数学毕业论文如何构造辅助函数
高数罗尔定理构造辅助函数的方法
高数罗尔定理构造辅助函数的方法《高数罗尔定理构造辅助函数的方法》一、解决方案1.高数罗尔定理高数罗尔定理是数学中一类有用的关系，高数罗尔定理可以用来通过构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题。
具体的内容是：高数罗尔定理指出，若有一组函数，其中E相互独立，则它们可以表示为一个独立的恒等函数的联合。
2.建立模型在利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题之前，必须首先建立一个合理的数学模型，并将数据录入模型中，这样可以使模型能够有效地进行数学求解。
为此，应该在建立模型前充分考虑数学问题的解决思路，确定引入的变量，确定公式的计算过程等。
在建立模型完成后，就可以利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法进行求解了。
二、构造辅助函数1.基本思路利用高数罗尔定理构造辅助函数的基本思路是将数学模型中的函数表示为一个独立的恒等函数的联合，从而实现问题的求解。
用以下公式可以描述这一思路：F(x) = f(x1,x2,…,xn)其中，f(x1，x2，…，xn)表示原模型，F(x)表示新恒等函数2.具体步骤（1）将模型中的变量按某一意义顺序进行排列；（2）将原模型按变量的顺序推导至最小阶段；（3）设置恒等函数，例如F(x1,x2,…,xn)，x1＝F(x2,x3,…,xn)；（4）依然利用原模型，推出另外一个恒等函数，例如G(x2,x3,…,xn)，x2＝G(x3,x4,…,xn)；（5）将A和B抽象为新的恒等函数P(x)，比如P(x)=F(G(x))；（6）根据原函数模型将恒等函数的每一部分的参数定义为求解问题的变量；（7）根据设定的变量，用高数罗尔定理，把P(x)表示为恒等函数的联合，即：P(x)=F(x1,x2,…,xn)=G(x1,x2,…,xn)（8）利用推导至恒等函数的形式进行求解，从而解决数学问题。
三、总结以上针对如何利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题进行了详细阐述。
高数罗尔定理可以一定程度上解决求解复杂的数学问题，但也存在一定的局限性，比如当数学模型中的变量数量较多时，可能就不能满足高数罗尔定理的要求。
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理是微积分中重要的定理之一，它是用来描述凸函数的性质的。
在构造辅助函数时，我们可以使用中值定理来简化问题或某些证明。
具体方法如下：
1. 构造辅助函数：根据问题的特点，构造一个合适的辅助函数。
辅助函数的选择要根据具体问题来决定，可以是原函数的导数，原函数的积分等。
2. 应用中值定理：利用构造的辅助函数应用中值定理来得到有关函数的性质。
中值定理通常有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
具体选择哪个中值定理要根据辅助函数的性质和问题的要求来决定。
3. 利用中值定理的结论解决问题：根据中值定理的结论，进一步推导出问题的解决方法或者证明某些性质。
需要注意的是，构造辅助函数和应用中值定理需要根据具体的问题进行判断和分析。
不同的问题可能需要不同的辅助函数和中值定理形式来求解或证明。
因此，在使用中值定理构造辅助函数的时候，需要根据问题的特点灵活运用。
辅助函数在数学中的应用 毕业论文
09级毕业论文答辩稿辅助函数在数学中的应用学号： *********组别：内容提要高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，在数学中的应用是非常重要的.当我们遇到特殊的题目时，用常规方法可能比较复杂.这时我们就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.因此，学习构造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的.本论文是从证明定理与解题两方面分别来阐述辅助函数的作用，通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用.关键词：辅助函数定理证明AbstractSummary：The auxiliary function is applied to higher mathematics as adding auxiliary line in geometry. It’s applications of mathematics is very important. Use the conventional method may be complicated when we encounter special problems. Then we can construct the auxiliary function like a bridge do not need a lot of algorithm to get the result. Therefore, it is very helpful for us to study the structure of auxiliary function to prove and solve problem. This paper expounds the application of auxiliary function respectively from two aspects of theorem proving and problem solving. Through this paper we will know better in mathematics.Keywords: auxiliary function theorem testify目录一、绪论 (1)二、辅助函数在定理证明中的应用 (1)(一) 构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式 (1)(二) 构造辅助函数证明泰勒公式 (2)(三) 构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 (4)三、辅助函数在解题中的应用 (5)(一) 构造辅助函数证明恒等式 (5)(二) 构造辅助函数证明不等式 (7)(三) 构造辅助函数讨论方程的根 (9)(四) 构造辅助函数证明中值问题 (10)(五) 构造辅助函数求极限 (11)四、总结 (12)参考文献 (13)后记 (13)辅助函数在数学中的应用一、 绪论辅助函数是一种让我们更好的，更简单的学习数学知识的方法，.我在本文讨论了一下辅助函数的应用，发现它在数学中的应用是非常广泛的.我们学习数学不只是探索与发现，还有找到最简单的方法解决问题，本文主要内容是关于一些定理的证明，如牛顿-莱布尼兹公式的证明，泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明.这三个定理是我们在学习数学过程中经常用到的，掌握它们的证明非常关键.当然它们的证明有很多方法，这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明.另外还有关于解题时运用构造辅助函数的方法，有关于不等式的证明，恒等式的证明等.我们可以知道在解题方面，辅助函数也是比较适用的，本文就辅助函数的构造举例来说明.二、 辅助函数在定理证明中的应用(一) 构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，关于它的证明是我们必需要掌握的，学好牛顿-莱布尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.