圆中的计算问题
第三单元 圆中的计算问题学习评价-
第三单元 圆中的计算问题学习评价一、选择题1．若半径为5的一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） （A ）18o ． （B ）36o ． （C ）72o ． （D ）144o ． 2．用半径为10cm ，圆心角为270o 的扇形，做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） （A． （B）． （C ）5cm ． （Dcm ．3．如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5cm ， 则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）（A ）2cm 12π．（B ）2cm 8π;（C ）2cm 6π．（D ）2cm 4π． 4．如果圆柱的底面直径为6，母线长为10，那么圆柱的侧面积为（（A ）30π． （B ）60π． （C ）90π． （D ）120π． 5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） （A ）60o ． （B ）90o ． （C ）120o ． （D ）180o ． 6．已知弧长l ＝4πcm ，它所对的圆心角为120o，那么它所对弦长为（ ） （A ）． （B ）． （C ）． （D ）cm ． 7．若圆柱的底面半径为3cm ，母线长为3cm ，则这个圆柱的侧面展开图的面积是（ ） （A ）212cm π． （B ）220cm π． （C ）218cm π． （D ）29cm π． 8．如图，有一住宅小区呈四边形ABCD ，周长为2000m ，现规 划沿小区周围铺上宽为3m 的草坪，则草坪的面积是（精确 到1m 2）（ ）（A ）6000m 2． （B ）6016m 2．（C ）6028m 2． （D ）6036m 2． 二、填空题9．已知120o 的圆心角所对的弧长是6πcm ，则圆的半径为___________． （第7题） 10．扇形的半径为6cm ，面积为9πcm 2，那么扇形的弧长为___________．11．已知扇形的面积为100πcm 2，扇形圆心角的度数为36o，则扇形的周长为__________． 12．圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为_____________．13．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为9cm ，圆心角为240o 的纸板制成的，还需要用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径最小为____________． 三、解答题14．如图，⊙O 的直径12cm ，AB 、CD 为两条互相垂直的直径，连结AD ，求图中阴影部分的面积．DCBDCBA15．有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是36m ，圆弧所对的圆心角为60o ，求这段弯道约有多长．（精确到0.1m ）16．已知矩形ABCD 的长AB ＝4，宽AD ＝3，按如图放置在直线AP 上，然后只转动不滑动，当它旋转一周时，顶点A 经过的路线长等于多少？17．如图，已知半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O /，它们外切于点B ，∠AOB ＝40o，OA ∥CO /，求曲线ABC 的长．18．如图，将△ACO 绕点O 顺时针旋转90o 到△BDO 位置，若OA ＝3cm ，OC ＝1cm ，求阴影部分的面积．PDCBA19．如图，点C 在AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，tan BAC ＝0.75，求阴影部分的面积．四、解答题20．如图，已知扇形AOB 中，∠AOB ＝90o，半径OA ＝2cm ，以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ，过M 引MP ∥AO ，交 AB 于P ，交 O B 于Q ，求阴影部分的面积．21．如图，有一直径为1米的圆形铁片，要从中剪出一个最大的圆心角为90o的扇形ABC ，解答下列各题：（1）被剪掉阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁片围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？五、解答题22．如图，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内，要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的三分之一，扇形的圆心角为多少度？说明你的理由．OBADCA23．在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图所示），现找出其中一种，测得∠C＝90o，AC＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形的半径）．AC B。
六年级圆经典常考题型
六年级圆经典常考题型在六年级数学学习中，圆是一个重要的概念。
以下是一些经典的圆相关常考题型：1.计算半径和直径这种题型要求根据给定的条件计算圆的半径或直径。
例题：一个圆的周长为12.56厘米，求其半径和直径分别是多少？解析：根据圆的定义，我们知道周长等于直径乘以π（pi）。
设该圆的半径为r，由题意可得周长等于2πr。
根据已知条件可列出方程式2πr=12.56。
将π取近似值3.14代入，解方程得到r≈2，即半径约为2厘米。
