直线参数方程及弦长公式共21页
直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
直线标准参数方程
直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式，用于描述直线的性质，表示直线的位置，方向，长度，以及与其他直线之间的关系。
它可以用一个公式表示，为：
Ax + By + C = 0
其中，A，B和C是实数，A和B不能同时为零。
当A和B都不为0时，以A和B确定直线的斜率，C确定直线与原点的距离。
在这里，A，B，C的取值受到斜率和距离的限制，且有一定的规律：
（1）当A，B和C都不为0时，C的符号取决于斜率是否小于1，即：
①当斜率小于1时，C为正；
②当斜率大于1时，C为负。
（2）当A或B不为0时，当斜率大于或小于1时，A，B及C的符号可能不一定；
（3）当A不为0而B为0时，A为正，C，B及C不一定。
符号及规律只影响参数A，B，C的取值，不影响直线的位置，方向和长度。
因此，直线的标准参数方程可以表示为：Ax + By + C = 0，它
与斜率和距离之间有着紧密的联系，且可根据斜率及距离的不同来决定A，B和C的取值。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
直线的参数方程
直线的参数方程
直线是数学中最著名的几何体，在几何学和数学中，几乎没有比直线更重要的几何体。
直线有着许多有趣的性质，这些性质被称为“参数方程”。
参数方程定义了一条直线的性质，并用来解决复杂的数学问题。
参数方程的定义是：一条直线的参数方程是一个二元一次方程，其形式为：Ax + By + C = 0。
其中A，B和C是常数，x和y 为坐标变量。
参数方程的根据直线的特征而定义的。
例如，如果一条直线的斜率是m，那么它的参数方程为：y-y1= m(x-x1)。
其中m=斜率，x1和y1为直线上的某一点的坐标。
如果一条直线经过坐标原点，其参数方程为：y=mx，其中m为斜率。
如果一条直线的斜率为无穷大，则它的参数方程为：x=c，其中c为直线的一个游离参数。
当一条直线的斜率为零时，它的参数方程为：y=c，其中c为直线的另一个游离参数。
因此，参数方程定义了一条直线在坐标系中的位置，并用它可以描述任何一条直线在数学上的特征。
参数方程在许多方面都很有用，它不仅可以描述直线，而且可以帮助定义和解决复杂的几何问题或数学问题。
参数方程可以帮助研究者求解复杂的几何问题，例如求解两条直线的交点、求解两条
直线的位置关系等。
此外，参数方程还可以帮助解决复杂的数学问题，例如求解一元多次方程、求解曲线积分等。
总而言之，参数方程是一种强大而有效的数学工具，它可以帮助研究者解决各类几何和数学问题。
它可以帮助研究者更有效地描述和研究直线的各种性质和特征。
因此，参数方程在几何学和数学中有着十分重要的地位，是几何学和数学研究的重要工具和理论基础。
直线的参数方程
b2
1时，
t才具有此几何意义
其它情况不能用。
直线非标准参数方程的标准化
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
x 1t
y
3
3t
x
x0
y
y0
a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
x
1
1 12 (
( 12 ( 3)2 t) 3)2
y 3
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
0的 一 个 参 数 方 程 是 y
1 2
2
2 2
t
t （t为参数）
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
例2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
由韦达定理得： t1 t2 2，t1 t2 2
3
( 12 ( 3)2 t)
12 ( 3)2
x
x0
y
y0
a t a2 b2
b t a2 b2
x 1
y
3
1 t 2 3 t 2
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。
在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式来表示。
另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。
参数方程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。
x=x₀+a·t,y=y₀+b·t,其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相关的参数。
参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任意一点的坐标。
另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。
下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的方法。
1.斜率-截距形式的直线方程假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数：x=t,y = mt + c.这样，我们就得到了直线的参数方程。
其中，t是参数，(x,y)是直线上的任意一点。
参数方程的参数a和b分别为1和m。
2.两点间的直线方程首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。
该向量的分量为：a=x₂-x₁,b=y₂-y₁.然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值：x₀=x₁,y₀=y₁.最后x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t,y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t.3.一般直线方程的参数方程假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数：x=x₀+a·t,y=y₀+b·t.在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为：a=-B,b=A.其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。
总结起来，直线的参数方程可以用以上三种常见形式表示。
在给定直线的已知信息之后，我们可以根据特定的情况选择合适的参数方程形式，并确定参数值。
通过确定参数值，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以直观地描述直线的方向和倾斜角度。
参数方程直线的参数方程ppt
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线，是指圆周上任意一点和直线之间的距离。
它
是围绕椭圆形状的弧度计算而来，广泛应用于空间几何学，可以帮助
人们计算椭圆形状的弧度和距离的大小。
弦长公式圆与直线的公式表示如下：弦长C = 2 * π * a * ( 1
–cosα ) / α，其中a 是圆的半径，α是两点所形成的角的大小，位于-π/2 到π/2之间。
根据公式，可以计算当α=0时，弦长C=2*π*a，也就是圆的周长，而α=π/2时，弦长C=π*a，也就是圆的直径。
除了用于计算椭圆形状的弧度，弦长公式圆与直线还可以用于计
算椭圆内部和外部两点之间的距离。
例如，如果有起点A和终点B，可
以通过弦长公式来计算AB之间的距离。
此外，弦长公式也可以用于计算直线上任意两点之间的距离以及
曲线上两点之间的弧长。
这些计算都是根据两点之间的角度和距离来
计算的。
总之，弦长公式圆与直线是一种有用的工具，可以帮助人们计算
椭圆形状的弧度和距离，也可以用于计算直线上和曲线上两点之间的
距离。
通过使用这一工具，人们可以更准确地计算出椭圆形状的弧度
和距离，从而更好地理解几何中的圆形形状。
直线的参数方程
������
������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= (������������ + ������������ ) -������������������ ������������ = .