定理1 若()f x 在[],a b 上是连续的，且()F x 是()f x 在[],a b 上的一个原函数，那么()()()baf t dt F b F a =-⎰分析 首先我们来构造辅助函数()()xax f t dt φ=⎰，现在，我们来研究这个()x φ函数的性质.我们定义函数()()xax f t dt φ=⎰，那么()x φ连续，若()f x 连续，则有()()x f x φ'=.证明：让函数()x φ获得一个增加的量x ∆，则对应的函数增量 ()()()()()x xxaa x x x x f t dt f t dt φφφ+∆∆=+∆-=-⎰⎰那么可以根据区间的可加性，()()()x xxx xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆-=⎰⎰⎰假设m 、M 分别是()f x 在,a b ⎡⎤⎣⎦上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数[,]m M η∈，使得()x xxf t dt x φη+∆∆==⨯∆⎰当()f x 连续时，存在(,)x x x ε∈+∆，使得()f ηε= 于是当x ∆趋近于0时，φ∆趋近于0，即()x φ是连续的. 若()f x 连续，当0x ∆→，x ε→，()()f f x ε→，则 0lim ()x f x xφ∆→∆=∆.从而我们得出()()x f x φ'= 现在，我们来证明牛顿-莱布尼兹公式.证明 我们在上面已经证得()()x f x φ'=，所以，()()x C F x φ+=.显然，()0a φ=（因为积分区间为[],a a ，故面积为0），所以()F a C =. 于是有()()()x F x F a φ=-,当x b =时()()()b F b F a φ=-.此时，我们就得到了牛顿-莱布尼兹公式. 证毕.(二) 构造辅助函数证明泰勒公式泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式，在函数某一点的各阶导数值已知的情况下，泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日余项型）.定理2 若函数()f x 在开区间(),a b 有直到1n +阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于0()x x -的多项式和一个余项的和，即'''()20000000()()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R n =+-+-+⋅⋅⋅+-+ 分析 我们知道'000()()+()()f x f x f x x x α=-+，那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理，得到 '0000lim ()()()x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆当lim 0x ∆→，则0lim x x →时，误差0α→.因此，在近似计算时时不够精确，那么我们就需要构造一个足够精确的能把误差估计出来的多项式，这个多项式是2010200()()()()n n P x A A x x A x x A x x =+-+-+⋅⋅⋅+-来近似表示函数()f x ，并且，还要写出误差()()f x P x -的具体表达式.这时，我们开始证明.证明 设函数()P x 满足00()()P x f x =，''00()()P x f x =，''''00()()P x f x =，… ，()()00()()n n P x f x =，依次求出012,,,,n A A A A ⋅⋅⋅显然，00()P x A =，则00()A f x =；'01()P x A =,'10()A f x =；''02()2!P x A =⨯，''02()=2!f x A ，…，()0()!n P x n An =⨯,()0()!n f x An n =;至此，这个多项式的各项系数都已经求出，得''()'20000000()()()()()()()()2!!n n f x f x P x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋅⋅⋅+-接下来，我们需要求出误差的具体表达式.设()()()n R x f x P x =-，则000()()()0n R x f x P x =-= 故得出'''()0000()()()()0n n n n n R x R x R x R x ===⋅⋅⋅==由柯西中值定理可以得到'01110010()()()()()()0(1)()n n n n n n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++-==---+-，10(,)x x ξ∈. 继续使用柯西中值定理得''''1021102()()()(1)()0(1)()n n n n n R R x R n x n n x ξξξξ--=+--+-， 这里2ξ在1ξ与0x 之间；连续使用1n +此后，得出(1)210()()()(1)!n n n n R x R x x n ξ++=-+，但是(1)(1)(1)()()()n n n nR x f x P x +++=-，因为()()!nP x n An =⨯，!n An ⨯是一个常数，所以(1)()0n P x +=，于是得(1)(1)()()n n n R x f x ++=.综上所述，余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+， 这样，泰勒公式得证.(三) 构造辅助函数证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，也是柯西中值定理的特殊情况.它的应用非常广泛，像洛必达法则，泰勒展开式都是它的应用.对于它的证明，我们知道有很多的方法来证明它，现在我们做辅助函数来证明.定理3 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则在(),a b 至少存在一点ξ，使得'()()()f b f a f b aξ-=-分析 从结论中可以看出，若将ξ换成变量x ，则可得到一阶微分方程'()()()f b f a f x b a-=-其通解为()()()f b f a f x x C b a-=+-.若将函数C 变为x 函数()C x ，那么得到一个辅助函数，()()()()f b f a C x f x x b a-=--.现在我们来开始证明 证明 做辅助函数()()()()f b f a C x f x x b a -=--，有()()()()bf a af b C a C b b a-==-.则()C x 满足罗尔定理的三个条件，故在(),a b 至少存在一点ξ使'()()()()0f b f a C f b aξξ-=-=-’所以()()()0f b f a f b aξ--=-’.拉格朗日中值定理证毕.三、 辅助函数在解题中的应用(一) 构造辅助函数证明恒等式恒等式是很常见的一种题型，对于这种题型的证明，找到简单快速的证明方法可以节省很多时间.如对于下面的题，形式比较复杂，还存在一阶导数，我们可以构造辅助函数，然后变幻形式，创建出中值定理的成立条件，利用中值定理来证明，就会很简单了.例1 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，证明在(),a b 内至少存在一点ξ，使得'()()()()bf b af a f f b aξξξ-=+-分析 令()()bf b af a k b a-=-，则()()bf a kb af a ka -=-为关于a 与b 的对称式，故取()()F x xf x kx =-.证明 令()()()()bf b af a F x xf x x b a-=--则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，又因为()()0F a F b ==，所以()F x 在[],a b 上满足罗尔定理， 那么存在一个(,)a b ξ∈，使得'()0F ξ=. 