由此可计算出直径为4厘米。
2.求面积和周长这种题型要求根据给定的条件计算圆的面积或周长。
例题：一个圆的直径为6米，求其面积和周长分别是多少？解析：根据圆的定义，我们知道面积等于半径平方乘以π，周长等于直径乘以π。
设该圆的半径为r，则直径等于2r。
由题意可得半径等于6÷2=3米。
根据已知条件可计算出面积为πr²≈3.14×3²=28.26平方米，周长为2πr≈2×3.14×3≈18.84米。
3.求扇形面积这种题型要求根据给定的条件计算扇形的面积。
例题：一个扇形的半径为8厘米，弧长为12.56厘米，求其面积是多少？解析：扇形的面积等于扇形的圆心角度数除以360度乘以圆的面积。
设该扇形的圆心角度数为x度，由题意可得弧长等于x度除以360度乘以2πr。
根据已知条件可列出方程式x÷360×2π×8=12.56。
将π取近似值3.14代入，解方程得到x ≈180，即圆心角度数约为180度。
由此可计算出扇形的面积为180÷360×3.14×8²≈100.48平方厘米。
4.判断位置关系这种题型要求判断两个圆的位置关系，如内切、外切、相交或相离。
例题：判断两个圆是否相交，其中一个圆的半径为5厘米，另一个圆的半径为8厘米，两圆的圆心距离为10厘米。
解析：两个圆相交的条件是两圆的圆心距离小于两圆半径之和。
28.3.3圆中的计算问题 课件 华师大版数学九年级下册
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180 360
180 2 r 360 90 2 r 360
45 2 r 360
900
90 360
45 360 n 360
450
n0
n 2 r 360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半 径是r，那么 ，扇形面积计算公式为
Q
28.3圆中的计算问题
28.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中 铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
zxxk
解:∵圆心角900
1 图 28.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 则铁轨长是 2 100 50米
4
问题探究
上面求的是圆心角为900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360
c 2r l
l s n r 2 或s 1 lr 扇 形 面 积 S 360 2 n° r O
扇形周长计算公式为
z、xxk
c 2r l
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
初中数学初三数学下册《圆中的计算问题》教案、教学设计
1.教学活动设计
在本节课的导入阶段，我将通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引发学生对圆的关注。接着，提出问题：“你们觉得圆有什么特别之处？”让学生思考并回答，从而激发学生对圆的性质和计算问题的兴趣。
2.教学内容
（1）引导学生观察圆形物体，发现圆的形状特点。
（2）让学生用自己的语言描述圆的定义和性质。
4.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解题方法和技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过对圆的性质和计算问题的研究，使学生体会数学的和谐美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆周角定理等。
2.运用垂径定理、切线定理、弦长公式等解决圆中的计算问题。
3.将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决与圆相关的问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、硬币等，引发学生对圆的兴趣，为新课的学习打下基础。
（3）简要回顾已学的圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在此环节，我将采用讲解、示范、提问等方式，向学生传授圆的基本性质和计算方法。同时，结合实际例子，让学生更好地理解和掌握新知识。
2.教学内容
（1）讲解圆的半径、直径、周长和面积的定义及计算方法。
（2）介绍圆的对称性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
当前学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对新鲜事物充满兴趣。他们对数学学科的兴趣和信心是教学的重要基础。此外，学生在学习过程中可能存在以下问题：对复杂题目的畏惧心理、解题思路不清晰、对知识点掌握不牢固等。
关于圆的数学问题
关于圆的数学问题
关于圆的数学问题有很多，以下列举几个常见的：
1.圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点的距离都相等的点组成的集合。
2.圆的周长和面积：圆的周长为2πr，其中r 为半径；圆的面积为πr²，其中r 为半径。
3.弧长和扇形面积：圆的弧长计算公式为s = θr，其中θ为弧度，r 为半径；圆的扇形面积计算公式为 A = 1/2θr²，其中θ为弧度，r 为半径。
4.弧度和角度的转换：常用的一个圆的弧度等于π角度等于180°。
弧度和角度的转换公式为弧度= 角度×π/180，角度= 弧度×180/π。
5.圆的切线和切点：圆与直线相切时，切点在圆上；圆与另一个圆相切时，切点在两个圆的切线上。
6.圆锥曲线：圆是一种特殊的椭圆，其离心率为0，焦点和焦距均为零。
