力矩力偶与平面力偶系

由于矩心O是任取的，因此， O x
d
力偶矩与矩心的位置无关。
F
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3、平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两 个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。
推论 (1) 力偶可以在其作用面内任意移转， 而不改变它对刚体的作用效应。 推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
y
Fy
x
A
y
O
F
Fx x
MO(F)MO(Fy)MO(Fx)
xFsinyFcosxFyyFx
M O (F R )(x iF y i y iF x i)
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例 3-1 如图所示，F1 50kN，F2 100kN，AB6m。
试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
B
30
A
解：力F1使杆 AB 绕 A 点逆时针转动
MA(F1)F1AB
F2
506kNm300kNm
C
力F2 将使AB杆绕 A 点顺时针转动
MA(F2)F2AC 1003kNm300kNm
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例 3-2 简支刚架如图所示，已知 F 、a 、b 和 。
试计算 F 对 A点的矩。
解：（1）根据定义求MA(F)
Fy
F
dAEsin(ADED)sin
(abcot)sin
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三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应; 力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零； 力与力偶是静力学的二基本要素。
2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代 数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
MOFMOF
F
F(xd)FxFdM
力偶作用面——力偶中两力所在平面。 力偶臂——力偶中两力作用线之间的垂直距离。
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二、力偶矩 力偶矩—— 力偶对其作用面内任一点之矩，
以 M(F，F)表示，一般简记为M。 M Fd2 ABC
正负：逆时针转向为正，反之则为负。
力偶矩的两个要素 （1）大小：力与力偶臂的乘积 （2）方向：转动方向
力偶矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
（2）画受力图 （3）列平衡方程
M i 0 , F A l M 0
解得：
M100
F BF Al
kN20kN 5
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
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例 3-5 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力
力矩力偶与平面力 偶系
第三章 力矩、力偶与平面力偶系
本章内容: 1 力对点的矩 2 合力矩定理 3 力偶与力偶矩 的概念 4 力偶的性质 5 平面力偶系的合成 6 平面力偶系的平衡
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第一节 力对点的矩
一、平面力对点的矩（力矩）
力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。
BF
1、力矩的定义
MO(F)Fd
根据合力矩定理，有
l
FRh 0qxxdx
FR
qx
A
x
dx
将qx 和 FR的值代入上式，得
h
l
h 2l 3
合力大小等于三角形分布荷载的面积; 合力作用线通过三角形的几何中心。
q Bx
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第二节 力偶和力偶矩
一、力偶
力偶 —— 由两个等值、反向、不共线的平行力
组成的力系，记作 F,F
dd F
F
M
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力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使 物体绕某点转动效应的度量。
4、力偶矩与力矩量纲相同。
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第三节 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系—— 作用在物体同一平面内的若干个 力偶所组成的力系。
一、平面力偶系的合成
F1 d1
F2
d2 F 2 F1
F3
F 4
Ad B
F4
F 3
F
A dB F
F3dF1d1M1 F4dF2d2M 2
F F4 F3 F F4 F3
M F d (F 4 F 3 )d M 2 M 1
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平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和，即
M M 1 M 2 M n M i
二、平面力偶系的平衡
力偶系平衡的充要条件是：
合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零
M i0
平面力偶系的平衡方程
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例 3-4 已知梁长 l 5 m，M100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
M
A
B
M
A
B
l
FA
l
FB
解：（1）选梁 AB为研究对象
A
E
C Fx b
BD
asinbcos
d
a
M A ( F ) F d F a s in F b c o s
（2）利用合力矩定理求 MA(F)
M A (F )M A (F x)M A (F y)
F xbF yaF asinF bcos
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例 3-3 如图所示，已知大圆轮半径为 R ，小圆轮半径为
3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积 （2）方向：转动方向
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二、合力矩定理
定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩 等于其各分力对于该点之矩的代数和。
M O ( F R ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n ) M O ( F i )
力矩与合力矩的解析表达式
r ，在小圆轮最右侧 B 点处受一力F 的作用。试计算力F
对大圆轮与地面接触 A点的矩。
解：由于 F 对点 A的力臂不易确定，
Fy
F
故先将力F 分解为两个正交分力Fx 与Fy ，然后利用合力矩定理来求出 F 对点 A 的矩
O
B
Fx
A
M A(F )M A(F x)M A(F y)
F yrF xRF (rsinRcos)
A O —— 矩心 d —— 力臂
d
M O (F ) 2AO A B
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； MO（F）——代数量 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
力矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
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2、力矩的性质 （1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变; （2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零; （３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
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补充例题，水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。 已知：q，l；试求合力及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距Biblioteka Baidu端为x的微段dx的
q
B x 梁上，作用力的大小为qx， 由相似三角形关系可知
qx
xq l
q 因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
9
设合力F 的作用线距A端的距离为h，