即'()()()+()0bf b af a f f b aξξξ--=-，即'()()()+()bf b af a f f b aξξξ-=-.上题构造辅助函数后应用了罗尔定理，使得上式证明变得简单明了.下面这个题属于条件恒等式，我们要看好条件，可以适当的进行变形，做辅助函数.例2 设()f x 在[)0,+∞上连续，在[)0,+∞内可导，且20()1xf x x≤≤+，则至少存在一点[)0,ξ∈+∞，使得2'221().(1)f ξξξ-=+ 分析 我们先把ξ看成变量x ，由于结论可化为2'221()0.(1)x f x x --=+ 即 '2(())0.1x f x x-=+ 显然其通解为2(),1xf x C x-=+把常数C 变成一个关于x 的函数(),C x 我们就得到一个辅助函数，2()().1x C x f x x=-+ 证明 做辅助函数2()().1xC x f x x=-+ 那么2''221()(),(1)x C x f x x -=-+ 又由于已知条件20(),1xf x x≤≤+我们可以得到 (0)0,lim ()0,x f f x →+∞==并且2()()0.1xC x f x x=-≤+ 若()0,(0,)C x x ≡∈+∞时，则'()0,C x =那么就有2'221().(1)x f x x -=+ 若()0,(0,)C x x ≠∈+∞时，那么一定存在(0,),a ∈+∞使得()C a <0,又因为(),C x 在[)0,+∞上连续，由介值定理可知，一定存在,b c 两点，0,b a c <<<<+∞使得()()()0,C a C b C c <=<对()C x 在[]b a ,上使用罗尔定理，那么至少存在一点(,)(0,),b c ξ∈⊂+∞使得'()0,C ξ=即2'221().(1)f ξξξ-=+ 上题是将一个客观存在的数ξ看成是变量x ，利用拉格良朗日常数变易法的思想将方程通解里的常数C 变成一个x 的函数(),C x 我们就得到了证明这个命题的辅助函数，并且在证明这种恒等式的例子中，运用中值定理比较广泛，而在中值定理中，罗尔定理是最常用的，如上题.这种方法能开拓我们的学习做题的思路.(二) 构造辅助函数证明不等式用作差法证明不等式是最常用的一种方法，而辅助函数就是在作差之后构造的式子，是非常简洁方便的，并且构造出来的辅助函数也很明了.我们先来看一个简单的例子.例3当0x >，证明ln(1).x x >+分析 构造辅助函数证明不等式用作差法是最常用的，主要就是将不等号右端的式子移到左边，形成一个减法式，右边为零，试证不等号左边式子的单调性，就可以证明了；证明 我们做辅助函数()ln(1).x x x ϕ=-+显然，当0x >时，有'()1,10.x ϕ=≥因此，()x ϕ在(0,)x ∈+∞时是增函数，而()x ϕ在0x =处连续，并且(0)0.f = 所以()ln(1)(0)0f x x x f =-+>=这样，原不等式证毕.上个证明是比较简单的，证明其单调性就能快速得出答案.而下面这个例子，我们需要研究一下它的左右两边的性质，这有利于我们思考如何构造辅助函数.例4 证明不等式4422226322222342131411n n n e n -+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯>----. 分析 因为此式左边相乘的项数多，直接移项作差证明会非常困难，而不等式左右两边的式子都是幂级数形式，并且右边为4463n n e-+>，故我们可以先把两边取对数形式，化简后作差，构造辅助函数更简单一些.证明 把不等式的两边取对数得 2222222344ln()ln()ln()2131163n n n n -++⋅⋅⋅+>---+ 我们先来研究不等式的左边左边22222223ln()ln()ln()21311ln 2ln1ln ln(1)2ln 1n n n n nn =++⋅⋅⋅+---=-+-+=+ 构造辅助函数244()ln.163x x x x x ϕ-=-++ 对()x ϕ求导得'112().(1)(63)x x x x ϕ=+++ 从而得知，当2x >时，'()0,()x x ϕϕ>为严格递增.44(2)ln 0315ϕ=-> 而()(2)0.x ϕϕ≥>故得出 244ln.163n n n n ->+- 则原不等式成立，证毕.其实，在证明不等式的方法中，还有很多，如比较法，分析法，综合法等，但是有时，这些方法比较麻烦，运算过程多.这时，若是针对题目构造一个适当的辅助函数，把题转化为对这个题的性质的研究，就像对定义域、值域、单调性、连续性、最值等的研究.这样，运算就比较简单了.(三) 构造辅助函数讨论方程的根关于方程的根的讨论主要是根的存在性个个数问题，构造辅助函数来解这方面的一些题，如同证明不等式，构造辅助函数的方法类似，会比一般的方法更为简单.例5方程sin ,0,0,x a x b a b =+>>证明方程至少有一个正根且不超过a b +.分析 此题我们可以构造辅助函数(),x ϕ在[,]a b 上连续，若能得出(),()a b ϕϕ异号，则存在[0,]a b ξ∈+，使得()0,f ξ=那么ξ就是方程的根且不超过a b +，即运用介值定理.证明 设()sin ,()x a x b x x ϕϕ=+-在[0,]a b +上连续，则显然(0)0,b ϕ=>()sin()0.a b a a b a ϕ+=+-≤ 现在我们讨论，若22a b k ππ+=+时，即sin()1,a b +=()0,f a b +=则方程有一个正根为a b + 另一种情况，若2,2a b k ππ+≠+即sin()1,a b +<则()0.a b ϕ+<符合介值定理条件，则存在一点[0,]a b ξ∈+，使得()0.ϕξ=那么ξ就是方程()0x ϕ=的根，综上所述，方程至少有一个正根且不超过a b +，证毕.例6方程21,,x x x R +=∈证明方程有且只有一个正根.分析 我们可以构造辅助函数2()1,x x x ϕ=+-先证明此方程有根，然后再证()x ϕ有且只有一个正根.证明 做辅助函数2()1,x x x ϕ=+-显然()x ϕ在R 上连续，(0)1,(1)1,ϕϕ=-=由零点定理可知， 存在一点(0,1),ξ∈使得()0ϕξ=，则点ξ为方程的根，接下来，我们用反证法证明有且只有一个根.设存在一点(0,1),η∈且,ηξ>得()0ϕη=，由于()x ϕ在R 上可导，对于任意0x >有'()210.x x ϕ=+>那么根据微分中值定理可知，存在(,),δξη∈使得'()()()()0ϕηϕξϕδηξ-=->但()()0,ϕηϕξ-=矛盾，故原方程有且只有一个正根，证毕.在上题可知，在解这类关于方程的根的问题，我们需要结合在闭区间上连续函数的零点定理来思考.(四) 构造辅助函数证明中值问题讨论这样的问题，是我们经常遇到的一类问题，一般我们是把问题适当变形，然后观察变形后的式子，构造相应的辅助函数，使之符合中值定理，介值定理，零点定理之类的条件，就可以轻松证明了.例7 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0,f =求证存在(0,1),ξ∈使得'()().f f ξξξ=-证明 构造辅助函数()(),x xf x ϕ=显然(0)(0)00,(1)(1)10,f f ϕϕ=⨯==⨯=又因为()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故根据罗尔定理可知，存在一点(0,1),ξ∈使得'()0,ϕξ=即''()()()0,f f ϕξξξξ=+=即'()()f f ξξξ=-，则'()().f f ξξξ=-证毕.例8设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导在(,)a b 内至少存在一点ξ，使'''()()()()()()0()()()f g h f a g a h a f b g b h b ξξξ= 证明 做辅助函数()()()()!()()()()!!