7.圆锥曲线的方程：圆的方程一般形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
这些是关于圆的数学问题的一些基本概念和定理。
在几何学和解析几何中，圆是一个重要的基础概念，它在很多数学问题中都有重要的应用。
和圆有关的数形结合的问题
和圆有关的数形结合的问题1.圆的周长和面积如何计算？圆的周长（C）可以通过公式2πr计算，其中r是圆的半径，π是圆周率（约等于3.14）。
圆的面积（A）可以通过公式πr²计算，其中r是圆的半径。
2.如何通过数学表达式描述一个圆？数学上，一个圆可以通过一下两种方式进行描述：圆心和半径：可以使用坐标形式表示(xa)²+(yb)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
直径：可以使用坐标形式表示x²+y²=(2r)²。
3.如何利用圆的性质解决问题？圆的性质可以帮助解决各种数形结合的问题，一些常见的性质包括：弧长和扇形面积的计算：根据圆的周长和面积公式，可以计算弧长和扇形的面积。
切线和切点：圆上一点的切线与半径垂直。
切点就是切线与圆的交点。
弦：圆上两点间的线段称为弦。
弦的中点恰好在圆的半径上。
弧度：弧度是表示角度大小的单位，在圆中以弧长比半径定义。
黄金比例：圆的内切正五边形和正五边形可以构成黄金比例。
4.如何解决与圆相关的问题？解决与圆相关的问题，可以参考以下步骤：1.了解问题并确定所求解的内容，清楚问题要求。
2.如果问题中给出了圆的属性，确定所给属性的值。
3.根据所给的属性，使用公式计算所需的结果。
4.如果问题中给出的是图形的关系，运用圆的性质进行推导和分析。
5.根据问题的要求，将计算得到的结果进行解释和应用。
6.最后，检查计算过程和结果是否符合实际情况，回答问题。
通过以上步骤，可以较好地解决与圆相关的数形结合问题，并得到准确的答案。
除了以上的问题回答，还可以根据具体的问题进行回答，比如计算圆的切线长度、求解圆与直线的交点等等。
请具体提供你想要解决的问题，我会给予进一步的解答。
圆的有关计算(例题+练习+详解)
知识框架知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π= 3 .圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213V r h π=知识点二：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形S lBAO母线长底面圆周长C 1D 1DCBAB1RrCBAODCBAOECBADOD(B ')A(A ')D 'C 'CBCBDOA 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.【例题经典】考点1：圆的周长、弧长中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。
[例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C•从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.162cm C.8πcm D.42πcm[例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求DE 的长度．【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．考点2：扇形及不规则图形的面积求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
关于圆形的数学问题
关于圆形的数学问题
1. 请问圆的直径和半径有什么关系？
圆的直径是一个通过圆心的线段，它等于圆半径的两倍。
换句话说，圆的直径是圆的半径的两倍。
表达式为：直径 = 2 ×半径。
2. 如何计算圆的周长和面积？
圆的周长可以通过公式C = 2πr 来计算，其中 r 为圆的半径，π 是一个无限不循环小数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A = πr² 来计算，其中 r 为圆的半径，π 同上。
3. 如何计算圆的弧长和扇形面积？
圆的弧长可以通过公式L = θ/360 × 2πr 来计算，其中θ 为弧度数，r 为圆的半径。
圆的扇形面积可以通过公式A = θ/360 × πr² 来计算，其中θ 为
弧度数，r 为圆的半径。
4. 如果已知一个圆的周长，如何计算其半径和直径？
圆的周长可以用公式C = 2πr 表示，其中 r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的周长 C，可以通过C = 2πr 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
5. 如果已知一个圆的面积，如何计算其半径和直径？
圆的面积可以用公式A = πr² 表示，其中r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的面积 A，可以通过A = πr² 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
这是一些关于圆形的常见数学问题和公式。
如果您有其他问题，请随时提问。
圆中的计算问题
圆中的计算问题教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。
理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。
能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。
2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。
