双曲线的几何性质课件公开课
合集下载
双曲线的几何性质课件_公开课
x2 y2 =1 9 16
的草图
y
4·
-3
·
O -4·
·
3
x
c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ,叫做双曲线的离心率. a
5、离心率
⑵ e 的范围:
e >1
思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？ 用代数方法证明
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a
- b , 0, b 不是双曲线的顶点。 以 0，
y
A1 A2叫实轴，长为 2a B1 B2叫虚轴，长为 2b
实轴与虚轴等长的双曲线 叫 等轴双曲线.
x 2 y 2 m(m 0)
A1 -a
b
B2
o a A2 x
-b B 1
x y2 b ⑴双曲线 2 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线为 y x a a b y 思考：渐近线是双曲线特有的几何质， b B2 它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近 线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系 呢？。 A1 A2 o a 渐近线的演示
2、根据几何性质求双曲线方程时需先定位再定值。
2012年12月18日
椭圆的简单几何性质：
性质 曲线
椭圆
x2 y2 2 1(a b 0 ) 2 a b
Y
a
方程 图形 范围 对称性 顶点
F1 O F2 X
a xa b yb 关于 x 轴和 y 轴对称，关于原点对称 (a,0), (a,0), (0,b), (0, b)
b 当 e 越大时， a 也越大，所以曲线的开口
演示板
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
越大，反之也成立。
根据对双曲线性质的研究，请完成下表
的草图
y
4·
-3
·
O -4·
·
3
x
c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ,叫做双曲线的离心率. a
5、离心率
⑵ e 的范围:
e >1
思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？ 用代数方法证明
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a
- b , 0, b 不是双曲线的顶点。 以 0，
y
A1 A2叫实轴，长为 2a B1 B2叫虚轴，长为 2b
实轴与虚轴等长的双曲线 叫 等轴双曲线.
x 2 y 2 m(m 0)
A1 -a
b
B2
o a A2 x
-b B 1
x y2 b ⑴双曲线 2 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线为 y x a a b y 思考：渐近线是双曲线特有的几何质， b B2 它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近 线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系 呢？。 A1 A2 o a 渐近线的演示
2、根据几何性质求双曲线方程时需先定位再定值。
2012年12月18日
椭圆的简单几何性质：
性质 曲线
椭圆
x2 y2 2 1(a b 0 ) 2 a b
Y
a
方程 图形 范围 对称性 顶点
F1 O F2 X
a xa b yb 关于 x 轴和 y 轴对称，关于原点对称 (a,0), (a,0), (0,b), (0, b)
b 当 e 越大时， a 也越大，所以曲线的开口
演示板
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
越大，反之也成立。
根据对双曲线性质的研究，请完成下表
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
高中数学《双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件
x a 或 x a， y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点
A1（- a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
c c e (e 1) 离心率 e (0 e 1) a a 要求：组长负责全员参与，分工协作
B1（0，-b），B2（0，b）
y
B2 O
F1
.
F2
A2
x
. .
B2
y
F1(-c,0) B1 F2(c,0) 方程 范围
F1(-c,0)
2
F1
A1 A2
O
F2
B1
2
x F2(c,0)
x y 1 ( a b 0) a b
2 2
x y 1 (a 0 ,b 0 ) a b
2 2
a xa
b y b
焦距为10，求双曲线的标准方程.
小结
1.这节课你学到了什么？从内容、方法、思 想等角度说明. 2.请班长对本节课各小组表现做出评价.
作业： 习题2.3 A组 3、4； 将你没太听懂的地方进行标注.
谢 谢 光 临 指 导
请
多 批
评 指
教
c e a
( e 1)
b y x a
c e a
( e 1)
a y x b
题型一：已知双曲线研究其几何性质
例1:
2 2 y 16 x 9 144 的实半轴长,虚半轴长, 求双曲线
焦点坐标,离心率，渐近线方程.（口答）
题型二：根据几何性质求双曲线标准方程
例2:
已知双曲线的渐近线方程为 4 x 3 y 0 ,
双曲线的几何性质39市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思索：如若求半焦距长和离心率呢？
小结：关键在于求实半轴a旳长和虚半轴b旳长， 然后裔入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c旳长 及离心率.