()()()f xg xh x n F x f a g a h a r n r f b g b h b =- 则依题设有()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 ()()0,F a F b ==由罗尔定理，在(,)a b 内至少有一地点ξ，使'()0.F ξ=从而即有 '''()()()()()()0()()()f g h f a g a h a f b g b h b ξξξ= 证毕.中值问题很明显，是关于微分中值定理（其中包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的问题.做一个这个题的辅助函数，它必需满足其中一个中值定理的条件，则根据中值定理的性质即可得出.(五) 构造辅助函数求极限一些求极限的题目，我们也可以用做辅助函数来解决，求极限的方法有很多，简单的方法也不少，只是一些特殊的题目可能用我们学过的方法很不好解开，而构造辅助函数后就非常容易了.例9求n 解 作辅助函数1(),x f x x =则ln ().x x f x e =所以ln ln 1lim lim 0lim ()lim 1x x x x x x x x x f x e e e e →+∞→+∞→+∞→+∞=====故lim ()1n n f n →∞==. 例10求1111()123f x x x x x x =++++++++的极限. 解 变形1()()123x x x x f x x x x x x x=++++++++ 111111231111x x x x x x ⎛⎫ ⎪=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭1111x i i x x==+∑ 构造辅助函数101()1g x dx x =+⎰，这个积分函数将()f x 变成了积分函数，求这个函数的积分，就是()f x 的极限.01101()ln(1)ln 21g x dx x x ==+=+⎰ 所以，()f x 的极限是ln 2.解这方面的题时，需要我们将题中的离散变量转化为连续变量.像例1中，还需考虑趋近的过程()0→n ，还运用了洛必达法则，主要是求辅助函数的极限，则原函数的极限也求出.例2中的条件刚好满足定积分的定义，将其转化为定积分，求这个定积分的值，就求出了这个极限.四、 总结在这篇论文中，列举了大量的例子来说明辅助函数在数学中的应用，并且如何构造辅助函数，本文也有所涉及，下面我列举了几种方法.常数k 值法构造辅助函数是将所得的结论进行变形，然后把常数部分分离出来，并使常数部分得k ，将这个式子进行恒等变形，使式子变成一端成为a 和()a f 的表达式，另一端成为b 和()b f 的表达式，再将a 和b 的值换为x ，这样得出的式子就为所做得辅助函，详见例1.微分方程法构造辅助函数是关于解存在ξ[]b a ,∈，使()()[]ξξϕξf f ,'=这类的问题，构造辅助函数的方法是先将ξ变为x ，解出其通解形式为()c y x =,ψ，此时辅助函数为()()y x x F ,ψ=，详见例2.作差法构造辅助函数是将题适当变形后，将等号（或不等号）右边的式子移到左边做差，得到的式子即为辅助函数，即若解不等式)()(x g x f ≤，可以将这个式子的差)(x F 作为辅助函数，那么，)()()(x g x f x F -=，则只需证明)(x F 在其定义域内大于零即可.详见例3、例4、例6；原函数法构造辅助函数是将题中的式子进行适当变形，使之成为一个易于积分，能够消除导数的形式，然后求出原函数，可将它的积分常数取为零，然后移项，使之成为等式一端为零，一端则为辅助函数.这类题形详见例7.还有很多构造辅助函数的方法这里不再一一叙述.在数学中构造辅助函数的方法基本是无处不在的.学会构造辅助函数的方法也是至关重要的，如我们上文所举的例子中，应用了常数k值法，微分方程法，作差法和原函数法，关于定理的证明我们需要观察式子的特性，应用相关的方法以便构造辅助函数.而关于解题方面的证明，同样需要仔细观察，在各种题型的应用中，我们需要灵活运用构造辅助函数的方法，使之成为我们更好的学习工具.如此，我们可以看出，辅助函数在数学中的应用是广泛并且非重要的.在高等数学中，证明和解题是主要的，在这过程中，构造辅助函数的方法是我们必须所掌握的，这有利于增强我们的解题思维.并且能够快速的理通思路，方便我们理解题意，找到解决的办法.辅助函数在数学中的应用非常广泛，也非常实用，在我们解题遇到困难时，有时它就是用来解除障碍的有力工具.它所涉及的领域很多，关于构造辅助函数的方面我还要更好的学习.参考文献1.廖凡达，《辅助函数法在不等式问题中的应用》，《高中数学教与学》2009年04期.2.殷堰工，《辅助函数在数学中的应用》，昭通师专学报（自然科学版），一九八六年第一期.3.林远华，《浅谈辅助函数在数学分析中的作用》，河池师范高等专科学校学报（自然科学版）第20卷第4期，2000年12月.4.李兆强，蒋善利《“辅助函数法”在数学分析中的应用》漯河职业技术学院学报2009年9月，第8卷第5期.5.程惠东，《再谈作辅助函数解题》，高等数学研究，2005年9月，第8卷第5期.6.陈华，《微分中值定理中应用辅助函数的构造方法》，西昌学院院报，自然科学版，2009年12月，第23卷第4期.7.左元斌，《谈谈辅助函数的设置及应用》，盐城工学院学报，1998年3月，第11卷第1期.后记最后，非常感谢我的导师.在写论文的过程中，导师帮我每一次都帮我仔细修改，并指导我的论文思路，给我搜集了大量的论文材料参考.导师每次都看的很仔细，指导的很认真，我也能尽量达到导师的指导目标.在这里，再次郑重的感谢导师！谢谢您！。
辅助函数的构造
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
辅助函数的构造及应用
摘要辅助函数作为一种重要的函数对我们深入研究问题有着至关重要的作用.辅助函数的构造是通过巧妙的数学变换,将一般问题转化为特殊问题,将复杂问题转化为简单问题,这种论证思想是数学中重要而常用的数学思维集中体现,在解决各种实际问题中应用非常广泛.然而如何构造辅助函数是解题中的一个难点,因此我们要充分掌握辅助函数的构造方法,并能熟练运用辅助函数来解题.本论文首先介绍辅助函数的特点及构造原则；其次,总结出构造辅助函数的方法,在每种方法后配有相应的例题,这样能够帮助大家更好的理解辅助函数在解题中的应用.关键词：辅助函数,构造方法,应用The Structure and Application of Auxiliary Function Abstract：Auxiliary function as an important function for our further research issues has a vital role.The structure of the auxiliary function is a mathematical transformation, which can transform the general problems into special questions, the complex problems into simple problems. This thought is an important and commonly used in the mathematical argument concentrated expression of mathematical thinking, in solving various practical problems in the application is very broad. However, how to construct auxiliary function is a difficulty of the problem solving, so we should fully grasp the structure method of auxiliary function, and skillfully use the auxiliary function