学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。
了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。
4、会把实际问题抽象成数学问题。
学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。
养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。
【知识重点与学习难点】重点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的180、n表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。
2、会计算扇形的面积。
对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。
要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的,圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的.公式中的n与弧长公式中的n 一样，理解为1°的倍数,不带单位。
3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点 1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。
2、圆锥的侧面展开图——扇形的圆心角的计算。
通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。
会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。
【教学过程】一、弧长和扇形的面积：提出问题：让学生思考后，再做回答。
由此教师总结出弧长与扇形面积的计算公式：在这里要注意：1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝2πR,1°的圆心角的弧长就是圆周长的即，故圆心角为n°的弧长等于，即。
强调这里的n表示1°的圆心角的倍数，是不带单位的。
九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。
已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。
④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
23.3.1-圆中的计算问题-弧长与扇形面积新
,
∴铁轨的长度l ≈ 2 3.14100 =157.0（米）
4
思考(一) 图23.3.2中各圆心角所对的弧长分别是
圆周长的几分之几？
图 23.3.2
探索(一)
1、圆心角是180°，占整个周角的1138600 ，因 此它所对的弧长是圆周长_____2_____；
2、圆 此心 它角所是对的90弧°长，是占圆整周个长周的角_的_14__39_6040_5，___因_； 345、 、 、圆 此 圆 此 圆心 它 心 它 心角所角所角是对是对是41的的n°5°弧弧°占，长 长，整占是 是占个整圆 圆整周个周 周个角周长 长周的角的 的角_的__的___81_____3_3_6n____610_____03____6，_n0___3__因__61，，__0__因因；；
此它所对的弧长是圆周长的_____3_6_0___；
思考(二)
如果弧长为 ，l圆心角度数
为n，圆的半径为r，你能用n,r
表示弧长 l吗？
弧长的计算公式： r
l=
n 360
·2
r
=
nr
180
图 23.3.2
注意
（1）在应用弧长公式l nR ， 进行计算
时，要注意公式中n的意义1．80n表示1°圆心 角的倍数，它是不带单位的；
如图，水平放置的一个油管的横截 面半径为12cm,其中有油的部分油面 高6cm,求截面上有油部分的面积(结 果精确到0.1cm2).
O
A
B
如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB的长为6，CD的长为10，AC=12， 求阴影（红色）部分ABDC的面积．
C
A
O
BD
例3
已知：圆环的外圆周长 C1 250 cm，内圆周长 C2 150 cm, 求圆环的宽度 d（精确到1mm）
初中数学圆的经典题型
初中数学圆的经典题型以下是一些初中数学中关于圆的经典题型：1.求圆中阴影部分的面积。
这种题目通常会给出圆的半径，或者圆中阴影部分的形状，要求你求出阴影部分的面积。
阴影部分的形状可能是扇形、弓形等。
2.求圆的外切多边形的面积。
这种题目通常会告诉你圆的外切多边形的边长，或者圆的外切多边形的面积，要求你求出圆的半径。
外切多边形的形状可能是正方形、正六边形等。
3.求圆中弦的长度。
这种题目通常会告诉你圆的半径和弦与圆心的夹角，或者弦所对的圆心角，要求你求出弦的长度。
4.求圆中两条平行弦之间的距离。
这种题目通常会告诉你圆的半径和平行弦之间的夹角，或者平行弦所对的圆心角，要求你求出两条平行弦之间的距离。
5.求圆中弧的长度。
这种题目通常会告诉你圆的半径和弧所对的圆心角，或者弧所对的弦的长度，要求你求出弧的长度。
弧的长度可以用圆的周长乘以弧所对的圆心角的比例来求解。
6.求圆中角度的大小。
这种题目通常会告诉你圆的半径和圆中两条弦之间的距离，或者圆中两条弦所对的圆心角的大小，要求你求出这个角度的大小。
角度的大小可以用圆周角公式来求解。
7.求圆的内接多边形的面积。
这种题目通常会告诉你圆的内接多边形的边长，或者圆的内接多边形的面积，要求你求出圆的半径。
内接多边形的形状可能是正方形、正六边形等。
8.求圆中点到直线距离最短的点的坐标。
