坐标系与参数方程PPT学习课件

答案

3π 2， 4
探究提高
解决这类问题一般有两种思路．一是将极
坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
变式训练 2
在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方
.
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)若点 P 的直角坐标为(1， － 3)， 则点 P 的极 坐标为________(0≤θ<2π)； 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ＝ 化为直角坐标方程 3 为________________． 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解．
考题分析
本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐
标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力．
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 正半轴作为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．设 M 是平面内的任 意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y x＝ρcos θ ， . y y ＝ ρ sin θ tan θ＝ (x≠0) x
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2
解析 (1)∵P 的直角坐标为(1，－ 3)， ∴ρ＝ 12＋(－ 3)2＝2， y tan θ＝ ＝－ 3. x 又点 P 在第四象限，0≤θ<2π，
5π ∴θ＝ . 3 5π ∴P 的极坐标为(2， )． 3 1 (2)∵sin θ＝ ， 3 1 ∴ρsin θ＝ ρ， 3 1 2 2 2 2 2 2 ∴y＝ x ＋y ，∴x ＝8y ，∴y＝ x，y＝－ x. 3 4 4 1 2 2 又 y＝ x ＋y >0， 3 2 2 ∴y＝ x(x>0)和 y＝－ x(x<0)． 4 4 5π 答案 (1)(2， ) 3 2 2 (2)y＝ x(x>0)和 y＝－ x(x<0) 4 4
第2讲
坐标系与参数方程 明确考向
θ
π 1，2
感悟高考
(2010· 广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线 ρ(cos
＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标为_____．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 化为直角坐标方程为 x ＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1 化为直角坐标方程为 y－x x＋y＝1， x＝0， ＝ 1. 联 立 方 程 组 得 则交点为 y－x＝1， y＝1， π (0,1)，对应的极坐标为1，2 .
π π 程为 ρsin(θ＋ )＝1，圆 C 的圆心是 C(1， )，半径 4 4 π ρ＝2cos(θ－ ) 为 1.则圆 C 的极坐标方程为_________________ ． 4
解析 设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(ρ，θ)为圆 π π C 上的一个动点，则∠AOD＝ －θ 或∠AOD＝θ－ ， 4 4 π π OA＝ODcos( －θ)或 OA＝ODcos(θ－ )， 4 4 π 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos(θ－ )． 4
6．圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ x2 y2 (1)椭圆 2＋ 2＝1 的参数方程为 (θ 为参 a b y＝bsin θ
数)．
x＝asec θ x2 y 2 (2)双曲线 2－ 2＝1 的参数方程为 (θ 为 a b y＝btan θ
参数)． (3)抛物线
2 x ＝ 2 pt 2 y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
4．直线的参数方程 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 x＝x0＋tcos α， 程为 (t 为参数)． y＝y0＋tsin α 5．圆的参数方程 圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ， (θ 为参数，0≤θ≤2π) y ＝ y ＋ r sin θ . 0
探究提高 将不唯一．
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定
要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标 (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范 围．要注意转化的等价性．
变式训练 1 曲线 ρ＝4sin θ 的直角坐标方程为
x2＋(y－2)2＝4 ． ________________
3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为：
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 － r ＝0 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； π (3)当圆心位于 M(r， )，半径为 r：ρ＝2rsin θ. 2
解析 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x2＋y2＝4y， 即 x2＋(y－2)2＝4. ∴曲线的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4.
题型二 例2
曲线的极坐标方程的应用
(2010· 广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线
ρ＝2sin θ 与 ρcos θ＝－1 的交点的极坐标为______． 思维启迪
(1)化为直角坐标方程求交点，再将交点
坐标化为极坐标． (2)直接联立极坐标方程求解．
解析 曲线 ρ＝2sin θ 化为直角坐标系方程为 x2＋y2－2y ＝0. 由 ρcos θ＝－1 可化为 x＝－1.将 x＝－1 代入 x2＋y2－2y ＝0 得 x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)， 3π 化为极坐标为 2， 4 .