to problem solving. This paper first introduces the characteristics of the auxiliary function and principle of structure; second, summarizes the structure method of auxiliary function, after each method is equipped with the corresponding examples, which can help people better understand the application of the auxiliary function in problem solving.Keywords: Auxiliary Function, Construction method , Application目录一、引言 (1)二、辅助函数的特点及构造 (1)三、辅助函数的构造及应用 (2)（一）微分方程法 (2)（二）积分构造法 (3)（三）观察联想法 (3)（四）参数变易法 (4)（五）常数K值法 (5)（六）综合分析法 (7)（七）待定因子法 (7)（八）行列式法 (8)（九）变量替换法 (9)（十）积分定义法 (10)（十一）零点构造法 (10)（十二）函数连续法 (11)四、结束语 (12)五、致谢....................................... 错误!未定义书签。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。
构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。
构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。
如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。
2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。
其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。
3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。
其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。
4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。
通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。
在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。
2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。
3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。
4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。
下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。
例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。
证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。
尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。
借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。
本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。
辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。
特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。
笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。
当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。
在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。
这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
辅助函数
山西师范大学本科毕业论文论微分学中辅助函数的构造姓名刘林杰院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级10510201学号1051020110指导教师陈翠芳答辩日期成绩论微分学中辅助函数的构造中文摘要在数学学习过程中，有一种基本的方法就是构造函数法，这方法在解题，证明过程中用的比较多。
首先，我们解决什么是构造函数，研究其包括哪几个基本方法；其次，用这几种方法对微分学中的两个重要的定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明；最后继续探索了微分学解题中用到的构造辅助函数的方法原函数法和常数k值法。
【关键词】辅助函数；原函数；微分中值定理The construction of the helper function of differential calculusAbstractThe construction of the helper function is a kind of important mathematics thought method, we used in the mathematical problem solving, first of all, we must know what is the helper function and how many kinds it has, including conclusion analysis, geometric feature; Second Lagrange theorem and Cauchy mid-value theorem are two important theorems in differential calculus, in the process of prove two important axiom are used the way of constructing the helper function method, this article with the above two methods to prove; Finally in the differential calculus problem solving we go on to explore and promote t he auxiliary function building.【 key words 】auxiliary function; Derivation; Differential mean value theorem目录一、引言 (1)二、微分学中辅助函数的构建 (1)（一）结论分析法构造辅助函数 (1)（二）利用几何特征构造辅助函数 (4)（三）原函数法 (8)（四）常数k值法 (11)三、总结 (12)参考文献 (6)致谢语 (21)论微分学中辅助函数的构造学生姓名：刘林杰指导老师：陈翠芳一、引言在微分学解题时当我们用一般的数学方法按照普通解题方式解决不了某些问题时，就需要分析题目中所给的条件，按照题目所需解决的问题，构造所需要的辅助函数。
