第七章多元函数微积分

化简,得 2x2y2z 7
2.平面的一般式方程
可以证明，平面方程均可用三元一次方程
Ax By Cz D 0
（1）
来表示
反过来,三元一次方程AxByCzD0的图形一定
是平面 我们将方程(1)为平面的一般式方程.
对于一些特殊的三元一次方程，应熟悉它们图形 的特点：
1）当 D 0 时，方程表示通过原点的平面； 2）当 A, B,C 中之一为零 时，如A 0 ， 方程变为 By Cz D 0 ，平面平行于x 轴，此时若 D 0 ，则By Cz 0 表示通过 x 轴的平面； 3）如果 A, B,C 中有两个为零，如 A B 0 ，方程变 为 Cz D 0 ，它表示平行于xOy 面的平面，特别地，若 D 0 ，方程 z 0 表示 xOy 平面.
一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
❖ 基本要求
了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面
及常见曲面方程作出其图形
❖ 重点
由平面及常见曲面方程作出其图形
一、空间直角坐标系
坐标原点：空间一个定点 O； 三个坐标轴：三条相互垂直的数轴，都以 O 为原点且一般具有相同的单位长度 x轴（横轴），方向为由里向外； y轴（纵轴），方向为由左向右； z轴（竖轴），方向为由下向上。 它们的方向通常符合右手法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 沿握拳方向旋转 90 指向y轴,此时大拇指的方向 即为z轴方向.如图所示
M , N, R点在数轴上的坐标.
z
R
这样空间内任一点 P就 确定了惟一的一组有序的数组
x, y, z,用 (x, y, z)表示.
z
O x M
x
P (x, y,z)
yN y
P'
反之,任给出一组有序数组 x, y和 z ,可以确定空间惟一的 点 P与之对应.
根据上面的法则,建立了空间一点与有序实数 （x,y,z）之间的一一对应关系.有序数组(x,y,z)称为点 P的坐标,x,y,z分别称为横坐标,纵坐标和竖坐标.
z
F(x,y,z)0
O
y x
例 1求 球 心 在 M 0 (x 0 ,y 0 ,z0 ), 半 径 为 R的 球 面 方 程 .
解 设点 M (x, y, z) 在为球面上任意一点,由题意可知
M0M R
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ,
两边平方,得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 2 经验证，上式就是以 M 0 (x0, y0, z0 )为球心,以 R 为球半径
Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ
卦限.
z
ⅢⅡ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
xⅧ
Ⅴ
y Ⅵ
点的坐标：设P为空间的任意一点,过点 P作垂直
于坐标面 xOy的直线得垂足 P,过 P分别与x轴,y轴垂
直且相交的直线,过 P作与z轴垂直且相交的直线,依次
得 x, y, z 轴 上 的 三 个 垂 足 M , N, R. 设 x, y, z 分 别 是
交 M 1 N ∥ P1 P2 M 2 P2 于 点 N ， 可 知 ，
z
P1 ( x1 , y1 , 0 ), P2 ( x 2 , y 2 , 0 ), N ( x 2 , y 2 , z1 )
M2(x2,y2,z2)
由直角三角形的勾股定理可以推得
N
M 1M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 特 别 地 ， 点 M (x, y,z) 到 坐 标 原 点
的距离为
O
OM x2 y2 z2
M1(x1,y1,z1)
x
P1
y
P2
三、空间曲面及其方程
1、曲面方程的概念
定义 如果曲面Σ上每一点的坐标都满足方程
F (x, y, z) 0；而不在曲面Σ上的点的坐标都不满足这个方
程,则称方程 F(x, y, z) 0 为曲面Σ的方程,而称曲面Σ为
此方程的图形.
z
zO x平 面
yOz平 面
y
O
xOy 平 面
x
三个坐标面：每两轴所确定的平面.即 xOy面、yOz 面和 zOx面.
卦限：三个坐标面把空间分为八个部分,每部分称为
一个卦限.在 xOy 面的上方有四个卦限,在 xOz 面的右
方，yOz 面的前方的卦限称为第Ⅰ卦限,然后按逆时针顺
序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限； 在 xOy面的下方，分别位于Ⅰ,
第七章 多元函数微积分 主要内容：
第一节 空间解析几何简介 第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则
第五节 隐函数的求导法则 第六节 多元函数的极值 第七节 二重积分的概念和性质 第八节 二重积分的计算 第九节 对坐标的曲线积分
第一节 空间解析几何简介 ❖ 主要内容
二、空间两点间的距离公式
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为 空 间 两 点 （ 如 图 ）， 假 设 点 M 1 , M 2 在
xO y 平 面 上 的 投 影 分 别 为 P1 , P2 ， 过 点 M 1 在 平 面 M 1 M 2 P2 P1 内 作
例 3 描 绘 出 下 列 平 面 方 程 所 代 表 的 平 面 ：
（1） x 2; （3） x y 1;
z
（2）z 1;
（4） x y z 1（a,b,c 均不为0) abc
z
1
O
y
2 x
z
O 1 x
1y
O x
z Cc
O A
a x
y
B byLeabharlann 3、母线平行于坐标轴的柱面
柱 面 ： 直 线 L沿 定 曲 线 C 平 行 移 动 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 ． 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 , 动 直 线 L称 为 柱 面 的 母 线 .
的球面方程.
特别地，球心在坐标原点的球面方程为
x2 y2 z2 R2.
例 2求 与 两 定 点 M 1 ( 1 ,1 ,0 ) ， M 2 ( 2 ,2 ,1 )等 距 离 的 点 的 轨 迹 方 程 .
解 设M(x, y,z)为轨迹上的点,按题意有：
MM1 MM2 写成坐标形式,即
(x1)2 (y1)2 (z0)2 (x2)2 (y2)2 (z1)2