信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102

第3章 信道容量

习题解答

3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和

(;)I X Y 。

i i 2

i=1

3311

H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号

111121*********

j j j=1

32117

p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125

p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=434312

7755

H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)

12121212bit ⨯+⨯=

⨯+⨯=

---=∑符号 22

i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )

2211

log()log()0.9183(/)

3333

i j

j

bit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号

I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)

(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量

H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)

1122

C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)

3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，}

注意单位

3-4 设BSC 信道的转移概率矩阵为

1

12211Q εεεε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

1）写出信息熵()H Y 和条件熵(|)H Y X 的关于1()H ε和2()H ε表达式，其中

()log (1)log(1)H εεεεε=----。

2）根据()H ε的变化曲线，定性分析信道的容道容量，并说明当12εε=的信道容量。

解：（1）设输入信号的概率颁布是{p,1-p}

111121212

()()(|)()(|)(1)(1)p b p a p b a p a p b a p p =⨯+⨯=⨯-ε+-⨯ε212122212()()(|)()(|)(1)(1)

p b p a p b a p a p b a p p =⨯+⨯=⨯ε+-⨯-ε

11221212121212()()log ()()log ()

[(1)(1)]log[(1)(1)][(1)(1)]log[(1)(1)][(1)(1)]

H Y p b p b p b p b p p p p p p p p H p p =--=-⨯-ε+-⨯ε⨯-ε+-⨯ε-⨯ε+-⨯-ε⨯ε+-⨯-ε=⋅-ε+-⋅ε

2

,1

111222212(|)()(|)log (|)

[(1)log(1)1log()](1)[(1)log(1)log()]()(1)()

i j i j i i j H Y X p a p b a p b a p p p H p H ==-=-⨯-ε-ε+εε---ε-ε+εε=⋅ε+-⋅ε∑

（2）()H ε的变化曲线，是一个上凸函数，当输入等概率分布时达到信道容量。

()

()

1212()

max{(;)}max{()(|)}

max{[(1)(1)]()(1)()}p x p x p x C I X Y H Y H Y X H p p p H p H ==-=⨯-ε+-⨯ε-⨯ε+-⨯ε

由于函数H （ε）是一个凸函数，有一个性质：

1212((1))()(1)()f f f θ⋅α+-θ⋅α≥θ⋅α+-θ⋅α

可知：C ≥0

假设12εε==ε时此信道是一个二元对称信道，转移概率分布为：

11Q ε-ε

ε⎡⎤=⎢⎥

ε-⎣⎦ 信道容量：

121-log -(1-)log(1-)1-()

C H εεε

εεεεε==== 3-10 电视图像由30万个像素组成，对于适当的对比度，一个像素可取10个可辨别的亮度电平，假设各个像素的10个亮度电平都以等概率出现，实时传送电视图像每秒发送30帧图像。为了获得满意的图像质量，要求信号与噪声的平均功率比值为30dB ，试计算在这些条件下传送电视的视频信号所需的带宽。 解：

i 1

p(x )=

10

()log10 3.32/I X bit ==像素

1秒内可以传送的信息量为：

3.3219/bit bit ⨯⨯⨯⨯7像素3010000像素30=2.989710

103

36log(1),:10log ()3010log(110): 2.999510S S

C B dB N N

S

N

B B HZ

=+=∴

=⨯=+=⨯7已知2.989710可得

3-11 一通信系统通过波形信道传送信息，信道受双边功率谱密度

80/20.510N -=⨯W ／Hz 的加性高斯白噪声的干扰，信息传输速率

24R =kbit/s ，信号功率1P =W 。 1）若信道带宽无约束，求信道容量；

解：带限的加性高斯白噪声波形信道的信道容量为

无带宽约束时：

00

080

lim lim

log(1)

log 1.442710/S S t w w S S P N W P

C C N P N W P

e bit s

N ->∞

->∞==+==⨯

2）若信道的频率范围为0到3KHz ，求信道容量和系统的频带利用率/R W （bps/Hz ）(注：W 为系统带宽)；对同样的频带利用率，保证系统可靠传输所需的最小0/b E N 是多少dB W=3KHZ

在最大信息速率条件下，每传输1比特信息所需的信号能量记为E b

S

b P E =

C

048

8400log(1)log(1)1

3000log(1) 4.5074101103000

24/8/3133.47110 4.507410

S

b S P C W W SNR N W

bps R kbit s bps Hz W KHz E P dB N N C --=+

=+=⨯+

=⨯⨯⨯=====⨯⨯⨯

3）若信道带宽变为100KHz ，欲保持与2）相同的信道容量，则此时的信噪比为多少dB 信号功率要变化多数dB