不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧
不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧大庆师范学院本科生毕业论文不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧学院教师教育学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名刘雨琳学号201101051311指导教师姓名李秀丽指导教师职称副教授2015年5月25日摘要不等式的证明问题是高等数学学习中一类很重要的问题，有些不等式的证明问题可以运用我们所学的基础知识直接解决，但有些不等式成立需要借助于构造辅助函数，构造辅助函数证明不等式成立的方法有很多。
本文简单介绍了几种在证明不等式时可以运用的构造辅助函数的方法和技巧，并且给出了在常见的几种不等式类型中这些方法的应用，主要就是通过构造出适合的辅助函数，将复杂的问题转变为基础的、简单的问题，提高解题的效率。
关键词：不等式；构造；辅助函数；方法；技巧；AbstractProving inequalities is a class of very important problems in learning Higher Mathematics. The proof of some inequalities can be solved directly using what we have learned the basic knowledge , but some inequalities can be established by constructing an auxiliary function , constructing an auxiliary function that inequality into the established method has much . This article simply introduces the methods and skills of several in proving inequalities can be used to construct the auxiliary function , and gives the application of these methods in several common types of inequality , mainly is by constructing a suitable auxiliary function , transformation of the complex issues as basis , a simple problem , improve their problem solving efficiency .Keywords: inequality; structure; auxiliary function; methods; techniques;目录第一章前言 (1)第二章几种构造辅助函数的方法与技巧 (2)2.1利用单调性法 (2)2.2参数变易法 (3)2.3变形法 (4)2.4利用凸函数定义 (5)2.5利用詹森不等式 (6)2.6借助中值定理 (7)第三章构造辅助函数证明几类常见不等式 (9)3.1一般不等式的证明 (9)3.2含积分符号的不等式的证明 (10)3.3含微分符号的不等式的证明 (11)第四章总结 (12)参考文献 (13)第一章前言不等式证明是数学中一类十分重要的问题，它可以运用到许多相关的知识，比如函数的性质，微积分等。
一阶微分方程构造辅助函数原理
一阶微分方程构造辅助函数原理1. 引言1.1 概述在数学和科学领域中，微分方程是一个重要的研究对象。
一阶微分方程是其中最基础且常见的类型之一。
解一阶微分方程可以帮助我们理解自然现象、预测未来发展趋势以及解决各种实际问题。
辅助函数作为求解一阶微分方程的有效工具，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨辅助函数原理，并介绍构造辅助函数的方法和技巧。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的主题和目标。
其次，我们会介绍一阶微分方程的基础知识，包括定义与形式、常见类型与解法以及初值问题与辅助函数的重要性。
接着，我们将详细阐述辅助函数原理及其构造方法，包括辅助函数的概念与作用、构造辅助函数的步骤和方法以及常用的辅助函数构造技巧。
然后，通过示例和应用案例分析，我们将展示辅助函数在求解一阶微分方程中的实际应用，包括小型一阶微分方程求解示例的详解、实际问题中辅助函数应用案例的分析以及辅助函数在数学模型建立中的实践应用。
最后，我们会总结本文的研究成果，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨一阶微分方程构造辅助函数原理，并介绍相关的构造方法和技巧。
通过对辅助函数在一阶微分方程求解过程中的作用和重要性进行分析，使读者能够更好地理解和运用辅助函数。
同时，通过具体示例和应用案例的分析，帮助读者将理论知识与实际问题相结合，提高问题求解能力。
最终，希望本文能为相关领域研究者提供有益的参考和启示，并促进一阶微分方程及其应用领域的发展与创新。
2. 一阶微分方程基础知识：2.1 定义与形式一阶微分方程是指未知函数的导数与自变量之间只包含一阶导数的关系式。
通常表示为dy/dx=f(x)的形式，其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示已知函数。
2.2 常见类型与解法一阶微分方程可以根据其类型进行分类和求解。
常见的类型包括可分离变量型、齐次型、线性型等。
可分离变量型：当一阶微分方程可以被写为dy/dx=g(x)h(y)时，我们可以将其转化为两个变量可分离的形式，并通过两边同时积分来求解。
构造辅助函数
一、数学中的构造法所谓构造法，就是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法．主要有以下几种常用构造法：（一）、构造数学命题法1．构造等价命题如果遇到的数学问题直接证明有困难时，可构造其等价命题，并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证．2．构造辅助命题在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据，只要证明了辅助命题是真命题，原问题就迎刃而解．（二）、构造数学关系法由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法．微积分中值定理及其有关的证明是典型的构造函数的例子。
（三）、构造几何图形法在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷．几何证题中的辅助线，代数方程应用题中的示意图都属于这一类。
（四）、构造结论法构造结论法，就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法．有些数学命题是断言存在着具有某种性质的数学对象，或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质，对于这种类型的数学命题，证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象，用构造结论的办法对数学命题作出证明，称为“构造性证明” 。
（五）、构造矛盾法所谓构造矛盾法，就是首先否定原命题，再利用否定后的命题构造出一个能够明显暴露其错误的对象，从而导出矛盾，使原命题得证．（六）、构造复数法由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则，我们可以构造复数求解许多代数、几何、三角方面的问题。
