数学毕业论文如何构造辅助函数

渭南师范学院

本科毕业论文

题目：如何构造辅助函数

专业：数学与应用数学

系班：数学系09级专升本1班

毕业年份： 2011年

姓名：王婉丽

学号： 090721085 指导教师：薛利敏

职称：教授

渭南师范学院教务处制

目录

本科毕业论文任务书 (1)

本科毕业论文开题报告 (3)

本科毕业论文登记表 (5)

本科毕业论文文稿 (7)

本科毕业论文答辩记录 (15)

渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书

注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生.2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.

渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告

注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写.

渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表

如何构造辅助函数

王婉丽

（渭南师范学院数学与信息科学学院数学系09级专升本1班）

摘要:简单探讨了微积分解题中辅助函数的构造方法，微积分中构造辅助函数解决有关问题是一种创造性的思维过程,具有较好的灵活性和技巧性，它可以架起一座连接条件和结论的桥梁,从而可化难为易,使问题得以解决。因此,总结和研究了微积分解题中构造辅助函数的原函数法并对其给以相应的例题加以说明。

通过对微积分解题中辅助函数构造方法的总结探讨,不但使我们对辅助函数的作用有了深刻的认识理解,而且对辅助函数的构造方法及应用有了进一步的掌握,为微积分中诸多综合复杂问题的解决提供了较为便捷的思路与方法。

关键词：罗尔定理；辅助函数；微积分

1预备知识

定理1.1[2]（罗尔中值定理）若函数()

f x满足如下条件：

（i）()

f x在闭区间[]b a,上连续；

a,内可导；

（ii）()

f x在开区间()b

（iii）)

f

a

f=，

(b

)

(

a,内至少存在一点ξ,使得

则在()b

fξ'=。

()0

定理1.2[2]

（介值定理）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠若μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得

0()f x μ=。

2 方法及应用

原函数法其实是一种逆向思维的方法,在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时,要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点,这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数,然后用以下步骤求辅助函数：

第一步：将结论通过恒等变换,化为容易积分的函数形式,在结论积分不是 很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；

第二步：用x 替换变换后等式中的变量；

第三步：用观察法或凑微分法求出原函数,则原函数即为所要构造的辅助函数；

第四步：最后结合微分中值定理,推导出结论来。

例 2.1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==,求证：存在(0,1)ξ∈，使2()()1f f ξξξ

'''=-。 分析： 这个辅助函数的构造可以根据要证结论的等式进行变换,则可得

()2()1f x f x x

''='-，两边积分可得ln ()2ln 1ln f x x c '=--+，得2(1)()c x f x '=-，这样就找出了所需要构造的辅助函数。

证明： 设辅助函数2()(1)()F x x f x '=-,因为()f x 在[0,1]上二阶可导,则()f x 在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,而(0)(1)0f f ==满足罗尔定理,则存在1(0,1)ξ∈内,使1()0f ξ'=.在1(,1)ξ内

又

2111()(1)()0F f ξξξ'=-=，2(1)(11)(1)0F f '=-=

则可知()F x 满足罗尔定理,所以存在1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0F ξ'=

又

2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''''=--+-

所以

2()2(1)()(1)()0F f f ξξξξξ''''=--+-=

即得

2()()1f f ξξξ

'''=- 证毕。

例 2.2 设函数()f x 在[,]a b 上可导，试证明存在(,)z a b ∈，使得()()()()bf b af a f z zf z b a

-'+=-。 分析： 本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x 替换变换后等式中的变量z ，再求出原函数，即函数()f x ，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。

证明：将要证得结论变形为：

()()()()0bf b af a f z zf z b a

-'+-

=-， 则根据积分构造辅助函数 ()()()()()[()()]()bf b af a bf b af a F x f x xf x dx xf x b a b a --'=+-

=---⎰ 可知函数满足罗尔定理的条件，即()()F a F b =，所以，存在(,)z a b ∈，使得

()()()()()0bf b af a F z f z xf z b a

-''=+-

=-。 证毕。 例 2.3 ()f x 在[,]a b 连续，(,)a b 可导，则存在(,)a b ξ∈

222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。

证明：（证明一）将要证的结论变形得

22()()()2f b f a f b a

ξξ-'=•-，