南宁三中高二数学综合训练

南宁三中高二数学综合训练（三）
2014.10.26
一、选择题：在每小题给出的4个答案中，只有一个是正确答案）
1．已知集合{}2
430A x x x =-+<，{}
215B x x =+<，则下图中阴影
表示的集合为（ ）
A ．{}31<<x x
B ．{}21<<x x
C ．{}3<x x
D ．{}312<<x x
2．为了得到函数3
lg
10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
3．已知向量=（1，2），=(x ,1), =+2,且,2-=∥，则x 的值是（ ）
A ．2
1
B ．2
1-
C ．
6
1
D ．6
1-
4．已知直线l 的倾斜角为
4
3π
，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线 l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（ ） A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．0 5．如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数
1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）
A ．A +
B 为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．
2
A B
+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数 D ．A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数
6．实数,x y 满足约束条件42,21x y x y z x y x +⎧⎪
-=+⎨⎪⎩
≤≤则≥的最小值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
7．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18 8．设不等式组⎩⎨
⎧≤≤≤≤2
0,
20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机
取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．
4π B ．22π- C ．6
π D ．44π-
9．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ） A ．a<v B ．v C v <2a b + D ．v =2
a b
+ 10．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax ，始终平分圆
082422=---+y x y x 的周长，则12a b
+的最小值为（ ）
A ．1
B ．5
C ．24
D ．223+
11．设25
sin 1π
n n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
12．已知偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-,且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =,则函数
()y f x =与7log y x =的图象的交点个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．5
二、填空题（本大题共4小题，把答案填写在横线上） 13．函数x x f 21)(-=的定义域为__________________．
14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===且2
BAC π
∠=
, 则PA 与底面ABC 16．定义在区间]32,[π
π-上的函数)(x f y =的图像 关于直线6π-=x 对称，当]32,
6[π
π-∈x 时， )2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f
如图，则)(x f y =在]6
,[π
π-
-上的表达式为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

18．已知A 、B 、C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A ， (Ⅰ)若)0,(πα-∈，且||||=，求α的值；
(Ⅱ)若0=⋅，求α
α
αtan 12sin sin 22++的值．
19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1 = 1 , a n +1 =n S n
2
( n ≥1) （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n = 2n ·a n ，求{b n }的前n 项和T n 。