（七）、构造反例法为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是构造反例的关键。
二、微分中值定理证明中的辅助函数利用微分中值定理解题时，一般要构造恰当的辅助函数，它是求解问题的关键。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师X 大学数学系， 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()()θθθf f -='.证毕原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξξξf ab f b a '⋅-=∍∈∃,,证明： 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-=()()x f ax b x f x'⋅-=−−→−=ξ令()()xb ax f x f -='⇒()()c x b x f a ln ln ln +-=−−→−-积分()()c x f x b a=-⇒可令 ()()()x f x b x F a-=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-=()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,, ()()()())0(0==-=a f a f a b a F a()()()0=-=b f b b b F a故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF()()()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即：亦即：()()ξξξf ab f '⋅-=证毕 2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
利用罗尔定理证明命题时辅助函数的构造方法
[摘要]对于利用罗尔定理证明的一些问题，构造合适的辅助函数是问题证明的关键。
对此，总结了构造辅助函数的积分法和插值函数法。
实例研究表明：本文方法是构造辅助函数的有效方法。
[关键词]罗尔定理辅助函数对利用罗尔定理进行证明的命题，构造辅助函数是实现命题证明的关键，而这种辅助函数的构造是一种创造性活动。
对该类问题进行深入研究后，发现构造辅助函数的方法具有一定规律性。
本文分析了一些命题的特点，总结了构造辅助函数的积分法和插值函数法。
实例研究表明：本文方法用于构造辅助函数是有效的。
一、不定积分法很多命题可以归结为：在给定条件下，变量、函数及其导函数构成的方程有根。
对于此类问题，列出对应方程，计算方程相关部分的不定积分，从而构造辅助函数。
这种方法称为构造辅助函数的不定积分法。
下面结合例题，进一步阐明不定积分法。
例1 已知f（0）=f（1）=0，f（x）在[0，1]内可导。
证明：存在一点ξ∈（0，1），使得分析：将等式中ξ用x替换，可得方程f``（x）（1-x）2-2f`（x）（1-x）=0对方程左边积分得，f`（x）（1-x）2+c（c为任意参数）因此，构造函数g（x）=（1-x）2f`（x），根据题目条件，可知f`（ξ1）=0，g（ξ1）=g（1）=0，0<ξ1<1由罗尔定理可得g`（ξ）=0（ξ1<ξ<1）。
由此可得命题结论。
二、插值函数法根据已知条件，构建插值多项式，进而得到辅助函数的方法称为插值函数法。
拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明都是插值函数法。
下面结合实例阐明插值函数法。
例2 设函数f（x）在[-a，a]上连续，（-a，a）内二阶可导，f（0）=0。
证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得分析：要证明的等式右边为定积分，不妨假设，这时所要证明等式转变为a3F```（ξ）=3[F（a）-F（-a）]由于式子右边出现了三阶导数，插值多项式为三次多项式。
不妨设三次多项式为p（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0由于构造一元三次多项式需四个条件[3]，令P（x）经过点（-a，F（-a））、（0，F（0））、（a，F（a）），且p`（0）=f（0）。
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渭南师范学院本科毕业论文题目：如何构造辅助函数专业：数学与应用数学系班：数学系09级专升本1班毕业年份： 2011年姓名：王婉丽学号： 090721085 指导教师：薛利敏职称：教授渭南师范学院教务处制目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)本科毕业论文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生.2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写.渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表如何构造辅助函数王婉丽（渭南师范学院数学与信息科学学院数学系09级专升本1班）摘要:简单探讨了微积分解题中辅助函数的构造方法，微积分中构造辅助函数解决有关问题是一种创造性的思维过程,具有较好的灵活性和技巧性，它可以架起一座连接条件和结论的桥梁,从而可化难为易,使问题得以解决。
因此,总结和研究了微积分解题中构造辅助函数的原函数法并对其给以相应的例题加以说明。
通过对微积分解题中辅助函数构造方法的总结探讨,不但使我们对辅助函数的作用有了深刻的认识理解,而且对辅助函数的构造方法及应用有了进一步的掌握,为微积分中诸多综合复杂问题的解决提供了较为便捷的思路与方法。
关键词：罗尔定理；辅助函数；微积分1预备知识定理1.1[2]（罗尔中值定理）若函数()f x满足如下条件：（i）()f x在闭区间[]b a,上连续；a,内可导；（ii）()f x在开区间()b（iii）)faf=，(b)(a,内至少存在一点ξ,使得则在()bfξ'=。
()0定理1.2[2]（介值定理）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠若μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=。
2 方法及应用原函数法其实是一种逆向思维的方法,在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时,要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点,这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数,然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将结论通过恒等变换,化为容易积分的函数形式,在结论积分不是 很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；第二步：用x 替换变换后等式中的变量；第三步：用观察法或凑微分法求出原函数,则原函数即为所要构造的辅助函数；第四步：最后结合微分中值定理,推导出结论来。
例 2.1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==,求证：存在(0,1)ξ∈，使2()()1f f ξξξ'''=-。
分析： 这个辅助函数的构造可以根据要证结论的等式进行变换,则可得()2()1f x f x x''='-，两边积分可得ln ()2ln 1ln f x x c '=--+，得2(1)()c x f x '=-，这样就找出了所需要构造的辅助函数。
