圆中的计算问题

圆中的计算问题

一、一周知识概述

1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于

是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：．

说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”．

(2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示．

(3)在弧长公式中，已知，n，R中任意两个量，都可以求出第三个量．

(4)在用弧长公式求n时，要注意与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360．

2、扇形面积

扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．

如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB和所构成的图形也是扇形．

3、扇形的面积公式．

如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形=②．

说明：(1)公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10．

(2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高．

(3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②．

(4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量．

4、圆锥的侧面积和全面积

圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线．

圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高．

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：

S侧=πr．

圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即

S全=πr(r＋)．

说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．

(2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长．

(3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积．

二、重难点知识

理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形面积公式的应用，圆锥侧面积求法．三、典型例题

例1、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O＝90°，则

的长为（）

(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是( )

A．2πB．4πC．6πD．8π

分析：

(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，⊙O的半径为，由此不难求出三段弧的长度和；

(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的

半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．解：(1)B；(2)B．

总结：运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．

例2、解答下列各题：

(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为（）

(2)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是（）

A．P=Q B．P＞Q C．P＜Q D．不能确定

分析：

题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点；(2)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．

解：

(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．

∴，故选B．

(2)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则

故选择A．

总结：

本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(2)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．

例3、如图，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.

分析：

在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图）.

解：

移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知.

又AB切小半圆于点H，故，故

总结：

本题中的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的特殊位置。具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．

例4、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：

(1)圆锥的母线长与底面半径之比；

(2)圆锥的表面积．

分析：

如图所示，AO为圆锥的高，经过AO的剖面为等腰三角形ABC．圆锥的母线长与底面半径之比即︰r，圆锥的表面积即圆锥的侧面积(半圆的面积)与圆锥底面积之和．

解：

(1)如图所示，∵圆锥的侧面展开图是半圆，且圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，即2πr=πl

∴．圆锥的母线长与底面半径之比为2︰1．

(2)在Rt△AOC中，AC2=AO2＋OC2，即l2=h2＋r2．

又∵l=2r，h=，∴(2r)2=()2＋r2．

∴3r2=27．

∴r=3．∴l=2r=6．

∴S表面积=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6 π＋π×32=27π(cm2)，

即圆锥的表面积为27πcm2．

例5、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)画圆锥的侧面展开图．