������
������
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗?
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 ������ = ������ 2 数方程 ������ = ������������ ������ (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . ������ + ������- ������ = ������ 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 ������ ������ = ������������ x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).
入椭圆方程可得:
������ ������
2
(������-������) ������
������
+(1+t) =1,
������������ + ������������ = ������������ ������������ =
������ ������ ������ ������
2
即 t + t+ =0.
������ = ������������ + ������������, (t 为参数) ������ = ������������ + ������������ ,这里的
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 ������ = ������������ + ������������������������������, (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, ������ = ������������ + ������������������������������
直线的参数方程及弦长公式共23页文档
直线的参数方程及弦长公式
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
直线的参数方程 ppt课件
课本P39 3
t= t1 t2 2
26
2728Βιβλιοθήκη 29课本P39 4
30
作业：
书面作业：习题2.3 第1题
课后思考：结合课本第26页习题第2题，思考：直线的 参数方程唯一吗？和本节课所学的参数方程
xy=x0y0tctossin(t是参数）
对比要注意什么？参数t的意义还一样吗？
问题情景
若t<0,则 M 0M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
|t|=|M0M|
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
解 ： x y y x 21 由 如0果得 在x 学2 习： x 直1 线0的参(数*方)程之前,你会怎 由样韦 求解达 本x1题定 x 呢2 ？1 理 ， x1x得 21：
两点的距离之积。
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
所以点M在直线上.
B
所以直线的参数xy=方-12程+t可tcsoi以sn 33写4 成(t为参数）O
x
即x 1
2t 2 (t为参数）
y
2
2t 2
y
A
M(-1,2)
把它代入抛物线y=x2的方程,得
B
t2 2t 2 0
35
（2）
直x线 y10的
一
个
参
数
方 x程 y 1是 22 t22
t （t为
参
数
）
。
15
小结:
1.直线参数方程的标准式
直线标准参数方程
直线标准参数方程直线是平面几何中最基本的几何图形之一，而直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式。
在数学中，直线标准参数方程的形式为：x = x1 + at。
y = y1 + bt。
其中(x1, y1)是直线上的一点，a和b是实数参数，t是参数。
直线标准参数方程的优点之一是可以方便地表示直线在平面上的方向和位置。
在实际问题中，我们经常需要描述直线的位置和方向，直线标准参数方程可以直接给出直线的参数方程，而无需通过斜率和截距等方式来描述。
另一个优点是直线标准参数方程可以方便地表示直线上的任意一点。
通过参数t的变化，我们可以得到直线上的各个点的坐标，这对于直线上点的运动和轨迹的描述非常有用。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设有一条直线，过点A(1,2)，且与向量v(3,4)平行。
我们可以使用直线标准参数方程来描述这条直线。
首先，我们知道直线上的一点A(1,2)，可以将其坐标代入直线标准参数方程中，得到：x1 = 1。
y1 = 2。
然后，由于直线与向量v(3,4)平行，我们可以取直线的参数方向向量为v(3,4)，即a=3，b=4。
这样，直线的标准参数方程为：x = 1 + 3t。
y = 2 + 4t。
通过这个参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，也可以直观地看出直线的方向和位置。
在实际问题中，直线标准参数方程可以帮助我们更方便地描述直线的性质和特点，也可以方便地进行直线上点的运动和轨迹的分析。
总之，直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式，它可以方便地表示直线的方向和位置，也可以方便地表示直线上任意一点。
在实际问题中，直线标准参数方程有着广泛的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用直线的性质和特点。
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几os t sin
t 的几何意义为：直线上某点到定点 M 0 的距离.
例二：设直线 l1过点 A(2,4)
，倾斜角为 5
6
,求直线 l1的参数方程,设直线
l2 : x y 1 0 ，l1 与 l2交点为B，求点B与点A的距离 .
cos sin
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几何意义。
理论基础：已知直线过点 M0 (x0, y0 ),倾斜角
M
x y
x0 y0
t t
cos sin
M
'
x y
x0 y0
t t
cos sin
所以，直线的参数方程为
x y
x0 y0
t cos t sin
直线的参数方程
例一：设直线l 过点 A(1,3) ，且与向量 (2,4) 共 线，求直线 l 的参数方程.
例一：设直线l 过点 A(1,3) ，且与向量 (2,4) 共 线，求直线 l 的参数方程.
解：
x 1 2t
y
3
4t
2010年辽宁高考题23题
已知点A的坐标为(1,0),点M的极坐标为 ( , )
所以， AB 7( 3 1)
例三：已知直线
经过点P（1,1）,倾斜角
6
，（1）写出直线
l
的参数方程。（2）设 l 与圆 x 2 y 2 4 相交与两点A、B，求点P
到A、B两点的距离之积。
参数，也叫参变量，是一个变量。 如果我们 引入一个变量来描述x与y的关系时，引入的变量 本来并不是当前问题必须研究的变量，我们把这 样的变量叫做参变量或参数。
，倾斜角为 5