证明： 设辅助函数2()(1)()F x x f x '=-,因为()f x 在[0,1]上二阶可导,则()f x 在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,而(0)(1)0f f ==满足罗尔定理,则存在1(0,1)ξ∈内,使1()0f ξ'=.在1(,1)ξ内又2111()(1)()0F f ξξξ'=-=，2(1)(11)(1)0F f '=-=则可知()F x 满足罗尔定理,所以存在1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0F ξ'=又2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''''=--+-所以2()2(1)()(1)()0F f f ξξξξξ''''=--+-=即得2()()1f f ξξξ'''=- 证毕。
例 2.2 设函数()f x 在[,]a b 上可导，试证明存在(,)z a b ∈，使得()()()()bf b af a f z zf z b a-'+=-。
分析： 本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x 替换变换后等式中的变量z ，再求出原函数，即函数()f x ，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。
证明：将要证得结论变形为：()()()()0bf b af a f z zf z b a-'+-=-， 则根据积分构造辅助函数 ()()()()()[()()]()bf b af a bf b af a F x f x xf x dx xf x b a b a --'=+-=---⎰ 可知函数满足罗尔定理的条件，即()()F a F b =，所以，存在(,)z a b ∈，使得()()()()()0bf b af a F z f z xf z b a-''=+-=-。
证毕。
例 2.3 ()f x 在[,]a b 连续，(,)a b 可导，则存在(,)a b ξ∈222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证明：（证明一）将要证的结论变形得22()()()2f b f a f b aξξ-'=•-，将等式中的ξ记为x ，即22()()()2f b f a f x x b a-'=•-， 然后积分得 222()()()f b f a f x x c b a -=•+-， 得到辅助函数 222()()()()f b f a F x c f x x b a -==-•-， 显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为2222()()()()b f a a f b F a F b b a -==-， 满足罗尔定理，所以存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，故222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕。
本例题证明中在构造辅助函数时使用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]a b 上的性质，然后运用罗尔定理，导出结论。
如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下 （证明二）：将要证明的等式中的ξ记为x ，然后积分得222(()())()()x f b f a b a f x -=-，得到辅助函数222()(()())()()F x x f b f a b a f x '=---，可知()()F a F b =.故由罗尔定理可得222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕。
通过例2.3的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强，方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。
例 2.4设()f x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，且()0()f x a x b '><<， ()()0af b bf a -=.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()f f ξξξ='。
分析：要证()()0f f ξξξ'-=，即证2()()0f f ξξξξ'-=， 即证2()()[]0x xf x f x x ξ='-=，即证()[]0x f x xξ='=。
从而作辅助函数()()f x F x x=，并对()F x 在[,]a b 上使用罗尔定理即可。
证明：令()()f x F x x=， 由题设知，()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又： ()()()()f a f b F a F b a b=== 由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈，使0F '=，即()()f f ξξξ='。
证毕。
例 2.5 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，试证至少存在一个(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=。
分析：()1()1()()0f f x f x x f x x ξ''=⇒=⇒=⇒-=，令 ()()F x f x x =-。
证明：令()()F x f x x =-，则显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.又(1)(1)110((1)0)F f f =-=-<=， 11111()()0(()1)22222F f f =-=>=。
由零点存在定理可知，∃一个1(,1)2η∈，使()0F η=。
又(0)(0)00F f =-=，对()F x 在[0,]η上用罗尔定理，存在(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=。
证毕。
例 2.6 设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1)2f =，(2)2f =，证明存在点(1,2)ξ∈，使得2()()f f ξξξ'=。
分析：以本题为例，介绍求辅助函数()F x 的不定积分法，具体步骤为：（1）将所证等式中的ξ换成x ，2()()f x f x x '=； （2）将上式变形为易于积分的形式，()2()f x f x x '=； （3）两边积分()2()f x dx dx f x x '=⎰⎰，得 2ln ()2ln ,()f x x c f x cx =+=；（4）解出c ，2()f x c x =， 作辅助函数2()()f x F x x =，容易验证： 24()2()()0f f F ξξξξξξ'-'==， 等价于 2()()f f ξξξ'=。
证明：令2()()f x F x x =。
显然()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， 又 1(1)(1)2F f ==，(2)1(2)42f F ==. 由罗尔定理知，存在(1,2)ξ∈，使()0F ξ'=，即2()()f f ξξξ'=。
证毕。
构造辅助函数的方法中，原函数是常用的，因此，熟悉一些常见函数的导数形式对寻找原函数是有用的。
下面介绍一些常见表达式中的原函数。
(1)要证()()()()0f g f g ξξξξ''+=，即证[()()]0x f x g x ξ='=，所以可令()()()F x f x g x =。