20． 如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，
E 是OC 的中点．
(Ⅰ)求O 点到面ABC 的距离；
(Ⅱ)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (Ⅲ)求二面角E AB C --的平面角的正弦值．
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
南宁三中高二数学综合训练（三）参考答案
1．选B 解析：
=A {}31<<x x ，{}2<=x x B ，∴阴影表示的集合{}
21<<=x x B A 2．选C 解析：因为3
lg
10
x y +==l g (x +3)-1, 故选C 3．选A 解析：=(1,2)+2(x ,1)=(1,2)+(2x ,2)=(2x +1,4)，=2(1,2) －(x ,1)=(2,4) －(x ,1)=(2－x ,3). 由于u ∥v ，则存在λ∈R 使得u =λv ，即（2x +1,4）=[(2－x ) λ,3λ]. ∴).2(34
)12(34)2(12x x x x -=+⇔⎩⎨
⎧=-=+λ
λ解得21=x .
另解：同上，由∥，得(2x +1)·3－4(2－x )=0, 解得2
1=
x . 4．选C 解析：依题意知，直线l 的斜率为k ＝ta n 3π
4
＝－1，则直线l 1的斜率为1，
于是有
1312=-+a ，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2
b ， ∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选C .
5．选C 解析：由框图知其表示的算法是找N A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数，故选C .
6．选A ．解析：画出可行域如图， 易知在)1,1(-A 处目标函数达到最小值1.
7．选B 解析: 高为3，故其体积为11
63332
⨯⨯⨯⨯=9，故选B .
8．选D 解析：题目中⎩
⎨⎧≤≤≤≤202
0y x 表示的区域如图正方形所示，
而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，
因此4
422241
222
ππ-=
⨯⋅-⨯=P ，故选D . 9．选A ．解析：设甲乙两地相距s ，则小王用时为
b
s a s +，所以b a ab
b
s a s s v +=
+=22，b a <<0 ， 2b a ab +<
∴、a b ab b a ab =>+222.ab b a 1
2<+∴，,2ab ab
ab b a ab =<+∴ ab v a <<∴.
10．选D 解析: 直线220ax by +-=过圆心(2,1),2220, 1.a b a b ∴+-=+=即
2()
2
12
333≥a b a b b a a b a b a b ++∴+=+=+++=+ 11．选D 解析: 当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0.
12．选C 解析: 由偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-,得()(2)f x f x =-,
(2)(),f x f x ∴+=即()f x 是以2为周期的偶函数,画出()y f x =与7log y x =在(0,7]上的图象,
共有6个交点.
13．答案：]0,(-∞ 解析：由012021≤⇒≤⇒≥-x x x . 14．答案: 24解析:
{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.
15．答案: 3
π 解析: 解析：PC PB PA == ， P ∴点在平面ABC 内的射影点是三角形ABC
的外心，又2
π
=
∠BAC ，O ∴是边BC 的中点，连接AO PO ,，则PAO ∠为所求的角，
设a BC =，则2a AO =
，.3
,3tan ,23π
=∠∴=∠∴=PAO PAO a PO 16．答案: x x f sin )(-=解析：
]3
2,6[π
π-∈x 时，)(),3
sin()(x f x x f π
+
=图像关于直线6
π
-
=x 对称，
x x x x --=-=+3
,6200π
π代入得x x f sin )(-=. 17．解析:（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为21:14:73:2:1= 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1
（2）（i ）设抽取的6所学校中小学为123,,A A A ，中学为45,A A ，大学为6A ； 抽取2所学校的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，
23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A
454656{,},{,},{,}A A A A A A 共15种；
（ii ）抽取的2所学校均为小学的结果为：121323{,},{,},{,}A A A A A A 共3种 抽取的2所学校均为小学的概率为31155
=
18．解：(Ⅰ))4sin 3,cos 3(),sin 3,4cos 3(-=-=ααααBC AC , 由||||=得2
2
=，
即2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα1tan cos sin =⇒=⇒ααα 4
3),0,(παπα-
=∴-∈ (Ⅱ)若0=⋅BC AC ， 0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-+⨯-∴αααα,4
3cos sin =
+⇒αα 167cos sin 2-=⇒αα, 16
7
cos sin 2cos cos sin )cos (sin sin 2tan 12sin sin 22-==++=++ααα
αααααααα
19．解：（1）
12+⋅n a n = S n ，( n ≥1) n a n 21-= S n –1 ( n ≥2 ), ∴12+n a n –n a n 2
1-= a n , （ n ≥2 ）, 整理得：a n +1 =
n a n n 1+,（n ≥2）, a n = 11--n a n n , a n –1 =221
---n a n n , … , a 3 =223a 各式相乘得：a n =
22
a n
（n ≥3）, 由已知可得a 1 = 1，a 2 = 2 , 所以a n = n , ( n ≥1). （2）∵b n = 2 n ·n ，n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=∴ ①
123222)1(22212+⨯+⨯-+++⨯+⨯=∴n n n n T ②
②－①得)2222(2321n n n n T ++++-⨯=∴+
2
2)1(2
1)21(22
11
+⋅-=---⨯=++n n n n n 20．解：(Ⅰ)取BC 的中点D ,连AD 、OD
,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥
.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,
OH 的长就是所要求的距离
.
BC OD ===
OA OB ⊥、OA OC ⊥，,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥面则
AD OAD
中，有OA OD OH AD ⋅=
==
（另解：由112,363ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知
(Ⅱ)取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
,2
17,5,25212222=+==-===
OB OM BM OE OB BE AC EM ;5
2
2cos 222=⋅-+=∠∴ME BE BM ME BE BEM
(Ⅲ)连结CH 并延长交AB 于F , 连结OF 、EF .
,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面
则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,
则12EG OH == 在直角三角形OAB 中
,OA OB OF AB ⋅=
=
在直角三角形OEF 中
,EF === .1830
5
366
sin ===∠∴EF EG EFG。