这种题目通常会给你一个圆和一条直线，要求你求出圆中点到直线距离最短的点的坐标。
可以通过作圆的切线，切线与直线的交点就是距离最短的点。
9.求圆外一点到圆的最短距离。
这种题目通常会给你一个圆和圆外一点，要求你求出这一点到圆的最短距离。
可以通过连接这一点与圆心，得到的线段与圆的交点就是最短距离的点。
10.求圆内接正多边形的边长。
这种题目通常会告诉你圆的半径和圆内接正多边形的边数，要求你求出圆内接正多边形的边长。
可以通过作圆的直径，将圆分成若干等份，然后计算每一份的长度即可。
11.利用圆的性质求角度大小。
九年级下册数学圆中的计算问题华师大版
圆中的计算问题一、中考导航图圆中的计算问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩弧长公式扇形的面积公式圆锥的侧面积圆锥的表面积二、中考课标要求┌───┬───────────┬────────────┐│││知识与技能目标││考点│课标要求├──┬──┬──┬───┤│││了解│理解│掌握│灵活应用├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤││会进行圆的周长,弧长的│││∨│∨││圆│计算││││││中├───────────┼──┼──┼──┼───┤│的│掌握圆、扇形及简单图形││││││计│面积的计算│││∨│∨││算├───────────┼──┼──┼──┼───┤│问│了解圆锥的侧面展开图│∨│││││题├───────────┼──┼──┼──┼───┤││能进行圆锥的侧面积和全│││││││面积的计算││∨││∨│└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘三、中考知识梳理1.关于弧长、扇形面积的计算通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题。
D(B ')A(A ')D 'C 'C B 2.有关圆锥侧面积、全面积的计算正确区分圆锥侧面展开图的各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此问题的关键。
四、中考题型例析例1 (2003·某某)如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C•从开始到结束所经过的路径长为( )A.16cmB.16ππcm解析:在旋转过程中,AC 的长度不变,所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长,•是以A 为圆心,AC 长为半径的90°的弧长,L=90180π⋅⋅π. 答案:D.例2 (2004·某某)如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,•它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)•的面积之和是( ) π B.π C.23π D.2π 解析:根据题设条件,无法求出四个扇形的圆心角,因而从整体上考虑,可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角,从而可求出阴影部分的面积.答案:B.3. 圆柱、圆锥的相关计算例3 (2003·某某)用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( )A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm解析:圆锥的底面周长即开展图是扇形的弧长.设圆锥底面半径为R,则2R=12×2π×6,∴R=3,故选B.答案:B.点评:正确理解圆锥与侧面展开图各种量之间的关系是解决此类题目的关键.。
中考专题复习[34]ZZzzl圆中的计算问题
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D.
A D
分析：连接AM， ∵ BC切圆弧于M， ∴ AM⊥BC 作DF⊥BC，
E B M
F
C
∵ ABCD为等腰梯形 1 1 ∴ BM = FC = (BC - MF) = (6 - 2) = 2 2 2
9
四、提高练习 1. 如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半 径的圆与BC切于点M与AB交于点E，若AD = 2，BC = 6， 则DE的长为（ A ）
数学中考专题复习
圆中的计算问题
一、本节课主要知识点
1. 弧长公式：n°圆心角所对的弧长l = 2. 扇形的面积公式
n r . 180
n r 2 （1）n°圆心角的扇形面积S扇 = . 360 （2）弧长为l的扇形面积，S扇 = 1 lr . 2
2
3. 圆柱的侧面展开图及计算
矩形 ，它的长等于圆柱的 （1）圆柱的侧面展开图是_____ 底面周长 ，宽是圆柱的____. 高 __________
7
2. 有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r. 现要围绕笔筒 的表面由A至A1（A、A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银 色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_____________. 4 2 r 2 h2
A1 A A1 A C
分析：∵ 圆柱的侧面展开图是矩形， ∴ 这条金属线的最短长度就是 这个矩形的对角线长，如图
3 A. 2
3 B. 4
3 C. 8
D.
A D
分析：∴ AM = BM = 2
1 ∴ ∠B = ∠BAM = ×90°= 45° E 2 B M ∴ ∠EAD = 45°+ 90°= 135° n r 135 2 3 l= = = 180 2 180 ∴ 选A.