0
A2 x
怎样得到旳？
图形
B1
|x |≤a 、|y |≤ b
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x
范围
中心对称，轴对称
-x代x、-y代y
对称性 顶点
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
分别令x=0，y=0
a、b 、c旳 含义
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2
十一、课后请你思索题
1、离心率e旳变化对双曲线图形有何影响？
怎样解释？
y
F1
0
b a
C
F2
2、 如图，双曲线和椭圆旳离心率分别为e1、 e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 旳大小.
y
e1
e2
0
e4 e3 x
七、让我们继续研究
请观察双曲线旳图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)旳各支向外延伸 时，与矩形旳两条对角线所在旳直线逐渐接近.
y
B2
F1 A1 0
请思索：结论正确吗?
B1
A2 F2
x
八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一种方案：
1、由双曲线旳对称性我们只需研究第一象限旳情形；
人教A版高中数学选修1-1 2.3.2双曲线的简单几何性质公开课教学课件
1(a
b
0)
范围 焦点坐标 顶点坐标 对称性 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
-a≤ x≤ a, -b≤ y≤ b
-a≤ y≤ a, -b≤ x≤ b
(±c,0)
（ a ,0 ）,(0, b)
(0, ±c)
（ b ,0 ）,(0, a)
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
长半轴长为a,短半轴长为b.
的实轴，它的长为2a, a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
(0,b) B2
C
(-a,0) b
(a,0)
A1
o a A2
x
(0,-b) B1
(3)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
新知探究
4、渐近线
两条直线 y b x叫做 a
双曲线
2b 8
焦点坐标: (0,5),(0,5)
顶离渐点心近坐率线标:方:程:(0e,-y4)，ac(034,454x)
(5,0),(5,0)
(-3,0)，(3,0)
e c 5
y
a
4
3 x
3
知识应用二：由几何性质求双曲线方程
例2、已知双曲线顶点间的距离是
16 ，离心率 e
5 4
焦点在 x轴上,中心在原点,写出双曲线的方程,并且求
(-x,y)
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心，双曲线的
(-a,0)
对称中心叫做双曲线的中心. (-x,-y)
y (x,y)
o (a,0) x (x,-y)
新知探究
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
双曲线的简单几何性质公开课获奖课件
1共渐近线的双曲线系
方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上双曲线； λ<0表示焦点在y轴上双曲线。
第12页
巩变固式练：习：1、求与椭圆 x2 y2 1有公共焦点， 49 24
且离心率e 5 的双曲线方程。 4
解：由c2 49 24 25,得c 5.焦点为（ 5，0），
F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
9 16
(3)2 (2 3)2
9
16
1
4
双曲线的方程为 x2 y2 1 94 4
第11页
总结：
“共渐近线”双曲线应用
与 x2 a2
y2 b2
1共渐焦近点线的双曲线系
方程为
axa222x2 byk22
b2y(2
k
0，1(或为c参2x数2 k)，
y2 k
1)
