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大， 图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是 对数函数．
[针对训练]
4．当 2<x<4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( )
名师提醒 不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
[针对训练] 3．某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一 个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元 时， 按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源 利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元， 同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
当堂达标
2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
C 解析：从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的 是对数函数的增长趋势．
当堂达标
3.下列函数中随 x 的增长而增长最快的是(
A.y＝ex
B.y＝ln x
C.y＝x10
) D.y＝2x
A 解析：指数函数增长最快。
当堂达标
1.（多选）已知函数 y1 x2, y2 2x , y3 x ，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ） A.随着 x 的逐渐增大， y1 增长速度越来越快于 y2 B.随着 x 的逐渐增大， y2 增长速度越来越快于 y1
C.当 x0, 时， y1 增长速度一直快于 y3 D.当 x0, 时， y2 增长速度有时快于 y1
例 2 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建 立数学模型.
自主学习
二. 三种常见函数模型的增长差异
函数类型
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式 单调性
4.4.3 不同函数增长的差异
C．y＝120x
D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法，当 x＝1 时，排除 B 项；当 x＝2 时，排除 D 项；
当 x＝3 时，排除 A 项．故选 C.
由于本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数后来讨论函数 的增长差异，所以在教学中首先对这三种基本初等函数进行复习，了解三 种基本初等函数的一些基本知识．研究函数的有关性质，一般都是通过图 象，所以本节课要多利用多媒体教学平台，先画出一些特殊类函数的图象， 让学生直观观察不同类函数的图象上升或下降情况，再将问题推广到一 般，得出不同函数增长的差异．
4．4 对数函数
4．4.3 不同函数增长的差异
本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数之后对函数学习的 一次梳理和总结．本节课提出了函数增长快慢的问题，通过函数图象及三 个函数的性质，完成函数增长快慢的认知．既是对三种函数学习的复习， 也是后续学习的基础，对培养和发展学生直观想象、数学抽象、数学建模 和数学推理的核心素养有很大的帮助．
一、导入新课 一张纸对折一次，厚度变成原来的 2 倍．再对折第二次，变为原来的 2 的 2 次方倍即 4 倍．以此类推，假设纸的厚度为 0.1 mm，则对折 24 次 以后，长度超过 1 千米；对折 39 次达 55 球的距离；对折 51 次达 2.25 亿千 米，超过地球至太阳的距离；对折 82 次为 51 113 光年，超过银河系半径 的长度．不过，以上只是一些不符合实际的数学理论推理数字．为什么会 出现这样的现象呢？带着问题进入我们今天的学习．
g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋
∞)上，递减较慢，且越来越慢．
新教材人教A版4.4.3不同函数增长的差异课件(14张)
ab c 1,①
得 ab2 c 1.2,②
ab3 c 1.3,③
由①得ab=1-c,代入②③,
得
b(1-c) c 1.2, b2 (1-c) c 1.3,
则
c c
1.2-b , 1-b 1.3-b2
,
解得
b c
0.5, 1.4.
1-b2
则a=1-c =-0.8,源自b第四章 指数函数与对数函数
第四章 指数函数与对数函数
常见的函数模型及增长特点 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来 越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. 3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度 越来越慢,即增长速度平缓.
a b c 1,
a -0.05,
得 4a 2b c 1.2,解得b 0.35,
9a 3b c 1.3,
c 0.7,
第四章 指数函数与对数函数
∴yx2x+0.7. 由此得出结论:由此式计算得4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由 二次函数的性质可知,产量自4月份开始每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5), 不符合实际. (3)令模拟函数为y=abx+c, 将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,
∴y×x+1.4. 由此得出结论:把x=4代入,得y×4+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣时,既要考虑误差最小,又要考虑生产的实际,如:增 产的趋势和可能性.经过筛选,以y×x+1.4模拟为最佳,一是误差小,二是由于 厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过 一段时间之后,如果不增加设备和工人,产量必然趋于稳定,而y×x 反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y×x+1.4模拟比较接近客观实际.
4.4.3 不同函数增长的差异 高中数学人教A版必修一
迁移 在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)
问呢？
解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的 函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.
思维升华
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图 象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图 象趋于平缓的函数是对数函数.
训练2 已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的
大小进行比较).
解 (1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝ lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
题型三 函数模型的选择
例3 在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆.已知该公司近 三年的汽车生产量如表所示：
C.y＝x2
D.y＝6x
解析 D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；B
中对数函数的增长速度越来越慢，不符合题意.
题型二 三类函数增长速度的比较 例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，
y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后， 为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近， 故排除A. 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
解析 四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.
3 随堂演练
PART THREE
1.下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是
A.y＝x2
B.y＝log2x
C.y＝2x
√D.y＝2x
12345
2.在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
2 题型探究
PART TWO
一、几个函数模型增长差异的比较
例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是
√A.y＝2 020x
B.y＝x2 020
C.y＝log2 020x
D.y＝2 020x
解析 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增 长速度最快.
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
ห้องสมุดไป่ตู้
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作
为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
反思 感悟
建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、 主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析， 又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得 模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
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2021-2022学年高一数学必修一第4章
4.4.3 不同函数增长的差异
学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．
知识点 三种常见函数模型的增长差异
函数
性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝kx (k >0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数
增函数
图象的变化 随x 的增大逐渐变“陡” 随x 的增大逐渐趋于稳定
随x 的增大匀速上升
增长速度 y ＝a x 的增长快于y ＝kx 的增长，y ＝kx 的增长快于y ＝log a x 的增长
增长后果 会存在一个x 0，当x >x 0时，有a x >kx >log a x
1．当x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则y 是x 的一次函数．( √ ) 2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √ ) 3．函数12
log y x 衰减的速度越来越慢．( √ )
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x ∈R 恒有a x >2x (a >1)．( × )
一、几类函数模型增长差异的比较
例1 四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 32 768 1.05×106
3.36×107
1.07×109
y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x 呈指数函数变化的变量是________． 答案 y 2
解析 从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化． 反思感悟 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型
线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变． (2)指数函数模型
指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型
对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”． 跟踪训练1 有一组数据如下表：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．v ＝log 2t B ．12
log t ＝v C ．v ＝2t －
1 D ．v ＝2t －2
答案 A
解析 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越慢，排除C 和D ，故选A. 二、函数模型的选择问题
例2 某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来刻画h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
解 据表中数据作出散点图如图．。