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圆中的计算问题一、一周知识概述1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：．说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”．(2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示．(3)在弧长公式中，已知，n，R中任意两个量，都可以求出第三个量．(4)在用弧长公式求n时，要注意与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360．2、扇形面积扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB和所构成的图形也是扇形．3、扇形的面积公式．如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形=②．说明：(1)公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10．(2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高．(3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②．(4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量．4、圆锥的侧面积和全面积圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：S侧=πr．圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即S全=πr(r＋)．说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．(2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长．(3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积．二、重难点知识理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形面积公式的应用，圆锥侧面积求法．三、典型例题例1、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O＝90°，则的长为（）(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是( )A．2πB．4πC．6πD．8π分析：(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，⊙O的半径为，由此不难求出三段弧的长度和；(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．解：(1)B；(2)B．总结：运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．例2、解答下列各题：(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为（）(2)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是（）A．P=Q B．P＞Q C．P＜Q D．不能确定分析：题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点；(2)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．解：(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．∴，故选B．(2)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则故选择A．总结：本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(2)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．例3、如图，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图）.解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图。
设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知.又AB切小半圆于点H，故，故总结：本题中的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的特殊位置。
具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．例4、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)圆锥的表面积．分析：如图所示，AO为圆锥的高，经过AO的剖面为等腰三角形ABC．圆锥的母线长与底面半径之比即︰r，圆锥的表面积即圆锥的侧面积(半圆的面积)与圆锥底面积之和．解：(1)如图所示，∵圆锥的侧面展开图是半圆，且圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，即2πr=πl∴．圆锥的母线长与底面半径之比为2︰1．(2)在Rt△AOC中，AC2=AO2＋OC2，即l2=h2＋r2．又∵l=2r，h=，∴(2r)2=()2＋r2．∴3r2=27．∴r=3．∴l=2r=6．∴S表面积=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6 π＋π×32=27π(cm2)，即圆锥的表面积为27πcm2．例5、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)画圆锥的侧面展开图．分析：(1)圆锥的轴截面是等边三角形，则底面圆半径是母线长的一半，利用这个关系及勾股定理求出底面半径，母线长，即可求出圆锥的侧面积和表面积；(2)画圆锥的侧面展开图时，由于圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，故求其圆心角的度数即可．解：(1)如图，已知△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且，则．设DC=r，则AC=2r．在Rt△ADC中，，解之得r=2cm∴S侧=πr·2r=2πr2=8πcm2S表=S侧＋S底=πr·2r＋πr2=3πr2=12π；(2)∵圆锥的侧面展开图为扇形．设其圆心角为n°．∴，∴n=180∴此时圆锥的侧面展开图是个半圆．如图所示．选择题1、如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．10π C．12πD．20π2、若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm2，则扇形的弧长是（）A．5πcm B．20πcm C．40πcm D．10πcm3、如图所示，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是（）．A．B． C．D．4、如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B点D．无法确定5、如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为（）cm．A．10πB．15π C．20πD．30π6、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为（）cm2（取π3.14）．A．9420 B．9419 C．9421 D．94187、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是（）．A． B．C．D．8、如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长为36m．母线长8m，为防雨在粮仓顶部铺油毡，需铺油毡面积是（）m2．A．140 B．144 C．145 D．1489、若圆锥和圆柱的底面半径都等于10cm，高为，则圆锥和圆柱的侧面积的比为（）A．1︰3 B． C．1︰2 D．10、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（）A．R=2r B． C．R=3r D．R=4rB 卷二、填空题11、如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠．则小猫所经过的最短路线是m．12、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是_________cm(不取近似值)．三、解答题13、如图，等腰直角△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，求图中阴影部分的面积(结果用π表示)．14、如图所示，扇形OAPB的半径为20 cm，∠AOB=90°，以OB的中点M为圆心，OM为半径作圆，过点M作OA的平行线，交⊙M于点N，交于点P，则劣弧与NP围成的阴影部分的面积是多少?15、一个扇形如图，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面．求圆锥底面半径和圆锥的高．16、工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做一个圆锥形模型．(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图)；(2)何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高，求出此时圆锥模型底面圆的半径．中考解析弧长、扇形面积和圆锥的侧面积、全面积问题多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。