与 x2 a2
y2 b2
16 k 4 k
∴ (3 2)2
16 k
22 4k
1
,
解之得k=4,
∴ 双曲线方程为
x2 y2 1
12 8
第10页
（2）与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件可编辑图片版共54张PPT
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为
a2x－2 λ－λ－y2b2＝1(b2<λ<a2)．
题型二 由双曲线方程研究其几何性质
探究 1 利用方程求解几何性质
例 1 (多选)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为
F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线
y2 64
－
x2 16
＝
λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1. 答案：x42－y2＝1
4．与椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1有公共焦点，离心率为32
的双曲线方程为
________.
解析：方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和
c a
＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用
到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
e越小，椭圆越圆
x2 y2
研究双曲线 a2 b2 1(a 0,b 0) 的简单几何性质
1、范围 x a, x a y R
由双曲线的标准方程得 x2 1 y2 1
a2
b2
x2 a2
≥ 1, 即x 2
≥
a2
y
x≥a, x ≤ a
双曲线的范围是在不 等式 x a 、x a
y
图形
F1
o
F2 x
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y
o
x
范围
x a, x a, y R
y b, y b, x R
对称性 顶点
关于x轴、y轴对称，原点对称
a,0,a,0
关于x轴、y轴对称，原点对称
0,b, 0, b
离心率 渐近线
标准方程 图形
x2 y2
-
=1
16 9
y
3-
F1 -4 o 4 F2 x -3 -
y2 x2
-
=1
16 9
y
4
Io I
-3
3x
-4
范围
x a, x a, y R
对称性 顶点 实轴、虚轴长
离心 率
渐近
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
4,0,4,0
实轴长为8、虚轴长为6
e=5 4
y
y
b a
x
思考：渐近线是双曲线特有的几何质，
它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近
b B2
线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系
呢？。
渐近线的演示
A1
A2
oa x
双曲线上的点向外延伸时，与这两条渐
近线逐渐接近。
B1
b
渐近线的斜率的绝对值越大时，曲线的 开口越大，反之亦然。
y a
x
y b x a
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与 直线逐渐靠拢。
e c ,e 1 a
e越大，开口越大 e越小，开口越小
e
c ,e a
1
e越大，开口越大 e越小，开口越小
y b x ，b 越大，开口越大 y a x ，b 越大，开口越大
a a 越小，开口越小
b
a 越小，开口越小
试写出双曲线 9x2 16 y2 144 与 9 y2 16x2 144 的几何性质
当x逐渐增大时，MN 逐渐减小，x无限增大，
MN 接近于0，MQ 也接近于0
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 例如：画双曲线 x2 - y2 = 1 的草图
9 16
y
4·
·
-3
O
·
3
x
-4·
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: e >1
椭圆的简单几何性质：
性质
曲线
方程
图形
椭圆
x2 y2 1(a b 0 )
a2 b2
Y
a
F1
O F2
X
范围 对称性 顶点
离心率
a xa b yb 关于 x 轴和 y 轴对称，关于原点对称
(a ,0), (a ,0), (0,b), (0, b)
e c (0 e 1) e越大，椭圆越扁
以 0，- b,0,b 不是双曲线的顶点。 y
A A叫实轴，长为 2a 12
B B叫虚轴，长为 2b 12
b B2
实轴与虚轴等长的双曲线 叫 A1 -a o a A2 x
等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
-b B1
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b 0) 的渐近线为
方案1：考查点到直线的距离
MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离
MN
由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可。
设M (x, y)是它上面的点,
则y = b x2 - a2 (x > a) a
y
B2
N
Q M
N (x，Y )是直线y = b x a
上与有相同横坐标的点，
A1
b A2
Oa
x
则Y = b x a
a
思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？ 演示板
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
用代数方法证明
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
a
a
a
当越大e ，越反大之时也，成ab立也。越大，所以曲线的开口
根据对双曲线性质的研究，请完成下表
标准方程
x2 y2 a2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
3、顶点 - a,0,a,0
双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
当 y 0时 ,则 x a所以 - a,0,a,0是双曲
线的两个顶点
当 x 0 时 ,则 y2 b2 于是与 y 轴无交点,所
y3x 4
y a, y a, x R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
0,4,0,4
实轴长为8、虚轴长为6
e=5 4
y4 3
尝试练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1)顶点在x轴上，两顶点的距离是8，且离心率e 5
(2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率e 4
4
3
(3)双曲线的渐近线为 y x，且过点（1，2）
解： x2 y2 (1). 1 16 9
y2 x2 (2). 1
36 28
(3). y2 x2 3
的平面区域内
-a
o
a
x
2、对称性 关于x轴、y轴和原点对称.
（以焦点在 x 轴上的方程进行研 究）
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
用 y 代替 y ，方程不变，即曲线关于 x 对称。
用 x代替 x ，方程不变，即曲线关于 y 对称。
同时用 x 、 y 代替 x 、y ，方程不变，即 曲线关于 原点 对称。
B1
x2 y2 a2 - b2 =1(a > 0,b > 0)
y = b x2 - a2 = b x 1- (a)2 < b x = Y
a
a
xa
Y
b
MN Y y x x2 a2 a
ab
x2 x2 a2
O
N 线y = b 的距离，且 MQ < MN 。 a